Volume n° Application linéaire Géraud Sarrebourse de la Guillonnière 21 mai 2013 Table des matières 1 Application linéaire 1 1.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.2 Image et noyau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.3 Rang et nullité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.4 Théorème du rang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.5 Continuité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.6 Structure algébrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.6.1 Application linéaire nulle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.6.2 Application linéaire identité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.6.3 Espace vectoriel (L(E,F),+,•) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.6.4 Anneau (L(E,F),+,o). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.6.5 Norme sur L(E,F) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.6.6 Espace de Banach L(E,F) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.7 Forme linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.7.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.7.2 Base duale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.7.3 Sous-espace orthogonal de A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.7.4 Bidual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 2 Application linéaire remarquable 9 2.1 Endomorphisme nilpotent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 2.2 Homothétie de rapport α . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 2.3 Projecteur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 2.3.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 2.3.2 Projection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 2.3.3 Caractérisation d’un projecteur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 2.4 Involution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2.4.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2.4.2 Symétrie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 2.4.3 Caractérisation des involutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.5 Dilatation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.6 Transposée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.7 Rotation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 3 Matrice d’un vecteur dans une base 22 4 Matrice d’AL de E sur F dans 2 bases 23 4.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 4.2 Matrices remarquables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 4.2.1 Matrice nulle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 4.2.2 Matrice unité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 4.2.3 Matrice colonne et ligne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 4.2.4 Matrice canonique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 4.2.5 Matrice triangulaire supérieure et inférieure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 4.2.6 Matrice diagonale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 4.2.7 Matrice d’un projecteur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 4.2.8 Matrice d’une symétrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 4.2.9 Matrice transposée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 4.3 Opération sur les matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 4.3.1 Addition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 4.3.2 Produit par un scalaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 1 4.3.3 Produit de matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 4.3.4 Produit par bloc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 4.3.5 Produit de Kronecker . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 4.4 Calcul en terme de composante de y =f(x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 4.5 Structure algébrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 4.5.1 Espace vectoriel (M (K),+,•) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 mn 4.5.2 Anneau (M (K),+,×) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 n 4.5.3 Algèbre (M (K),+,•,×) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 n 4.6 Matrice inversible dans (M (K),+,×) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 n 4.6.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 4.6.2 Structure algébrique : groupe (GL (K),×) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 n 4.6.3 Unicité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 4.6.4 Inversion d’un produit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 4.6.5 Inversion par bloc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 4.7 Puissance d’une matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 4.8 Formule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 4.8.1 (A+B)n (binôme) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 4.8.2 An−Bn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 4.8.3 An+Bn, (n impaire) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 5 Existence de matrice inversible : déterminant 39 5.1 Déterminant d’une matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 5.1.1 Permutation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 5.1.2 Inversion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 5.1.3 Signature . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 5.1.4 Produit élémentaire de scalaire signé d’une matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 5.1.5 Déterminant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 5.2 Calcul du déterminant en pratique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 5.2.1 Règle de Sarrus pour les matrices 2×2 et 3×3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 5.2.2 Sous-matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 5.2.3 Mineur et cofacteur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 5.3 Autre application du déterminant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 5.3.1 Aire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 5.3.2 Volume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 6 Existence de matrice inversible : th du rang 46 6.1 Rang d’une matrice. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 6.2 noyau et nullité d’une matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 6.3 Théorème du rang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 7 Calcul de matrice inversible : cofacteur 47 7.1 Co-matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 7.2 Matrice adjointe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 7.3 Méthode des cofacteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 8 Elimination de Gauss-Jordan :pivot de Gauss 49 8.1 Matrices et opérations élémentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 8.1.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 8.1.2 Matrice équivalente par ligne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 8.2 Matrice augmentée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 8.3 Matrice échelonnée et échelonnée réduite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 9 Application de l’élimination de Gauss-Jordan 53 9.1 Inverse d’une matrice. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 9.2 Déterminant. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 9.3 Rang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 9.4 Bases de Kerf et Imf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 9.5 Résolution d’un système d’équation linéaire : pivot de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 9.5.1 Équation linéaire complète et homogène . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 9.5.2 Espace vectoriel des solutions de l’équation linéaire homogène . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 9.5.3 Espace affine des solutions de l’équation linéaire complète . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 9.5.4 Système d’équation linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 Mail: [email protected] Tous droits réservés Page no2 sur 96 9.5.5 Espace vectoriel des solutions d’un système d’équation linéaire homogène . . . . . . . . . . . . . . . . 57 9.5.6 Espace affine des solutions d’un système d’équation linéaire complet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 9.5.7 Système d’équation linéaire et matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 9.5.8 Résolution. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 9.6 Résolution d’un système d’équation linéaire : règle de Cramer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 10 Décomposition LU 60 10.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 10.2 Application . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 10.2.1 Déterminant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 10.2.2 Inversion matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 10.2.3 Résolution d’un système d’équation linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 11 Changement de base 61 11.1 Matrice de passage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 11.2 Application . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 11.2.1 Changement de coordonnées pour un vecteur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 11.2.2 Changement de matrice pour une application linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 11.3 Matrice équivalente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 11.4 Matrice semblable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 11.5 Invariant de similitude . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 11.5.1 Déterminant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 11.5.2 Trace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 11.5.3 Rang. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 12 Diagonalisation 67 12.1 Vecteur propre, valeur propre et spectre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 12.2 Polynôme d’un endomorphisme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 12.2.1 Caractéristique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 12.2.2 Invariant de similitude . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 12.2.3 Annulateur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 12.2.4 Minimal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 12.3 Sous-espace stable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 12.4 Espace propre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 12.5 Existence et unicité. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 12.6 Base de diagonalisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 12.7 Application . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 12.7.1 Diagonalisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 12.7.2 Puissance d’une matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 13 Décomposition de Dunford 76 14 Trigonalisation 77 14.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 14.2 Existence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 14.3 Sous-espace caractéristique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 14.4 Vecteur propre généralisé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 15 Décomposition de Cholesky 78 16 Réduction de Jordan 79 16.1 Bloc de Jordan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 16.2 Matrice de Jordan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 16.3 Existence et unicité. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 16.4 Espace caractéristique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 16.5 Base de Jordan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 16.6 Application . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 16.6.1 Proposition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 16.6.2 Réduction de Jordan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 17 Bilan : existence de matrice inversible 82 Mail: [email protected] Tous droits réservés Page no3 sur 96 18 Bilan : matrices remarquables 83 18.1 Matrice nulle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 18.2 Matrice unité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 18.3 Matrice colonne et ligne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 18.4 Matrice canonique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 18.5 Matrice triangulaire supérieure et inférieure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 18.5.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 18.5.2 Déterminant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 18.5.3 Matrice inverse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 18.6 Matrice diagonale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 18.6.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 18.6.2 Déterminant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 18.6.3 Matrice inverse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 18.6.4 Matrice puissance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 18.7 Matrice scalaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 18.8 Matrice transposée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 18.9 Matrice conjuguée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 18.10Matrice nilpotente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 18.11Matrice positive et strictement positive. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 18.12Matrice définie positive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 18.13Matrice de rotation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 18.13.1Déterminant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 18.14Matrice d’un projecteur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 18.15Matrice d’une symétrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 18.16Matrice symétrique et antisymétrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 18.17Matrice de permutation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 18.18Matrice de dilatation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 18.19Matrice de transvection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 18.20Matrice orthogonale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 18.21Matrice de Houscholder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 18.22Matrice de Hadamard . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 18.23Matrice de Hankel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 18.24Matrice de Toeplitz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 18.25Matrice circulante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 18.26Matrice anticirculante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 18.27Matrice de Vandermonde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 18.27.1Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 18.27.2Déterminant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 18.27.3Déterminant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96 Mail: [email protected] Tous droits réservés Page no4 sur 96 Résumé Lorsquel’onavoulucomparerlacardinalitédedeuxensemblesX etY nousavonschercheràdéfinirunecertaineapplication f : X −→ Y qui puisse y répondre : f devait être une bijection (injection et surjection). Dans le cadre de ce volume on cherchera une application f : X −→ Y qui permette de comparer deux e.v E et E(cid:48) c’est-à-dire qui conserve les structures d’e.v ou dit autrement qui en transporte ses structures. Ainsiilnesuffitpasdecomparerdeuxe.vaumoyend’applicationsquelconques.SiE etE(cid:48) sontdese.v,alorslesapplication f : E −→ E(cid:48) que nous devrons étudier doivent tenir compte de la structure algébrique de ces espaces i.e de l’addition et la multiplication par un scalaire. Ces applications sont appelées applications linéaires ou homomorphisme d’e.v et nous verrons que nous pourrons les repré- senter par des tableaux de scalaires. A deux bases de E et E(cid:48) ce tableau sera alors unique. Ceux-ci seront appelés également matrices relativement aux bases de E et E(cid:48). Les matrices permettrons (avec des théorèmes d’existence et des procédés de calcul)dedonnerl’ensembledessolutionsd’unsystèmed’équation(relativementàunebased’e.v)quel’onrencontresouvent en physique. Cependant la résolution de certain système d’équation (en général dans la base canonique de Cn ou Rn) via les matrices peuvent s’avérer long et donc gourmand en opération calculatoire. Dans ce cas on cherchera des bases de E et E(cid:48) pour lesquelles la matrice soit beaucoup plus simple : nous parlerons alors de réduction d’endomorphisme. Dans ce volume nous travaillerons principalement sur des e.v et des corps. Les lois de composition, comme l’addition + et la multiplication . sont souvent notées sans distinction, c’est-à-dire qu’on doit pouvoir retrouver seul, s’il s’agit de loi de compositiondeE ouK.Afindenepassetromper,etdebienfixercorrectementlesnotations,nousavonschoisisd’utiliserdes couleurspourdésignerlesdifférentesloisdecompositiondeEouK(aulieudenoter+ ,. ...quiestuneécriturepluslourde): E E (E, + , • ),(F, + , • ) et (K, + , • ) (cid:124)(cid:123)(cid:122)(cid:125) (cid:124)(cid:123)(cid:122)(cid:125) (cid:124)(cid:123)(cid:122)(cid:125) (cid:124)(cid:123)(cid:122)(cid:125) (cid:124)(cid:123)(cid:122)(cid:125) (cid:124)(cid:123)(cid:122)(cid:125) lci lce lci lce lci lci De plus nous préciserons par un indice les éléments neutres pour les lois additives et multiplicatives : 0E,1E,0K,1K Notons que les homomorphismes d’e.v ou application linéaire sont les mêmes définitions. La première étant orientée sur les propriétés des e.v via cette fonction et la deuxième plus dirigée vers les propriétés de cette fonction. Certaines propriétés sur les homomorphismes du volume des e.v seront "mise à jour", ici en temps qu’application linéaire. Dans ce cas on rappellera la proposition correspondante du volume e.v par un encadré e.v proposition 23 p56 . Pourterminernousrappelonslaremarquequiaétéfaitedanslevolumesurlese.vàsavoirqu’onneconfondrapasunvecteur (un point) avec le vecteur composante associé. Par exemple si on prend le point (3,2) ∈ R2 et B = {e (1,0);e (0,1)} alors 1 2 levecteurcomposantedeR2 est(3,2).Levecteurcomposantedupoint(3,2)danslabaseB ={e (2,0);e (0,1)}sera(3/2,1) 1 2 Chapitre 1 Application linéaire 1.1 Définition Définition 1. K désignera un corps. Soient E et F deux K-espaces vectoriels. On appelle application linéaire de E dans F ou morphisme (homomorphisme) d’e.v ou opérateur linéaire ou transformation linéaire toute application f vérifiant : 1. ∀(x,y)∈E2, f(x+y)=f(x)+f(y) (additivité) 2. ∀(α,x)∈K×E, f(α•x)=α•f(x) (homogénéité) On dira également que f est K-linéaire. Vocabulaire : L’ensemble des applications linéaires de E dans F est noté LK(E,F). Dans le cas où l’on a une application linéaireavecE =F,l’onparlerad’endomorphismeetl’ensembledesendomorphismesseraLK(E,E)=LK(E)ousimplement s’il ni a pas d’ambigüité L(E). Si f : E −→ F est une application linéaire bijective on dira que f est un isomorphisme de E vers F. Si f : E −→ F est une application linéaire injective on parlera de monomorphisme. Avec f une application linéaire surjective on parlera d’épimorphisme. Enfin on dit que f est un automorphisme ssi E = F et f est linéaire bijective. On notera l’ensemble des automorphismes GLK(E) ou GL(E). L’ensemble des applications linéaires continues sera noté LK(E,F), des automorphismes GLK(E) Commeindiquerdansleliminairedecevolume,unhomomorphismed’e.vestuneapplicationlinéaire.Paracquisdeconscience nous allons remettre ici un certain nombre de propriété des homomorphismes mais adapté avec le vocabulaire d’application linéaire. Un encadré indiquera le lien vers le volume sur les e.v Proposition 2. Si f ∈L(E,F) alors f(0 )=0 et ∀α ∈K,∀x ∈E,f(α x +...+α x )=α f(x )+...+α f(x ) E F i i 1 1 n n 1 1 n n Preuve : application linéaire (5).pdf 1/10 Comme f ∈ L(E,F) on a f(x+y) = f(x)+f(y) donc en particulier pour x = y = 0 , f(0 +0 ) = f(0 )+f(0 ) soit E E E E E f(0 )=f(0 )+f(0 )⇔2f(0 )−f(0 )=0 ⇔f(0 )=0 E E E E E F E F a faire... Voici une définition équivalente : Définition 3. f est linéaire de E dans F ssi ∀(x,y)∈E2,∀α∈K : f(α•x+y)=α•f(x)+f(y) Preuve : Si f est une application linéaire de E dans F alors f(α.x+y) = f(αx)+f(y) = α.f(x)+f(y). Réciproquement si on a f(α.x+y) = α.f(x)+f(y) alors en particulier pour y = 0 on aura f(α.x+0) = α.f(x)+f(0). Or f(0) = 0 donc E 1 CHAPITRE 1. APPLICATION LINÉAIRE pour y =0 on a f(α.x+0)=α.f(x) soit f(α.x)=α.f(x) E De plus si α = 1K on aura f(α.x+y) = α.f(x)+f(y) c’est-à-dire f(x+y) = f(x)+f(y). Au final si f est une appli- cation linéaire de E sur F alors f(α.x+y) = α.f(x)+f(y) et si f(α.x+y) = α.f(x)+f(y) alors f(α.x) = α.f(x) et f(x+y)=f(x)+f(y). Les deux définitions sont donc équivalentes. Voici enfin une dernière définition équivalente : Définition 4. f est linéaire de E dans F ssi ∀(x,y)∈E2,∀α,β ∈K2 : f(α•x+β•y)=α•f(x)+β•f(y) Preuve : Si on a f(α.x+β.y) = α.f(x)+β.f(y) alors en particulier pour α = β = 1K on aura f(x+y) = f(x)+f(y). De même si y = 0 alors f(α.x + β.0) = f(α.x) = α.f(x) + β.f(0) = α.f(x) + 0 = α.f(x). Ainsi f est linéaire. E Réciproquement si ∀(X,Y) ∈ E2, f(X + Y) = f(X) + f(Y) alors pour X = α.x ∈ E et Y = β.y ∈ E on aura f(α.x+β.y)=f(α.x)+f(β.y)=α.f(x)+β.f(y) Remarque : On voit que f conserve le caractère de combinaison linéaire. Dit autrement l’image d’une combinaison linéaire est encore une combinaison linéaire. C’est pourquoi f vérifiant cette propriété est dite linéaire. f :R3 −→R2 Exemple 1.1.1 Soit (x,y,z)(cid:55)−→(2x−3y,z) Soit u = (x,y,z) et v = (x(cid:48),y(cid:48),z(cid:48)) et λ ∈ R, on aura alors f(λ.u+v) = f(λ(x,y,z)+(x(cid:48),y(cid:48),z(cid:48))) = f((λ.x+x(cid:48),λ.y + y(cid:48),λ.z+z(cid:48)))=(2(λ.x+x(cid:48))−3(λ.y+y(cid:48)),λ.z+z(cid:48))=(2λ.x−3λ.y+2x(cid:48)−3y(cid:48),λ.z+z(cid:48))=(2λ.x+3λ.y,λ.z)+(2x(cid:48)−3y(cid:48),z(cid:48))= λ(2x−3y,z)+(2x(cid:48)−3y(cid:48),z(cid:48))=λ.f(u)+f(v) donc f est une application linéaire (f est R-linéaire). f :E −→E Exemple 1.1.2 Soient E un K−ev et x (cid:54)=0 ∈E, on définit l’application x0 0 E x(cid:55)−→x+x 0 On a f (x+y) = x+y+x . De plus f (x)+f (y) = (x+x )+(y+x ) donc comme x (cid:54)= 0 on en déduit que f (x+y) (cid:54)= x0 0 x0 x0 0 0 0 x0 f (x)+f (y). L’application f n’est pas linéaire. x0 x0 x0 siE =R2 etparexemplepourx (1,1)(vucommeunvecteur)etx(2,0)(vucommeunpoint)onauraf (x)=x+x =(3,1) 0 x0 0 (vu comme un point). , Exemple 1.1.3 Soient R2 l’espace vectoriel sur R et R l’espace vectoriel sur R. Ici +=+ et •=•. f :R2 −→R On pose (x,y)(cid:55)−→xy ∀α∈R,∀(x,y)∈R2 on a f(α•(x,y))=f(α•x,α•y)=α2•x•y et α•f(x,y)=α•x•y donc la proposition "∀α∈R,∀(x,y)∈ R2,f(α(x,y))=αf(x,y)" est fausse. L’application f n’est pas linéaire. Exemple 1.1.4 Prenons E = F = R et K = R. Soit a ∈ R∗ = K∗. On définit l’application f(x) = a.x. On a pour x,y ∈R,f(x+y)=a(x+y)=ax+ay =f(x)+f(y) et pour α∈R=K,f(αx)=a.αx=αax=αf(x). De sorte que f est une application linéaire. Comme E =F et que f est une bijection (y =ax⇔x=y/a si a(cid:54)=0), f est donc un automorphisme de E. Mail: [email protected] Tous droits réservés Page no2 sur 96 CHAPITRE 1. APPLICATION LINÉAIRE Exemple 1.1.5 Sil’onnoteE =D(R,R)l’ensembledesapplicationsdérivablesdeRdansRalorscelui-cimunidel’addition (lci) et de la multiplication par un scalaire de K = R (lce) défini un K-espace vectoriel. On se donne l’application d qui à f de E on associe d(f) = f(cid:48) de F. Soit f ,f ∈ E alors d(f +f ) = (f +f )(cid:48) = (f )(cid:48)+(f )(cid:48) = d(f)+d(f(cid:48)). De plus si 1 2 1 2 1 2 1 2 α∈R=K alors d(αf)=(αf)(cid:48) =αf(cid:48) =αd(f). Ainsi d est une application linéaire ou un opérateur linéaire. f :C−→C Exemple 1.1.6 Soit C l’espace vectoriel sur le corps K=C et z (cid:55)−→z¯ On a alors pour z,z(cid:48) ∈ C,f(z+z(cid:48)) = z+z(cid:48) = z+z(cid:48) = f(z)+f(z(cid:48)) et pour α ∈ C,f(αz) = αz = α.z = αf(z) (cid:54)= αf(z) si α∈C\{R} Donc f ainsi définie n’est pas linéaire. f n’est pas C-linéaire. Si on définit cette fois-ci C l’espace vectoriel sur le corps K = R on aura fαz) = αf(z) et donc f sera R-linéaire. On retiendra qu’une application linéaire C-linéaire est aussi R-linéaire par contre une application R-linéaire n’est pas forcement C-linéaire. 1.2 Image et noyau Définition 5. Si f est une application linéaire de E dans F, on définit le noyau de f, noté Ker(f) (Kern signifie ’noyau’ en allemand), et l’image de f, notée Im(f), par : Ker(f)={x∈E,f(x)=0 }=f−1(0 ) F F Im(f)={f(x)∈F,x∈E}=f(E) Proposition 6. Si f ∈L(E,F) alors Im(f) et Ker(f) sont des sous-espaces vectoriel respectivement de F et E. Preuve :algèbre licence.pdf 16/144 Proposition 7. Si f ∈L(E,F) et A un sous-espace vectoriel de E et B un sous-espace vectoriel de F alors f(A) et f−1(B) sont des sous-espaces vectoriel respectivement de F et de E. Preuve : Proposition 8. Soit f ∈L(E,F). 1. f est surjective ssi Im(f)=E 2. f est surjective ssi Ker(f)={0 } E Preuve :algèbre licence.pdf 16/144 Proposition 9. Soit f ∈L(E,F) et f bijective alors f−1 ∈L(F,E) Preuve : Soient f(x) = X, f(y) = Y et α,β ∈ K. On a f−1(α.X +β.Y) = f−1(α.f(x)+β.f(y)) = f−1(f(α.x+β.y)) = α.x+β.y =α.f−1(X)+β.f−1(Y) d’où la conclusion. 1.3 Rang et nullité Mail: [email protected] Tous droits réservés Page no3 sur 96 CHAPITRE 1. APPLICATION LINÉAIRE Définition 10. On appelle rang d’une application linéaire f :E −→F la dimension de f(E). Dit autrement rg(f)=rang(f)= dimImf(E) Définition 11. On appelle nullité d’une application linéaire f :E −→F la dimension du noyau de f. Dit autrement null(f)= dimKer(f) 1.4 Théorème du rang Proposition 12. SoientE etF deuxe.vdedimensionfinieouinfiniesuruncorpsKetf ∈L(E,F)alorsrg(f)+null(f)=dim(E) dit autrement dimIm(f)+dimKer(f)=dimE Preuve : Remarque:Lethéorèmedurangpermetdefaireunlienentrelerangd’uneapplicationlinéaire(dimIm(f))etladimension de son noyau (dimKer(f)). Proposition 13. Lorsquelese.vE etF sontdedimensionfinien,lethéorèmedurangpermetd’établirlespropositionssuivantes équivalentes : 1. L’application f est un isomorphisme de E sur F 2. l’application f est surjective 3. l’application f est injective 4. rg(f)=n Preuve : 1.5 Continuité Proposition 14. Soit f ∈L(E,F) alors on a les équivalences suivantes : 1. f est continue sur E 2. f est continue en 0 3. ∃M >0:∀x∈E,||f(x)|| ≤M||x|| F E 4. f est lipschitzienne. Preuve : Proposition 15. Si f ∈L(E,F) avec Dim(E)<+∞ et Dim(F)<+∞ alors f est continue. Mail: [email protected] Tous droits réservés Page no4 sur 96