UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO NORTE CENTRO DE CIÊNCIAS SOCIAIS E APLICADAS PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM EDUCAÇÃO MARIA DEUSA FERREIRA DA SILVA PROBLEMAS E MODELOS QUE CONTRIBUÍRAM COM O DESENVOLVIMENTO DO CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL: DOS GREGOS A NEWTON NATAL/RN 2010 MARIA DEUSA FERREIRA DA SILVA Tese apresentada junto ao Programa de Pós-Graduação em Educação. Linha de Pesquisa: Educação Matemática, do centro de Ciências Sociais Aplicadas da Universidade federal do Rio Grande do Norte, para a obtenção do título de doutora em Educação. Orientador: Prof. Dr. Iran Abreu Mendes NATAL/RN 2010 MARIA DEUSA FERREIRA DA SILVA PROBLEMAS E MODELOS QUE CONTRIBUÍRAM COM O DESENVOLVIMENTO DO CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL: DOS GREGOS A NEWTON BANCA EXAMINADORA ___________________________________________ Prof. Dr. Iran Abreu Mendes – Presidente da Banca Universidade Federal do Rio Grande do Norte/UFRN ___________________________________________ Prof. Dr. Adilson Oliveira do espírito Santo Universidade Federal do Pará/UFPA _________________________________________ Profa. Dra. Maria José Ferreira da Silva Pontifícia Universidade Católica de São Paulo/PUC-SP ________________________________________ Profa. Dra. Claudianne Amorim Noronha Universidade Federal do Rio Grande do Norte/UFRN ________________________________________ Prof. Phd. Jonh Andrew Fossa Universidade Federal do Rio Grande do Norte/UFRN NATAL/RN 2010 Dedico este trabalho a Ferdinand (Ferd), René (Re) e Ana Luiza (Ninha, tê-los em minha vida faz toda diferença AGRADECIMENTOS Agradeço primeiramente a Deus Su o qual procuro colocar como centro de minha vida e minhas decisões Aos mestres pelos ensinamentos divinos que me conduzem para o caminho da verdadeira sabedoria: a espiritual Ao Prof. Dr. Iran Abreu Mendes pela amizade, compreensão e orientação segura e efetiva. Um grande pesquisador. Alguém que merece ser chamado de ser humano Aos meus pais e sogros, irmãos, irmãs, cunhados, cunhadas, sobrinhos, sobrinhas, ETA! como é gente, mesmo distante o apoio deles é muito presente Aos irmãos de espiritualidade pelo apoio e torcida constante Aos amigos de ontem e de hoje Aos professores, colegas e pessoal da Secretaria de Pós-Graduação em Educação da UFRN, pela receptividade, convivência e apoio dispensado durante nossa estadia em natal e na UFRN, especialmente aos pertecentes à base de pesquisa em Educação Matemática Meus agradecimentos especiais a Profa. Dra. Rosa Lúcia S. Baroni da Universidade Estadual Paulista/UNESP-RC, pela leitura deste trabalho ainda na fase inicial de sua construção e pelas valiosas contribuições dadas para que sequência ao mesmo Aos membros da banca examinadora pelas inestimáveis contribuições e sugestões À Universidade Estadual do Sudoeste da Bahia – UESB e SAEB pelo apoio financeiro Aos colegas do Departamento de Ciências Exatas/UESB – Vitória da Conquista (BA) pelo apoio RESUMO Esta tese de Doutorado teve como objetivo fazer uma (re)construção histórica do desenvolvimento Conceitual do Cálculo Diferencial e Integral olhando-o como uma construção de modelos, dos gregos a Newton. Tais modelos eram gerados a partir de problemas que foram sendo propostos ao longo da história e iam sendo modificados à medida que novos problemas eram postos e o conhecimento matemático avançava. Nessa perspectiva, busco também mostrar que esse processo envolveu uma legião de matemáticos/filósofos da natureza, tendo início com as especulações de natureza científica e filosófica dos antigos gregos e culmina com o trabalho de Newton, no século XVII. Além disso, nesse processo de reconstrução do desenvolvimento conceitual do cálculo apresento e analiso os problemas propostos (questões em aberto), modelos gerados (questões respondidas) bem como as condições sociais, econômicas, políticas e religiosas envolvidas no processo. O trabalho está dividido em seis capítulos mais as considerações finais. No capítulo 1 apresento como a pesquisa se configurou a partir das minhas motivações e experiências. Delineio os caminhos percorridos para o refinamento da pergunta diretriz e apresento o objeto de e os objetivos da pesquisa e fecho o capítulo apresentando os campos teóricos em que a pesquisa se fundamenta, os quais denominei de Campos Teóricos de Investigação (CTI). No capítulo 2 discorro sobre cada um dos Campos Teóricos de Investigação, introduzidos no final do primeiro capítulo. Nessa discussão procuro ligar os CTI com a pesquisa. No capítulo 3 delimito e discuto as escolhas metodológicas com base nos campos teóricos em que a pesquisa se assenta. Então, nos capítulos 4,5 e 6, apresento o corpus principal da pesquisa, ou seja, reconstruo a história do cálculo numa perspectiva de construção de modelos (questões respondidas) a partir a dos problemas geradores (questões e aberto), analisando as contribuições dos gregos antigos ( capítulo 4), pós-gregos, especialmente, a contribuição dos romanos, indus, árabes e as contribuições na Idade Média (capítulo 5). Retomo o renascimento europeu e as contribuições dos filósofos/cientistas até culminar com o trabalho de Newton (capítulo 6). Finalmente, nas considerações finais, relato minhas impressões sobre o desenvolvimento da pesquisa e de como asseguro que a pergunta diretriz e os objetivos foram alcançados. Por último, delineio uma proposta de curso de Cálculo Diferencial e Integral tendo como eixo os três últimos capítulos da tese. ABSTRACT   This article refers to a research which tries to historically (re)construct the conceptual development of the Integral and Differential calculus, taking into account its constructing model feature, since the Greeks to Newton. These models were created by the problems that have been proposed by the history and were being modified by the time the new problems were put and the mathematics known advanced. In this perspective, I also show how a number of nature philosophers and mathematicians got involved by this process. Starting with the speculations over scientific and philosophical natures done by the ancient Greeks, it culminates with Newton’s work in the 17th century. Moreover, I present and analyze the problems proposed (open questions), models generated (questions answered) as well as the religious, political, economic and social conditions involved. This work is divided into 6 chapters plus the final considerations. Chapter 1 shows how the research came about, given my motivation and experience. I outline the ways I have gone trough to refine the main question and present the subject of and the objectives of the research, ending the chapter showing the theoretical bases by which the research was carried out, naming such bases as Investigation Theoretical Fields (ITF). Chapter 2 presents each one of the theoretical bases, which was introduced in the chapter 1’s end. In this discuss, I try to connect the ITF to the research. The Chapter 3 discusses the methodological choices done considering the theoretical fields considered. So, the Chapters 4, 5 and 6 present the main corpus of the research, i.e., they reconstruct the calculus history under a perspective of model building (questions answered) from the problems given (open questions), analyzing since the ancient Greeks’ contribution (Chapter 4), pos- Greek, especially, the Romans’ contribution, Hindus, Arabian, and the contribution on the Medium Age (Chapter 5). I relate the European reborn and the contribution of the philosophers and scientists until culminate with the Newton’s work (Chapter 6). In the final considerations, it finally gives an account on my impressions about the development of the research as well as the results reached here. By the end, I plan out a propose of curse of Differential and Integral Calculus, having by basis the last three chapters of the article. LISTA DE FLUXOGRAMAS 1. Esquema de uma modelagem .................................................................... 26 2. Processo simplificado de modelagem matemática .....................................28 3. Institucionalização do conhecimento matemático.........................................30 4. Pergunta diretriz e questões dela derivada...................................................40 5. Modelos, problemas e temas geradores......................................................41 6. No Centro está o Cálculo newtoniano...........................................................42 7. Cronologia – contribuições para a Astronomia..............................................42 8. Cronologia – contribuições Geometria e Álgebra..........................................43 9. Ordem cronológica – contribuições Mecânica e Movimento.........................43 10. Épocas abordadas na investigação.............................................................43 11. Contribuições da Matemática para o cálculo newtoniano...........................44 12. Principais matemáticos e suas contribuições.........................................44-45 13. Esquema de análise e discussão dos modelos gerados............................46 14. Sequência metodológica da pesquisa.........................................................47 15. Ciclo metodológico da pesquisa..................................................................46 16. Conologia dos estudos matemáticos de Newton.......................................212 17. Apresentação resumida da Tese...............................................................229 18. Proposta de ementa para um curso com a história...................................234