PROGETTOOLIMPIADI DIMATEMATICA petali halamargherita? U.M.I.UNIONEMATEMATICAITALIANA (A) 3, (B) 4, (C) 5, (D) 6, (E) questadisposizioneèimpossibile: l’ultimo MINISTERODELLAPUBBLICAISTRUZIONE SCUOLANORMALESUPERIORE petalosi sovrapponenecessariamentealprimo. I Giochi di Archimede - Gara Triennio 6) a, b e c sono numeri reali tali che comunque se ne scelgano due la loro somma è maggioreougualeazero. Qualedelle seguentiaffermazioniècertamentevera? 17novembre2010 (A) a·b·c≥0, (B) almenounodeitrenumerièzero, (C) almenounodeitre 1) Laprovaconsistedi25problemi;ognidomandaèseguitadacinquerisposteindicate numerièstrettamenteminoredizero, (D) a,becsonotuttimaggioriougualia conle lettereA, B, C, D, E. zero, (E) a+b+c≥0. 2) Una soladi queste risposteè corretta,le altre 4 sonoerrate. Ognirispostacorretta vale 5 punti, ogni risposta sbagliata vale 0 punti e ogni problema lasciato senza 7) Concetta immagina un mondo piatto e tondo, e lo divide rispostavale1punto. in otto stati, uno centrale e sette intorno a questo, come D C 3) Per ciascuno dei problemi devi trascrivere la lettera corrispondente alla risposta indicato nella figura a fianco. Inoltre a ciascuno stato as- che ritieni corretta nella griglia riportata qui sotto. Non sono ammesse cancel- E B segna come nome una lettera (vedi figura). Vuole colorare lature o correzioni sulla griglia. Non è consentito l’uso di alcun tipo di A ciascunostatodirosso,oppurediverde,oppuredigiallo,in calcolatrice. modocheduestaticonfinantinonabbianolostessocolore. F H 4) Il tempo totale che hai a disposizione per svolgere la prova è di due ore. In quantimodi diversipuò farlo? Buonlavoroe buondivertimento. G (A) Nessuno, (B) 2, (C) 4, (D) 5, (E) 6. Nome Cognome Classe 8) Silvano, l’uomo piu` ricco di Nettuno, possiede un’autostrada con molte corsie. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 In un momento di prosperità decide di aumentare il numero di corsie del 60 %. Successivamente, a causa di un’antica legge del pianeta, deve ridurre il numero di corsiediunacertapercentualeX. Dopoaverlofattosiritrovaconlostessonumero 1) Quantiluned`ıpossonoessercialmassimoin 45giorniconsecutivi? di corsiecheavevaall’inizio. QuantovaleX? (A) 5, (B) 6, (C) 7, (D) 8, (E) 9. (A) 15%, (B) 21,5%, (C) 28%, (D) 37,5%, (E) 60%. 2) Emilio prende al buio dei calzini da una cesta in cui ci sono: 6 calzini neri, 14 calzini blu e 8 calzini verdi. Per essere sicuro che tra i calzini che ha preso ce ne 9) In un triangolo due angoli misurano rispettivamente 30◦ e 105◦ ed il lato tra essi sianodue dellostessocolore,il numerominimo di calziniche deveprendereè: compreso√èlungo2 cm. Qualè√lami√suradel perimetrod√el tria√ngolo? (A) 3, (B) 4, (C) 9, (D) 15, (E) 21. (A) (5+√3) cm, (B) (2+2√3+ 2) cm, (C) (3+ 3+ 2) cm, (D) (5+ 2) cm, (E) (2+3 3) cm. 3) Quantecifre hail quadratodi un numeronaturaledi 10cifre? (A) menodi 25, (B) 40, (C) 50, (D) 60, (E) almeno100. 10) Quantovale lasomma: 1+2+2+3+3+4+4+...+35+35+36? (A) 990, (B) 1105, (C) 1295, (D) 1395, (E) 1505. 4) Quale√fraqu√este ser√iedi d√isuguaglia√nzeè√corretta√? √ (A) 2√2<√10<√ 5+√ 3, (B) √5+ 3√<2 √2< √10, 11) La squadradei matematici partecipa ad un campionatoin cui ogni vittoria vale 3 (C)√2 2<√ 5+√ 3< √10, (D) 10<2 2< 5+ 3, punti, ogni pareggio 1 punto e ogni sconfitta 0 punti. Dopo le prime 13 partite (E) 5+ 3< 10<2 2. la squadra ha 29 punti e ha perso tante partite quante ne ha pareggiate. Quante 5) Matilde vuole regalare una margherita di cartone alla sua mamma. Ritaglia un partitehavinto finora? cerchio giallo e lo mette al centro. Poi ritaglia alcuni cerchi bianchi, dello stesso (A) 4, (B) 6, (C) 8, (D) 9, (E) 11. raggio del cerchio giallo, per fare i petali. Dispone i petali nel modo seguente: il primotangenteesternamentealcerchiogiallo,ilsecondotangenteesternamenteal 12) Perquanti valori distinti del numero naturalen l’equazione 3x2+2nx+3=0 ha cerchio giallo e al primo petalo, e cos`ı via fino a completare il giro con l’ultimo due soluzionirealidistinte, e questesonoentrambenumeriinteri? petalo che è tangente al penultimo e al primo petalo, e al cerchio giallo. Quanti (A) Nessuno, (B) 1, (C) 2, (D) 4, (E) piu` di 5. 13) ABCDEF èunesagonoregolaredilato1cm. Gèilpunto B quattrocifre (dasinistra) duesianopariedue dispari. Quantepossibilità ha? diintersezionetralediagonaliACeBE. Quantovalel’area (A) 25·52, (B) 25·52·32, (C) 22·53·32, (D) 52·34, (E) 210·5·3. A C del triangoloABG? (A) √32−1cm2, (B) √83cm2, (C) 490cm2, 21) Agilols’Ui,noivgenrisivtoa`ltdaellcehFeauvnoole,sdtuodveengtleisstbuaddeingtliiasoanlotriinfi2nsittiuedegnlitisbsabdaidgilgilmiaonlotodcoopnota5- (D) 1+√3cm2, (E) √3cm2. 12 4 F D secondi (chi ha già sbadigliato non lo fa piu`). Ieri la Bella Addormentata (una studentessa) era l`ı e, essendo molto stanca, ha sbadigliato per prima! In quanti E (inclusalaBella Addormentata)avevanosbadigliatodopo 57secondi? 14) Quantecifre hail numero(111222333444555666777888999)/111? (A) 2047, (B) 3024, (C) 3625, (D) 4095, (E) 8192. (A) 13, (B) 21, (C) 25, (D) 27, (E) 29. 22) Mago Merlino ha 7 palline bianche e 7 nere, e puo` fare due tipi di incantesimi: il 15) Un atleta percorre 5 km in 16 minuti e 40 secondi. Durante il percorso aumenta primo fa sparire 3 palline nere e ne fa comparire 2 bianche (Merlino lo puo` fare progressivamente la sua velocita`, in modo che ogni chilometro viene coperto in 5 solo se ci sono almeno 3 palline nere); il secondo fa sparire 4 palline bianche e ne secondi in meno del precedente. Quanto tempo impiega per percorrere l’ultimo facomparire9nere (Merlinolopuo`faresoloseci sonoalmeno4 pallinebianche). chilometro? Dopoaverlanciatovarievoltequestiincantesimièpossibileche sitrovicon... (A) 2minuti e 55secondi, (B) 3minuti, (C) 3 minuti e5 secondi, (A) 2palline bianchee 15nere, (B) 4palline bianchee14nere, (C) 3palline (D) 3minuti e 10secondi, (E) 3 minuti e15secondi. bianchee11nere, (D) 7palline bianchee13nere, (E) 10palline bianchee 10 nere. 16) Quante terne distinte (x,y,z), formate da numeri interi compresi tra 0 e 100 (estremi inclusi), soddisfano(x−y)2+(y+z)2=(x+y)2+(y−z)2? 23) Nella figura a fianco, AC misura 2 cm, B è il punto D E (A) 101·201, (B) 106, (C) 1012, (D) 104, (E) 51·301. mediodiAC eitriangoliABD eBCE sonoequila- teri. SeP eQsonoicentridiABDeBCE rispetti- 17) Nella figura a fianco, il quadrato ABCD ha A B vamente,quantomisurailraggiodellacirconferenza E lato 1 m e i triangoli: ABG, BCH, CDE e passanteper P,Qe B? DAF sono equilateri. Quanto vale l’area di (A) √3 cm, (B) 1 cm, (C) 1cm, (D) √3 cm, A B C 6 2 3 E(AF)GH61√m? 2, (B) 41m2, (C) (2 − √3)m2, H F (E) √23 cm. (D) (3 3−5)m2, (E) 1m2. 24) Un conocircolareretto havolume 1m3. Si tagliail conoparallelamentealla base, 3 aunadistanzadalverticepariaunquartodell’altezzadelcono. Siottienecos`ıun nuovocono;qualèil suovolume? G D C (A) 1 m3, (B) 3 m3, (C) 27m3, (D) 48m3, (E) 63m3. 64 64 64 64 64 18) Quantisonoi quadratiperfetti di almenotre cifre,minorio ugualidi 2010·2011? 25) In una squadra ci sono 11 giocatori e 11 maglie numerate da 1 a 11. I giocatori (A) 1890, (B) 1910, (C) 2001, (D) 2011, (E) 2110. entranonellospogliatoiounoallavolta,inordinecasuale. Ciascuno,appenaarriva, sceglie una maglia a caso, tranne Danilo che preferisce la maglia numero 8 e, seè 19) Il maggiore Tom è atterrato su un pianeta popolato da gatti viola, che dicono disponibile,scegliequella. Qualèlaprobabilita`cheDaniloriescaadottenereilsuo sempre la verità, e da gatti neri, che mentono sempre. Nel buio piu` completo numerodi magliapreferito? incontra 5 gatti, che si rivolgono a lui nel modo seguente. Primo gatto: “Sono (A) 4, (B) 5, (C) 1, (D) 6, (E) 5. viola”;secondogatto: “Almeno3dinoisonoviola”,terzogatto: “Ilprimogattoè 9 11 2 11 9 nero”,quartogatto: “Almeno3dinoisononeri”,quintogatto: “Siamotuttineri”. Quantidei 5gatti sonoviola? (A) nessuno, (B) 1, (C) 2, (D) 3, (E) 4. 20) Valeria deve sceglierela combinazione della sua cassaforte,che deve essereun nu- merodicinquecifre,tutte diversedazero,divisibilepertre, etalechedelle prime PROGETTO OLIMPIADI DI MATEMATICA U.M.I. UNIONE MATEMATICA ITALIANA MINISTERO DELLA PUBBLICA ISTRUZIONE SCUOLA NORMALE SUPERIORE I Giochi di Archimede -- Soluzioni triennio 17 novembre 2010 Griglia delle risposte corrette Problema Risposta corretta Problema Risposta corretta 1 C 14 C 2 B 15 D 3 A 16 A 4 A 17 C 5 D 18 C 6 E 19 C 7 A 20 B 8 D 21 D 9 C 22 D 10 C 23 D 11 D 24 A 12 A 25 D 13 B Risoluzione dei problemi 1. La risposta è (C). Se il primo dei 45 giorniè un luned`ı, allora ci sono 7 luned`ı posti nei giorni: 1, 8, 15, 22, 29, 36 e43. Dunqueci possonoessere 7luned`ı. D’altrapartesecenefossero 8(odipiu`), ci sarebbero 7 settimane, ovvero 49 giorni, in 45 giorni, e questo è impossibile. [Problema proposto da X.Y. Lu.] 2. La risposta è (B). Poichè nella cesta ci sono calzini di tre colori diversi, se Emilio ne prende quattro, tra questi ce ne sono sicuramente due dello stesso colore. D’altra parte, se ne prende solo tre, è possibile che siano di tre colori diversi tra loro. Il numero minimo è quindi quattro. [Problema proposto da X.Y. Lu.] 3. La risposta è (A). Il piu` piccolo numero con 10 cifreè109; analogamente il piu` piccolo numero con 11 cifreè1010, quindi il numero precedente, 1010 1, è il piu` grande numero con 10 cifre. Quindi se N è un − qualsiasi numero con 10 cifre, deve essere compreso tra 109 e 1010 1: − 109 N 1010 1. ≤ ≤ − 1 Elevando tutti i termini al quadrato si ha (109)2 =1018 N2 (1010 1)2 = 1020 2 1010+1< 1020. ≤ ≤ − − × Quindi possiamo dire che il numero di cifre di N2 è certamente compreso tra 19 e 21; in particolare è minore di 25. [Problema proposto da C. Di Stefano.] 4. La risposta è (A). In tutte le serie di disuguaglianze figurano i tre numeri A = 2√2, B = √10 e C = √5+√3, che elevati al quadrato fanno rispettivamente: A2 = 8, B2 = 10, C2 = 5+3+2√15 =8+√15. Quindi A2 < B2, e, poiché √15 > 2, B2 < 8+√15 = C2. Dunque A2 < B2 < C2, e, dato che A, B e C sono positivi, segue che A n m). La prima possibilità porta a − n =3 e m = 0 e non è accettabile poichè in questo caso n2 9= 0 e le radici sono coincidenti. − La seconda possibilità porta a n = 5 da cui segue che le due soluzioni sono: 5 4 − ± . 3 e di queste solo una è un numero intero. Dunque non ci sono valori accettabili di n. Seconda soluzione. Supponiamo che l’equazione data abbia due soluzioni reali distinte, e chesianoduenumeriinteri. Chiamiamox ex questesoluzioni. Allorax ex risolvono anche 1 2 1 2 l’equazione 2n x2+ +1 =0 3 4 ottenuta dividendo ambo i termini dell’equazione di partenza per 3. Si vede allora che il pro- dotto di x e x deve essere uguale a 1, e questo è possibile solo se x = x = 1 oppure 1 2 1 2 x = x = 1; in entrambi i casi le soluzioni coincidono e quindi non verificano una delle 1 2 − condizioni richieste. 13. La risposta è (B). ◦ ◦ In un esagono gli angoli interni ai vertici sono di 120 , quindi l’angolo ABC misura 120 . Per motivi di simmetria la retta per B ed E è la bisettrice dell’angolo ABC, dunque AGB misura ◦ 60 . Inoltre le due diagonali AC e BE si intersecano perpendicolarment!e. Quindi il triangolo √3! ! ABG è metà di un triangolo equilatero di lato 1 cm la cui area è cm2, quindi la sua area è 4 √3 cm2. 8 [Problema proposto da D. Lombardo.] 14. La risposta è (C). Il numero 111222333444555666777888999ha 27 cifre e può essere scritto come: 111222333444555666777888999 = 111 1024+222333444555666777888999 × = 111 1024+222 1021+333444555666777888999 × × . . . = 111 1024+222 1021+ +888 103+999. × × ··· × Quindi, se lo dividiamo per 111 otteniamo (111222333444555666777888999)/111 = 1024+2 1021+ +8 103+9 × ··· × = 1002003004005006007008009, che è un numero di 25 cifre. [Problema proposto da X.Y. Lu.] 15. La risposta è (D). ChiamiamoT iltempo(insecondi)impiegatoperpercorrereilprimochilometro. Alloraitempi impiegati per percorrere i chilometri successivi sono: (T 5) per il secondo, (T 10) per il − − terzo, (T 15) per il quarto e (T 20) per il quinto. Il tempo complessivo è la somma di tutti − − questitempi,cioè: T+(T 5)+(T 10)+(T 15)+(T 20) =5T 50equestodevecoincidere − − − − − con il tempo totale impiegato dall’atleta, che, espresso in secondi, è: (16 60+40) = 1000. × Dall’equazione 5T 50 = 1000 si ricava T = 210. Quindi il tempo impiegato per percorrere il − quinto chilometro è T 20= 210 20= 190 secondi, ovvero 3 minuti e 10 secondi. − − [Problema proposto da P. Negrini.] 16. La risposta è (A). Se sviluppiamo tutti i quadrati contenuti nell’equazione otteniamo: x2 2xy+y2+y2+2yz+z2 = x2+2xy+y2+y2 2yz+z2 − − e questa uguaglianza diventa 4yz 4xy =0 y(z x) = 0. − ⇒ − 5 In particolare quest’ultima uguaglianzaè verificata se y =0 e x e z assumono uno qualsiasi dei valori ammissibili. Dunque tutte le terne della forma (x,0,z), al variare sia di x che di z da 0 a 100, sono soluzioni. Poichè x e z possono assumere 101 valori distinti ciascuno, le terne di questo tipo sono 1012. Se y = 0 l’equazione risulta soddisfatta se x = z, quindi le terne della ’ forma (x,y,x) sono soluzioni, al variare di x da 0 a 101 e al variare di y da 1 a 101. Le terne di questo tipo sono allora 100 101. Osserviamo che non ci sono altre soluzioni oltre a quelle · trovate. In tutto le soluzioni sono allora: 1012+100 101=101(101+100)= 101 201. · · [Problema proposto da Fioravanti.] 17. La risposta è (C). E’ A B E H F G D C G’ √3 Osserviamo prima di tutto che EFGH è un quadrato. L’altezza del triangolo ABG è m, 2 poichè questo triangolo è equilatero e ha lato 1 m. Tracciamo la retta per E e G e chiamiamo " " E e G i punti in cui questa retta incontra i lati AB e CD rispettivamente. La lunghezza " " " del segmento EE può essere ottenuta per differenza tra la lunghezza di E G, che è 1 m, e " " la lunghezza di GE, che è l’altezza del triangolo ABG trovata prima. Quindi EE misura √3 " " 1 m. Chiaramente il segmento GG ha la stessa misura di EE . Quindi possiamo − 2 ’ ( trovare la misura di EG: √3 1 2 1 m = (√3 1)m. − − 2 − ’ ’ (( A questo punto conosciamo la lunghezza della diagonale del quadrato EFGH e possiamo trovare la sua area moltiplicando la lunghezza della diagonale per se stessa e dividendo per 2. L’area cercata è allora 1 1 (√3 1)2m2 = (3+1 2√3)m2 =(2 √3)m2. 2 − 2 − − [Problema proposto da D. Lombardo.] 6 18. La risposta è (C). Osserviamoche2010 2011nonèunquadratoperfetto,eilpiu` grandequadratoperfettominore · di 2010 2011 è 20102. I numeri con le proprietà richieste sono allora i numeri della forma n2, · con n numero naturale, per cui 100 n2 20102, ≤ ≤ da cui segue, passando alle radici, che n deve essere compreso tra 10 e 2010, estremi inclusi. Quindi ci sono 2010 9 possibilità per n, ovvero 2001 numeri con le proprietà richieste dal − problema. [Problema proposto da S. Di Trani.] 19. La risposta è (C). Il quinto gatto mente certamente: se infatti affermasse la verità, allora lui sarebbe nero, in contrasto col fatto che dice il vero. Osserviamo poi che se il primo gatto è nero allora il terzo afferma il vero e quindi è viola; se invece il primo gattoè viola, allora il terzo mente e quindi è nero. Ne deduciamo che uno di loroè nero e l’altroè viola. Inoltre, le affermazioni del secondo e del quarto gatto non possono essere entrambe vere perchè in tutto i gatti sono 5. Quindi almeno uno di loro due è nero. Allora ci sono almeno tre gatti neri: il quinto, uno tra il primo e il terzo e almeno uno tra il secondo e il quarto. Quindi il quarto gatto afferma una cosa vera e di conseguenza è viola, mentre il secondo gatto è certamente nero. In conclusione ci sono tre gatti neri: il quinto, il secondo e uno tra il primo e il terzo, e due gatti viola: il quarto e uno tra il primo e il terzo. [Problema proposto da un gruppo di studenti di Parma.] 20. La risposta è (B). Supponiamo di aver scelto le prime 4 cifre della combinazione in accordo con quanto richiesto dal problema, e siano S la loro somma e q la quinta cifra della combinazione. S+q deve essere divisibile per tre; se S è divisibile per 3, allora anche q deve esserlo e quindi i possibili valori di q sono: 3, 6, 9. Se S non è divisibile per 3 e il resto della sua divisione per tre è 1, allora i possibili valori di q sono: 2, 5, 8, ovvero i numeri interi compresi tra 1 e 9 il cui resto della divizione per tre è 2. Analogamente, se S non è divisibile per 3 e il resto della sua divisione per 3 è 2, allora i possibili valori di q sono: 1, 4, e 7. Per ogni valore di S abbiamo 3 possibili scelte di q. Consideriamo ora le prime 4 cifre della combinazione. In base alla loro parità (p) o disparità (d) sono possibili sei combinazioni: ppdd, pdpd, pddp, ddpp, dpdp, dppd. In ciascuna di queste combinazioni, le due cifre pari possono assumere 4 valori ciascuna (2, 4, 6, 8) e le cifre dispari possono assumere cinque valori ciascuna (1, 3, 5, 7, 9). Abbiamo in tutto 6 42 52 = 25 3 52 possibilità per le prime 4 cifre. Come abbiamo visto sopra, per · · · · ciascuna scelta ammissibile delle prime 4 cifre ci sono 3 scelte possibili della quinta cifra. Le combinazioni possibili sono allora: 25 32 52 in tutto. · · [Problema proposto da Fioravanti] 21. La risposta è (D). Ogni 5 secondi sbadiglia un numero di studenti doppio rispetto a quanti avevano sbadigliato 5 secondi prima. In 57 secondi ci sono 11 intervalli di 5 secondi. Quindi: all’inizio sbadiglia la Bella Addormentata, dopo 5 secondi sbadigliano altri 2 =21 studenti, dopo 10 secondi sbadigliano altri 4 =22 studenti, 7 dopo 15 secondi sbadigliano altri 8 =23 studenti, . . . dopo 55 secondi sbadigliano altri 211 studenti. Osserviamo che non ci sono altri studenti che sbadigliano tra 55 e 57 secondi. Il numero di studenti complessivo è allora 20+21+22+23+24+ +211. ··· Lasomma delleprimeN potenzeconsecutive di unnumero q (diverso da1)puòessere espressa dalla formula: qN+1 1 q0+q1+q2+ +qN = − . ··· q 1 − Nel nostro caso abbiamo q = 2 e N = 11 e otteniamo 212 1 20+21+22+23+24+ +211 = − =212 1= 4096 1 =4095. ··· 2 1 − − − [Problema proposto da un gruppo di studenti di Parma.] 22. La risposta è (D). Ad ogni incantesimo il numero di palline aumenta o diminuisce di un multiplo di 3, quindi il restodelladivisioneper3delnumerodipallinenererimanesempreugualeaquelloiniziale, cioè 1. In base a questa osservazione possiamo escludere le risposte (A), (B) e (C), nelle quali il resto della divisione del numero di palline nere per 3è 0, 2 e 2 rispettivamente. Analogamente, ad ogni incantesimo il numero di palline bianche aumenta o diminuisce di un numero pari e quindi, essendo inizialmente dispari, rimane sempre dispari. Questo permette di escludere la risposta (E), in cui il numero di palline bianche è pari. Resta solo la risposta (D), che rappresenta una situazione che può verificarsi con la successione di incantesimi: (7,7) (9,4) (11,1) (7,10) (9,7) (11,4) (7,13) → → → → → → (inciascuna coppia il primo elementoèilnumero pallinebianche eil secondoèquello di palline nere). [Problema proposto da L. Ghidelli e G Paolini.] 23. La risposta è (D). Il triangolo DBE è equilatero e ha lato 1 cm. Indichiamo con F, G e H i centri dei triangoli ABD, BCE e BED rispettivamente, come indicato in figura. D E H P F G A B C 8

I Giochi di Archimede

Similar I Giochi di Archimede