An unsere Mitarbeiter! Die Korrekturkosten sind bei den "Mathematischen Annalen" sehr hoch. Sie betragen nach einer Kalkulation 6% des Gestehungspreises eines Bandrs. Für ihre Verminderung muß unbedingt Sorge getragen werden. Wir richten deshalb an alle unsere Mitarbeiter die freundliche dringende Bitte, zu diesem Ziele an ihrem Teile mit beitragen zu wollen. Dazu ist nötig: 1. Das Manuskript muß völlig druckfertig und gut leserlich sein (Schreib maschine, Formeln aber nur handschriftlich). 2. Veränderungen des Textes in der Korrektur sind auf die Fälle zu be schränken, wo sich nachträglich wirkliche In·tümer herausstellen. Sollte ein Irrtum bemerkt werden, bevor noch Korrektur eingetroffen ist, dann ist ein verbesserter Text sofort an Herrn Blumenthai zu schicken, der dafür Sorge tragen wird, daß das Manuskript noch vor dem Satz berichtigt wird. Insbesondere sind rein stilistische Verbesserungen zu unterlassen. Größere Änderungen und Zusätze, die sich nicht auf die Berichtigung von Irrtümern beschränken, bedürfen der Zustimmung des annehmenden Redakteurs und sollen, auch um der geschichtlichen Genauigkeit willen, in einer Fußnote als nachträglich gekennzeichnet und datiert werden. Als Norm soll gelten, daß der Verfasser von jeder Arbeit eine Fahnen korrel.:tur und eine Kotrektur in Bogen liest. Wir bitten unsere Verfasser, sich hiermit begnügen zu wollen. Die Redaktion der Mathematischen Annalen. Die MATHEMATISCHEN ANNALEN erscheinen zwanglos in Heften, die zu Bänden von rd. 50 Bogen vereinigt. werden. Sie sind durch jede Buchhandlung sowie durch die Verlagsbuch handlung zu beziehen. Die Mitglieder der Deutseben Mathematiker Ve r einigung haben Anspruch auf einen Vorzugsprci~. Die Verfasser erhalten von Abhandlungen bis zu 24 Seiten Umfang 100 Sonder abdrucke, von größeren Arbeiten 50 Sonderabdrucke kosten frei, weitere gegen Berechnung. Geschäftsführender Redakteur ist 0. Blumenthal, Aachen, Rütscherstraße 38. Alle Korrektursendungen sind an ihn zu rich1en. Für die Mathematischen Annalen bestimmte Manuskripte hnmen bei jedem uer unten verzeichneten Redaktionsmitglieder eingereicht werden: Professor 0. Blumenthal, Aa c he n, Rütscherstraße 38, Professor E. Hecke, Ha m h n r g 13, Rnthenbaumchanssee 21, Geheimrat D. Hilbert, Gött.ing·en, Wilhelm-Weber-Straße 29. ISBN 978-3-662-40662-5 ISBN 978-3-662-41142-1 (eBook) DOI 10.1007/978-3-662-41142-1 Zum Eliminationsproblem der Potenzreilteni<leale. Von W alther Rückert in Heidelberg. §1. Einleitung. In der Eliminationstheorie der konvergenten Potenzreihen mehrerer komplexenVeränderlichen werden die gemeinsamen Nullstellen eines Systems im Nullpunkt verschwindender Potenzreihen (1) Pi (x1, x2, •• • , x") (i = 1, 2, 3, ... , m) untersucht. Das Hauptergebnis der Theorie ist das folgende Theorem von W eierstraß 1) : Die gemeinsamen Nullstellen des Systems (1) in der Umgebung des Null punktes bilden eine endl?:che Anzahl irreduzibler analytischer Gebilde, die durch den Nullpunkt gehen. Die bisherigen Beweise2) dieses grundlegenden Ergebnisses stützen sich vorwiegend auf Hilfsmittel aus der Funktionentheorie. Die Gebilde werden aber in der folgenden algebraischen Darstellung gewonnen. = (2) f (m) m~ + a1 (;1, ;2, · · ., ;k) we-t + · ·. + aQ (;1, ;2, . · ., ;,J = 0 sei eine irreduzible algebraische Gleichung mit konvergenten, im Nullpunkt verschwindenden Potenzreihen von ~1, ~2, .•• , ~k als Koeffizienten; es sei ferner D (~1, ~2, ..• , ~1c) die Diskriminante von f (w) und (3) D (~1, ~2, ••• , ~"') rJi = gi (w) (i = 1, 2, 3, ..., s) ein System ganzer rationaler Funktionen von w wieder mit konvergenten, 1m Nullpunkt verschwindenden Potenzreiben von ~1, ~2, ••• , ~k als Koeffizienten; dann bestimmen die sich für die Umgebung des Nullpunktes im Raume der Variabeln ~u ~2, ••• , ~k aus (2) und (3) ergebenden Werte3) 1) K. Weierstraß, Math. Werke, Bd. III, S. 79. 2) H. Poincare, Acta Mathematica 26, S. 55-56; ferner These (1879}, S. 6-14; 0. Blumenthal, Zum Eliminationsproblem bei analytischen Funktionen mehrerer Ver änderlicher, Math. Annalen 57 (1903}, S. 356-368; W. F. Osgood, Lehrbuch der Funktionentheorie, Bd. II, 1. Lieferung, l. Aufl., Leipzig-Berlin, Teubner, 1924 (zitiert Osgood), S. 103ff. 3) Dazu kommen noch die Grenzstellen. 260 W. Rückert. der ~1, ~2, ••• , $k, 171, 172, ••• , rJs ein irreduzibles analytisches Gebilde4) von der Dimension k im Raume von n = k + s Veränderlichen. In dieser Arbeit wird gezeigt, daß eine sachgemäße Behandlung des Eliminationsproblems bis zu der algebraischen Darstellung (2) und (3) der Gebilde nur formale Methoden, also keine funktionentheoretischen Hilfs mittel benötigt. Als solche Methoden erweisen sich die allgemeine Ideal theorie und die allgemeine Körpertheorie. Zunächst geben wir der Eliminationsaufgabe eine zweckentsprechende Formulierung. Es ist klar, daß mit den Potenzreihen des Systems (1) auch jede Reihe von der Form "' (4) P (Xt, x2, ••• , X11) = I: Q; (x1, x2, .•. , Xn) • P; (xv x2, .•• , Xn) i=l mit irgendwelchen Q; (x1, x2, ••• , xn) aus dem Bereiche aller konvergenten Potenzreihen in n Veränderlichen innerhalb einer bestimmten Umgebung des Nullpunktes in den gemeinsamen Nullstellen von (1) verschwindet. Die Gesamtheit (4) ist aber gerade ein Ideal in diesem Bereich. Man wird daher ein Ideal zugrunde legen und nach den gemeinsamen Nullstellen eines Ideals im Bereich der konvergenten Potenzreihen in n Veränderlichen fragen. Der Aufbau der Arbeit ist dann der folgende: In § 2 entwickeln wir die Arithmetik im Bereich der konvergenten Potenz reihen in n Veränderlichen; wir bezeichnen diesen Bereich mit .;Jn. Der § 3 handelt von der Idealtheorie in .;Jn. Es wird der Basissatz für Ideale bewiesen, wodurch der Zer]egungssatz der allgemeinen Idealtheorie auf die Ideale von .;J anwendbar wird. Jedes Ideal ist aufspaltbar in endlich viele Primärideale 11 mit zugehörigen eindeutig bestimmten Primidealen. Das Eliminationsproblem allgemeiner Ideale ist hiermit auf das Eliminationsproblem von Primidealen zurückgeführt. In § 4 führen wir die formale Elimination eines Primideals :p aus durch Restklassenbildung in .;Jn nach :p und gewinnen so das zu :p gehörige Gebilde in algebraischer Darstellung. Damit ist das aufgestellte Ziel erreicht. Es bleibt in § 5 noch zu zeigen, daß in der Tat die durch die algebraische Darstellung gelieferte Punktmannigfaltigkeit einschließlich der Grenzstellen genau alle gemeinsamen Nullstellen des zugehörigen Primideals ausmacht und ferner ein irreduzibles analytisches Gebilde ist. Als Anwendung folgt in § 6 das Theorem von W eierstraß. Dieser Aufbau lehnt sich an eine Arbeit5) von B. L. van der Waerden an, die von dem Nullstellenproblem bei Polynomidealen handelt. Für wertvolle Ratschläge bin ich den Herren A. Loewy in Freiburg i. Br. und W. Krull in Erlangen zu Dank verpflichtet. 4) Osgood, S. 103. 6) B. L. van der Waerden, Zur Nullstellentheorie der Polynomideale, Math. Annalen 96 (1927), S. 183-208. Eliminationsproblem der Potenzreihenideale. 261 § 2. Zur Arithmetik der Potenzreihen mehrerer Veränderlichen. 1. Potenzreihenring 6). Wir legen den Bereich der konvergenten Potenz reihen in n Variablen x1, x2, ••• , Xn zugrunde und bezeichnen diesen mit ~ ... Dieser Bereich ist ein Integritätsbereich mit Einselement. Jedes Element von ~ .. können wir in der Gestalt schreiben: = + + + · · · + P Po P1 P2 p; + · · ., wo p; (i = 0, 1, 2, ... ) eine homogene Form von x1, x2, ••• , Xn von der Dimension i ist. Hat man Po= p1 = p2 = ... = Pr-1 = 0, Pr =j= 0, so heißt r der Grad der Reihe. - Ein Element E aus ~n heißt Einheit, wenn ein F in ~n existiert, so daß E · F = 1 ist. Man schreibt dann F = E-1• Da ~n keine Nullteiler hat, ist das zu einer Einheit E zugehörige Element E-1 eindeutig bestimmt. Zu den Einheiten in ~n gehört auch das Einselement 1. Eine triviale Ausrechnung ergibt, daß alle und nur die Potenzreihen vom Grade 0 Einheiten sind. -Eine von den Einheiten verschiedene Reihe aus ~" heißt regulär in bezug auf x1, wenn sie ein Glied von der Form cxj (c =j= 0) enthält.-Ist P vom Grader> 0, sonst beliebig in~ ... so gibt es wenigstens eine nicht singuläre lineare Transformation (n. s.l. T.) der Variabeln: (k = 1, 2, ..., n) mit bk,; aus dem Koeffizientenkörper von ~"' so daß dadurch P in eine Reihe P' vom selben Grade übergeht, die in bezug auf x~ regulär ist 7). 2. Die Weierstraßsche Formel. Die Gesamtheit derjenigen Elemente von~"' die nur die Variablen x1, x2, ••• , X; enthalten, bezeichnen wir mit ~1 (j = 1, 2, ..., n-1). In ~n gilt nun der wichtige Satz: Q sei regulär in bezug auf Xn und m sei die kleinste Zahl, für die es in Q X:' einen Term von der Form c (c =j= 0) gibt. Dann existiert zu jedem P ein eindeutig bestimmtes F, so daß in (1) P* = P-QF Xn nur bis zum Grade m -l ansteigt, P* also die Form hat: P* = xm-1A1 + xm-2A2 + ... +Am, " n wo die A; aus ~n-1 sind. 6) Bezüglich der Grundbegriffe aus der Theorie der Ringe, Ideale und Körper verweisen wir auf B. L. van der Waerden, Moderne Algebra (zitiert W), Springer, Berlin, Bd. I (1930) u. Bd. II (1931). 7) Osgood, S. 73. Mathematische Annalen. 107. 18 262 vY. Rückert. Der Beweis 8) findet sich in einer Arbeit von H. Späth ( J ourn. f. reine u. angew. Math. 161 (1929), S. 95-100). Der Satz ist eine Verallgemeinerung des Weierstraßschen Vorbereitungssatzes (§ 2, 3). Zur Unterscheidung von letzterem nennen wir die Beziehung (1) die Weierstraßsche Formel. 3. Der W eierstraßsche Vorbereitungssatz 9). In ~n sei Q regulär in bezug auf Xn und m sei die kleinste Zahl, für die es in Q einen Term von der Form cx: (c =j= 0) gibt. Dann existiert zu Q eine eindeutig bestimmte Einheit F, so daß gilt: QF = x;:' + B1x,'{'-1 +... Bm, wo die Bi Elemente aus ~n-l sind und ferner keines der Bi eine Einheit ist. Beweis. Wir wenden die Weierstraßsche Formel speziell auf P = x,7' an; das ergibt: xmn = Q · F + A1 xnm -1 + ... + A,", QF = X1'{' + B1 X;:'-1 + ... + Bm, wo -Ai= Bi gesetzt ist. Bi (i = 1, 2, ... , rn) kann nicht Einheit sein; denn sonst käme rechts ein Term c0x~ mit l < m vor; dann müßte auch Q einen Term c1 x~ mit r < m enthalten. Daß F Einheit sein muß, ist klar. 4. Ausgezeichnete Polynome10). In § 2, 3 hat sich ergeben, daß zu jedem in bezug auf Xn regulären Element Q aus ~" eine Einheit F existiert, so daß das Produkt Q · F dem Polynombereich ~" _ 1 [ xn] angehört. Das Polynom + QF = xmn B 1 xnm -1 -+1 - ••• .L, B m hat noch die besondere Eigenschaft, daß der höchste Koeffizient 1 und von den übrigen Koeffizienten keiner eine Einheit ist. Wegen der -Wichtigkeit solcher Elemente für das Folgende definieren wir allgemein: Ein Polynom aus dem Polynombereich ~1 [z] (j = 1, 2, ... , n --1) heißt ausgezeichnet über ~1, wenn es den höchsten K oejjiz1.enten 1 hat und sonst kein Koeffizient eine Einheit ist. 5. Teilbarkeit in ~n. P und Q seien Elemente von den Graden r 1 > 0, r2 > 0. Gibt es in ~nein Element R vom Grader> 0, so daß P = Q · R ist, so heißt P durch Q teilbar; dazu ist notwendig 0 < r 2 < r 1. - Ein Element P aus ~" heißt reduzibel, wenn es in ~n eine Zerlegung P = Q · R gestattet, wo weder R noch Q Einheit ist, andernfalls irreduzibel. - Zwei Elemente, die sich nur durch einen Einheitsfaktor unterscheiden, heißen äquivalent. 8) Vgl. ferner hierzu wie zu § 2, 3: \Y. Wirtinger, Journ. f. reine u. angew. JVIath. 158 (1927), S. 260-267; Osgood, S. 71. Dort finden sieh auch weitere Literatur hinweise. 9) Siehe Fußnote 8). 10) Osgood, S. 79ff. Eliminationsproblem der Potenzreihenideale. 263 Speziell für solche Elemente aus ~ .. , die ausgezeichnete Polynome aus ~;-1 [x1] (j = 2, 3, ..., n) sind, gelten die folgenden bemerkenswerten Sätze, die wir ohne Beweis11) bringen: a) Zerfällt ein ausgezeichnetes Polynom aus ~;-1 [x;] über ~1_1, so sind die Faktoren bis auf Einheitsfaktoren aus ~;-1 ebenfalls ausgezeichnete Polynome über ~1_1. b) Ist ein ausgezeichnetes Polynom f (x1) aus ~1_1 [x1] durch ein aus gezeichnetes Polynom g (x;) in ~ .. (im vorhin definierten Sinne) teilbar, so ist der Quotient ebenfalls ausgezeichnetes Polynom aus ~,_1 [x,]. c) Zerfällt ein ausgezeichnetes Polynom f (x1) aus ~;-1 [x1] in ~ .. : I (x;) = P · Q, so sind zwar P und Q nicht notwendig ausgezeichnete Polynome aus ~1_1 [x,], aber P und Q sind ausgezeichneten Polynomen p (x1) bzw. q (x;) äquivalent, so daß sogar gilt : I (x1) = p (x;) · q (x1). Das Zerfallen eines ausgezeichneten Polynoms f (x;) aus ~1_1 [x1] in ~ .. hat also immer ein Zerfallen in ~;-1 [x1] zur Folge. Da umgekehrt jedes Zerfallen von f (x;) in ~1_1 [x1] auch ein solches in ~ .. ist, so hat man: d) Für ausgezeichnete Polynome aus ~;-1 [x;] decken sich die Begriffe irreduzibel über ~1_1 und irreduzibel in ~ ... In ~ .. gilt der Fundamentalsatz: Ist P vom Grade r > 0, sonst beliebig aus ~n, so läßt sich P auf eine, und sofern man zwischen äquivalenten Elementen nicht unterscheidet, auch nur auf eine Weise in ein Produkt irreduzibler Faktoren zerlegen. Beweis. Wir benutzen vollständige Induktion. In ~1 ist der Satz trivial; denn jedes Element aus ~1 vom Grade m > 0 hat die triviale eindeutige Zerlegung x:_" E (Xt), wo E Einheit ist. Sei der Satz nun bewiesen für Elemente aus ~io-1 (j0 < n). Wir zeigen, daß er dann auch noch in ~io gilt. Dazu bemerken wir zunächst: Ist P aus ~io und in bezug auf Xj nicht regulär, 0 so können wir (§ 2, 1) P in ein Element P' transformieren, das in bezugauf xj regulär ist. Da nun Teilbarkeitseigenschaften invariant sind gegenüber 0 einer n. s.l. T., so können wir uns auf solche Elemente von ~io beschränken, die in bezugauf Xj regulär sind, im wesentlichen also(§ 2, 3) auf ausgezeichnete 0 Polynome aus ~io _1 [ Xj0]. Für solche Polynome existiert aber eine eindeutige Zerlegung in Primelemente über ~io _ 1 nach einem bekannten Satz der Algebra12). Ist also q (Xj0) ein ausgezeichnetes Polynom aus ~io-1 [xio], so hat es in ~io-1 [~ioJ die eindeutige Zerlegung in irreduzible Faktoren: (2) q (Xj0) = q1 · q2 · · · • · q,. 11) Beweise siehe Osgood, S. 83, 85 u. 86. 12) W, Bd. I, S. 73. 18* 264 W. Rückert. Existieren nun für q (Xj zwei verschiedene Zerlegungen in irreduzible 0) Faktoren in ~.io: q (Xj = Q1 · Q2 · · · · · Qr> 0) q (Xj0) = P1 · P2 · · · · · Pz, so müssen nach c) und d) die Qi bzw. Pi gewissen irreduziblen ausgezeichneten Polynomen aus ~Jo-1 [Xj0] äquivalent sein, deren Produkt gerade q (xj0) ist. Diese ausgezeichneten Polynome müssen aber wegen der Eindeutigkeit von (2) die qi sein. Die Qi sind also in geeigneter Reihenfolge den P. äquivalent. Damit ist der Fundamentalsatz bewiesen. § 3. Ideale im Potenzreihenring. 1. Transformierte Ideale. Zugrunde gelegt sei der Bereich der kon vergenten Potenzreihen ~n. a sei ein Ideal in ~n. Üben wir auf die Variablen x1, x2, ••• , Xn eine n. s.l. T. + + ... + xf. = ak, 1 x1 ak, 2 x2 ak, n Xn (k = 1, 2, 3, ... , n) aus, so geht jede konvergente Reihe P ( x1, x2, ••• , xn) in eine konvergente Reihe P' (x;, x;, ..., x~) über (§ 2, 1). Aus ~n erhalten wir wieder den Be reich aller konvergenten Potenzreihen in n Variablen x;, x~, .. ., x,;. Aus dem Ideal a wird ein Ideal a' in diesem Bereich. Wir wollen sagen, daß das Ideal a durch eine n. s. l. T. in ein Ideal a' transformiert wird. Die Striche an den Variablen von a' werden wir aber weglassen und a' als Ideal in ~n auffassen. 2. Basissatz. Es besteht in ~n der grundlegende Satz: Im Ring der konvergenten Potenzreihen in n Veränderlichen hat jedes I dea.l eine endliche Basis. Beweis. Wir benutzen vollständige Induktion. Für Ideale aus ~1 ist der Satz trivial; denn ein Ideal a =1= (1) in ~1 wird erzeugt durch ein Element x[, wo v eine positive ganze Zahl ist. Sei jetzt bewiesen, daß der Satz in ~.io-1 (j0 < n) gilt; wir zeigen, daß er auch in ~io noch gilt. a sei Ideal in ~io. Wir können gemäß § 2, 1 a so in a' transformieren, daß ein Element Q von a' in bezug auf xn regulär ist. Hat a' eine endliche Basis, so hat auch a eine endliche Basis. Für ein beliebiges P aus a' hat man nun nach der Weierstraßschen Formel: P =QF+P*, (1) P* = x!"-1A1 + x!"-2A2 + ... +Am, 7o Jo wo die At aus ~io-1 sind. Denken wir uns die Zerlegung (1) für alle Elemente aus a' ausgeführt, so bildet die Gesamtheit 9J1 der P* in ~.io einen Modul in bezugauf ~.io-1• Bezeichnen nämlich P1 und P2 irgend zwei Elemente von Eliminationsproblem der Potenzreihenideale. 265 a' und sind Pt und Pt die nach (1) zugehörigen Reste, so gehört Pt- Pt eindeutig zu P 1 - P 2 als Rest, ist also in 9R enthalten. Ferner ist mit jedem P* auch BP* in 9R, woB irgendein Element aus ~j0 __ 1 bezeichnet; denn aus P = Q · F + P* folgt B · P = Q · (B · F) + B · P*. 9R ist Untermodul des endlichen Moduls (1, xio• x]0, •• • , x~-1) aus ~io in bezugauf ~j0-1• Da in ~jo _ 1 jedes Ideal nach Voraussetzung eine endliche Basis hat, so ist 9R nach dem Hilbert-Noetherschen Modulsatz13) endlich. Es gilt also: 9R = (Pt, Pt, ..., Pt). Jedes Element P von a' hat dann gemäß (1) die Darstellung: + + P = Q · F 01 · Pt+ 02 · Pt+ ... CzPf, wo die C; aus ~j" _ 1 sind. Da umgekehrt Q und die Basiselemente von 9R zu a' gehören, so hat a' die Basisdarstellung: a' = (Q, Pt, Pt, ... , PT). Damit ist der Satz bewiesen. 3. Auf Grund von 2. gilt in ~n der Fundamentalsatz14): Jedes Ideal a von ~" hat eine Darstellung als Durchschnitt von endlich vielen Primäridealen: a = [q1, q2, ... , Qs]. Die Darstellung kann speziell so gewählt werden, daß keines der q; überflüssig und ferner [q;qk] nicht mehr primär ist. Dann sindsunddie zu den q1, q2, ..., qs gehön:gen Primideale :p1, :p2, ••• , :Ps eindeutig bestimmt. Die Untersuchung der gemeinsamen Nullstellen eines beliebigen Ideals wird hierdurch zunächst zurückgeführt auf die Untersuchung von Primär idealen. Ist nun q Primärideal, :p das zugehörige Primideal, so gilt auf Grund von 2. ferner15): = q 0 (mod :p) und :p11 _ 0 (mod q), wo 6 eine positive ganze Zahl ist. Es ist also jedes Element von q in seinem zugehörigen :p enthalten, ferner aber eine Potenz jedes Elements von :p in q enthalten. Daraus folgt, wie wir später (§ 6, 2) genauer ausführen, daß die Nullstellen eines Primärideals, abgesehen von der Vielfachheit, diejenigen des zugehörigen Primideals sind, womit das Eliminationsproblem eines allgemeinen Ideals auf dasjenige der nach dem Satz eindeutig bestimmten zugehörigen Primideale zurückgeführt ist. Im folgenden Paragraphen wenden wir uns nun den Primidealen zu. 13} W, Bd. II, S. 87. Vgl. auch E. Noether, Abstrakter Aufbau der Idealtheorie in algebraischen Zahl- und Funktionenkörpern, Math. Annalen 96 (1927), S. 34 u. 35. 14) W, Bd. II, § 83 u. 84. Vgl. auch E. Noether, Idealtheorie in Ringbereichen, Math. Annalen 83 (1921}, S. 24-66. 15) W, Bd. II, S. 34.