Università degli Studi di Napoli Valutazione analitica a t Federico II t o r del Tensore di Eshelby per T e Dipartimento di r o Strutture per Inclusioni poligonali e poliedrali at l’Ingegneria e v l a l’Architettura S Salvatore Trotta i l a r d e i l o p e i l a n o g i l o p i n o i Comunità Europea us Fondo Sociale Europeo l c n i r e p y b l e h s E i d e r o s n e T l e d a c i t i l a n a e n o i z a t u l a V Dottorato di Ricerca in Ingegneria delle Costruzioni, XXVIII Ciclo Valutazione analitica del Tensore di Eshelby per inclusioni poligonali e poliedrali SalvatoreTrotta Dottoratodi RicercainIngegneriadelleCostruzioni, XXVIIIciclo DipartimentodiStruttureperl’Ingegneriae l’Architettura Universita` degli StudidiNapoli FedericoII Via Claudio,21 -80125Napoli e-mail: [email protected] Marzo, 2016 Tutor: Coordinatoredelcorso: Prof. L. Rosati Prof. L. Rosati Coordinatoredel corso: Co-Tutor: Coordinatoredelcorso: Ing. Francesco Marmo Prof. L. Rosati 2 aGina Ringraziamenti Desideroringraziareinnanzituttoilmiotutor,Prof.LucianoRosati,peravermidato lapossibilita`distudiareefarericercasutematicheinteressantiestimolanti,peravermi guidato con professionalita`, intelligenza, umanita` e per avermi trasmesso parte della suasemprevivapassioneperlaricercaelostudio Unitamentedesideroringraziarel’ing.FrancescoMarmo,peripreziosiconsigli,la costantedisponibilita`echehafornitoungrandecontributoall’attivita`diricercasucui sifondaquestatesi. UngrazieaimieidueexcolleghiCristoforoDemartinoeFerdinandoToraldo,con cuihocondivisopartedelmiopercorsodidottorato,chenonhannomaifattomancare illorosupportoelaloroamicizia. Ringrazioimieigenitoriperche` alorodevolamiavogliadifare,diinterrogarmie diimparare, alorodevoglistrumentielaforzache miaccompagnano inogniistante dellamiavita. NonbastanopocherigheperringraziareGina,peresserestatasemprealmiofianco inquestianni. Aleidedicoquestatesi,perchee` graziealsuoamore,alsuoappoggio incondizionato,allasuaforzaeallasuaallegriachehoraggiuntoimieiobiettivi. SalvatoreTrotta 4 Indice 1 Introduzione 9 2 IlTensorediEshelbySesueapplicazioni 17 3 LateoriadiEshelby 23 3.1 Introduzione. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 3.2 Ilcampodispostamentoperunmezzoelastico . . . . . . . . . . . . 24 3.3 Ilconcettodiinclusioneediautodeformazione . . . . . . . . . . . . 27 3.4 LateoriadiEshelbyperinclusioniellissoidali . . . . . . . . . . . . . 29 3.4.1 Inclusioniomogeneeellissoidali . . . . . . . . . . . . . . . . 30 3.4.2 Calcolodeipotenziali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 3.4.3 EspressionediSall’internodell’inclusione . . . . . . . . . . 37 3.5 Uncasoparticolare:lasfera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 3.6 IlprincipiodiequivalenzadiEshelby . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 4 Strutturairriducibile,simmetriaemediadeltensorediEshelby 47 4.1 ElementidelTensorediEshelbyedecomposizioneirriducibile . . . . 47 4.2 Strutturairriducibilenelcasobidimensionale . . . . . . . . . . . . . 51 4.3 Strutturairriducibilenelcasotridimensionale . . . . . . . . . . . . . 54 4.4 SimmetriadelTensorediEshelby . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 4.5 TensorediEshelbyMedio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 6 INDICE 5 TensorediEshelbyperlostatopianodideformazione 63 5.1 Introduzione. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 5.2 EspressionealgebricadegliintegraliC eCrˆ . . . . . . . . . . . . . 67 q¯ q¯ 5.3 EspressionealgebricadiSnelcasobidimensionale . . . . . . . . . . 70 5.4 Integralisulgenericolatodilunghezzaunitaria . . . . . . . . . . . . 72 5.4.1 Espressionealgebricadell’integraleI . . . . . . . . . . . . . 72 p¯ 5.4.2 Espressionealgebricadell’integraleIr . . . . . . . . . . . . . 73 p¯ 5.4.3 Espressionealgebricadell’integraleI . . . . . . . . . . . . . 73 p¨ 5.4.4 Espressionealgebricadell’integraleIr . . . . . . . . . . . . . 74 p¨ 5.4.5 Espressionealgebricadell’integraleIr¯ . . . . . . . . . . . . . 74 p¨ 5.4.6 Espressionealgebricadell’integraleIrˆ . . . . . . . . . . . . . 75 p¨ 6 EspressioneanaliticadiSperun’inclusionepoliedrale 77 6.1 Introduzione. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 6.2 CalcolointegraliAf eaf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 6.3 Valutazioneanaliticaintegralisullagenericafaccia . . . . . . . . . . 91 6.3.1 Espressioneanaliticadell’integraleS . . . . . . . . . . . . . 91 qˆ 6.3.2 Espressioneanaliticadell’integraleSr . . . . . . . . . . . . . 94 qˆ 6.3.3 Espressioneanaliticadell’integraleS . . . . . . . . . . . . . 95 q˜ 6.3.4 Espressioneanaliticadell’integraleSr . . . . . . . . . . . . . 96 q˜ 6.3.5 Espressioneanaliticadell’integraleSr¯ . . . . . . . . . . . . . 97 q˜ 6.3.6 Espressioneanaliticadell’integraleSrˆ . . . . . . . . . . . . . 98 q˜ 6.4 Integralisulgenericolatodilunghezzaunitaria . . . . . . . . . . . . 100 6.4.1 Espressionealgebricadell’integraleI . . . . . . . . . . . . . 101 q 6.4.2 Espressionealgebricadell’integraleI . . . . . . . . . . . . 101 p¯q 6.4.3 Espressionealgebricadell’integraleI . . . . . . . . . . . . 102 p¯qˆ 6.4.4 Espressionealgebricadell’integraleI . . . . . . . . . . . . 104 qˆ 6.4.5 Espressionealgebricadell’integraleIr . . . . . . . . . . . . 104 qˆ 6.4.6 Espressionealgebricadell’integraleIr¯ . . . . . . . . . . . . . 105 qˆ INDICE 7 7 Applicazionenelcasobidimensionale:inclusionepoligonale 107 7.0.7 Confrontoconrisultatiriportatinell’esempion.2diHuangeal- tri[2009] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 7.0.8 Confrontoconrisultatiriportatinell’esempion.3diHuangeal- tri[2009] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110 7.0.9 Confrontoconrisultatiriportatinell’esempion.4diHuangeal- tri[2009] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 7.1 Tensoremediatosuldominiodell’inclusione . . . . . . . . . . . . . . 113 8 Applicazionenelcasotridimensionale:inclusionepoliedrale 117 8.1 Casodellasfera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117 8.1.1 Confrontoconrisultatinumericiesatti,nelcasodellasfera . . 117 8.2 EsempidiGaoeLiu[2012]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123 8.2.1 Casodelcubo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123 8.2.2 Casodelloottaedro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124 8.2.3 Casodeltetradecaedro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126 9 Omogeneizzazione 129 9.1 Introduzioneall’omogeneizzazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129 9.2 Ilconcettodell’omogeneita`equivalente . . . . . . . . . . . . . . . . 130 9.3 Proprieta`effettivedeimezzieterogenei. . . . . . . . . . . . . . . . . 132 9.4 Caratterizzazionedeimaterialieterogeneiedellestrutture. . . . . . . 140 9.5 Progettodeimaterialieterogeneiedellestrutture . . . . . . . . . . . 143 9.6 Modellazionemicromeccanicadistrutturecomplesse . . . . . . . . . 145 9.7 Omogeneizzazione dicompositiconeffettomicrostrutturae proprieta` dinamicheeffettive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146 9.8 Omogeneizzazione del tensore gradiente di deformazione di ordine superiore,dimaterialiconstrutturaperiodica . . . . . . . . . . . . . 148 9.9 Propagazionedelleondeneimezzicompositi . . . . . . . . . . . . . 150 9.10 Tecnichecinetiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153 9.11 Ilvolumeelementarerappresentativo . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154 8 INDICE 9.12 Strumentimatematicidiomogeneizzazione . . . . . . . . . . . . . . 158 9.13 Schemidiomogeneizzazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161 9.13.1 LasoluzionediEshelby . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162 9.13.2 Metodoself-consistent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163 9.13.3 MetodoMori-Tanaka . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164 9.13.4 MetododiinterpolazionediLielens . . . . . . . . . . . . . . 164 9.13.5 MetododiinterpolazioneBound . . . . . . . . . . . . . . . . 165 9.13.6 Omogeneizzazioneelasto-plastica . . . . . . . . . . . . . . . 166 10 Conclusioni 169 A 171 A.1 Approfondimentisulcalcolovettoriale . . . . . . . . . . . . . . . . . 171 A.2 EspressioneanaliticadelTensorediElasticita`C . . . . . . . . . . . . 172 Capitolo 1 Introduzione LateoriadiEshelbye` unodeicapitoliprincipalidellacosiddettamicromeccanica, termine che nella letteratura scientifica viene usato in due accezioni differenti. Nel- la prima il termine micromeccanica viene usato per denotare la disciplinache studia le proprieta` meccaniche (ma anche elettromagnetichee termodinamiche) dimateriali con assegnata microstruttura. Nella seconda accezione, si intendelostudiodel com- portamentodeimaterialiallevariescalediosservazione,ovveronanoscopica(10 9m), − microscopica(10 6m),mesoscopica(10 5 10 3m)emacroscopicaincuiilsistemain − − − ÷ esamee`misurabileeosservabileaocchionudo. La micromeccanica e` recentemente diventata una parte indispensabile dei fonda- menti teorici per ingegneri, in particolare per coloro che si applicano alle tecnolo- gie emergenti come le nanotecnologie e le tecnologie biomediche. Nella meccanica applicata, il termine micromeccanica si riferisce specificatamente a tre scale di os- servazione: scala degli atomi e delle molecole (nano-scala, con distanze tipiche del- l’ordine di 10 10m), microstruttura (mesoscala, con distanze tipiche dell’ordine dei − 10 9m 10 6m)e scala macroscopica ofenomenologica(mm). Sipuo` efficacemente − − ÷ sintetizzaredicendocheilprogrammacomplessivodellamicromeccanicasiaquellodi analizzarelamateriaapartiredallaleggifisichefondamentali(meccanicaquantistica), sinoadarrivarealleequazionicostitutivediunmezzoaventeognigradodicomplessita` strutturale.Comefaseintermediasihannotutteletecnicheeteoriediomogenizzazione