WSTĘP DO ANALIZY MATEMATYCZNEJ Liliana Janicka WSTĘP DO ANALIZY MATEMATYCZNEJ Wydanie trzecie poprawione (cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)@@@@ (cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0) @@@@ GiS @@@@ (cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0) @@@@(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0) Oficyna Wydawnicza GiS Wrocław 2004 Projekt okładki IMPRESJA Studio Grafiki Reklamowej Copyright (cid:13)c 2002,2003, 2004 by Liliana Janicka Utwórwcałościaniwefragmentachniemożebyćpowielanyanirozpowszechniany zapomocąurządzeńelektronicznych,mechanicznych,kopiujących,nagrywających iinnych.Ponadtoutwórniemożebyćumieszczanyanirozpowszechnianywpostaci cyfrowej zarówno w internecie, jak i w sieciach lokalnych, bez pisemnej zgody posiadacza praw autorskich. Printed in Poland. Skład komputerowy w systemie LATEX wykonała autorka ISBN 83–89020–36–X Wydanie III poprawione, Wrocław 2004 Oficyna Wydawnicza GiS, s.c., tel. (0-71) 357 85 65, e-mail: [email protected] Druk: TINTA Sp. z o.o., tel. (0-71) 325 17 88, e-mail: [email protected] 4 Spis treści Wstęp 7 1 Zbiory liczbowe 9 1.1 Zbiór liczb naturalnych oraz zasada indukcji matematycznej . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.2 Podzielność . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 1.3 Zbiór liczb całkowitychi pojęcie grupy . . . . . . . . . . . . . . . . 26 1.4 Zbiór liczb wymiernych i pojęcie ciała . . . . . . . . . . . . . . . . 26 1.5 Liczby wymierne, niewymierne i rzeczywiste. Interpretacja geometryczna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 1.6 Kresy zbioru i twierdzenie o ciągłości zbioru liczb rzeczywistych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 1.7 Ćwiczenia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 2 Ciągi liczbowe 41 2.1 Oznaczenia, podstawowe definicje i fakty . . . . . . . . . . . . . . . 41 2.2 Granica ciągu, podstawowe własności granicy . . . . . . . . . . . . 48 2.3 Podstawowe twierdzenia o zbieżności ciągów . . . . . . . . . . . . . 53 2.4 Pożyteczne twierdzenia o zbieżności ciągów . . . . . . . . . . . . . 69 2.5 Podciągi, granica górna i dolna ciągu . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 2.6 Warunek Cauchy’ego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 2.7 Uwagi o wyrażeniach nieoznaczonych . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 2.8 Ćwiczenia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 3 Szeregi liczbowe 89 3.1 Podstawowe definicje i przykłady . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 3.2 Zbieżność szeregów o wyrazachnieujemnych . . . . . . . . . . . . . 95 3.3 Szeregi o wyrazach dowolnych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 3.4 Ćwiczenia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 4 Ciągłość funkcji 114 4.1 Granica funkcji w punkcie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114 4.2 Asymptoty wykresu funkcji . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129 5 SPIS TREŚCI SPIS TREŚCI 4.3 Ciągłość funkcji w punkcie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135 4.4 Ciągłość funkcji elementarnych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139 4.5 Najważniejsze własności funkcji ciągłych . . . . . . . . . . . . . . . 141 4.6 Jeszcze jedno zastosowanie ciągłości funkcji . . . . . . . . . . . . . 149 4.7 Ćwiczenia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152 Odpowiedzi do ćwiczeń 154 Skorowidz 156 6 Wstęp Niniejsze opracowanie dotyczy wybranych elementarnych zagadnień analizy matematycznej.Powstałoonowoparciuomojewieloletniedoświadczeniewpracy dydaktycznej z kandydatami na studia oraz ze studentami pierwszych lat kierun- ków matematycznych Politechniki i Uniwersytetu we Wrocławiu. Do przygotowa- nia tegoopracowaniazachęciłamnie moja córkaMarysia.To dziękijej starannym notatkom z mojego wykładu dla słuchaczy Studium Talent w Politechnice Wro- cławskiej, zawdzięcza ono swój obecny kształt. Do kogo adresowany jest ten „skrypt”? Adresatami są słuchacze mojego wy- kładu na Studium Talent, uczniowie klas matematycznych oraz uczestnicy kółek matematycznych.Skorzystajązniegozapewnetakżekandydacinastudiamatema- tyczne,jakrównieżstudencipierwszychlattegokierunku.Wyraz„skrypt”ujęłam w cudzysłów nieprzypadkowo, gdyż jest to raczej dosyć swobodne opowiadanie o pewnych zagadnieniach analizy matematycznej, niż uporządkowany podręcznik akademicki, ale takie było moje zamierzenie. Książkapodzielonajestnaczteryrozdziały.Każdyznichjestzakończonyćwi- czeniami. Na końcu książki podane są odpowiedzi do wszystkich ćwiczeń. W rozdziale pierwszym omówione są najważniejsze własności zbiorów liczbo- wychpojawiającychsięwanaliziematematycznej,tzn.zbiorówliczb:naturalnych, całkowitych,wymiernych, niewymiernych i rzeczywistych. Rozdziałdrugipoświęconyjestciągomliczbowym,adokładniepojęciugranicy ciągu–jednemuznajważniejszychpojęćanalizymatematycznej.Starałamsięna- pisaćgowtakisposób,bymożnabyłoudowodnićkażdyprzytoczonyfakt,bazując jedynie natym,cozostałowykazanewcześniej.Stądtakakolejnośćprzytaczanych twierdzeń. W rozdziale tym jest jeszcze kilka rzadziej omawianych twierdzeń o zbieżnościciągów,takichjaknp.twierdzenieogranicyciąguśrednicharytmetycz- nych i geometrycznych,czy lemat Stolza. Z koleiw rozdziale trzecim omówione są szeregiliczbowe. Jestem przekonana, że o szeregach, a więc o ciągach specjalnej postaci, trzeba mówić bezpośrednio po zreferowaniu materiału dotyczącego ciągów liczbowych. Nie należy „demoni- 7 8 zować” pojęcia szeregu, zwłaszcza, że już w szkole średniej uczniowie spotykają szereg geometryczny. W ostatnim rozdziale próbuję przybliżyć Czytelnikowi pojęcie ciągłości funk- cji. Zawartych jest w nim wiele przykładów obliczania granic funkcji w oparciu o definicję Heinego. Granice odpowiednich ciągów liczbowych zostały wyznaczone wcześniej. W tym rozdziale udowodniona jest też ciągłość funkcji elementarnych oraz omówione są podstawowe własności funkcji ciągłych. Przygotowując to opracowanie korzystałam z podręczników: „Rachunek róż- niczkowyicałkowy”KazimierzaKuratowskiego,„Analizamatematyczna”Heleny i Juliana Musielaków , „Zbioru zadań z analizy matematycznej” Józefa Banasia i Stanisława Wędrychowicza oraz z książki „Analiza matematyczna 1” Mariana GewertaiZbigniewaSkoczylasa.KorzystałamtakżezkonspektuwykładuPanidr Agnieszki Wojciechowskiej, przeznaczonego dla studentów starszych lat matema- tyki nauczycielskiej Uniwersytetu Wrocławskiego. Do obecnego wydania ksiązki dołączono kilka nowych przykładów oraz usu- nięto zauważone błędy i usterki. Dziękuję mojej koleżance Pani dr Jolancie Długosz za cierpliwe i wnikliwe czytanie kolejnych wersji tekstu pierwszego wydania. Dziękuję także Koleżankom iKolegomz Instytutów MatematykiPolitechnikiiUniwersytetuwe Wrocławiuza przekazaneuwagiiinformacjeobłędach.Czytelnikówuprzejmieproszęokierowa- nie wszelkich uwag o opracowaniuna mój adres elektroniczny. Liliana Janicka Instytut Matematyki Politechnika Wrocławska [email protected] 1 Zbiory liczbowe 1.1 Zbiór liczb naturalnych oraz zasada indukcji matematycznej Jednym z najważniejszych obiektów, jakimi zajmuje się analiza matematyczna, jestzbiórliczbnaturalnych,którywdalszymtekścieoznaczamyliterąN.Liczbami naturalnymi, ich własnościami i prawami rządzącymi w tym świecie, zajmuje się gałąź matematyki zwana arytmetyką. Nam wystarczy wiedzieć, że zbiór liczb naturalnychjesttonajmniejszyzbiórliczbowyzawierający0iwrazzkażdąliczbą n – liczbę następną n+1. Wynika z tego, że zbiór N ma bardzo ważną własność indukcji.Mianowicie,jeżelizbiórA Nzawieraliczbę0orazzzałożenia,żen A ⊂ ∈ wynika, że (n+1) A, to A=N1. ∈ Własność ta znana jest głównie jako metoda dowodzenia twierdzeń o liczbach naturalnych i nazywamy ją zasadą indukcji matematycznej. Wersję, w jakiej będziemy ją tutaj stosować,można sformułować następująco. NiechT(n)będziezdaniemokreślającymdanąwłasnośćliczbynatu- ralnej n oraz niech n będzie ustaloną liczbą naturalną. Jeżeli speł- 0 nione są warunki: (i) zdanie T(n ) jest prawdziwe, 0 (ii) prawdziwa jest implikacja T(n) = T(n+1), ⇒ n∈N^,n n0 to zdanie T(n) jest prawdziwe. n∈N^,n n0 Warunek (ii) stosujemy często w nieco zmodyfikowanej wersji. Mianowicie dowo- dzimy, że z prawdziwości twierdzenia dla wszystkich liczb mniejszych od n+1 wynika jego prawdziwość dla liczby n+1. 1Pamiętajmy więc, że w naszych oznaczeniach mamy N= 0,1,2,... . { } 9 10 Zbiory liczbowe Indukcja służy nie tylko do dowodzenia, ale i do definiowania. Przypuśćmy, że chcemy w ten sposób zdefiniować ciąg elementów pewnego zbioru A. Zdefiniu- jemy go „wyraz po wyrazie”, to znaczy że kolejny wyraz ciągu zdefiniujemy w zależności od wyrazu poprzedniego. Musimy w tym celu mieć wyróżniony pewien element a A, od którego zaczniemy budować nasz ciąg, oraz sposób otrzymy- ∈ wania następnego wyrazuz poprzedniego.Jeżeli opisem tego sposobujest funkcja f:A A, to definicja ma następującą postać: 7→ (i) a =a, (ii) a =f(a ). 0 n+1 n Taką definicję nazywamy indukcyjną lub rekurencyjną. Czasem funkcja f ma skomplikowanąpostać, zależeć może od wielu zmiennych, może też podawać war- tość a w zależności nie tylko od a , ale od wszystkich poprzednich wyrazów, n+1 n tj. a ,a ,...,a . Jednakże wybór elementu a i funkcji f gwarantuje istnienie i 0 1 n jednoznaczność ciągu spełniającego warunki (i), (ii). W szkole zetknęliśmy się wiele razy z definicjami tego typu. Dla przykładu – ciąg arytmetyczny definiujemy najczęściej, podając wartość jego pierwszego wy- razu a oraz różnicę r: (i) a =a, (ii) a =a +r, 1 n+1 n natomiast ciąg geometryczny możemy całkowicie opisać, podając jego pierwszy wyraz a oraz iloraz q: (i) a =a, (ii) a =a q. 1 n+1 n Czasem (i tak jest w przypadku ciągu arytmetycznego i geometrycznego) można podać również definicję jawną, to znaczy, podać zależność w postaci a = φ(n). n Dla ciągu arytmetycznego otrzymujemy wówczas a = a+(n 1)r, a dla ciągu n − geometrycznegomamy a =aqn 1. Łatwo to sprawdzićprzez indukcję, którajest n − naturalnym sposobem dowodzenia własności ciągów rekurencyjnych. Podamy teraz przykłady zastosowania zasady indukcji matematycznej. Fakt 1.1.1 (nierówność Bernoulliego2) Niech x 1 będzie dowolnie usta- • − loną liczbą rzeczywistą. Wówczas dla każdej liczby naturalnej n zachodzi nierów- ność (1+x)n 1+nx. D o w ó d. (i) Dla n=1 nierówność (w tym przypadku – równość) zachodzi. (ii)Niechn 1będziedowolnieustalonąliczbąnaturalną.Załóżmy,żenierówność (1+x)n 1+nx 2Jakob Bernoulli (1654–1705), jeden z członkówlicznej rodziny matematykówszwaj- carskich. Zbiór liczb naturalnych oraz zasada indukcji matematycznej 11 jest prawdziwa. Wówczas (1+x)n+1 = (1+x)n(1+x) (1+nx)(1+x) = 1+x+nx+nx2 1+(n+1)x. Na mocy zasady indukcji matematycznej nierówność jest prawdziwa dla każdej liczby naturalnej n i dowolnej liczby rzeczywistej x 1. − Czytelnikom proponujemy, jako pożyteczne ćwiczenie, udowodnienie ogólniej- szej, tzw. nierówności Weierstrassa3 (1+x ) (1+x ) ... (1+x ) 1+x +x +...+x , 1 2 n 1 2 n · · · prawdziwej dla dowolnychx 1, x =0, x tego samego znaku. k k k − 6 Przykład 1.1.1 Niech x będzie dowolnie ustaloną liczbą rzeczywistą taką, że • 0 x 1. Wówczas dla dowolnej liczby naturalnej n zachodzi nierówność ¬ ¬ (1+x)n 1+n2n 1x. − ¬ D o w ó d. (i) Dla n=1 zachodzi równość. (ii) Niech n 1 będzie dowolnie ustaloną liczbą naturalną i załóżmy, że nierów- ność (1+x)n 1+n2n 1x jest prawdziwa. Wówczas, dzięki nierówności x2 x − ¬ ¬ (prawdziwej dla 0 x 1), mamy ¬ ¬ (1+x)n+1 = (1+x)n(1+x) (1+n2n 1x)(1+x)=1+x+n2n 1x+n2n 1x2 − − − ¬ 1+x+n2n 1x+n2n 1x=1+x+n2n 12x=1+(1+n2n)x − − − ¬ 1+(2n+n2n)x=1+(n+1)2nx. ¬ Zatem, na mocy zasady indukcji matematycznej, nierówność jest prawdziwa dla każdej liczby naturalnej n i dowolnej liczby rzeczywistej 0 x 1. ¬ ¬ Jednym z najstarszych znanych przykładów ciągu rekurencyjnego jest ciąg Fibonacciego4 zdefiniowany zależnościami: a =1, a =1, a =a +a , dla n=3,4,.... 1 2 n n 1 n 2 − − Przykład 1.1.2 Pokazać, że wyrazy ciągu Fibonacciego można przedstawić w po- • staci (1+√5)n (1 √5)n a = − − . n 2n√5 3Karl Friedrich Weierstrass (1815–1897), matematykniemiecki, twórca podstaw ana- lizy matematycznej. 4Leonardo z Pizy zwany Fibonaccim (ok. 1175 – po 1240), matematyk włoski, wpro- wadził do Europy cyfry arabskie.