Felix Klein Vorlesungen tiber die Entwicklung der Mathematik im 19. Jahrhundert Ausgabe in einem Band Reprint Springer-Verlag Berlin Heidelberg New York 1979 ISBN-13: 978-3-540-09235-3 e-ISBN-13: 978-3-642-67230-9 001: 10.1007/978-3-642-67230-9 Das Werk ist urheben:~cht1ich geschiitzt. Die dadurch begriindeten Rechte, insbesondere die der Ubersetzung, des Nachdrucks, der Entnahme von Abbildungen, der Funksendung, der Wiedergabe aufphotomechanischem oder iihnlichem Wege und der Speicherung in Datenverarbeitungsanlagen bleiben, auch bei nur auszugs weiser Verwertung, vorbehalten. Bei Vervielfaltigungen fUr gewerbliche Zwecke istgem. § 54 UrhG eine Vergiitung an den Verlag zu zahlen, deren Hohe mitdem Verlag zu vereinbaren ist. Copyright 1926 and 1927 by Julius Springer in Berlin Reprografischer Nachdruck: Druckerei Erwin Lokay, Reinheim/Odenwald Einband: Grafischer Betrieb Konrad Triltsch, Wiirzburg 2140/3014-54321 DIE GRUNDLEHREN DER MATHEMATISCHEN WISSENSCHAFTEN IN EINZELDARSTELLUNGEN MIT BESONDERER BEROCKSICHTIGUNG DER ANWENDUNGSGEBIETE GEMEINSAM MIT W. BLASCHKE M. BORN C. RUNGE HAMBURG GOTTINGEN GOTTINGEN HERAUSGEGEBEN VON R. COURANT GOTTINGEN BAND XXIV VORLESUNGEN UBER DIE ENTWICKLUNG DER MATHEMATIK 1M 19. JAHRHUNDERT VON FELIX KLEIN BERLIN VERLAG VON JULIUS SPRINGER 1926 FELIX KLEIN VORLESUNGEN DBER DIE ENTWICKLUNG DER MATHEMATIK 19. 1M JAHRHUNDERT TElL I FUR DEN DRUCK BEARBEITET VON R. COURANT UND O. NEUGEBAUER MIT 48 FIGUREN BERLIN VERLAG VON JULIUS SPRINGER 1926 Vorwort. Kaum jemals wird tin Werk eines Historikers einen so starken Reiz tiben und so tiefe Einblicke in das Wesen der Geschichte offnen wie Gedanken und Erinnerungen eines groBen Staatsmannes, welcher selbst ein langes Leben hindurch an fUhrender Stelle in die Geschicke der Welt eingegriffen hat und eine tiberlegene geistige Per sonlichkeit mit der Kraft ktinstlerischer schriftstellerischer Gestaltung verbindet. Solchc Werke, schon fUr die politische Geschichte eine kostbare Seltenheit, sind fiir die Geschichte der exakten Wissenschaften bis her wohl kaum geschrieben worden. Urn so notwendiger erschien es, als Felix Klein vor Jahresfrist starb, mit der Herausgabe seiner Vor lesungen zur Geschichte der Mathematik und mathematischen Physik des 19. Jahrhunderts nicht zu zogern. Diese Vorlesungen sind die reife Frucht eines reichen Lebens in mitten der wissenschaftlichen Ereignisse, der Ausdruck tiberlegener Weisheit und tiefen historischen Sinnes, einer hohen menschlichen Kultur und einer meisterhaften Gestaltungskraft; sie werden sicherlich auf aIle Mathematiker und Physiker und weit tiber diesen Kreis hin aus eine groBe Wirkung austiben. In einer Zeit, wo der Blick der Menschen auch in der Wissenschaft allzusehr am Gegenwartigen hangt und das Einzelne in unnatiirlicher VergroBerung und iiber triebener Bedeutung gegentiber dem Ganzen zu betrachten pflegt, kann das Kleinsche Werk vielen die Augen wieder offnen fUr die Zusammenhange und Entwicklungslinien unserer Wissenschaft im GroBen. Schon zu Lebzeiten Kleins haben diese Vorlesungen, in zahlreichen Schreibmaschinen-Abschriften verbreitet, einen starken Zauber aus getibt. Klein hat diese Vortrage wahrend der erst en Kriegsjahre in seiner Wohnung vor einem engen Kreise gehalten und mit Unter brechungen bis zum Jahre 1919 fortgesetzt. Die Veranlassung war urspriinglich der Plan, eine groBere Darstellung im Rahmen der "Kultur der Gegenwart" vorzubereiten. Aber zur AusfUhrung dieser Absicht ist es nicht mehr gekommen. Klein selbst dachte in seinen letzten Lebensjahren daran, gewissermaBen als AbschluB seiner Lebensarbeit, diese Vortrage noch einmal grtindlich zu tiber arbeiten und zu erganzen und sie dann als selbstandiges Werk zu veroffentlichen. VI Vorwort. Seine Krankheit und dann sein Tod haben die AusfUhrung des Planes verhindert, und so blieb fUr diejenigen, die mit der Her ausgabe des Kleinschen Nachlasses betraut wurden, die schwere Ent scheidung, ob und wie weit sie an diesen Vorlesungen Erganzungen und Anderungen vornehmen durften. Wir haben uns dazu entschlossen, so wenig wie moglich an dem von Klein selbst herriihrenden Text zu andern und uns auf tatsachliche Berichtigungen, kleine Zusatze und notwendige rein auBere Umgestaltungen zu beschranken. GewiB, das Werk in der Form, wie es jetzt herauskommt, tragt durchaus den Stempel des Fragmentarischen und Unfertigen; es ist mehr ein Ent wurf als eine fertige ausgeglichene geschichtliche Darstellung. Der Cha rakter seiner AusfUhrungen ist keineswegs einheitlich. Neben Ausein andersetzungen von hochstem allgemeinen Interesse und mehr popuHirem Stile finden wir, besonders gegen SchluB des Buches hin, viele ins Einzelne dringende Darstellungen; der zweite Band vollends wird vor allem der Darstellung einer einzigen Disziplin, namlich der allgemeinen Invariantentheorie und Relativitatstheorie in ihrer historischen Ent wicklung gewidmet sein. Nicht iiberall ist die historische Darstellung nach allen Richtungen hin gleichmaBig abgewogen; charakteristisch dafUr ist z. B., daB Zahlentheorie, Algebra und Mengenlehre nicht voll gewiirdigt werden; auch finden sich manche andere AusfUhrungen und Wertungen, die vieileicht ein wenig subjektiv anmuten. Die ur spriinglich geplanten Kapitel iiber Poincare und Lie fehlen ganz. Aber was bedeuten aile diese Dinge gegeniiber dem lebendigen Geist, der uns aus jeder Seite des Kleinschen Manuskriptes entgegenweht? Und schon deswegen ware es uns als ein Unrecht erschienen, zu andern und zu erganzen, auch wenn die wiirdige Erfiillung dieser Aufgabe nicht allzusehr iiber unsere Krafte gegangen ware. Den groBten Teil der trotz aHem sehr erheblichen Arbeit, die bei der Herausgabe zu leisten war, hat der jiingere der Bearbeiter auf sich genommen. 1m ubrigen schulden wir einer Reihe von Fachgenossen fUr wert volle Ratschlage und Hilfe bei der Korrektur herzlichen Dank; ins besondere Herrn Caratheodory in Miinchen, Herrn Struik in Delft, Herrn Muller in Hannover; vor aHem aber Herrn Bessel-Hagen in Gottingen, dessen hilfreiche Sorgfalt bei der Durchsicht der Korrek turen und KontroHe mancher historischen Tatsache fUr die Heraus geber von unschatzbarem Wert war. Gottingen, August 1926. R. Courant. O. Neugebauer. Inhaltsverzeichnis. Seite Einleitung. . . . . 1 Erstes Kapitel. GauB. Allgemeines . • • . . . 6 Angewandte Mathematik. Astronomie • . . . 7 Ceres ..... 8 Storungstheorie, Pallas 9 Allgemeine Resultate . 12 Geodasie ••..... 13 Landesvermessung . 13 Differentialgeometrie 15 Physik ....... . 17 Allgemeines, Alexander v. Humboldt 17 Wilhelm Weber 18 Die Elektrodynamik vor GauE und Weber 19 GauE und Weber . . • . . • . 20 Erdmagnetismus, Kugelfunktionen . 21 Potentialtheorie 22 Elektrodynamik .... 23 Reine Mathematik. Biographisches 24 Arithmetik, Algebra, Analysis 25 NachlaE, Tagebuch 29 GauE' Entwicklungsgang 31 Sachliche Ausfuhrungen 35 Zahlengitter und quadratische Formen . 35 Elliptische Funktionen usw. 39 Allgemeine elliptische Funktionen, doppelt periodische Funktionen, Modulfunktion ..... 39 p, 8J', g2, g3; O'-Funktionen. . . 41 Thetafunktionen. . •. . . . . 42 Stufentheorie, Multiplikation und Teilung 43 Komplexe Multiplikation . . . . . . . . 45 Modulformen und Modulfunktionen . . . 46 Elliptische Integrale und arithmetrisch-geometrisches Mittel 49 Kritische Leistungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 Fundamentalsatz der Algebra . . . . . . . . . . . . . 54 Grundlagen der Geometrie, nichteuklidische Geometrie 57 Allgemeinwurdigung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 VIII Inhaltsverzeichnis. Zweites Kapitel. Frankreich und die £cole Polyt echnique in den ersten J ahrzehnten des 19. Jahrhunderts. Sei!e Entsfehung und Organisation der Schule. . . . . . 63 J,fechanik und mathematische Physik. Allgemeines 66 Poisson 67 Fourier .. 68 Cauchy .. 70 Biographisches 71 Cauchys Werke; Elastizitat und Optik. 73 Sadi Carnot. . . 74 Poncelet, Coriolis 75 Geometrie. Monge .... 77 Monges Schule 79 Dupin 79 Carnot d. Alt. 79 Poncelet 80 .4 nalysis und Algebra. Cauchy ................... . 82 Grundlegung der Analysis und Infinitesimalrechnung 82 Differentialgleichungen . . . . . . . . . . . . 85 Komplexe Funktionen . . . . . . . . . . . . 86 Abflauen des mathematischen Lebens in Frankreich 87 Galois ........ . 88 Die Galoissche Theorie. . 89 Drittes Kapitel. Die Griindung des Crelleschen Journals und das Aufbliihen der reinen Mathematik in Deutschland. Allerlei Plane in Berlin; Crelle . . . . . . 93 A nalytiker des Crelleschen Journals. Dirichlet ..... 96 Zahlentheorie, .\nalysis. . . . . . . 97 Mechanik und mathematische Physik 98 Abel ............. . 100 Biographisches und Allgemeines . 100 Zum Abelschen Theorem 103 Wettkampf mit Jacobi. . . . . 106 Jacobi ............. . 108 Elliptische Funktionen, Thetareihen llO Die Konigsberger Schule . . . ll2 Geometer des Crelleschen Journals. Gegensatz der Richtungen ll5 Moebius ............ . ll6 Inhaltsverzeichnis. IX Seite Pliicker. . . . 119 Physik .. 120 Geometrie 121 Zum Pascalschen Satz 122 Dreieckskoordinaten, beliebiges Raumelement . 123 Pliickersche Formeln . 124 Steiner . . . . . . . . . . . 126 Projektive Erzeugung 129 Isoperimetrisches Problem 131 Viertes Kapitel. Die Entwicklung der algebraischen Geometrie uber Moebius, Plucker und Steiner hinaus. Einleitung . . 131 Herausarbeitung einer rein proiektiven Geometrie. Staudt ... 132 Definition der allgemeinen projektiven Koordinaten. . 134 Moderne Erweiterung auf das irrationale Gebiet 135 Deutung des Imaginaren in der projektiven Geometrie 136 Beispiel: Die neun Wendepunkte einer ebenen Kurve dritter Ordnung 138 Chasles und seine Schule . 140 Historische Interessen 142 Ausbildung der Lehre yom Kugelkreis . 143 Beispiel: Die konfokalen Flachen zweiten Grades 145 Cayley .................... . 147 Allgemeine projektive MaJ3bestimmung. . . . . 148 System der Geometrie auf projektiver Grundlage; nichteuklidische Geo metrie, Klein; Beltrami, Clifford . . . . . . 149 Die parallellaufende Entwicklung der Algebra; die Illvariantentheorie. Anfange und Hauptlinien der Entwicklung . 155 Historischer Verlauf 156 Jacobi . . . . . . . . . 157 Hesse ........ . 159 Beispiel: vVendepunkte einer ebenen Kurve n-ter Ordnung. 160 Cayley, Sylvester 162 Salmon ........ . 163 SchluJ3bemerkungen zur Theorie der Formen 165 Interessante Einzelprobleme. . . . . . . . . . 166 Der Raum von n Dimensiollen und die allgellleinen komplexen Zahlen. Allgemeines, Widerstande und MiJ3verstandnisse . . . . . 167 Spiritisten. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169 Positive Ausbildung und Anwendung der Theorie; Lagrange, Cauchy, Cayley 170 Pliicker . 171 Riemann ..... . li2 GraJ3mann ....... . 173 Die Ausdehnungslehre 175 Axiomatisches zur Arithl1letik, hahere komplexe Zahlen 177 Spezialuntersuchungen . . . 180 Pfaff sches Prob lel1l . . . 180 Lineale Konstruktionen. 180 Die GraJ3l1lannianer 181