Springer-Lehrbuch Springer-Verlag Berlin Heidelberg GmbH Wilhelm Rödder· Peter Zörnig Wirtschaftsmathematik für Studium und Praxis 3 Analysis 11 Mit 29 Abbildungen und 1 Tabelle t Springer Prof. Dr. Wilhelm Rödder FernUniversität Hagen Fachbereich Wirtschaftswissenschaft, Lehrgebiet für Betriebswirtschaftslehre, insb. Operations Research Postfach 940 D-S8084 Hagen Dr. Peter Zörnig Universidade de Brasilia Departamento de Matematica Brasilia, Brasilien Die Deutsche Bibliothek - CIP-Einheitsaurnahme WIrtschaftsmathematIk für Studium und Praxis. - Berlin : Heidelberg : New York ; Barcelona; Budapest : Hong Kong : London : Milan: Paris: Santa Clara : Singapore : Tokyo : Springer. (Spri nger-Lehrbuch) 3. Analysis. - 11 I Wilhelm Rödder ; Peter Zörnig. - 1996 ISBN 978-3-540-61716-7 ISBN 978-3-642-59082-5 (eBook) DOI 10.1007/978-3-642-59082-5 NE: Rödder. Wilhelm ISBN 978-3-540-61716-7 Dieses Werk ist urheberrechtlich geschützt. Die dadurch begründeten Rechte, insbesondere die der übersetzung, des Nachdrucks, des Vortrags, der Entnahme von Abbildungen und Tabellen, der Funksendung, der Mikroverfilmung oder der VervielfaItigung auf anderen Wegen und der Speicherung in Datenverarbeitungsanlagen, bleiben, auch bei nur auszugsweiser Verwertung, vorbehalten. Eine VervielfaItigung dieses Werkes oder von Teilen dieses Werkes ist auch im Ein zelfall nur in den Grenzen der gesetzlichen Bestimmungen des Urheberrechtsgesetzes der Bun desrepublik Deutschland vom 9. September 1965 in der jeweils geltenden Fassung zulässig. Sie ist grundsätzlich vergütungspflichtig. Zuwiderhandlungen unterliegen den Strafbestimmungen des Urheberrechtsgesetzes. @ Springer-Verlag Berlin Heidelberg 1997 Ursprünglich erschienen bei Springer-Verlag Berlin Heidelberg New York 1997 Die Wiedergabe von Gebrauchsnamen. Handelsnamen, Warenbezeichnungen usw. in diesem Werk berechtigt auch ohne besondere Kennzeichnung nicht zu der Annahme, daß solche Namen im Sinne der Warenzeichen- und Markenschutz-Gesetzgebung als frei zu betrachten wären und daher von jedermann benutzt werden dürften. SPIN 10551299 4212202-5 4 3 2 1 0 - Gedruckt auf säurefreiem Papier Vorwort Der vorliegende Lehrtext "Wirtschaftsmathematik flir Studium und Praxis" er scheintindreiBOOdenmitdenUntertiteln • LineareAlgebra (Kapitel Ibis9) • AnalysisI (KapitellObis12) • AnalysisII (Kapitel 13bis16) Er ist inhaltsgleichmitdem an der FernUniversitiit (FeU) in Hagen entwickelten KursMathematikjUrWirtschaftswissenschaftler. Der Text ist stark strukturiert: Wichtige mathematische Vereinbarungen sind als Dejinitionen, wichtige Aussagen als Stitze oderderen Korol/are formuliert; Bei spiele erliiutern mathematische Zusammenhooge oder stellenden Bezug zu wirt schaftswissenschaftlichen Anwendungen her, Abbildungen visualisieren sie. In ObungsaufgabenwerdenSieaufgefordert, Ihr Wissen zu iiberprufen. Die Losun gensindzwarinjedemBandamEndebeigefligt,solltenjedochnurzur Kontrolle eigenerLosungsvorschliigedienen. SpeziellanderFernUniversitiit,aberauchverstiirktanPriisenzuniversitiitenundin derPraxisistderLernendeaufsichselbstgestellt; mitderFoigeoftgroBerUnsi cherheit hinsichtlich der Einschiitzung eigenen Vorwissens und eines geeigneten Lemrhythmus. WirhabendieserUnsicherheitRechnunggetragen,indem wireinen (inallenBOOdengleichen)LeitfadenzurLektiireanbieten. DortwerdenSiesicher durchdenLehrstoffgefiihrt. Band 3"AnalysisII"liefertdem Studierendenoderdem Praktikerdie anspruchs vollerenanalytischen Hilfsmittel flirdie Mikrookonomik, die Produktionstheorie, dieInvestitionsrechnungoderdasOperationsResearch. FunktionenmehrererVaria bier, deren Differentiation (und Integration), Differentialgleichungen und Diffe renzengleichungensinddiemathematischenInhalte. Sieunterscheidensichjedoch wesentlich von denen entsprechenderKurse flir Mathematiker. Substitutionsraten (von Produktionsfaktoren), Kreuzelastizitiiten (von Preisen) oder Wachstumsmo delle(flirdas Volkseinkommen)sind nureinigeeigensfUr die undvonden Wirt schaftswissenschaftengepriigteBegriffe.DasStudiumvonBand3istauchflirden Mathematiker, Ingenieur oder Physiker unabdingbar, der ein okonomisches Zu satzstudiumabsolviert. vi Vorwort Wie schon bei den ersten beiden Biinden unterzogen sich Frau Schartl und Frau Michalik der Mtihe, den Text zu schreiben, und Frau Dr. Piehler war der gute Geist,beidemtiberdiefachlichen GesprachehinausalleorganisatorischenFiiden zusarnmenliefen.Ihnenallenseiherzlichgedankt. Hagen,imJuni 1996 Inhaltsverzeichnis LeitfadenzurLektiirederWirtscbaftsmatbematik.•.....••..•••.•.•••.•...••.•...••••..•••.ix InbaltsiibersicbtzuBand1..•••..••••.•.•.•.•..•••....•••...••••..••..•.•••••..••••.•••..•••••••..•••..•••xiv InbaltsiibersicbtzuBand2 xvi Symbolverzeicbnis xvii 13.DifferentialrecbnungffirFunktionenmebrererVariabler 1 13.1.ReelleFunktionenmehrererVariabler I 13.2.PartielieAbleitungen 11 13.3.DerBegriffdestotalenDifferentials 22 13.4.AnderungsratenundElastizitaten 31 13.5.PartielleAnderungsratenundElastizitaten 44 14.ExtremabeiFunktionenmebrererVariabler 49 14.1.Grundbegriffe 49 14.2.KonvexitatundKonkavitat... 54 14.3.KriterienzurBestimmunglokalerExtrema 62 14.4.OkonomischeAnwendungsbeispiele 68 14.5.ExtremaunterNebenbedingungen 72 15.Differential-undDifferenzengleicbungen 83 15.1GrundbegriffederDifferentialgleichungen 83 15.2DifferentialgleichungmitgetrenntenVariablen 86 15.3ExakteDifferentialgleichung 90 15.4AhnIichkeitsdifferentialgleichung 95 15.5AllgemeinelineareDifferentialgleichungen 99 15.6LineareDifferentialgleichungenmitkonstantenKoeffizienten 106 15.7LineareDifferentialgleichungeninderOkonomie 110 15.8LineareDifferenzengleichungen 112 15.9LineareDifferenzengleichungeninderOkonomie 120 viii Inhaltsverzeichnis 16.EinigeiikonomischeFunktionen 123 16.1.Nachfragefunktion , 123 16.2.Engel-Funktionen 124 16.3.Angebotsfunktion 125 16.4.Produktionsfunktion 126 16.5.Kostenfunktion 128 16.6. LogistischeFunktion 129 16.7.Lagerkostenfunktion 131 16.8.Treppenfunktion 132 16.9.Weibull-Verteilung 133 16.10.Normalverteilung 135 LiisungenzudenUbungsaufgaben 145 Literaturverzeichnis 169 Stichwortverzeichnis 174 Leitfaden zur Lektiire der Wirtschaftsmathematik Durch zahlreiche Gesprache mit Mentoren und Studenten wurden wir angeregt, diesenLeitfadenzuschreiben.ErsolieineffizientesDurcharbeitenderdrei Bande ermoglichenundIhnendieScheuvordemStoffnehmen. FUrdiejenigen unter Ihnen, die an der Schuleden Leistungskurs Mathematik ge wiihltoderaberbereitseinquantitativesStudienfachabsolviert haben, istdie Wirt schaftsmathematik ohnehin "Spielerei". Den iibrigen wird empfohlen, ohne Be riihrungsangste an das Fach heranzugehen: Auch wenn sich Ihr Interesse an den NaturwissenschaftenbisherinGrenzenhielt- SiefindenheutekaumnocheinStu dienfachohneformal-mathematischeundEDV-technischeGrundlagen. Natiirlich gibtes auch fUr den mathematisch gut vorgebildeten Leser viel Neues, dennder Kurs Wirtschaftsmathematikverfolgtdas Ziel, nebenden bereitsaufge ziihltenGrundlagengeradedieSachverhaltezuvermitteln,die imLaufeineswirt schaftswissenschaftlichen Studiums immer wieder gebraucht werden, die in der SchulmathematikoderStudiengangenderNaturwissenschaftenjedochvemachlas sigtwerden. DiefolgendenAusfUhrungenteilenwiraufinLektUreratscWagefUrdenStudentenmit einerschwacherenunddenmiteinerumfassenderenmathematischenVorbildung. x LeitfadenzurLektOrederWirtschaftsmathematik WenigmathematischeVorbildung ZuniichstsolltenSiez.B. anhand eines einfiihrendenMathematiklehrbuches- im Literaturverzeichnis mit *gekennzeichnet - tiberpriifen, ob Ihr Wissen aufdem bundeseinheitlichen Niveau ist, welches ftir eine Hochschulzugangsberechtigung erwartet wird. Grundziige der Geometrie und Algebra, Rechnen mit Foigen und ReihensowiederUmgangmitelementarenFunktionenundiihnlicheswirdmeralso vorausgesetzt. DennochbietenwirIhneninKapitel lOdesBandes2eineguteWiederholungdes Stoffs zu Funktionen einer Variablen, Grenzwerten, Stetigkeit sowie zu Foigen und Reihenan. DiesesKapitelkannvolliglosgelostvonden Kapiteln Ibis9stu diertwerden! Rechtbaldschon werdenSie im wirtschaftswissenschaftlichen Studiummit Phii nomenen konfrontiert, die sich mittels Vektoren und Matrizen, Linearen Glei chungssystemen oder Determinaten darstellen lassen. Welcher Art diese Phiino mene seinkonnen, ist in Kapitel I unter dem Titel "Lineare Zusarnmenhiinge in der Wirtschaft"gezeigt. Es wird keinesfallserwartet, daB Siediese Probleme be reitsselbstformulierengeschweigedennIOsenkonnen. StellenSieeinfachmitErstaunenfest, daBmanrecht interessanteFragestellungen mittelsVektorenund Matrizenbeschreibenkann! GewohnenSiesichandieIndi zierung von allgemeinen Zahlen, das Surnmationszeichen sowie die Vektoren undMatrixschreibweise! DieKapitel 2 bis6sinddann GrundlagenderLinearenAlgebra,angereichert urn okonomischeAnwendungen. Kapitel 7 geht tiber die Grundlagen hinaus; der In haltdarfjedochineinemGrundkursnichtfehlen, dadieser inspiiterenSemestem oderinderPraxisgelegentlichauchalsNachschlagewerkMathematikdienensoil. Die Inhalte von Kapitel 8 finden sich ebenfalls in allen Lehrbtichem der Wirt schaftsmathematik. Sollten Sie imHauptstudium Produktionstheorie oderOpera tionsResearchalsSpezialgebietewahlen,werdenIhnendiehierentwickeltengeo metrischenVorstellungenntitzen- ansonstenkonnenSiebeimDurcharbeitenvon Kapitel8dieZtigeletwaslockem. Kapitel9bereitetaufdieLinearePlanungsrechnungvor,sowiesieinzahlreichen TeildisziplinenderWirtschaftswissenschaftenAnwendungfindet.