UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DE YUCATÁN FACULTAD DE MATEMÁTICAS Elaborado por: Luis Manuel Cabrera Chim Asesor: M.C. Eddie de Jesús Aparicio Landa Examen profesional para obtener el título de: Licenciado en Enseñanza de las Matemáticas Modalidad: Tesis individual Mérida, Yucatán, México Diciembre 2006 AGRADECIMIENTOS Agradezco al Consejo Nacional de Ciencia y Tecnología (CONACYT) por la beca que me otorgaron durante el desarrollo de este trabajo, a través del financiamiento de proyecto de investigación titulado “Un estudio sobre factores que obstaculizan la permanencia, logro educativo y eficiencia terminal en las áreas de matemáticas del nivel superior: el caso de la Facultad de Matemáticas de la Universidad Autónoma de Yucatán”. Agradezco a mi asesor, el M.C. Eddie de Jesús Aparicio Landa por su comprensión, apoyo sincero, constante motivación y valoración de mis ideas, así como por las valiosas sugerencias y consejos realizados. Agradezco también a la M.C. María del Pilar Rosado Ocaña y a la L.E. Laura C. Sánchez Leal por su apoyo y motivación durante los primeros días de la realización de este trabajo. Quiero extender este agradecimiento a todos mis profesores por la formación recibida, así como por el compañerismo y amistad que siempre nos mostraron. En especial a: Eddie, Landy, Lupita, Martha, Pilar y Rocío. Agradezco a mis amigos de la facultad: Lucero, Isabel, David, Andrés Gregorio, Manuel, Heyler, Sarai, Eunice, Nery, Rocío, Andrés, Víctor, Alonso, Miguel, Geisler, Luis, Palomino, Glendy y Cristy por su amistad y palabras de aliento. En especial a Lucero, Isabel y David que siempre me impulsaron a seguir adelante. También agradezco a todos mis compañeros de otras generaciones. DEDICATORIAS Dedico este trabajo a mis padres: Elvia María Chim Ciau y José Luis Cabrera Uc. Quienes siempre me han proporcionado un cariño y apoyo inmenso, así como una educación llena de valores, y cuyos sacrificios por sacarnos adelanta a mí y a mis hermanos siempre agradeceré y valoraré. Del mismo modo dedico este trabajo a mis hermanos Wilberth, Lucelly y Angel, por todos los grandes momentos de felicidad y cariño que hemos compartido. A toda mi familia por su apoyo en todo momento: a mis abuelos, tíos y primos. A mis amigos: Blanca, Sheila, Luis, Edwin y Jorge. Así como también a: Lucero, Isabel, David, Andrés, Manuel y Heyler por su gran amistad. ÍNDICE INTRODUCCIÓN I Capitulo 1. Descripción del problema y objetivo 1 1.1 La enseñanza del cálculo…………………………......................................... 2 1.2 Acciones de la Facultad de Matemáticas hacia la atención estudiantil ……. 4 1.3 Planteamiento del problema………………………………………………… 12 Capítulo 2. Antecedentes 21 2.1 Formación de profesores de matemáticas: formación disciplinar y formación pedagógica……………………………………………………… 22 2.2 Acciones para la formación de los profesores de matemáticas en el nivel superior……………………………………………………………………… 26 2.3 La didáctica de las matemáticas. Implicaciones en la formación de los profesores…………………………………………………………………… 32 2.3.1 Diversos enfoques en la enseñanza del cálculo……………………... 39 Capítulo 3. Marcos de referencia 46 3.1 La práctica docente…………………………………………………………. 47 3.1.1 Principios y problemas de la formación didáctica………………... 50 3.2 Situaciones didácticas………………………………………………………. 55 3.2.1 Las situaciones didácticas………………………………………… 61 3.2.2 Las situaciones a-didácticas………………………………………. 62 3.3 Ingeniería didáctica…………………………………………………………. 64 Capítulo 4. Aspectos metodológicos y diseño del Curso-Taller 70 4.1 Metodología………………………………………………………………… 70 4.2 Estructura del Curso-Taller…………………………………………………. 73 4.2.1 Dualidad de los conceptos matemáticos…………………………... 77 4.2.2 La visualización…………………………………………………… 81 4.2.3 Pensamiento y lenguaje variacional………………………………. 86 4.2.4 La noción de transferencia………………………………………... 96 4.3 Desarrollo de la secuencia didáctica………………………………………... 100 4.3.1 Problemas en el aprendizaje de las funciones…………………….. 102 4.3.2 Desarrollo histórico del concepto función………………………... 105 4.3.3 Tratamiento en los libros de texto………………………………… 111 4.3.4 Diseño de la secuencia……………………………………………. 121 4.3.5 Análisis a priori…………………………………………………… 123 Capítulo 5. Resultados y discusión 125 5.1 Registro de la información………………………………………………….. 125 5.2 Las creencias de los profesores……………………………………………... 126 5.3 El profesor ante un cambio en su práctica………………………………….. 129 5.4 Posturas de los profesores ante la Teoría de las Situaciones Didácticas…… 142 5.5 Comentarios de los profesores respecto al curso-taller……………………... 146 Capítulo 6. Conclusiones 150 Referencias bibliográficas 158 Anexo A 167 Anexo B 168 Introducción INTRODUCCIÓN El cálculo, y en general toda la matemática, se presenta como una disciplina que posee muy poca relación con el mundo en el que se desenvuelve el estudiante, si acaso se presentan algunos problemas de aplicación pero que distan de las situaciones conocidas por él. A esto debemos agregar que se presenta alejada de la tecnología y de las formas de producción de dichos conocimientos, dependiendo la formación de los estudiantes de la calidad de la enseñanza. Un adecuado proceso de enseñanza exige al profesor poseer una adecuada representación de lo que es la actividad matemática, en especial dentro del salón de clase, de una buena epistemología y de concepciones didácticas apropiadas. Sin embargo, en el nivel universitario, por lo general, únicamente se exige una formación disciplinar sólida. Esto hace que los profesores basen su proceder dentro del salón de clases de acuerdo con esquemas de referencia producto de su experiencia en la escuela y su experiencia profesional. Esquemas que van de acuerdo con las ideas que se ha formado respecto el papel que tanto él como el alumno deben desarrollar dentro del salón. Dicha ideas y creencias conforman la epistemología del profesor y, en muchos casos, constituyen una barrera a vencer para lograr un cambio en las prácticas de los profesores. Es así que entramos a un círculo vicioso, el cual difícilmente se puede superar sino se proporciona a los profesores una capacitación adecuada. I Introducción Las investigaciones en didáctica de las matemáticas nos proporcionan elementos a través de los cuales mejorar los métodos de enseñanza, así como también incidir sobre los contenidos que se enseñan, permitiéndonos incidir de manera benéfica en el desarrollo de condiciones que favorezcan el adecuado funcionamiento de los sistemas didácticos. Esto nos hace vislumbrar a la formación didáctica como un medio pertinente para lograr romper con el círculo anterior. No obstante los aporte de la didáctica de las matemáticas a los profesores, ellos presenta cierto recelo hacia una formación de este tipo. Consideran que la didáctica sólo viene a complicar y entorpecer su labor, al introducir una terminología desconocida por él y concebir que ella sólo busca el beneficio del alumno, en perjuicio, muchas veces, de la formación que se le proporciona. Por otra parte, las experiencias no tan positivas de los profesores en otros cursos de capacitación constituyen otro punto en contra de esta formación, por lo general, ellos tienen la idea que en dichos cursos se les proporcionarán conocimientos prácticos de aplicación inmediata en sus clases, expectativa que no lograr cubrir. A esto hay que agregar que la naturaleza de la matemática favorece en el profesor una práctica docente centrada en la deducción y con altos niveles de abstracción, esto lleva al profesor a aceptar sólo aquellos resultados que no contradigan esa concepción. Las ideas y creencias anteriores constituyen obstáculos a los que se enfrenta toda propuesta de formación didáctica. En el presente trabajo reportamos la elaboración de una propuesta de un curso-taller de formación didáctica para profesores de cálculo del nivel universitario. Se busca contribuir a la capacitación de los profesor, así como propiciar que éste vislumbre la necesidad de II Introducción modificar y reformular su labor docente, cambiando su énfasis en la enseñaza por un énfasis en los procesos de aprendizajes. Por otra parte, la puesta en práctica de dicha propuesta, a un nivel experimental, nos sirvió para observar las actitudes y las posturas que los profesores toman respecto a cursos de este estilo, información que contribuirá a la elaboración de un mayor número de cursos de formación didáctica enfocados a los profesores de ciencias exactas. Para ello utilizamos la Teoría de las Situaciones Didácticas como un modelo teórico y práctico de formación del profesorado, para lograr que perciban sus clases como un entorno semejante al de la comunidad matemática y adquiera elementos que le permitan desarrollarse bajo esa nueva perspectiva. La Ingeniería Didáctica, por su parte, nos proporcionó un modelo para la experimentación y análisis de las actividades a ser realizadas por el profesor dentro del salón de clases, permitiéndole una reflexión de su actuar y la revisión de aquello que funciona y aquello que debe modificarse, basándose en los resultados de los análisis que se exigen dentro de la ingeniería. A continuación damos un breve panorama del contenido de cada uno de los capítulos de que consta este trabajo. En el capítulo 1 se describen brevemente diversas problemáticas relacionadas con la enseñanza del cálculo, así como las problemáticas que se presentan dentro de las clases de cálculo en la Facultad de Matemáticas, de modo que se tenga una visión de la actuación que los profesores tienen dentro del salón de clases, y la viabilidad de una formación didáctica como medio para superar tales dificultades. En este mismo capitulo se describen los objetivos de este trabajo. III Introducción El capítulo 2 está destinado a los antecedentes. Aquí describimos algunas temáticas y acciones que se llevan a cabo en la formación de los profesores, así como también se presentan algunas propuestas de formación del profesorado en el nivel superior y el impactó que estas han tenido. Para finalizar este capítulo se describe brevemente en que consiste la didáctica de las matemáticas y las implicaciones que los resultados que se derivan de ella tienen sobre la formación de los profesores, dedicándose un apartado a la didáctica del cálculo. En el capítulo 3 se hace una descripción de los elementos que nos servirán de marco de referencia para la realización de la propuesta. Se describen algunos aspectos relacionados con la formación didáctica, así como también con la Teoría de las Situaciones Didácticas y la Ingeniería Didáctica. En el capítulo 4 se aborda la metodología empleada para el diseño del curso, así como una descripción del mismo; se describen las temáticas abordadas y las acciones realizadas para la conformación del diseño didáctico implementado. El capítulo 5 está destinado para el análisis y discusión de la información recabada dentro del curso. Se busca reportar el impacto de los temas abordados en las creencias y concepciones de los profesores, así como las posturas y actitudes que ellos tomaron ante el curso. En el capítulo 6 se describen brevemente algunas reflexiones relacionadas con la actitud de los profesores ante el modelo docente presentado y el impacto que ella tuvo sobre las IV