ELECTRODINA´MICA J=σE ∇·E=4πρ P=χ E ∇·B=0 e M=χ H ∇×E=−1∂B Tarea 21 m c ∂t D=E+4πP=εE ∇×H= 4πJ+1∂D c c ∂t B=H+4πM=µH UniversidaddelChile,FacultaddeCiencias, DepartamentodeF´ısica,Santiago,Chile Profesor: ALEJANDRO VALDIVIA Ayudantes: MAX RAM´IREZ, CRISTIAN FAR´IAS Alumno: FELIPE GONZA´LEZ Entrega: Viernes17deAbril U´ltimamodificacio´n: May4,2009 ∇ ´Indice de Problemas ∇ (cid:13)1 L´ıneadecargacercadeunplano 3 1a) Potencialenz >0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1b) Densidaddecargainducida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 (cid:13)2 L´ıneacargadayuncilindroconductor 5 2a) Posicio´ndelal´ıneaimagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 2b) Potencialentodoelespacio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 2c) Cargainducida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 2d) Fuerzasobrelal´ınea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 (cid:13)3 Funcio´ndeGreenparauncilindroinfinito 9 (cid:13)4 Seccio´nangularentredosplanosconductoras 11 4a) Casoα=π/n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 4b) Solucio´nparaαcualquiera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 4c) Campoel´ectrico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 4d) Pararrayo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 (cid:13)5 Semi-cilindroinfinito 15 5a) Potencialinterior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 5b) Potencialinterior,casoα= π . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 2 5c) Funcio´ndeGreen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 5d) Comprobacio´nfuncio´ndeGreen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 5.d.1 Caso0<a<b . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 5.d.2 Casoa=0,α=π/2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (cid:13)6 Potencialentredosesferasconce´ntricas 21 6a) Determinacio´ndelpotencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 6b) Verificacio´ndel´ımites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 6c) Funcio´ndeGreendelproblema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 6d) Anilloconc´entrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (cid:13)7 PlanoInfinitoySemiesfera 26 7a) PotencialenTodoelEspacio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 7b) Expansio´ndelaEcuacio´ndeLaplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 7c) Funcio´ndeGreen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 7d) Funcio´ndeGreenUsandoIma´genes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 1Enestatarealosvectoressedenotara´nconnegrita(i.e.E=E(cid:126)),ysusmo´dulosporletranormal(i.e.(cid:107)E(cid:107)=E). (cid:13)8 Discocapacitor 31 8a) Potencialparar >R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 8b) Equipotencialesyl´ıneasdecampo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 8c) Potencialparar <R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 8d) Capacitancia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (cid:13)9 L´ıneacargadadentrodeunaesfera 34 9a) Potencialinterior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 9b) Densidaddecargasuperficial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 9c) L´ımited(cid:28)b. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (cid:13)10 Anillodentrodeuncilindro 36 A Ecuacio´ndeLaplaceencoordenadascartesianasplanas 39 B Ecuacio´ndeLaplaceencoordenadascartesianas3D 40 C Ecuacio´ndeLaplaceencoordenadaspolaresplanas 42 D Ecuacio´ndeLaplaceencoordenadasesfe´ricas 43 E Ecuacio´ndeLaplaceencoordenadascil´ındricas 46 L«inea de carga cerca de un plano (cid:13) 1 Una l´ınea de carga uniforme λ es colocada a lo largo de un alambre recto infinito. E´sta se encuentra a unadistanciaddeunplanoconductorinfinitoconectadoatierra. 1a) Encuentreelpotencialenlaregio´nqueseencuentraporarribadelplano. Usando el m´etodo de las cargas ima´genes, reemplazamos el plano conductor por una l´ınea imagen cargada, situada a cierta distancia z > 0 por debajo del plano z = 0. Dado que el potencial producido por una l´ınea 0 infinitadecargasituadaenelejexes (cid:18)c2(cid:19) Φ(ρ,ϕ,z)=λln , ρ2 donde c es una constante, el potencial producido por esta l´ınea de carga situada en z = d y su imagen, de densidaddecarga−λ,situadaenz =z ,sera´ 0 (cid:18) c2 (cid:19) (cid:18) c2 (cid:19) Φ(x,y,z)=Φ +Φ =λln −λln . λ i x2+(z−d)2 x2+(z+z )2 0 Esclaroquelaimagendebeestarsituadaenz =−d=−z ,peroimponiendoΦ(x,y,z =0)=0(elpotenciales 0 ceroenlasuperficiedelconductorz =0)podemosobtenerlodeigualforma. Estonospermiteescribir (cid:18)x2+(z+d)2(cid:19) Φ(x,y,z)=λln . x2+(z−d)2 z d y Fig.1: Equipotenciales(---)yl´ıneasdecampo(—)producidasalsituarunal´ıneainfinitadecargacercadeun planoconductor[problema1]. 1b) Encuentreladensidaddecargainducidaσ enelplanoconductor. DelteoremadeGausssepuedededucirque,paraunapillboxenlasuperficiedelconductor,setiene E ·nˆ +E ·nˆ =4πσ, 2 2 1 1 dondeE yE sonloscamposenz <0yz >0,respectivamente;mientrasquenˆ ynˆ sonlosvectoresnormales 1 2 1 2 alasuperficiedelapillbox,enestecaso,dirigidosenelejeZ: nˆ =−ˆz,nˆ =ˆz. Comobajoelplanotenemosun 1 2 conductor,E =0. Luego 1 3 4 PROBLEMA1 1b) Densidaddecargainducida E ·ˆz=−∇Φ·ˆz=4πσ, 2 esdecir, (cid:12) (cid:18) (cid:19) 1 ∂Φ(cid:12) λ 4d λ d σ =− (cid:12) =− =− . 4π ∂z(cid:12) 4π d2+x2 πd2+x2 z=0 Σ(cid:144)Λ 1.5 x d(cid:61)1 d(cid:61)0.2 (cid:45)1.5 Fig.2: Densidaddecargasuperficialenelconductor[problema1]. Notamosqueladensidaddecargaesnegativa,yaqueladensidaddecargapositivaλatraealascargasnegativas alasuperficie. 4 L«inea cargada y un cilindro conductor (cid:13) 2 Unal´ıneadedensidaddecargaλespuestaenformaparalela,aunadistanciaR,deuncilindroconductor deradioayvoltajefijo. 2a) Encuentrelamagnitudyposicio´ndelal´ıneadecargadeimagen. Reemplazamos el cilindro conductor, que ubicamos originalmente a lo largo del eje Z (saliendo de la pa´gina), por una l´ınea imagen situada dentro del cilindro (fuera del a´rea de inter´es). Como el potencial producido por unal´ıneadecargadedensidaddecargaλ,situadaenelejeZ (saliendodelapa´gina)es (cid:18)c2(cid:19) Φ(ρ,ϕ,z)=λln , ρ2 conρ2 =x2+y2,elpotencialproducidoporlal´ıneadecargadelproblemasera´ (cid:18) c2 (cid:19) Φ(x,y,z)=λln , (x−R)2+y2 yaquelahemosdesplazadounadistanciaRenelejeX. Enestaexpresio´n,cesunaconstantequedeterminare- mosapartirdelascondicionesdeborde. Ana´logamente,laimagen,dedensidadλ producira´unpotencial 0 (cid:18) d2 (cid:19) Φ(x,y,z)=λ ln , 0 (x−R )2+y2 0 dondeR puedesermayoromenorquecero(lal´ıneaimagenpuedeestaraladerechaoalaizquierdadelcentro 0 del cilindro) y d es otra constante. Intuitivamente, debido a la naturaleza del problema, nos damos cuenta que la densidad de carga de la l´ınea imagen debe ser opuesta a la densidad de carga de la l´ınea situada fuera del cilindro,esdecir,λ =−λ. Deestemodo,elpotencialtotalestara´dadopor 0 (cid:18) c2 (cid:19) (cid:18) d2 (cid:19) (cid:18) (x−R )2+y2(cid:19) Φ(x,y,z)=λln +λ ln =λln k2 0 , (x−R)2+y2 0 (x−R )2+y2 (x−R)2+y2 0 dondek = c. Comoestepotencialsedebeanularenlasuperficiedelconductor,tenemos d (cid:18) (a−R )2(cid:19) Φ(x=a,y =0,z)=λln k2 0 =V (a−R)2 y (cid:18) (−a−R )2(cid:19) Φ(x=−a,y =0,z)=λln k2 0 =V. (−a−R)2 dondeV eselvoltajefijoalcualseencuentralasuperficiedelconductor. Deestasdosecuacionesobtenemos (a−R )2 (−a−R )2 0 = 0 , (a−R)2 (−a−R)2 Las soluciones que resultan para R son dos: la primera es R = R, la cual no puede ser solucio´n a nuestro 0 0 problema, ya que no podemos situar la l´ınea imagen sobre la l´ınea de carga original. Esto so´lo nos deja como opcio´ntomarlasegundasolucio´n, a2 R = . (2.1) 0 R 5 6 PROBLEMA2 2b) Potencialentodoelespacio 2b) Encuentreelpotencialencualquierpuntodelespacio,utlizandocoordenadaspolaresconorigenen elcilindro. GrafiquelasequipotencialesparaR/a = 2,5. Comodijimosenlaseccio´nanterior, (cid:18) c2 (cid:19) (cid:18) d2 (cid:19) (cid:18) (x−R )2+y2(cid:19) Φ(x,y,z)=λln +λ ln =λln k2 0 , (x−R)2+y2 0 (x−R )2+y2 (x−R)2+y2 0 en donde (ahora lo sabemos) R = a2 < a. Ahora imponemos que el potencial sea V en el borde, con lo cual 0 R podemosobtenerelvalordelaconstantek: Φ(x,y =(cid:112)a2−x2,z)=λln(cid:18)k2(x−R0)2+(a2−x2)(cid:19)=V, (x−R)2+(a2−x2) loquenosdiceque R k =e2Vλ , a conlocualelpotencialquedaun´ıvocamentedeterminadopor (cid:18) R2(x−R )2+y2(cid:19) Φ(x,y,z)=λln eVλ 0 , a2 (x−R)2+y2 elcualpodemosexpresar,separandolaexponencialdelargumentodellogaritmoyreemplazandoelyaconocido valordeR ,como 0 (cid:32)R2(x− a2)2+y2(cid:33) Φ(x,y,z)=V +λln R . (2.2) a2 (x−R)2+y2 SisedeseaexpresarΦencoordenadaspolares,bastareemplarx=ρcosθey =ρsinθenlaexpresio´ndearriba. y x a R Fig. 3: Equipotenciales (- - -) y l´ıneas de campo (—) producidas al situar una l´ınea de carga infinita a una distanciaR=2.5adeuncilindroconductorinfinitoderadioa[problema2b]. 6 2c) Cargainducida PROBLEMA2 7 2c) Encuentrelacargainducidaenlasuperficiedelcilindro,ygraf´ıquelaparaR/a = 2,5. Si denotamos por E al campo dentro del cilindro y por E al campo fuera, y consideramos una pillbox de 1 2 normalesnˆ ynˆ ,dirigidashaciadentroyhaciafueradelcilindrorespectivamente,tendremos 1 2 E ·nˆ +E ·nˆ =4πσ. 1 1 2 2 Comonˆ =−ˆr,nˆ =ˆryE =0,tenemosque 1 2 1 (cid:12) (cid:12) 1 (cid:12) 1 ∂Φ(cid:12) σ =− ∇Φ·ˆr(cid:12) =− (cid:12) . 4π (cid:12) 4π ∂r(cid:12) ρ=a ρ=a Para evaluar esta derivada, hacemos el reemplazo indicado en el item anterior (x = ρcosθ e y = ρsinθ) en la expresio´nparaelpotencial,demodoque (cid:32)R2(ρcosθ− a2)2+ρ2sin2θ(cid:33) Φ(ρ,θ,z)=V +λln R a2 (ρcosθ−R)2+ρ2sin2θ demodoque 1 (cid:20) 2λ(a2−R2)(−a2−R2+2aRcosθ) (cid:21) λ (a2−R2) σ =− = . 4π (a2+R2−2aRcosθ)(a3+aR2−2a2Rcosθ) 2aπ(a2+R2−2aRcosθ) Σ Θ (cid:45)Π Π Fig.4: Densidaddecargainducidaenlasuperficiedelcilindroconductorderadioa=R/2.5[problema2c]. 2d) Encuentrelafuerzasobrelal´ıneadecarga. Lafuerzaquesientelal´ıneadecargaeslafuerzaproducidaporelcilindroconductor,o, equivalentemente,por lal´ıneaimagen. Comoelpotencialgeneradoporlacargaimagenes (cid:18) d2 (cid:19) Φ =−λln , i (x−R )2+y2 0 elcampoquegenerara´sera´ 2(x−R )λ 2yλ E(x,y,z)=−∇Φ =− 0 xˆ− yˆ, i (x−R )2+y2 (x−R )2+y2 0 0 loquesignificaquelafuerzaqueejercera´sobreunacargaq situadaen(R,0,z)sera´ 2λ F=qE(R,0,z)=−q xˆ. R−R 0 7 8 PROBLEMA2 2d) Fuerzasobrelal´ınea DividiendoporunlargoL=q/λ,obtenemosquelafuerzaporunidaddelargof =F/Lsera´ 2λ2 f =− xˆ . (2.3) R− a2 R 8 Funci«on de Green para un cilindro infinito (cid:13) 3 Useelme´tododeima´genesparaencontrarlafuncio´ndeGreen-Dirichletparaelproblemaexteriordeun cilindro infinito de radio a, donde ∂ Φ = 0 . Puede que la funcio´n de Green no sea cero en el infinito. z Esto ocurre en el espacio vac´ıo, donde G(x,x(cid:48)) = −2ln(cid:107)x−x(cid:48)(cid:107). ¿Que´ se necesita hacer para el prob- lemainterior? Como vimos en el ejercicio (cid:13)2, al reemplazar el cilindro infinito, situado a lo largo del eje Z, por una l´ınea imagen, se deduce que la posicio´n en la cual ´esta se debe ubicar es a una distancia a2/R del eje Z cuando la l´ıneadecargaessituadaaunadistanciaRdelcentrodelcilindro. Adema´s,elpotencialgeneradoporunal´ınea cargadasituadaaunadistanciax(cid:48) delorigenes (cid:18) k2 (cid:19) Φ (x)=λ ln , i i (cid:107)x−x(cid:48)(cid:107)2 dondek esunaconstante. Elpotencialgeneradoporlal´ıneadecarga,ubicadaenx(cid:48),ma´selpotencialgenerado porlal´ıneaimagen,ubicadaenx ≡ a2x(cid:48),eslasolucio´nalpotencialexterior,esdecir 0 x(cid:48)2 (cid:18) a (cid:19) (cid:18) b (cid:19) (cid:18) x2+x2−2xx cos(θ−θ(cid:48))(cid:19) Φ (x,x(cid:48))=λln −λln =λln k· 0 0 . OUT (cid:107)x−x(cid:48)(cid:107)2 (cid:107)x−x (cid:107)2 x2+x(cid:48)2−2xx(cid:48)cos(θ−θ(cid:48)) 0 conk = a. DadoqueΦsatisface∇2Φ=0ylafuncio´ndeGreensatisface∇2G(x,x(cid:48))=−4πδ(x−x(cid:48)),elpotencial b esigualalafuncio´ndeGreen,salvocondicionesdeborde. Estosignificaque,comolafuncio´ndeGreenseanula enelbordedelcilindro(condicio´ndeDirichlet),sedebetener (cid:20) (cid:18)a2+(a2/x(cid:48))2−2a(a2/x(cid:48))cos(θ−θ(cid:48))(cid:19)(cid:21) G (aˆr,x(cid:48))=λln k· =0. OUT a2+x(cid:48)2−2ax(cid:48)cos(θ−θ(cid:48)) La solucio´n a esta ecuacio´n es k = x(cid:48)2. Pero adema´s G debe satisfacer ∇2G(x,x(cid:48)) = −4πδ(x−x(cid:48)). Evaluando a2 el laplaciano de G en MATHEMATICA para x(cid:48) (cid:54)= x, obtenemos ∇2G = 0. Luego, como G diverge cuando x = x(cid:48), podemosafirmarquelafuncio´ndeGreenenesteproblemasera´ (cid:34)x(cid:48)2 (cid:18)x2+x2−2xx cos(θ−θ(cid:48))(cid:19)(cid:35) G (x,x(cid:48))=ln 0 0 . (3.1) OUT a2 x2+x(cid:48)2−2xx(cid:48)cos(θ−θ(cid:48)) Si entendemos el problema interior como una l´ınea cargada puesta en el interior del cilindro, entonces la situ- amos en x , es decir, donde antes estaba la l´ınea imagen. Por la simetr´ıa, ahora la imagen estara´ donde antes 0 estaba la l´ınea real, es decir, en x(cid:48). Por lo tanto, la solucio´n al problema es de la misma forma que el problema anterior;bastaintercambiarx(cid:48) conx ,conlocualk ahoravalea2/x(cid:48)2 yas´ı 0 (cid:34) (cid:32) (cid:33)(cid:35) a2 x2+x(cid:48)2−2xx(cid:48)cos(θ−θ(cid:48)) G (x,x(cid:48))=ln . (3.2) IN x(cid:48)2 x2+x2−2xx cos(θ−θ(cid:48)) 0 0 9 10 PROBLEMA3 (cid:121) (cid:120) (cid:97) Fig.5: Equipotenciales(---)yl´ıneasdecampodentrodelcilindro[problema3]. Porlotanto,pararesolverelproblemainterior,bastamultiplicarpor(−1): G =−G . IN OUT 10