Wstƒp do analizy falkowej Notatki z wyk“adu Maciej Paluszy«ski 4 wrze–nia 2008 Spis tre–ci 1 Wstƒp 3 2 Funkcje o warto–ciach zespolonych 4 3 Przestrze« Hilberta 8 4 Przekszta“cenie Fouriera 41 5 Dodatek: kilka transformat 76 6 Analiza Wielorozdzielcza 77 7 Algorytmy Numeryczne 122 8 Materia“y na laboratorium 139 2 Rozdzia“ 1 Wstƒp 3 Rozdzia“ 2 Funkcje o warto–ciach zespolonych i ca“kowanie Zak“adamy, »e czytelnik zna liczby zespolone, wie, co to s¡ funkcje o war- to–ciach zespolonych, i potra(cid:28) je ca“kowa¢. Kr(cid:243)tko tylko przypomnimy naj- wa»niejsze zwi¡zane z tym fakty. Powiemy te» parƒ s“(cid:243)w o ca“ce Lebesgue’a. Funkcja o warto–ciach zespolonych to, po prostu, funkcja przyjmuj¡ca warto–ci w ciele liczb zespolonych. f : E → C. E Na naszym wyk“adzie dziedzin¡ bƒdzie jaki– podzbi(cid:243)r zbioru liczb rze- R R2 czywistych lub p“aszczyzny . Rozdzielaj¡c czƒ–¢ rzeczywist¡ i urojon¡ f warto–ci funkcji mo»emy j¡ zapisa¢ w postaci f = f +if , 1 2 f f f gdzie 1 i 2 s¡ funkcjami o warto–ciach rzeczywistych. 1 nazywamy czƒ–ci¡ f f f rzeczywist¡ a 2 czƒ–ci¡ urojon¡ : f = (cid:60)f, f = (cid:61)f. 1 2 Podstawowe pojƒcia analizy takie jak ci¡g“o–¢ czy r(cid:243)»niczkowalno–¢ przeno- sz¡ siƒ “atwo na przypadek funkcji o warto–ciach zespolonych. M(cid:243)wimy, »e f x f f funkcja jest ci¡g“a w punkcie 0 je»eli obie czƒ–ci 1 i 2 s¡ w tym punk- f x f f cie ci¡g“e. M(cid:243)wimy, »e funkcja jest r(cid:243)»niczkowalna w 0 je»eli 1 i 2 s¡ x r(cid:243)»niczkowalne w 0, oraz f(cid:48)(x ) = f(cid:48)(x )+if(cid:48)(x ). 0 1 0 2 0 f(cid:48) Pochodna te» jest funkcj¡ o warto–ciach zespolonych. Podobnie mo»emy F okre–li¢ funkcjƒ pierwotn¡: m(cid:243)wimy, »e funkcja jest funkcj¡ pierwotn¡ 4 f x f funkcji je»eli dla ka»dego z dziedziny mamy F(cid:48)(x) = f(x). f Zauwa»my, »e funkcja pierwotna funkcji jest okre–lona z dok“adno–ci¡ do f sta“ej-oczywi–ciezespolonej(je»elidziedzina sk“adasiƒzkilkuoddzielnych przedzia“(cid:243)wtosta“eoczywi–ciemog¡by¢r(cid:243)»nenaposzczeg(cid:243)lnychczƒ–ciach). f Podobnie postƒpujemy z ca“kowaniem. Dowoln¡ funkcjƒ pierwotn¡ funkcji f nazywamy jej ca“k¡ nieoznaczon¡. M(cid:243)wimy te», »e funkcja jest ca“kowalna [a,b] f w sensie Riemanna (lub Lebesgue’a) na odcinku je»eli obie jej czƒ–ci 1 f [a,b] i 2 s¡ ca“kowalne na , i piszemy (cid:90) (cid:90) (cid:90) b b b f(x)dx = f (x)dx+i f (x)dx 1 2 a a a Zasadnicze twierdzenie analizy te» otrzymujemy natychmiast z elementarnej F f teorii: Je»elifunkcja jestdowoln¡funkcj¡pierwotn¡funkcji naprzedziale [a,b] , to (cid:90) b f(x)dx = F(b)−F(a). a Podkre–lmy (cid:21) powy»szy wz(cid:243)r napisali–my dla przypadku funkcji o warto- –ciach zespolonych, ale wynika on wprost, i w “atwy spos(cid:243)b, z analogicznego wzoru dla funkcji o warto–ciach rzeczywistych. Nie bƒdziemy ju» pisa¢ szcze- g(cid:243)“(cid:243)w, ale wszystkie twierdzenia znane z analizy funkcji o warto–ciach rze- czywistych przenosz¡ siƒ natychmiast na funkcje o warto–ciach zespolonych. Odnosi siƒ to do r(cid:243)»niczkowania iloczynu, r(cid:243)»niczkowania funkcji z“o»onej (oczywi–cie, kiedy takie z“o»enie ma sens, czyli pierwsza nak“adana funk- cja musi mie¢ warto–ci rzeczywiste), ca“kowania przez czƒ–ci czy ca“kowania f g przez podstawienie. Na przyk“ad, niech funkcje i bƒd¡ dwoma r(cid:243)»niczko- f f g g walnymi funkcjami o warto–ciach zespolonych, a 1, 2, 1 i 2 ich czƒ–ciami rzeczywistymi i urojonymi. f = f +if , g = g +ig . 1 2 1 2 5 x Obliczymy pochodn¡ iloczynu w jakim– punkcie dziedziny. (f ·g)(cid:48)(x) = ((f +if )·(g +ig ))(cid:48)(x) 1 2 1 2 = (f ·g +f ·ig +if ·g −f ·g )(cid:48)(x) 1 1 1 2 2 1 2 2 = ((f ·g −f ·g )+i(f ·g +f ·g ))(cid:48)(x) 1 1 2 2 1 2 2 1 = (f ·g −f ·g )(cid:48)(x)+i(f ·g +f ·g )(cid:48)(x) 1 1 2 2 1 2 2 1 = f(cid:48)(x)g (x)+f (x)g(cid:48)(x)−f(cid:48)(x)g (x)−f (x)g(cid:48)(x)+ 1 1 1 1 2 2 2 2 +i(f(cid:48)(x)g (x)+f (x)g(cid:48)(x)+f(cid:48)(x)g (x)+f (x)g(cid:48)(x)) 1 2 1 2 2 1 2 1 = (f(cid:48)(x)+if(cid:48)(x))g (x)+i(f(cid:48)(x)+if (x))g (x)+ 1 2 1 1 2 2 +f (x)(g(cid:48)(x)+ig(cid:48)(x))+if (x)(g(cid:48)(x)+ig (x)) 1 1 2 2 1 2 = f(cid:48)(x)(g (x)+ig (x))+(f (x)+if (x))g(cid:48)(x) 1 2 1 2 = f(cid:48)(x)·g(x)+f(x)·g(cid:48)(x). Uwaga: Ci¡g“o–¢, r(cid:243)»niczkowalno–¢ czy ca“kowalno–¢ to pojƒcia zde(cid:28)nio- wane przy pomocy pojƒcia zbie»no–ci. Zbi(cid:243)r liczb zespolonych ma naturaln¡ metrykƒ, wiƒc bez problemu mogliby–my zde(cid:28)niowa¢ powy»sze pojƒcia nie odwo“uj¡c siƒ do teorii funkcji o warto–ciach rzeczywistych, czyli bez rozdzie- lania czƒ–ci rzeczywistej i urojonej. Otrzymaliby–my, oczywi–cie, to samo. Nie ma tu wiƒc »adnych problem(cid:243)w. Przyk“ad: Funkcj¡, kt(cid:243)ra stale bƒdzie siƒ przewija¢, jest funkcja wyk“adni- cza (cid:88)∞ (ix)n f(x) = eix = . n! n=0 x Dla rzeczywistego mamy wzory eix = cosx+i sinx, eix cosx sinx a wiƒc czƒ–ci¡ rzeczywist¡ funkcji jest a czƒ–ci¡ urojon¡ . Wi- eix 2π dzimy wiƒc, »e jest okresowa o okresie , oraz (cid:161) (cid:162) eix (cid:48) = (cosx)(cid:48) +i(sinx)(cid:48) = −sinx+i cosx = i(cosx+i sinx) = ieix. Funkcjƒ tƒ “atwo wiƒc r(cid:243)»niczkowa¢ i ca“kowa¢. 6 Ca“ka Lebesgue’a Ca“kaLebesgue’a(zkt(cid:243)rejkorzystamynatymwyk“adzie)nier(cid:243)»nisiƒbardzo odca“kiRiemanna. Funkcjaci¡g“anaprzedzialesko«czonymjestca“kowalna i w sensie Riemanna i w sensie Lebesgue’a i ca“ki s¡ sobie r(cid:243)wne. W obu przypadkach ca“ka reprezentuje pole obszary zawartego pomiƒdzy wykresem OX aosi¡ (je»elimy–limyoca“cefunkcjiowarto–ciachrzeczywistych),wziƒte + OX − ze znakiem je»eli wykres jest powy»ej osi i ze znakiem je»eli wykres OX jest poni»ej osi . Obie ca“ki r(cid:243)»ni¡ siƒ sposobem obliczenia tego pola. W przypadku ca“ki Riemanna dzielimy dziedzinƒ funkcji i obszar pod wykresem przybli»amyprzezpionoweprostok¡tyzbudowanenatakpodzielonejdziedzi- nie. W przypadku ca“ki Lebesgue’a dzielimy zbi(cid:243)r warto–ci funkcji, i obszar pod wykresem przybli»amy przez poziome (cid:18)paski(cid:17) w nim zawarte. Oczy- wi–cie, dla wystarczaj¡co regularnych funkcji obie konstrukcje prowadz¡ do tego samego. Wyliczymy obecnie kilka fakt(cid:243)w dotycz¡cych ca“ki Lebesgue’a. Nie bƒdziemy wnika¢ w szczeg(cid:243)“y teorii tej ca“ki, chcemy tylko przypomnie¢ fakty z kt(cid:243)rych bƒdziemy korzystali. • f Funkcja jest ca“kowalna wtedy i tylko wtedy, gdy ca“kowalna jest |f| funkcja . Jest wiƒc inaczej ni» w przypadku ca“ki Riemanna, dla |f| f kt(cid:243)rej funkcja mo»e by¢ ca“kowalna, a nie. • f Je»eli funkcja nie jest ca“kowalna w sensie Lebesgue’a, to w zasadzie |f| oznaczato,»epoleobszarupodwykresem jestniesko«czone. Bardzo rzadkie s¡ przypadki funkcji, kt(cid:243)re mog“yby by¢ nieca“kowalne w sensie Lebesgue’a z przyczyn (cid:18)strukturalnych(cid:17). Jest to istotna r(cid:243)»nica z ca“k¡ Riemanna, gdzie “atwo mo»e siƒ zdarzy¢, »e funkcja ograniczona jest nieca“kowalna (cid:21) wystarczy »e ma du»o punkt(cid:243)w nieci¡g“o–ci. • f → f E f Je»eli n w ka»dym punkcie zbioru , oraz wszystkie funkcje n g s¡ wsp(cid:243)lnie ograniczone przez jak¡– funkcjƒ ca“kowaln¡ , czyli (cid:90) |f (x)| ≤ g(x), g(x)dx < ∞, n oraz E to (cid:90) (cid:90) f(x)dx = lim f (x)dx. n n→∞ E E Jest to tak zwane twierdzenie Lebesgue’a o zbie»no–ci ograniczonej. Bƒdziemy z niego czƒsto korzysta¢. 7 Rozdzia“ 3 Przestrze« Hilberta Przestrze« liniowa Przestrze« liniowa to zbi(cid:243)r, kt(cid:243)rego elementy (na kt(cid:243)re zwyczajowo m(cid:243)wmy (cid:18)wektory(cid:17)) mo»na dodawa¢, odejmowa¢ i mno»y¢ przez liczby (skalary). Ska- lary mog¡ by¢ liczbami rzeczywistymi lub zespolonymi, i czasem podkre–la siƒ, »e przestrze« liniowa o kt(cid:243)rej mowa jest rzeczywista (skalarami s¡ liczby rzeczywiste) lub zespolona (skalarami s¡ liczby zespolone). My najczƒ–ciej rozwa»a¢ bƒdziemy przestrzenie liniowe zespolone, gdy» z punktu widzenia teorii matematycznej tak jest najwygodniej. Dzia“ania na wektorach musz¡ spe“nia¢ zwyk“e warunki zwi¡zane z liczbami, takie jak przemienno–¢, “¡cz- no–¢ rozdzielczo–¢ mno»enia wzglƒdem dodawania i temu podobne. Podzbi(cid:243)r przestrzeni liniowej, kt(cid:243)ry sam w sobie te» jest przestrzeni¡ liniow¡ (to zna- czy jest zamkniƒty ze wzglƒdu na dodawanie i odejmowanie wektor(cid:243)w, oraz mno»enie przez skalary) nazywamy podprzestrzeni¡ linow¡. E Przyklad: Rozwa»my zbi(cid:243)r wszystkich funkcji f : R → C, czyli funkcji zmiennej rzeczywistej o warto–ciach zespolonych. Dodawanie, odejmowanie funkcji i mno»enie przez skalar okre–lamy zwyczajnie, punk- (f +g)(x) = f(x)+g(x) towo. Na przyk“ad . Z tak okre–lonymi dzia“aniami E zbi(cid:243)r jest zespolon¡ przestrzeni¡ liniow¡ (jest tak»e, oczywi–cie, rzeczywi- H E st¡ przestrzeni¡ liniow¡). Niech bƒdzie podzbiorem sk“adaj¡cym siƒ z funkcji parzystych, czyli takich, »e ∀ x ∈ R f(−x) = f(x). H E Nietrudno zauwa»y¢, »e jest podprzestrzeni¡ liniow¡ przestrzeni . 8 Przestrze« metryczna Przestrzenie liniowe kt(cid:243)re bƒdziemy rozwa»a¢ bƒd¡ jednocze–nie przestrze- niami metrycznymi. Przypomnijmy wiƒc kr(cid:243)tko pojƒcie przestrzeni metrycz- X nej. Przestrze« metryczna to zbi(cid:243)r w kt(cid:243)rym zde(cid:28)niowana jest funkcja odleg“o–ci (tak zwana metryka), czyli funkcja dw(cid:243)ch zmiennych d : X ×X → R, o nastƒpuj¡cych w“asno–ciach: d(x,y) = d(y,x) (a). czyli metryka jest symetryczna, d(x,y) ≤ d(x,z)+d(z,y) (b). , jest to tak zwana nier(cid:243)wno–¢ tr(cid:243)jk¡ta, d(x,y) ≥ 0 d(x,y) = 0 ⇔ x = y (c). oraz . W przestrzeni metrycznej mo»na m(cid:243)wi¢ o tak zwanej topologii, czyli o {x } zbie»no–ci ci¡g(cid:243)w. M(cid:243)wimy, »e ci¡g n element(cid:243)w przestrzeni metrycznej X x ∈ X jest zbie»ny do elementu , je»eli n→∞ d(x,x ) −−−→ 0. n Przestrze« metryczna zupe“na Wa»n¡ w“asno–ci¡ przestrzeni metrycznych jest tak zwana zupe“no–¢ (w sen- sie topologicznym). W przestrzeniach zupe“nych ci¡gi spe“niaj¡ce warunek Cauchy’ego s¡ zbie»ne. Przypomnijmy ten warunek. Niech bƒdzie dany ci¡g x ,x ,... X 1 2 przestrzeni metrycznej . Ci¡g ten spe“nia warunek Cauchy’ego, je»eli ∀ (cid:178) > 0 ∃ N ∈ N ∀ m,n ≥ N d(x ,x ) < (cid:178). m n (3.1) X Przestrze« metryczna jest zupe“na (w sensie topologicznym), je»eli ka»dy {x } X X ci¡g n w spe“niaj¡cy warunek (3.1) ma w granicƒ. Jako matematycy musimy wspomnie¢ o tym warunku, ale na tym wyk“adzie nie bƒdziemy go roztrz¡sa¢. Wszystkie przestrzenie z kt(cid:243)rymi bƒdziemy mieli do czynienia s¡ zupe“ne. Nie bƒdziemy tego dowodzi¢. Podkre–lmy jeszcze raz: w“asno–¢ przestrzeni metrycznych m(cid:243)wi¡ca, »e ci¡gi spe“niaj¡ce warunek Cauchy’ego (3.1) s¡ zbie»ne to tak zwana zupe“no–¢ (w sensie topologicznym). Kiedy przejdziemy do pojƒcia bazy przestrzeni liniowej bƒdziemy te» m(cid:243)wi¢ o zu- pe“no–ci w sensie algebraicznym. Warto pamiƒta¢, »e to zupe“nie inne po- jƒcia. 9 Przestrze« Hilberta E Przestrzeni¡ Hilberta nazywamy przestrze« liniow¡ w kt(cid:243)rej zde(cid:28)niowany jest iloczyn skalarny, czyli funkcja dw(cid:243)ch zmiennych (cid:104)·,·(cid:105) : E ×E → C, spe“niaj¡ca nastƒpuj¡ce warunki (cid:104)x,y(cid:105) = (cid:104)y,x(cid:105) (a). (m(cid:243)wimy, »e iloczyn skalarny jest antysymetryczny), (cid:104)x+y,z(cid:105) = (cid:104)x,z(cid:105)+(cid:104)y,z(cid:105) (cid:104)αx,y(cid:105) = α(cid:104)x,y(cid:105) (b). , (m(cid:243)wimy, »e iloczyn ska- larny jest liniowy wzglƒdem pierwszej zmiennej), (cid:104)x,y + z(cid:105) = (cid:104)x,y(cid:105) + (cid:104)x,z(cid:105) (cid:104)x,αy(cid:105) = α(cid:104)x,y(cid:105) (c). , (m(cid:243)wimy, »e iloczyn skalarny jest antyliniowy wzglƒdem drugiej zmiennej), (cid:104)x,x(cid:105) ≥ 0 (cid:104)x,x(cid:105) = 0 ⇔ x = 0 (d). oraz x,y,z E α ( to dowolne wektory z przestrzeni , to dowolna liczba zespolona, a ··· kreska oznacza sprzƒ»enie zespolone). Uwaga: M(cid:243)wi¡c –ci–le przestrze« Hilberta musi spe“nia¢ jeszcze dwa wa- runki: musi by¢ o–rodkowa (czyli musi posiada¢ przeliczaln¡ bazƒ topolo- giczn¡), oraz musi by¢ przestrzeni¡ metryczn¡ zupe“n¡ (wzglƒdem metryki otrzymanej z iloczynu skalarnego, kt(cid:243)r¡ opiszemy poni»ej). Wszystkie prze- strzenie kt(cid:243)re bƒdziemy rozwa»a¢ bƒd¡ spe“nia“y te dwa dodatkowe warunki, i nie bƒdziemy zajmowali siƒ szczeg(cid:243)“ami. Istnienie iloczynu skalarnego pozwala nam m(cid:243)wi¢ o tak zwanej geometrii. Mo»na zde(cid:28)niowa¢ pojƒcie prostopad“o–ci wektor(cid:243)w, k¡ta miƒdzy wektorami i innych geometrycznych pojƒ¢. Iloczyn skalarny daje nam tak zwan¡ normƒ, czyli d“ugo–¢ wektor(cid:243)w. Norma wektora (cid:107) · (cid:107) E Norm¡ nazywamy funkcjƒ na przestrzeni liniowej o warto–ciach rze- czywistych, spe“niaj¡c¡ warunki (cid:107)x(cid:107) ≥ 0 (cid:107)x(cid:107) = 0 ⇔ x = 0 (a). oraz , (cid:107)αx(cid:107) = |α|(cid:107)x(cid:107) (b). , (cid:107)x+y(cid:107) ≤ (cid:107)x(cid:107)+(cid:107)y(cid:107) (c). (nier(cid:243)wno–¢ tr(cid:243)jk¡ta) 10