Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften in Einzeldarstellungen mit besonderer Berucksichtigung der Anwendungsgebiete Band 43 Herausgegeben von J. L. Doob . A. Grothendieck . E. Heinz· F. Hirzebruch E.Hopf· H.Hopf. W.Maak . S.MacLane· W.Magnus M. M. Postnikov . F. K. Schmidt . D. S. Scott· K. Stein Geschaftsfiihrende H erausgeber B. Eckmann und B. L. van der Waerden o. Neugebauer Vorlesungen tiber Geschichte der antiken mathematischen Wissenschaften Erster Band Vorgriechische Mathematik Zweite, unveranderte Auflage Mit 61 Figuren Springer-Verlag Berlin· Heidelberg· New York 1969 Professot O. Neugebauet Brown University, Providence, Rhode Island 02912 Geschiiftsfiihrende Herausgeber: Prof. Dt. B. Eckmann Eidgenassische Technische Hochschule Zurich Prof. Dr. B. L. van det Waerden Mathematisches Institut der Universitiit Zurich ISBN-13: 978-3-642-95096-4 e-ISBN-13: 978-3-642-95095-7 DOl: 10.1007/978-3-642-95095-7 Das Werk ist urheberrechtlich geschutzt. Die dadurch begrundeten Rechte, insbesondere die der Ober setzung, des Nachdruckes, der Entnahme von Abbildungen, der Funksendung, der Wiedergabe auf photomechanischem oder iihnlichem Wege und der Speicherung in Datenverarbeitungsanlagen bleiben, auch bei nur auszugsweiser Verwerlung, vorbehalten. Bei Vervielfiiltigungen fur gewerbliche Zwecke ist gemiiB § 54 UrhG eine Vergutung an den Verlag zu zahlen, deren H ahe mit dem Verlag zu vereinbaren ist. © by Springer-Verlag Berlin' Heidelberg 1934 und 1969 . Library of Congress Catalog Card Number 77-98150 . Softcover reprint oflhe hardeover 2nd edition 1969 Titel-Nr. 5026 Der Mutter gewidmet Vorwort zur ersten Auflage. Die Geschiehte der antiken Mathematik ruht auf zwei zeitlich weit getrennten Fundamenten: es sind dies einerseits die Werke der klassi schen griechischen Mathematik: EUKLlD, ARCHIMEDES und ApOLLONIUS, die dem vierten und dritten vorchristlichen Jahrhundert angehoren, andererseits die agyptischen und babylonischen Texte, die wenigstens in ihrer Hauptmasse mehr als ein J ahrtausend alter sind. Will man die Entstehungsgeschichte des antiken mathematischen Denkens verfolgen, so muB man von diesen beiden einigermaBen festen Stutzpunkten aus gehen. Es ergeben sieh dann vor allem zwei Problemgruppen. Die eine betrifft die geschiehtlichen Vorbedingungen, unter denen die alt orientalische Mathematik entstanden ist, die andere richtet sieh auf die Rekonstruktion der Entstehung der eigentlich griechischen Mathe matik, fUr die uns ja fast alle direkten Quellen fehlen, d. h. auf die Herstellung der Brucke zum Vorgriechischen. Es ist die Absicht dieser Vorlesungen, diese beiden Problemkreise zu skizzieren, die Fragen zu erortem, die sieh aus ihnen ergeben, und die Methoden und Hilfsmittel darzustellen, die uns heute zu einer wenigstens teilweisen Beantwortung znr Verfugung stehen. Es ist nieht meine Absicht, eine in irgendeinem Sinne abschlieBende Gesamtdarstellung unserer heutigen Kenntnisse von der mathematischen Entwicklung der Antike zu geben. Was hier veroffentlicht wird, sind wirklieh Vorlesungen, die ieh fast genau in dieser Gestalt in Kopen hagen gehalten habe. Der Charakter einer Vorlesung bringt es mit sieh, daB ieh zu den einzelnen Fragen wirklich habe Stellung nehmen mussen. Ich habe nieht versucht, dieser Notwendigkeit aus dem Wege zu gehen, sondem habe mieh im Gegenteil bemuht, so pragnant als . irgend moglich die aus unserem Quellenmaterial resultierende Situation zu schildem und die Konsequenzen zu ziehen, die sieh mir daraus zu < ergeben schienen. Es ist also eine durchaus von personlichen Ansiehten getragene Auffassungsweise, die den Leitfaden der Darstellung abgibt. Das ganze Werk ist auf drei Teile berechnet. Der hier v.orliegende erste Teil betrifft nur die altorientalische Mathematik. Der zweite wird sieh mit der griechischen befassen und, wie schon gesagt, seinen Aus gangspunkt von dem einzigen einigermaBen vollstandig erhaltenen Quellenmaterial, also vor allem von ApOLLONIUS und ARCHIMEDES, VIII Vorwort zur ersten Auflage. nehmen und dann in die Vorgeschichte der Euklidischen Mathematik ein zudringen versuchen. Der dritte Band solI sich mit der exakten Astro nomie beschaftigen, also vor allem mit dem grundlegenden und nicht hoch genug einzuschatzenden Werk des PTOLEMAUS einerseits und mit der heute noch ungleich schwierigeren und unzuganglicheren, aber relativ spaten babylonischen Astronomie. So hoffe ich schlieBlich doch eine Art von Gesamtiiberblick iiber die antiken mathematischen Wissenschaften geben zu k6nnen. Ich muB nochmals hervorheben, daB es dabei mein einziges Ziel ist, die Pro bleme, denen wir hier gegeniiberstehen, so deutlich als irgend m6glich herauszuarbeiten und die Verkniipfungen aufzuzeigen, die zwischen ihnen bestehen. Diese VorIesungen k6nnen und sollen aber nicht als ein Kompendium unserer heutigen Quellenkenntnis benutzt werden. Wer sich sinnvoll mit Einzelfragen beschaftigen will, dem kann nicht erspart werden, sich selbst in die Originalquellen einzu arbeiten. Vorlesungen, wie die hier ver6ffentlichten, k6nnen nur den Sinn haben, daB sie einem weiteren Kreis zu zeigen versuchen, zu welchen Resultaten man aus der Beschaftigung mit den uns erhaltenen Resten der antiken mathematischen Literatur kommen kann und auf welchen Voraussetzungen diese Arbeit ruht. Es ist das erste Mal, daB versucht wird, eine geschlossene Dar stellung der Geschichte der vorgriechischen Mathematik zu geben. Niemand wird sich mehr bewuBt sein als ich, wie sehr liickenhaft das Material ist, auf dem sich eine solche Darstellung aufbauen muB. Gleich zeitig mit dies en VorIesungen kommt eine Edition aller mir bekannt gewordenen mathematischen Keilschrifttexte zum Druck, in der ich mich bemiiht habe, soweit als irgend m6glich, ohne jede geschichtliche Konstruktion, das Textmaterial in allen seinen Einzelheiten zuganglich zu machen. Wer die hier gegebene Darstellung der babylonischen Mathematik nachpriifen und erganzen will, sei also ausdriicklich auf diese Bearbeitung hingewiesen. Fiir den weiteren Kreis, an den sich diese VorIesungen richten, wird selbstverstandlich eine Kenntnis dieses Materials hier nicht vorausgesetzt. Es ist klar, daB bei einem so neu erschlossenen Gebiet wie der vorgriechischen Mathematik die kom mende Zeit vieles von dem zu erganzen und zu berichtigen berufen sein wird, was hier gesagt ist. Ich sehe aber die eigentliche Aufgabe solcher VorIesungen darin, auch andere zum N achdenken iiber die be handelten Fragen anzuregen. Wenn dies zu besseren Ergebnissen fiihrt, als ich sie hier zu formulieren imstande war, so scheint mir dies wichtiger, als durch sorgfaltiges Schweigen einen Irrtum in meinen Ansichten verbergen zu k6nnen. Ich bedaure es eigentlich, daB die ErschlieBung der babylonischen Mathematik notgedrungen verkniipft ist mit der zeitlichen Vorver- Vorwort zur ersten Auflage. IX legung der Entdeckung vieler mathematischer S1I.tze und Zusammen h1l.nge. Ich hoffe aber, daB diese Vorlesungen einem Leser, dessen Interesse auf Priorit1l.tsfragen gerichtet ist, nur wenig bieten wird. Die Zeit ist zwar das unvermeidliche Koordinatensystem der Geschichte, aber sie ist auch nicht mehr. Unsere Kenntnisse von der vorgriechischen Mathematik sind auBerdem weit davon entfernt, eine im zeitlichen Sinn geschlossene Geschichtsdarstellung zu ermoglichen. Und selbst wenn unser Textmaterial ein zeitlich vielfach dichteres w1l.re, so wiirde ich doch eine chronologische Darstellung der vorgriechischen Mathe matik fiir einen grunds1l.tzlichen Fehler halten. Denn wie sich die Ge schichte des antiken Denkens immer vor dem groBen Hintergrund des Hellenismus abspielen wird, so ist die Spezialgeschichte des Vorgriechi schen wesentlich bedingt durch den Dualismus zwischen der Kultur Agyptens und der der mesopotamischen Volker. So moB, scheint mir, gerade die Untersuchung der vorgriechischen Mathematik immer auf diese doppelte Ausdrucksmoglichkeit eines Prozesses das Hauptaugen merk richten. Diese Dualit1l.t zweier gleichzeitiger und in ihrer ganzen Problemlage durchaus analoger Entwicklungsvorg1l.nge mit vollig ver schiedenen Resultaten ist ein so einzigartiges Geschenk des Schicksals, daB es sich des wesentlichsten Hilfsmittels zu einem tieferen Ver st1l.ndnis berauben hieBe, wenn man zugunsten irgendeiner "systemati schen" Darstellung auf das immerw1i.hrende vergleichende Neben einander von 1I.gyptischem und babylonischem Material verzichten wollte. Dieser Gesichtspunkt hat auch die Disposition dieser Vor lesungen bestimmt, iiber die in der Einleitung noch kurz Auskunft gegeben wird. Ich brauche kaum zu betonen, wiesehrderVerlag Julius Springer mit seiner bekannten GroBziigigkeit auch allen meinen Wiinschen in der 1I.oBeren Ausgestaltung dieses Buches entgegengekommen ist. Dar iiber hinaus habe ich ihm aber auch dafiir ganz besonders zu danken, daB er in all den vergangenen Jahren die Veroffentlichung der Einzel untersuchungen ermoglicht hat, auf denen zum groBen Teil diese Vor lesungen beruhen; vor allem hat er es auch jetzt wieder iibernommen, die umfangreiche Edition des keilschriftlichen Quellenmaterials heraus zubringen, von der schon oben die Rede war. Mein aufrichtiger Dank gilt auch den Freunden R. COURANT und H. BOHR, ohne deren stets lebendiges Interesse und oft tatkr1l.ftige Hilfe ich nicht die Moglichkeit gehabt Mtte, dieses Werk zu einem AbschluB zu bringen. Aber nicht nur ihnen, sondern mit ihnen einem groBen Kreis von Freunden aus Gottingen und Kopenhagen habe ich zu danken. Nur dadurch, daB ich das Gliick hatte, viele Jahre in stetem Gedankenaustausch mit ihnen zu leben und zu arbeiten, habe ich die innere Moglichkeit gehabt, al1m1l.hlich den Fragenkreis aus- x Vorwort zur zweiten Auflage. zubauen, tiber den hier berichtet wird. Ihnen allen sei in Dankbarkeit dieses Buch zugeeignet. Wenn es trotzdem nur einen Namen tragt, so geschieht es, weil er mich mein ganzes Leben als besonderes Symbol treuester Freundschaft begleitet hat. Kopenhagen, 11. Juli 1934. Der Vorderasiatischen Abteilung der Staatlichen Museen in Berlin, die mir in entgegenkommendster Weise ihr reiches einschlagiges Text material zuganglich gemacht hat, habe ich auBerdem fiir die Publika tionserlaubnis von Photographien von Texten ihrer Sammlung zudanken, ebenso wie der Bibliotheque Nationale et Universitaire de Strasbourg. Beim Lesen der Korrekturen hat mich auBer meiner Frau auch Herr Dr. W. FELLER untersttitzt, dem ich auch fUr eine groBe Reihe kritischer Bemerkungen herzlich zu danken habe. Kopenhagen, 8. Oktober 1934. O. NEUGEBAUER Vorwort zur zweiten Auflage. Es wurde eine vollstandige Umarbeitung dieses Werkes bedeutet haben, hatte ich versucht, die Entwicklung der einschlagigen Probleme wahrend der vergangenen 35 Jahre zu berucksichtigen. Daher habe ich mich darauf beschrankt, einige triviale Versehen auszumerzen, das Ganze aber stehen zu lassen, wie es meinen Vorlesungen in Kopenhagen in 1933/34 entsprach. Die seinerzeit geplante Fortsetzung in das Gebiet der antiken Astronomie ist zum Teil durch meine Vortrage in Cornell University, 1949, ersetzt, publiziert unter dem Titel "The Exact Sciences in Antiquity" (2te Aufl. Brown Univ. Press, 1957, Neudruck Dover Publications, New York 1969). Das Textmaterial, aus dem das vorliegende Werk erwachsen ist, wurde als "Mathematische Keilschrift-Texte" in den Quellen und Studien zur Geschichte der Mathematik, Abt. A, Bd. I (in 3 Teilen) 1935-1938 publiziert. Indessen ist viel neues und interessantes Material hinzu gekommen, hauptsachlich publiziert in NEUGEBAUER-SACHS, Mathe matical Cuneiform Texts (American Oriental Series, vol. 29, New Haven 1945) und E. M. BRUINS-M. RUTTEN, Textes mathematiques de Suse (Memoires de la Mission Archeologique en Iran, t. 34, Paris 1961). Die mathematisch-astronomischen Texte habe ich in den "Astronomical Cuneiform Texts" (3 Bande, Lund Humphries, London 1955) ver offentlicht. Diese Angaben werden fUr ein tieferes Eindringen in die Fruhgeschichte der Mathematik eine ausreichende Grundlage abgeben. Providence, im Juli 1969. O. NEUGEBAUER Inhaltsverzeichnis. Einleitung ...........••... I. Kapitel. Babylonische Rechentechnik 4 § 1. Reziprokentabellen. • • . • . . . . . 4 a) Vorbemerkungen, Au Beres . . . . . 4 b) Anordnung und Terminologie der Reziprokentabellen 6 c) Berechnungsweise der Reziprokentabellen. . . • • . 9 d) Anhang. Verallgemeinerte Reziprokentabellen. . . . 15 § 2. Andere Tabellentexte und babylonische Rechentechnik iiberhaupt 16 a) Addition und Subtraktion. . . . . . . . . . . . . . •. 16 b) Multiplikation und Division. . . . . . . . . . . . . .. 18 c) Einzelbemerkungen zum System der Multiplikationstabellen 29 1. Auswahlprinzip der Kopfzahlen 29 2. Ergll.nzung von Tabellentexten . . . 30 d) Andere Tabellentexte . • . . . . . . . 32 e) Berechnung irrationaler Quadratwurzeln 33 f) SchluBbemerkung. . . • . . . . 38 Literaturverzeichnis zu Kap. I . . . . . 39 II. Kapitel. Allgeme-ine Geschichte. Sprache und Schrift. 40 § 1. Chronologische und geographische Dbersicht 40 § 2. Prinzip der Keilschrift. . . . . . . . . 49 a) Schreibtechnik . . . . . . . . . . . 50 b) Das Schriftsystem der Keilschrifttexte 53 c) Die Sprachen der Keilschrifttexte 61 d) Die mathematische Terminologie. 67 § 3. Agyptische Schrift. . . . . 72 Literaturverzeichnis zu Kap. II. 78 III. Kapitel. Zahlensysteme. 80 § 1. Problemstellung. . 80 § 2. Die ganzen Zahlen 83 § 3. Bruchteile 86 § 4. Das Sexagesimalsystem 93 a) Tatsachenmaterial, Problemstellung. 94 b) MaBsysteme . . . . . . • . . . . 100 c) Die Entstehungsgeschichte des sexagesimalen Positionssystems 105 Literaturverzeichnis zu Kap. III . . . . . . 109 IV. Kapitel. Agyptische Ma thema tik. . . . 110 § 1. Der Typus der lI.gyptischen Mathematik. 110 a) Die Quellen . . . . . . . . . . . . 110 b) Allgemeine Charakterisierung der mathematischen Texte . 111 XII Inhaltsverzeichnis. § 2. Agyptische Geometrie 122 a) Ebene Aufgaben 122 b) Volumina . . . . 125 c) M 10 . . . . . . 129 § 3. Agyptische Bruchrechnung 137 a) Hilfszahlenalgorithmus 137 2 b) Der Aufbau der n-Tabelle 147 Literaturverzeichnis zu Kap. IV 165 V. Kapitel. Babylonische Mathematik. 166 § 1. Geometrie 166 § 2. Arithmetisches 171 § 3. Algebra 175 a) Lineare Gleichungssysteme 175 1. Dreieckszerlegung (5 Unbekannte) 175 2. Dreieckszerlegung (10 Unbekannte) 180 3. Zwei Unbekannte . . . 181 b) Quadratische Gleichungen . . . 183 1. Dreieckszerlegung . . . . . 183 2. Weitere Dreieckszerlegungen 185 3. Unhomogene Gleichungen. . 185 4. Quadratische Gleichungen fur reziproke Zahlen 186 5. Serien von Aufgaben uber quadratische Gleichungen 188 c) Biquadratische Gleichungen.. . . . . . . . . . . . . 189 1. Biquadratische Gleichungen fUr "La.nge" und "Breite" 189 2. Serien biquadratischer Gleichungen . . . . . . . . 190 3. Weitere Aufgaben uber biquadratische Gleichungen . 192 § 4. "Transzendente" Probleme. . . . 193 1. Kubische Gleichungen . . . . . . . 193 2. Zins- und Zinseszinsrechnung. . . . 197 3. Tabellentexte und ihre Terminologie. 199 § 5. Ruckblick und allgemeine Problemlage 202 Literaturverzeichnis zu Kap. V 208 Sachverzeichnis . . . . . . . . . . . . . 209