NNT : Communiqué le jour de la soutenance THÈSE présentée par Lara ABOU ORM pour obtenir le grade de Docteur de l’École Nationale Supérieure des Mines de Saint-Étienne Spécialité : Mécanique et Ingénierie VMS (Variational MultiScale) stabilization for Stokes-Darcy coupled flows in porous media undergoing finite deformations: application to infusion-based composite processing. soutenue à Saint-Etienne, le 27 septembre 2013 Membres du jury Président : Xxxxx XXX Établissement, Ville Rapporteurs : M.Ramon Codina Pr, Universitat Politècnica de Catalunya. BarcelonaTech, Barcelone M.Christian Geindreau Pr, Université Joseph Fourier,Grenoble Examinateurs : M.Luisa Silva Associate professor, CEMEF – ENSMP, Sophia-Antipolis M.Christophe Binetruy Professor, École centrale de Nantes, Nantes Directeur de thèse : M.Sylvain Drapier Pr, ENSMSE, Saint-Étienne Co-directeur de thèse : M.Julien Bruchon Dr,ENSMSE, Saint-Étienne Co-encadrant de thèse : M.Nicolas Moulin Dr,ENSMSE, Saint-Étienne Spécialités doctorales : Responsables : SCIENCES ET GENIE DES MATERIAUX K. Wolski Directeur de recherche MECANIQUE ET INGENIERIE S. Drapier, professeur GENIE DES PROCEDES F. Gruy, Maître de recherche SCIENCES DE LA TERRE B. Guy, Directeur de recherche SCIENCES ET GENIE DE L’ENVIRONNEMENT D. Graillot, Directeur de recherche MATHEMATIQUES APPLIQUEES O. Roustant, Maître-assistant INFORMATIQUE O. Boissier, Professeur IMAGE, VISION, SIGNAL JC. Pinoli, Professeur GENIE INDUSTRIEL A. Dolgui, Professeur MICROELECTRONIQUE Ph. Collot, Professeur EMSE : Enseignants-chercheurs et chercheurs autorisés à diriger des thèses de doctorat (titulaires d’un doctorat d’État ou d’une HDR) AVRIL Stéphane MA Mécanique & Ingénierie CIS BATTON-HUBERT Mireille MA Sciences & Génie de l'Environnement Fayol BENABEN Patrick PR 1 Sciences & Génie des Matériaux CMP BERNACHE-ASSOLLANT Didier PR 0 Génie des Procédés CIS BIGOT Jean-Pierre MR Génie des Procédés SPIN BILAL Essaïd DR Sciences de la Terre SPIN BOISSIER Olivier PR 1 Informatique Fayol BORBELY Andras MR Sciences et Génie des Matériaux SMS BOUCHER Xavier MA Génie Industriel Fayol BRODHAG Christian DR Sciences & Génie de l'Environnement Fayol BURLAT Patrick PR 2 Génie industriel Fayol COLLOT Philippe PR 1 Microélectronique CMP COURNIL Michel PR 0 Génie des Procédés SPIN DARRIEULAT Michel IGM Sciences & Génie des Matériaux SMS DAUZERE-PERES Stéphane PR 1 Génie industriel CMP DEBAYLE Johan CR Image, Vision, Signal CIS DELAFOSSE David PR1 Sciences & Génie des Matériaux SMS DESRAYAUD Christophe MA Mécanique & Ingénierie SMS DOLGUI Alexandre PR 1 Génie Industriel Fayol DRAPIER Sylvain PR 1 Mécanique & Ingénierie SMS FEILLET Dominique PR 2 Génie Industriel CMP FOREST Bernard PR 1 Sciences & Génie des Matériaux CIS FORMISYN Pascal PR 1 Sciences & Génie de l'Environnement Fayol FRACZKIEWICZ Anna DR Sciences & Génie des Matériaux SMS GARCIA Daniel MR Sciences de la terre SPIN GIRARDOT Jean-Jacques MR Informatique Fayol GOEURIOT Dominique MR Sciences & Génie des Matériaux SMS GRAILLOT Didier DR Sciences & Génie de l'Environnement Fayol GROSSEAU Philippe MR Génie des Procédés SPIN GRUY Frédéric MR Génie des Procédés SPIN GUY Bernard MR Sciences de la Terre SPIN GUYONNET René DR Génie des Procédés SPIN HAN Woo-Suck CR SMS HERRI Jean-Michel PR 2 Génie des Procédés SPIN INAL Karim PR 2 Microélectronique CMP KLÖCKER Helmut DR Sciences & Génie des Matériaux SMS LAFOREST Valérie CR Sciences & Génie de l'Environnement Fayol LERICHE Rodolphe CR CNRS Mécanique et Ingénierie SMS LI Jean-Michel EC (CCI MP) Microélectronique CMP MALLIARAS George Grégory PR 1 Microélectronique CMP MOLIMARD Jérôme PR2 Mécanique et Ingénierie SMS MONTHEILLET Frank DR 1 CNRS Sciences & Génie des Matériaux SMS PERIER-CAMBY Laurent PR 2 Génie des Procédés SPIN PIJOLAT Christophe PR 1 Génie des Procédés SPIN PIJOLAT Michèle PR 1 Génie des Procédés SPIN PINOLI Jean-Charles PR 0 Image, Vision, Signal CIS ROUSTANT Olivier MA Fayol STOLARZ Jacques CR Sciences & Génie des Matériaux SMS SZAFNICKI Konrad MR Sciences & Génie de l'Environnement Fayol TRIA Assia Microélectronique CMP VALDIVIESO François MA Sciences & Génie des Matériaux SMS VIRICELLE Jean-Paul MR Génie des procédés SPIN WOLSKI Krzysztof DR Sciences & Génie des Matériaux SMS XIE Xiaolan PR 1 Génie industriel CIS ENISE : Enseignants-chercheurs et chercheurs autorisés à diriger des thèses de doctorat (titulaires d’un doctorat d’État ou d’une HDR) FORTUNIER Roland PR Sciences et Génie des matériaux ENISE BERGHEAU Jean-Michel PU Mécanique et Ingénierie ENISE DUBUJET Philippe PU Mécanique et Ingénierie ENISE LYONNET Patrick PU Mécanique et Ingénierie ENISE SMUROV Igor PU Mécanique et Ingénierie ENISE ZAHOUANI Hassan PU Mécanique et Ingénierie ENISE BERTRAND Philippe MCF Génie des procédés ENISE HAMDI Hédi MCF Mécanique et Ingénierie ENISE KERMOUCHE Guillaume MCF Mécanique et Ingénierie ENISE RECH Joël MCF Mécanique et Ingénierie ENISE TOSCANO Rosario MCF Mécanique et Ingénierie ENISE GUSSAROV Andrey Andrey Enseignant contractuel Génie des procédés ENISE Glossaire : Centres : PR 0 Professeur classe exceptionnelle Ing. Ingénieur SMS Sciences des Matériaux et des Structures PR 1 Professeur 1ère classe MCF Maître de conférences SPIN Sciences des Processus Industriels et Naturels PR 2 Professeur 2ème classe MR(DR2) Maître de recherche FAYOL Institut Henri Fayol PU Professeur des Universités CR Chargé de recherche CMP Centre de Microélectronique de Provence MA(MDC) Maître assistant EC Enseignant-chercheur CIS Centre Ingénierie et Santé DR Directeur de recherche IGM Ingénieur général des mines Dernière mise à jour le : 02 avril 2012 Contents 1 Composite materials, LCM processes and their modelling 5 1.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.2 Composite materials constituents . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.2.1 Matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.2.2 Reinforcements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.3 Manufacturing processes of composite materials . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.3.1 Dry route processes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.3.2 Wet route processes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.4 Industrial context . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.5 Challenges and motivation of this work . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.6 Modelling scales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.6.1 Microscopic scale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.6.2 Mesoscopic scale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.6.3 Macroscopic scale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.7 Multi-domain modelling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.8 Multi-phyiscal modelling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.9 Conclusions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2 Stabilized finite element methods for Stokes, Darcy and Stokes-Darcy cou- pled problem 19 2.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2.2 Stokes-Darcy coupled problem: strong and weak formulations . . . . . . . . . . 20 2.2.1 Modelling of the fluid part . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2.2.2 Flow of resin into preforms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2.2.3 Stokes-Darcy coupled problem. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 2.3 Stability of the mixed continuous and discretized problems . . . . . . . . . . . . 31 2.3.1 Stability of the mixed continuous problem . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 2.3.2 Stability of the Galerkin discretized mixed problem . . . . . . . . . . . . 35 2.4 Mixed stable and stabilized finite elements for Stokes problem . . . . . . . . . . 37 2.4.1 Stable mixed finite elements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 2.4.2 Residual and penalized methods . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 i Contents 2.4.3 Multiscale Methods. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 2.4.4 StabilizedfiniteelementmethodsbasedonmultiscaleenrichmentofStokes problem and Petrov Galerkin approximation . . . . . . . . . . . . . . . . 45 2.5 Stabilized finite elements for discretization of Darcy’s equations . . . . . . . . . 48 2.5.1 Stable mixed elements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 2.5.2 Residual and penalized methods . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 2.5.3 Multiscale Methods. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 2.5.4 Galerkin Least Squares methods . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 2.6 Stabilized finite elements for Stokes-Darcy coupled problem . . . . . . . . . . . 56 2.7 Conclusions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 3 Variational MultiScale method to stabilize Stokes, Darcy and Stokes-Darcy coupled problem 59 3.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 3.2 Variational MultiScale method "VMS" applied to Darcy problem . . . . . . . . 60 3.2.1 Stability of the continuous problem of Darcy . . . . . . . . . . . . . . . 60 3.2.2 Stabilized finite element method based on "VMS" theory . . . . . . . . 61 3.2.3 VMS method for Darcy problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 3.2.4 Choice of the subgrid projection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 3.2.5 Choice of the length scale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 3.2.6 Stability of the ASGS method for Darcy problems . . . . . . . . . . . . 68 3.3 Variational MultiScale method "VMS" applied to Stokes problem . . . . . . . . 70 3.3.1 Stability of the continuous Stokes problem . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 3.3.2 VMS method for Stokes problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 3.3.3 Stability of the ASGS method for Stokes problem . . . . . . . . . . . . . 74 3.4 "VMS" methods applied to Stokes-Darcy coupled problem . . . . . . . . . . . . 76 3.4.1 Generalized study of the continuous coupled problem . . . . . . . . . . . 76 3.4.2 Stokes-Darcy problem stabilized with ASGS method . . . . . . . . . . . 78 3.4.3 Stability of the bilinear form of the Stokes-Darcy coupled problem . . . 79 3.5 Interface capturing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 3.5.1 Turning a surface integral into a volume integral . . . . . . . . . . . . . 81 3.5.2 Exact computation of the surface integral . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 3.6 Conclusions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 ii Contents 4 Validation of ASGS method for Stokes-Darcy coupled problem in severe regimes 87 4.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 4.2 Validation of the Stokes problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 4.2.1 Poiseuille flow . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 4.2.2 Study of the rate of convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 4.3 Validation of the Darcy problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 4.3.1 Radial flow . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 4.3.2 Study of the rate of convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 4.4 Validation of Stokes-Darcy coupled problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 4.4.1 Study of the rate of convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 4.4.2 Perpendicular flow . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 4.4.3 Parallel flow . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112 4.4.4 Interface capturing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118 4.4.5 Inclined interface . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119 4.5 Complex geometries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123 4.5.1 Curved interface, 2D simulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123 4.5.2 3D simulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125 4.6 Conclusions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130 5 Interface capturing and large deformation of preforms 131 5.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132 5.2 Interface capturing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132 5.2.1 Monitoring of interfaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132 5.2.2 Interface capturing with level set method . . . . . . . . . . . . . . . . . 137 5.2.3 Numerical scheme to transport the level set function . . . . . . . . . . . 141 5.2.4 Numerical tests . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146 5.3 Large deformations of preforms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149 5.3.1 Updated Lagrangian formulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153 5.3.2 Evolution of the porosity and permeability . . . . . . . . . . . . . . . . . 156 5.3.3 Constitutive law of fibrous preforms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161 5.4 Conclusions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165 6 Numerical simulations of resin infusion processes 167 6.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168 iii Contents 6.2 Coupling algorithms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168 6.2.1 Injection algorithm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168 6.2.2 Infusion algorithm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170 6.3 Simulation of the transient flow . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173 6.3.1 Injection of a plate with filled distribution medium . . . . . . . . . . . . 173 6.3.2 Injection of a plate with filling of the distribution medium . . . . . . . . 179 6.3.3 Complex piece . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185 6.4 Simulation of the transient flows with the deformations of preforms . . . . . . . 193 6.4.1 Infusion of plate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194 6.4.2 Infusion of plate with the filling of the distribution medium . . . . . . . 201 6.5 Conclusions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206 A Lax-Miligram Theorem 211 B Initialization of the level set function for 2D and 3D complex pieces 213 C Infusion of 48 plies of NC2 preforms 217 Bibliography 221 iv List of Figures 1.1 Composite materials products: (a) GD - Aston Martin V12 Vanquish, (b) HP - Boeing 787 Dreamliner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.2 Different types of preforms architecture. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.3 Resin Film Infusion (RFI) schematic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.4 Liquid Resin infusion process principle [Wang et al. 2010] . . . . . . . . . . . . 11 1.5 The different modelling scales of resin infusion processes . . . . . . . . . . . . . 14 1.6 Representation of the domain decomposition into three zones during the mod- elling of resin infusion processes: fluid distribution medium with resin, dry pre- forms and wet preforms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.7 Physical phenomena occuring in the modelling of resin infusion processes . . . . 16 2.1 Computational domain . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2.2 P2/P1 element . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 2.3 P1+/P1 element . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 3.1 The segment of intersection of the triangle with the Stokes-Darcy interface Γ defined as the isovalue zero of a level set function . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 3.2 The triangle of intersection of the tetrahedron with the zero level set function Γ 83 3.3 The quadrilateral of intersection of the tetrahedron with the zero level set func- tion Γ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 4.1 Domain of study of Poiseuille test used in Stokes problem . . . . . . . . . . . . 89 4.2 Isovalues of velocity for Poiseuille test (Figure 4.1) . . . . . . . . . . . . . . . . 90 4.3 Isovalues of pressure for Poiseuille test, (Figure 4.1) . . . . . . . . . . . . . . . . 90 4.4 Comparison between numerical and analytical solutions of velocity for Poiseuille test, (Figure 4.1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 4.5 ComparisonbetweennumericalandanalyticalsolutionsofpressureforPoiseuille test, (Figure 4.1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 4.6 Convergenceoftheerrorforpressure(a)andvelocity(b)fortheStokesproblem, with µ = 1Pa.s, h = 0.0125m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 4.7 Isovalues of the pressure (a) and velocity (b) fields for the Stokes problem, with µ = 1Pa.s, h = 0.0125m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 v List of Figures 4.8 Domain of study and boundary conditions for the radial flow . . . . . . . . . . 95 4.9 Isovalues of velocity for radial flow, (Figure 4.8) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96 4.10 Isovalues of pressure for Darcy flow, (Figure 4.8) . . . . . . . . . . . . . . . . . 96 4.11 Comparison between analytical solution and numerical solution of pressure for the radial flow, (Figure 4.8) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 4.12 Convergence of the error for (a) the pressure and (b) the velocity for Darcy problem, with µ = 1Pa.s, k = 1m2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 4.13 Isovalues of pressure and velocity for Darcy problem, with µ = 1Pa.s, k = 1m2, h = 0.0125m. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 4.14 DomainofstudyforthemanufacturedsolutionsforStokes-Darcycoupledproblem.100 4.15 Isovalues of pressure obtained with ASGS method (a) and with P1+/P1-HVM method (b) for µ = 1Pa.s, k = 1m2 and α = 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 4.16 Isovalues of velocity obtained with ASGS method (a) and with P1+/P1-HVM method (b) for µ = 1Pa.s, k = 1m2 and α = 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 4.17 Convergence of the error for the pressure and velocity in Stokes domain for Stokes-Darcy coupled problem with µ = 1Pa.s,k = 1m2,α = 1.. . . . . . . . . . 105 4.18 Convergence of the error for the pressure and velocity in Darcy domain for Stokes-Darcy coupled problem with µ = 1Pa.s,k = 1m2,α = 1 . . . . . . . . . . 106 4.19 Computational domain of perpendicular flow and associated boundary conditions107 4.20 Comparison of velocity in perpendicular flow test between ASGS method and P1+/P1-HVM method, with k = 10−11m2, µ = 1Pa.s, p = 105Pa and α = 1 . . 108 4.21 Comparison of velocity in perpendicular flow test between ASGS method and P1+/P1-HVM method, with k = 10−14m2, µ = 1Pa.s, p = 105Pa and α = 1 . . 109 4.22 Normalized normal velocity v for viscosity µ = 1Pa.s with different permeabil- y ities and α = 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110 4.23 Isovalues of pressure for perpendicular flow with k = 10−14m2, p = 1bar, µ = 1Pa.s and α = 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 4.24 Isovalues of pressure for perpendicular flow in 3D with k = 10−14m2, p = 1bar, µ = 1Pa.s and α = 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112 4.25 Isovalues of velocity for perpendicular flow in 3D with k = 10−14m2, p = 1bar, µ = 1Pa.s and α = 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113 4.26 Computational domain for parallel flow and boundary conditions . . . . . . . . 114 4.27 Isovalues of pressure (Pa) for parallel flow with k = 10−14m2, µ = 1, α = 1 and p = 105Pa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115 vi List of Figures 4.28 Isovaluesofvelocity(magnitude-velocitym/s)forparallelflowwithk = 10−14m2, µ = 1, α = 1 and p = 105Pa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115 4.29 Comparison between analytical solution and numerical solution of Stokes veloc- ity for k = 10−14m2, µ = 1, α = 1 and p = 105Pa, 2D parallel flow. . . . . . . 116 4.30 Comparisonbetweenanalyticalpressure,numericalpressureobtainedwithASGS methodandnumericalpressureobtainedwithP1+/P1-HVMmethodforparallel flow with k = 10−14m2, µ = 1, α = 1 and p = 105Pa. . . . . . . . . . . . . . . . 116 4.31 Isovalues of pressure for parallel flow with k = 10−14m2, µ = 1, α = 1 and p = 105Pa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117 4.32 Isovalues of velocity for parallel flow with k = 10−14m2, µ = 1, α = 1 and p = 105Pa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117 4.33 Part of the computational domain of the interface-capturing test and zoom on the interface which cuts the elements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118 4.34 Comparison of numerical solutions for monolithic approaches for a parallel flow, with analytical solution. Velocity is normalized by the maximum analytical velocity (v ). Interface reconstruction and Dirac approximation x,max,analytical for the surface integral are presented, k = 10−14m2, p = 1Bar, µ = 1Pa.s ext and α = 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119 4.35 (a) The mesh of the inclined domain with the interface (in red) which cuts the elements, (b) Computational domain with inclined interface and boundary conditions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120 4.36 Isovalues of pressure (Pa) for ASGS method for k = 10−11m2 . . . . . . . . . . 121 4.37 2D simulation for the 2D flow with inclined interface, (k = 10−11m2,α = 1,µ = 1Pa.s,P = 1bar), magnitude-velocity (m/s) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121 ext 4.38 Profil of pressure and velocity in the middle of the domain, x = 0.5m, k = 10−11m2, p = 1bar, µ = 1Pa.s and α = 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122 4.39 Computational domain with curved interface . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124 4.40 Computation of the smallest distance between a node M and the segments of j the zero level set . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124 4.41 Isovalues of the level-set function between Stokes and Darcy, the black curve represents the isovalue zero of the level-set function (Stokes-Darcy interface). . 125 4.42 Isovalues of pressure, 2D flow with curved interface . . . . . . . . . . . . . . . 125 4.43 Isovalues of velocity, 2D flow with curved interface (m/s) . . . . . . . . . . . . 126 4.44 Isovalues of pressure (Pa), 3D flow on a regular piece with injection channel . . 126 vii List of Figures 4.45 Isovalues of velocity (m/s), 3D flow on a regular piece with injection channel . 127 4.46 The isovalue zero of the level-set function between Stokes and Darcy . . . . . . 128 4.47 Isovalues of the level-set function between Stokes and Darcy. . . . . . . . . . . . 128 4.48 3D simulation for the flow in 3D complex piece with curved interface, (k = 10−9m2,α = 1,µ = 1Pa.s,P = 1bar) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129 ext 5.1 (a) definition of height function and (b) parametric interpolant [Hyman 1984] . 133 5.2 Actual geometry [M.Rudman 1997] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136 5.3 (a) SLIC (x) and (b) SLIC (y). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136 5.4 (a) Hirt-Nichols and (b) Young-VOF . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136 5.5 Level set function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138 5.6 Discretized level set function φ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139 h 5.7 A complete turn of a circle using Cranck-Nicholson scheme . . . . . . . . . . . . 147 5.8 Deformation of the circle: black line represents the initial position of the zero level set function, the red line represents the zero isovalue of the level set after one complete rotation using Cranck-Nicholson scheme and blue line represents the isovalue of the level set function after one complete rotation using implicit Euler scheme, (a) mesh: 50×50, ∆t = 0.01s, (b) mesh:50×50, ∆t = 0.005s . 147 5.9 Deformation of the circle: black line represents the initial position of the zero levelsetfunction,theredlinerepresentsthezeroisovalueofthelevelsetafterone complete rotation using Cranck-Nicholson scheme and blue line represents the isovalue of the level set function after one complete rotation using implicit Euler scheme, (a) mesh: 100×100, ∆t = 0.005s, (b) mesh: 200×200, ∆t = 0.0008s. 148 5.10 Lagrangian description of the movement of the domain Ω . . . . . . . . . . . . 150 5.11 Intermediate configuration Ωi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155 5.12 Compaction test . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159 5.13 Isovalue of the displacement u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160 y 5.14 Constitutive law of NC2 preforms in compaction [Celle et al. 2008] . . . . . . . 162 5.15 Compaction of a preform with free board. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165 5.16 Comparisonbetweenanalyticalandnumericalresultsofthenodepositioninthe compaction test with free boards . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166 6.1 Injection algorithm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169 6.2 Infusion algorithm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172 6.3 A distribution medium consisting in a polyester grid . . . . . . . . . . . . . . . 174 viii