" p' VARIABLE COMPLEJA Y APLICACIONES VARIABLE COMPLEJA Y APLICACIONES Quinta edición Rue) V. Churchill Profesor Emérito de Matemáticas Universidad de Michigan James Ward Brown Profesor de Matemáticas Universidad de Michigan-Dearborn - Traducción: \ LORENZO ABELLANAS RAPUN C~tedráticode Métodos Matemáticos de la Fisica Facultad de Ciencias Físicas Universidad Complutense de Madrid \. MeGraw-HiII MADRID. BUENOSAIRES. CARACAS. GUATEMALA. LISBOA. MEXICO • NUEVAYORK PANAMA • SAN JUAN. SANTAFE DE BOGOTA • SANTIAGO. sAo PAULO AUCKLAND • HAMBURGO • LONDRES. MILAN • MONTREAL • NUEVA DELHI PARIS • SAN FRANCISCO. SIDNEY • SINGAPUR • STo LOUIs' • TOKIO. TORONTO A la memoria de mi padre, GEORGE H. BROWN, y de mi amigo y coautor, RUEL V. CHURCHILL. Estos distinguidos hombres de ciencia influyeron durante años en las carreras de muchos, entre quienes me incluyo. J. W. B. VARIABLE COMPLEJAY APLICACIONES. Quintaedición Noestá permitidala reproducción total o parcialde estelibro, ni su tratamiento informático, ni la transmisión de ninguna forma o por cualquier medio, ya sea electrónico,mecánico, porfotocopia, porregistro u otros métodos,sinel permiso previo yporescritode los titulares del Copyright. DERECHOS RESERVADOS .:g 1992, respecto a la segunda edición en español, por McGRAW-HILL/INTERAMERICANA DE ESPAÑA, S. A. Edificio Valrealty, l.a planta Basauri, 17 28023 Aravaca (Madrid) Traducido de laquintaediciónen inglésde COMPLEX VARIABLES AND APPLICATIONS Copyright © MCMXC, por McGraw-Hill, Inc. ISBN:0-07-010905-2 ISBN: 84-7615-730-4 Depósito legal: M. 45.645-1996 Compuestoen: MonoComp,·S. A. Impresoen: EDIGRAFOS, S. A. PRINTED IN SPAIN -IMPRESO EN ESPAÑA \\ \ .~ CONTENIDO Sobre los autores xi Prefacio xiii Capítulo 1 Número complejos 1 1. Definición. 2. Propiedades algebraicas. 3. Interpretación geométrica. 4. Desigualdad triangular. 5. Forma polar. 6. Forma exponencial. 7. Potencias y raíces. 8. Regiones en el plano complejo. Capítulo 2 Funciones analíticas 30 9. Funciones de una variable compleja.) 10. Aplicaciones. 11. Limites. 12. Teoremas sobre límites. 13. Limites yel punto del infinito. 14. Continuidad. 15. Derivadas. 16. Fórmulas de derivación. 17. Ecuaciones de Cauchy-Riemann. 18. Condiciones suficientes. 19. Coordenadas polares. 20. Funciones analíticas. 21. Funciones armónicas. Capítulo 3 Funciones elementales 72 22. La función exponencial. 23. Otras propiedades de exp z. 24. Funciones trigonométricas. 25. Funciones hiperbólicas. 26. La función logaritmo y sus ramas. 27. Otras propiedades de los logaritmos. 28. Exponentes complejos. 29. Funciones trigonométricas e hiperbólicas inversas. Capítulo 4 Integrales 97 30. Funciones complejas w(t). 31. Contornos. 32. Integrales de contorno. 33. Ejemplos. 34. Primitivas. 35. El teorema de Cauchy-Goursat. 36. Un lema preliminar. 37. Demostración del teorema de Cauchy-Goursat. 38. Dominios simplemente conexos y múltiplemente conexos. 39. La fórmula integral de Cauchy. 40. Derivadas de las funciones analíticas. 41. El teorema vii CONTENIDO ix viii CONTENIDO 89. Triángulos yrectángulos. 90. Poligonos degenerados. de Morera. 42. Módulos máximos de funciones. 91. Flujo de fluido en un canal a través de una rendija. 43. El teorema de Liouville yel teorema fundamental 92. Flujo en un canal conrecodo. 93. Potencial del álgebra. electrostático en el borde de una placa conductora. Capitulo 5 Series 151 Capitulo 11 Fórmulas integrales de tipo Poisson 344 44. Convergencia de sucesiones yseries. 45. Series de 94. Fórmula integral de Poisson. 95. Problema de Taylor. 46. Ejemplos. 47. Series de Laurent. Dirichlet para un disco. 96. Problemas de contorno 48. Ejemplos. 49. Convergencia absoluta y uniforme relacionados. 97. Fórmula integral de Schwarz. de las series de potencias. 50. Integración yderivación de 98. Problema de Dirichlet para un semiplano. seriesde potencias. 51. Unicidadde las representaciones por 99. Problema de Neumann para un disco. 100. Problema series. 52. Multiplicación ydivisión de series de potencias. de Neumann para un semiplano. Capitulo 6 Residuos y polos 190 Capitulo 12 Teoría de funciones complementaria 365 53. Residuos. 54. El teorema de los residuos. 101. Condiciones bajo las cualesf(z) == O. 55. Parte principal de una función. 56. Residuos en los 102. Prolongación analitica. 103. Principio de reflexión. polos. 57. Ceros y polos de orden m. 58. Cálculo de 104. Puntos singulares evitables yesenciales. integrales reales impropias. 59. Integrales impropias en 105. Principio del argumento. 106. Una superficie las que aparecen senos ycosenos. 60. Integrales definidas de Riemann para log z. 107. Una superficie para Zl/2. en las que aparecen senos ycosenos. 61. Integración a lo 108. Superficies para funciones relacionadas. largo de un corte de ramificación. 62. Transformadas inversas de Laplace. 63. Residuos logarítmicos y teorema Apéndices de Rouché. 1. Bibliografia 386 2. Tabla de transformaciones de regiones 389 Capitulo 7 JTransformaciones por funciones elementales 235 64. Funciones lineales. 65. La función 1/z. Indice 397 66. Tranformaciones racionales lineales. 67. Transformaciones del semiplano superior. 68. La transformación w = exp z ylos logaritmos. 69. La transformación w = sen z. 70. La función Z2. n. La función Zl/2. 72. Raíces cuadradas de polinomios. Capítulo 8J Transformaciones conformes 270 73. Conservación de ángulos. 74. Otras propiedades. 75. Armónicas conjugadas. 76. Transformaciones de funciones armónicas. 77. Transformación de las condiciones de contorno Capitulo 9 Aplicaciones de las transformaciones conformes 289 78. Temperaturas estacionarias. 79. Temperaturas estacionarias en un semiplano. 80. Un problema relacionado. 81. Temperaturas en un cuadrante. 82. Potencial electrostático. 83. Potencial en un espacio cilindrico. 84. Flujo de un fluido bidimensional. 85. La función de corriente. 86. Flujos en torno a una esquina ya un cilindro. Capitulo 10 La transformación de Schwarz-ChristofTel 319 87. Aplicación del eje real sobre un poligono. 88. La transformación de Schwarz-ChristotTel. SOBRE LOS AUTORES RUEL V. CHURCHILL fue, hasta su fallecimiento, Profesor Emérito de Mate máticas en la Universidad de Michigan, donde comenzó su carrera docente en 1922. Recibió su B.S. en Física en la Universidad de Chicago ysu M.S. en Física y grado de Doctor en Matemáticas en la Universidad de Michigan. Es coautor con el Dr. Brown de la reciente cuarta edición de Fourier Series and Boundary Value Problems, un texto clásico que escribió hace unos cincuenta años. Fue. también autor de Operational Mathematics, ya en su tercera edición. Alo largo de su extensa yproductiva trayectoria, el Dr. Churchill ocupó diversos cargos en la Mathematical Association of America y en otras sociedades e instituciones matemáticas. JAMES WARD BROWN es Profesor de Matemáticas en la Universidad de Michigan-Dearborn. Obtuvo su A.B. en Físicaenla Universidad de Harvard ysu A.M. Ysu grado de Doctor en Matemáticas en la Universidad de Michigan en Ann Arbor, siendo becario del Institute of Science and Technology. Es coautor con el Dr. Churchill de la cuarta edición de Fourier Series and Boundary Value Problems. xi PREFACIO Este libro es una revisión de la cuarta edición, publicada en 1984. Esa edición, al igual que las precedentes,ha servido como texto de un curso de introducción ala teoría y aplicaciones de las funciones de una variable compleja. Esta revisión preservaelestilo yel contenido básico de las anteriores, escritaslas dos primeras por Ruel V. Churchill. En esta edición, el segundo autor se ha concentrado en la revisión de los primeros ocho capítulos. Por mencionar algunas de las mejoras más significati vas, ahora el tratamiento de las primitivas precede y motiva la presentación del teorema de Cauchy-Goursat, se ilustra el uso de los residuos en el cálculo de transformadas inversas de Laplace, el teorema de Rouché aparece mucho antes enel texto, ylas transformaciones enel capítulo de aplicaciones se han reordena do con el fin de hacer que las más dificiles estén ubicadas al final. Como ejemplos de·otras mejoras, el punto del infinito se introduce ahora de modo más natural con la definición de límite, se han añadido varios ejemplos de aplicaciones al hablar por vez primera de funciones de una variable compleja, y seha reforzado lamotivaciónde lafunción logaritmo. Además,sehasimplificado la deducción de diversas identidades trigonométricas, la demostración del princi pio del módulo máximo es ahora más autocontenida, yel teorema de Laurent se presenta de un modo más conveniente para su utilización. Finalmente, se ha mejorado la exposición en general y se ha modificado o añadido un número considerable de figuras yejercicios. Tal como sucedía con la primera edición, el primer objetivo de esta cuarta es desarrollar de forma rigurosa y autocontenida aquellas partes de la teoría que son esenciales en sus aplicaciones. El segundo objetivo es proporcionar una intro ducción alasaplicacionesdelos residuos yde las transformaciones conformes. Se ha puesto especial énfasis en resolver problemas de contorno que aparecen en el estudio de conducción del calor, potencial electrostático y flujo de fluidos. Por tanto, el libro puede ser considerado como complementario de los volúmenes Fourier Series and Boundary Value Problems, de los autores, y Operational Ma thematies, de Ruel V. Churchill, en los que se analizan otros métodos clásicos de resolución de ese tipo de problemas. El citado en último lugar contiene también aplicaciones de los residuos en relación con la transformación de Laplace. xiii xiv VARIABLE COMPLEJA YAPLICACIONES Los primeros nueve capítulos de este libro, con varias sustituciones de los CAPITULO restantes, han constituido durante años el contenido de un curso de tres horas UNO semanales en la Universidad de Michigan. Los alumnos provenían de Matemáti cas, Ingeniería o Física. Antes de seguir este curso, habían pasado al menos por cursos de Cálculo, a veces incluso avanzado, y de introducción a las Ecuaciones NUMERaS COMPLEJOS Diferenciales. Paraacomodarsealaaudienciamás ampliaposible,hay notasa pie de página que se refieren a librosenlos que pueden consultarse demostraciones y discusiones de los aspectos más delicados del Cálculo que se van necesitando en cadamomento. Parte del material de este libro es opcional ypuede dejarse como lecturavoluntaria paralosestudiantes,fuera del curso normal. Si sedesean veren el curso las aplicaciones porfunciones elementales ylas transformaciones confor mes antes de lo que aquí se presentan, puede pasarse directamente a los capítulos 7, 8 Y9, nada más terminar el capítulo 3. La mayor parte de los resultados básicos se enuncian como teoremas, segui dos por ejemplos yejercicios ilustrativos. En el Apéndice 1se recoge bibliografia Enestecapítulo estudiamos laestructura algebraica ygeométrica de los números sobre otros libros, 'en general más avanzados. El Apéndice 2contiene una tabla complejos. Suponemos conocidas varias propiedades correspondientes en los de transformaciones conformes útiles en la práctica. números reales. En la preparaciónde esta revisión, el segundo autor ha aprovechado sugeren ciasde diversas personas. Entrelosamigosque han utilizadola versiónanterior y han hecho aportaciones específicas se encuentran B. S. Elenbogen, M. H. Haft, 1. DEFINICION M. Jerison, yM. A. Lachance. Ha habido, asimismo,considerables sugerencias de quienes han revisado partes de la edición anterior yel manuscrito de la presente: S. H. Davis, Rice University; P. M. Fitzpatrick, University of Maryland; R. A. Los números complejos 2 se pueden definir como pares ordenados Fontenot, Whitman College; H. Hochstadt, Polytechnic University; W. L. Perry, Texas A&M University; F. Rispoli, Dowling College; yC. H. Wilcox, University 2 = (x, y) [1] of Utah. He recibido además el interés constante yel apoyo de G. H. Brown, Jr., J. R. denúmeros reales xey,conlas operaciones de suma yproductoqueespecificare Brown, S. M. Flack, G. E. Hay, S. J. Milles, R. P. Morash, J. A. Moss, F. J. Papp, mos más adelante. Se suelen identificar los pares (x, O) con los números reales x. y R. L. Patterson, así como Robert A. Weinstein, Michael Morales, y Scott El conjunto de los nlImeros complejos contiene, por tanto, a los números reales Anlerman, del departamento editorial de McGraw-Hill. como subconjunto..Los números complejos de la forma (O, y) se llaman números imaginarios puros. Los números reales x e y en la expresión [1] se conocen, 'James Ward Brown respectivamente, como parte realyparte imaginaria de 2. Escribiremos: Re 2 = x, 1m 2 = y. [2] Dos números complejos(XI'YI) Y(x2,Y2) se dicen iguales si tienén iguales las partes real e imaginaria. Es decir: (XI' y¡) = (x2,h) si y sólo si XI = X2 e YI = h. [3] La suma 21 + 22 yelproducto 2122 de dos números complejos 21 = (XI'YI) Y 22 (x2,Y2) se definen por las ecuaciones: (XI' YI) + (x2,h) = (XI + X2,YI + h), [4] (XI' Y¡)(X2,Yz) = (XIX2 - Y¡h, YIX2 + XIYz)· [5] , 2 VARIABLE COMPLEJA Y APLICACIONES NUMEROS COMPLEJOS 3 En particular, (x, O) + (O, y) = (x, y) y (O, l)(y, O) = (O, y); luego y las asociativas (x, y) = (x, O) + (O, l)(y, O). [6J [2J Nótese que las operaciones definidas por las ecuaciones [4J y [5J son las se siguen fácilmente de las definiciones de la suma y el producto de números usuales cuando se restringen a los números reales: complejos, y del hecho de que los números reales las satisfacen. Por ejemplo, si (Xl' O) + (x2, O) = (Xl + x2, O), (Xl' 0)(x2,O) = (X1X2, O). .. entonces El sistema de los números complejos es, en consecuencia, una extensión natural del de los números reales. Zl + Z2 = (Xl' Yl) + (x2,Y2) = (Xl + x2,Yl + Y2) = (x2 + Xl' Y2 + Yl) Pensando en un número real como X o como (x, O), y denotando por i el = (x2,Y2) + (Xl' Yl) = Z2 + Zl' número imaginario puro (O, 1), podemos reescribir la Ecuación [6J así* La verificación de las restantes, así como de la ley distributiva (x, y) = x + iy. [7J [3J Asimismo, con el convenio Z2 = ZZ, Z3 = ZZ2, etc., hallamos que es similar. i2 = (O, 1)(0, 1) = (-1, O); De acuerdo con la ley conmutativa del producto, iy = yi; luego está permiti .do escribir .. es decir, i2 = -1. Z = X + iy o Z = X + yi. Además, por las leyes asociativas, una suma Zl + Z2 + Z3 o un producto ZlZ2Z3 A la vista de la expresión [7J, las Ecuaciones [6J y [7J se convierten en están bien definidos sin p°aréntesis, igual que ocurría con los números reales. La identidad aditiva = (O, O) y la identidad multiplicativa 1 = (1, O) de los (Xl + iYl) + (x2 + iY2) = (Xl + x2) + i(Yl + Y2), [8J números reales se transfieren al sistema de los números complejos. O sea, (Xl + iYl)(X2 + iY2) = (XIX2 - YIY2) + i(Y1X2 + XIY2)· [9J Z+O=Z y z'l=z [4J Obsérvese que los miembros de la derecha en esas ecuaciones se pueden obtener ° formalmente manipulando los términos de la izquierda como si sólo contuvieran para todo número complejo z. Más aún, y 1son los únicos números complejos números reales, y sustituyendo i2 por -1 cuando aparezca. Con tales propiedades. Para establecer la unicidad de 0, supongamos que (u, v) es una identidad aditiva, y escribamos 2. PROPIEDADES ALGEBRAICAS (X, y) + (u, v) = (x, y), Varias propiedades de la suma y del producto de números complejos coinciden donde (x, y) es cualquier número complejo. Se deduce que con las de los números reales. Recogeremos aquí las más básicas y verificamos algunas de ellas. X + u = X e y + v = y; Las leyes conmutativas ° ° o sea, u = y v = O. El número complejo = (O, O) es, por tanto, la única [lJ identidad aditiva. Cada número complejo Z = (x, y) tiene asociado un inverso aditivo * En electrónica se utiliza el símboloj en lugarde i. -Z = (-x, -y) [5]