Janina Krawitz Vorwissen als nötige Voraussetzung und potentieller Störfaktor beim mathematischen Modellieren Studien zur theoretischen und empirischen Forschung in der Mathematikdidaktik Reihe herausgegeben von Gilbert Greefrath, Münster, Deutschland Stanislaw Schukajlow, Münster, Deutschland Hans-Stefan Siller, Würzburg, Deutschland In der Reihe werden theoretische und empirische Arbeiten zu aktuellen didak- tischen Ansätzen zum Lehren und Lernen von Mathematik – von der vorschu- lischen Bildung bis zur Hochschule – publiziert. Dabei kann eine Vernetzung innerhalb der Mathematikdidaktik sowie mit den Bezugsdisziplinen einschließ- lich der Bildungsforschung durch eine integrative Forschungsmethodik zum Ausdruck gebracht werden. Die Reihe leistet so einen Beitrag zur theoretischen, strukturellen und empirischen Fundierung der Mathematikdidaktik im Zusam- menhang mit der Qualifizierung von wissenschaftlichem Nachwuchs. Weitere Bände in der Reihe http://www.springer.com/series/15969 Janina Krawitz Vorwissen als nötige Voraussetzung und potentieller Störfaktor beim mathematischen Modellieren Mit einem Geleitwort von Prof. Dr. Stanislaw Schukajlow Janina Krawitz Institut für Didaktik der Mathematik und Informatik Universität Münster Münster, Deutschland Dissertation Universität Münster, 2019 Erstgutachter: Prof. Dr. Stanislaw Schukajlow Zweitgutachter: Prof. Dr. Werner Blum Tag der Disputation: 13.11.2019 D6 ISSN 2523-8604 ISSN 2523-8612 (electronic) Studien zur theoretischen und empirischen Forschung in der Mathematikdidaktik ISBN 978-3-658-29714-5 ISBN 978-3-658-29715-2 (eBook) https://doi.org/10.1007/978-3-658-29715-2 Die Deutsche Nationalbibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen National- bibliografie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internet über http://dnb.d-nb.de abrufbar. © Der/die Herausgeber bzw. der/die Autor(en), exklusiv lizenziert durch Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH, ein Teil von Springer Nature 2020 Das Werk einschließlich aller seiner Teile ist urheberrechtlich geschützt. Jede Verwertung, die nicht ausdrücklich vom Urheberrechtsgesetz zugelassen ist, bedarf der vorherigen Zustimmung des Verlags. Das gilt insbesondere für Vervielfältigungen, Bearbeitungen, Übersetzungen, Mikroverfilmungen und die Einspeicherung und Verarbeitung in elektronischen Systemen. Die Wiedergabe von allgemein beschreibenden Bezeichnungen, Marken, Unternehmensnamen etc. in diesem Werk bedeutet nicht, dass diese frei durch jedermann benutzt werden dürfen. Die Berechtigung zur Benutzung unterliegt, auch ohne gesonderten Hinweis hierzu, den Regeln des Markenrechts. Die Rechte des jeweiligen Zeicheninhabers sind zu beachten. Der Verlag, die Autoren und die Herausgeber gehen davon aus, dass die Angaben und Informa- tionen in diesem Werk zum Zeitpunkt der Veröffentlichung vollständig und korrekt sind. Weder der Verlag, noch die Autoren oder die Herausgeber übernehmen, ausdrücklich oder implizit, Gewähr für den Inhalt des Werkes, etwaige Fehler oder Äußerungen. Der Verlag bleibt im Hinblick auf geografische Zuordnungen und Gebietsbezeichnungen in veröffentlichten Karten und Institutionsadressen neutral. Springer Spektrum ist ein Imprint der eingetragenen Gesellschaft Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH und ist ein Teil von Springer Nature. Die Anschrift der Gesellschaft ist: Abraham-Lincoln-Str. 46, 65189 Wiesbaden, Germany Geleitwort „Ich hoffe, das ist nichts mit π oder so. Das haben wir noch gar nicht gehabt. Also muss ich gleich noch mal gucken.“, denkt laut eine Schülerin über die Lösung, die sie bei der Aufgabe „Riesenrad“ entwickeln möchte. Dieses Zitat aus der Untersuchung von Frau Krawitz verdeutlicht, welch wichtige Rolle das Vorwissen bei der Bearbeitung von Auf- gaben spielt. Das Vorwissen bestimmt häufig die Lösungswege, die wir beim Bearbeiten von Aufgaben einschlagen. Vom Vorwissen hängt der Bearbeitungserfolg maßgeblich ab. Daher verwundert es nicht, dass die Vermittlung und der Aufbau von Wissen schon immer eine zentrale Aufgabe der Schule und speziell des Mathematikunterrichts gewesen sind. Aus den Alltagserfahrungen würde man intuitiv denken, dass der Zusammenhang zwi- schen Vorwissen und Leistungen nach dem Prinzip „Je mehr desto besser“ funktioniert. Allerdings ist es nicht geklärt, welches Wissen beim Bearbeiten von Modellierungsauf- gaben notwendig ist und im Bearbeitungsprozess aktiviert werden kann. Gibt es Vorwis- sensarten, die unbedingt notwendig sind, um Modellierungsaufgaben zu lösen? Kann das Vorwissen unter Umständen sogar hinderlich sein, Schülerinnen und Schüler auf falsche Fährten locken und in einer Sackgasse stehen lassen? Diese und andere Forschungsfragen hat Janina Krawitz in ihrer Arbeit „Vorwissen als nötige Voraussetzung und potentieller Störfaktor beim Lösen mathematischer Modellierungsaufgaben“ bearbeitet. Die Arbeit von Frau Krawitz beginnt mit einer Einleitung, in der sie auf die hohen An- forderungen an Schülerinnen und Schüler beim Bearbeiten von Modellierungsaufgaben eingeht, die Bedeutung des Vorwissens beim Modellieren herausstellt und auf ein dies- bezügliches Forschungsdefizit verweist: „Modellieren ist nicht zuletzt deshalb an- spruchsvoll, da Vorwissen aus unterschiedlichen Bereichen miteinander verknüpft wer- den muss und demnach als Paradebeispiel für Wissensintegration gesehen werden kann. Bislang wurde diese besondere Herausforderung allerdings nicht systematisch unter- sucht.“ Im theoretischen Teil der Arbeit verknüpft Frau Krawitz theoretische Konzeptionen und empirische Befunde aus unterschiedlichen Forschungsfeldern und Forschungstraditionen. Bei ihren Ausführungen greift sie zunächst auf kognitionspsychologische Konzeptionen wie die dual-process-Theorie, auf allgemein psychologische Befunde zu Priming und In- hibition sowie auf psychologische Studien zu S- und P-Problems zurück. Die auf diese Weise gewonnenen theoretischen Erkenntnisse bezieht sie auf fachdidaktische Konzepti- onen und auf Ergebnissen empirischer Untersuchungen aus dem Bereich Modellieren. VI Geleitwort Die in der Einleitung dargelegte Relevanz des Themas wird durch diese Verknüpfung konkretisiert und die konstatierte Forschungslücke wird sehr überzeugend begründet. Ne- ben den etablierten Taxonomien zu Wissensarten, wie z.B. konzeptuelles versus proze- durales Wissen, referiert Frau Krawitz auch neuere theoretische Ansätze etwa zur proze- duralen Flexibilität, die wichtige Impulse für die Entwicklung der Theorien des Lehrens und Lernens gegeben haben. Besonders interessant ist der Abschnitt über den hinderli- chen Einfluss von Vorwissen auf Leistungen. Dieser zunächst scheinbar kontra-intuitive Befund wird sehr gut aufgearbeitet und bietet den Lesern eine hervorragende Möglich- keit, eigenes Wissen zu erweitern. Für die Untersuchung ihrer Forschungsfragen hat Frau Krawitz die Methode der Inhalts- analyse ausgewählt. Die Wahl dieser qualitativen Methode ist mit dem Anspruch begrün- det, bei der Analyse von Lösungsprozessen in die Tiefe zu gehen. Die aufwändige Da- tenerhebung und eine hochinferente Kodierung der Äußerungen von Schülerinnen und Schüler erlauben wichtige Beobachtungen und Schlussfolgerungen. Ein zentrales Ergebnis der Arbeit ist, dass das situationsbezogene Wissen beim eigenen Vorstellen der Realsituation und beim Konstruieren eines Realmodells von besonders großer Bedeutung ist. Lücken im situationsbezogenen Wissen erschweren die Aufgaben- bearbeitung und behindern sie in einzelnen Fällen sogar. Ein weiterer wichtiger und neuer Befund ist das Aufzeigen von Stellen, an welchen das mathematische Vorwissen hinder- lich ist. Solange Lernende eine Routine-Aufgabe bearbeiten, die mit ihren Erwartungen an das mathematische Wissen kongruent ist, haben sie kaum Schwierigkeiten. Eine zum vorhandenen und zuletzt erworbenen Wissen nicht kongruente Fragestellung kann aber große Probleme verursachen. Weiter zeigte sich in den Untersuchungen von Frau Kra- witz, dass metakognitives Wissen von Schülerinnen und Schülern vergleichsweise selten aktiviert wurde. Auch hier spielt die Komplexität der Aufgabe und ihre Originalität eine große Rolle, denn das Monitoring wird vor allem in Situationen gebraucht, in denen das Ergebnis oder der Lösungsweg fraglich erscheinen. Am Ende der Arbeit leitet Frau Krawitz aus ihren Ergebnissen vielfältige theoretische und praktische Implikationen ab. Eine dieser Implikationen ist, dass Modellierungsauf- gaben unbedingt auch „losgelöst vom aktuellen Unterrichtsthema“ bearbeiten werden sollten. Insgesamt ist diese Arbeit sowohl für die Mathematikdidaktik als auch für die Praxis des Mathematikunterrichts bedeutsam und hilfreich. Stanislaw Schukajlow (WWU Münster) Werner Blum (Universität Kassel) Danksagung Ich danke meinem Doktorvater Prof. Dr. Stanislaw Schukajlow, der in zahlreichen Ge- sprächen die richtigen Fragen zu stellen wusste, mir bei Selbstzweifeln beiseite stand und diese Arbeit überhaupt erst ermöglicht hat. Außerdem danke ich Prof. Dr. Werner Blum, der mich in die Welt der Mathematikdidak- tik geführt hat. Sein kritischer Blick hat entscheidend zu der vorliegenden Arbeit beige- tragen. Ebenfalls danken möchte ich meinen Kollegen und Weggefährten, die mich durch die Zeit der Promotion begleitet und unterstützt haben. Zusammenfassung Beim mathematischen Modellieren treffen Mathematik und Realität in besonderer Weise aufeinander. Um erfolgreich modellieren zu können, muss mathematisches Wissen mit Wissen über Sachverhalte des realen Lebens verknüpft und sinnbringend zum Lösen ei- nes Problems eingesetzt werden. An dieser Herausforderung des Modellierens scheitern viele Lernende, da sie entweder ihr mathematisches oder aber ihr Alltagswissen zur Lö- sung heranziehen und den jeweils anderen Bereich ausblenden. Vorangegangene Studien belegen diese Probleme. Zum einen neigen Lernende dazu, Alltagswissen bei der Bear- beitung realitätsbezogener Mathematikaufgaben zu ignorieren, was unrealistische Ant- worten nach sich zieht. Zum anderen zeigten Studien, dass Schülerinnen und Schüler von ihrem Alltagswissen zu einem übermäßigen Gebrauch von realitätsbezogenen Argumen- tationen verleitet werden können. Die Lernenden greifen dann beispielsweise auf Erfah- rungswerte zurück, anstelle mathematische Überlegungen zu tätigen. Die Gründe für die unangemessene Nutzung des Vorwissens beim Modellieren sind jedoch bislang nicht hin- reichend erforscht. An diesem Desiderat setzt die vorliegende Arbeit an. Im Untersu- chungsfokus steht die Frage, welche Rolle unterschiedliche Arten von Vorwissen beim Modellieren spielen. Die Hauptziele der Arbeit sind, für das Modellieren bedeutende Wissensarten zu charakterisieren und herauszufinden, wie sich die Aktivierung verschie- denen Vorwissens auf den Bearbeitungserfolg auswirkt. Dafür wurden im Rahmen einer Laborstudie die Lösungsprozesse von 18 Lernenden der achten bis zehnten Jahrgangs- stufe mit inhaltsanalytischen Methoden untersucht. Die Ergebnisse zeigen, dass die Ler- nenden ihr mathematisches Wissen häufig auf Grundlage der Oberflächenstruktur der Aufgabe aktivierten, wodurch falsche Lösungswege in Gang gesetzt und realitätsbezo- gene Überlegungen behindert wurden. Wissen über den realen Kontext der Aufgabe wurde von den Lernenden häufig auch dann nicht genutzt, wenn sie an sich über ausrei- chendes Vorwissen verfügten. Metakognitive Aktivitäten stellten sich als bedeutend her- aus, um falsche Lösungswege zu erkennen, wurden allerdings nur sehr selten verwendet. Die Ergebnisse liefern Hinweise darauf, dass Aufgabenmerkmale wie im Text enthaltene Signalwörter, der Unterrichtskontext wie das zuletzt behandelte mathematische Thema, und fehlende Vorerfahrungen mit Modellierungsaufgaben, einen negativen Einfluss auf die Aktivierung adäquaten Vorwissens haben können. Zukünftige Studien sollten diese Faktoren systematisch untersuchen. Für die Unterrichtspraxis kann geschlussfolgert wer- den, dass die Aktivierung adäquaten mathematischen Wissens und die Verwendung me- takognitiver Aktivitäten im Mathematikunterricht durch den Einsatz entsprechender Auf- gaben gefördert werden sollte. Auch sollten Lernende stärker dazu angehalten werden, realitätsbezogenes Vorwissen zum Lösen von Mathematikaufgaben heranzuziehen. Inhaltsverzeichnis Einleitung........................................................................................................................... 1 I Theoretischer Teil .................................................................................................. 5 1 Vorwissen ................................................................................................................. 5 1.1 Bedeutung des Vorwissens .................................................................................. 5 1.2 Zum Begriff des Vorwissens ................................................................................ 6 1.3 Klassifizierung von Wissen in verschiedene Wissensarten .................................. 7 1.3.1 Einteilung in deklaratives und prozedurales Wissen ............................... 8 1.3.2 Erweiterungen und Alternativen zu der Unterteilung in deklaratives und prozedurales Wissen ....................................................................... 10 1.3.3 Klassifikation von Wissen als Analyseinstrument für die empirische Untersuchung ........................................................................................ 14 1.4 Klassifizierung von Wissen in verschiedene Wissensqualitäten ........................ 15 1.5 Repräsentation von Wissen ................................................................................ 17 1.6 Hinderlicher Einfluss von Vorwissen ................................................................ 19 1.6.1 Einstellungseffekte ................................................................................ 20 1.6.2 Fehlvorstellungen .................................................................................. 23 1.7 Vorwissen und kognitive Flexibilität ................................................................. 26 1.7.1 Schlüsselmechanismen der Flexibilität - Erkenntnisse aus der kognitiven Psychologie ......................................................................... 27 1.7.2 Kognitive Flexibilität in der Mathematik .............................................. 32 1.7.3 Flexibilität und multiple Lösungen ....................................................... 34 1.7.4 Fehlende Flexibilität durch träges Wissen ............................................ 36 2 Mathematisches Modellieren ................................................................................. 38 2.1 Bedeutung des Modellierens .............................................................................. 38 2.2 Der Modellierungsprozess ................................................................................. 39 2.2.1 Modellierungsaktivitäten ....................................................................... 40 2.2.2 Modellierungsaktivitäten bei der Aufgabe Riesenrad ........................... 42 2.2.3 Vor- und Nachteile des Modellcharakters des mathematischen Modellierens .......................................................................................... 44 3 Vorwissen und mathematisches Modellieren......................................................... 46 3.1 Die Rolle der Wissensarten beim Modellieren................................................... 46