Capítulo 1. Conjuntos Medibles Calcular la medida de un conjunto en 𝑛 significa determinar su longitud, área o volumen, para 𝑛 = 1,2,3, respectivamente. Tanto la medida de Lebesgue como la integral de Lebesgue intentan, entre otras cosas, asociar tales cantidades a diversos conjuntos en 𝑛. Sin embargo, ¿cuál sería la familia más grande de conjuntos en 𝑛 a los que se les pueda asociar una medida y cuál sería la función de conjunto que los mida, de manera que ambos entes se comporten de acuerdo al sentido común? Se encontrará que relativamente pocos conjuntos en 𝑛 (los conjuntos medibles) pertenecen a esta familia. A los conjuntos restantes de 𝑛 no se les puede medir (son conjuntos no medibles), o sea, que no se les puede asociar una medida con buenas propiedades matemáticas. A pesar de esto, la familia de conjuntos medibles incluye a todos los conjuntos de utilidad práctica. También incluye a ciertos conjuntos de naturaleza “extraña” (conjuntos tipo Cantor), unos porque a pesar de estar contenidos en  y tener tantos elementos como , tienen medida cero y otros porque a pesar de estar totalmente llenos de “huecos”, conservan una medida positiva. Para responder a la pregunta anterior se procederá de manera constructiva. Se comienza considerando uniones finitas de rectángulos acotados en 𝑛 y usando al volumen usual como función de conjunto. Después, se introduce el concepto de medida exterior como extensión de esa función de conjunto a la familia de todos los subconjuntos de 𝑛. Luego, se utiliza la medida exterior a manera de distancia para determinar la familia de aquellos conjuntos en 𝑛 que pueden ser arbitrariamente aproximados por uniones finitas de rectángulos acotados. De esta última familia, se generan los conjuntos Lebesgue medibles; la función de conjunto, o medida de Lebesgue, que calcula la medida de estos conjuntos será, por defecto, la medida exterior. Posteriormente, se analizan las propiedades de la familia de conjuntos medibles y las propiedades de la medida, en particular, la propiedad de regularidad que permite aproximar arbitrariamente conjuntos medibles en 𝑛 con conjuntos abiertos o cerrados. Al final del capítulo se analiza el conjunto de Cantor y se demuestra la existencia de conjuntos no medibles. En los Ejercicios se propone la construcción clásica de los 1 conjuntos medibles y de la medida usando la condición de Carathéodory. Aunque dicha construcción tiene la virtud de poder ser generalizada directamente a espacios de medida abstractos, creemos que la que aquí se expone para el caso de 𝑛 es más natural y fácil de digerir para un principiante. En los capítulos siguientes se utilizarán frecuentemente los resultados de este capítulo para definir y establecer muchas de las propiedades de la integral de Lebesgue. 1.1. Conjuntos elementales en ℝ𝒏 y su volumen. Se introducirá el anillo de conjuntos elementales en 𝑛 y una función de conjunto no negativa, aditiva y regular que asocia a cada conjunto elemental su medida (más adelante se precisarán estos conceptos). Por convención, si 𝑎 y 𝑏 son números reales extendidos, entonces son iguales al conjunto vacío los tres intervalos [𝑎,𝑏[, ]𝑎,𝑏] y ]𝑎,𝑏[ si 𝑎 = 𝑏 y los cuatro intervalos [𝑎,𝑏], [𝑎,𝑏[, ]𝑎,𝑏] y ]𝑎,𝑏[ si 𝑎 > 𝑏. Un intervalo acotado en  es un conjunto I de la forma: [𝑎,𝑏], [𝑎,𝑏[, ]𝑎,𝑏] 𝑜 ]𝑎,𝑏[ , donde 𝑎,𝑏 ∈ . Los números reales a y b serán llamados los extremos de 𝐼. Un rectángulo (bloque o 𝒏−bloque) acotado en 𝑛 es un conjunto de la forma 𝑛 𝑃 = ∏𝐼 = {𝑥 = (𝑥 ,…,𝑥 ) ∈ 𝑛|𝑥 ∈ 𝐼 ,𝑘 = 1,…,𝑛}, 𝑘 1 𝑛 𝑘 𝑘 𝑘=1 donde 𝐼 ,,𝐼 son intervalos acotados en . Si alguno de los intervalos 𝐼 es vacío, el 1 𝑛 𝑘 rectángulo 𝑃 también será igual al conjunto vacío, por convención. 1.1 Definición. Un conjunto elemental es la unión de alguna familia finita de rectángulos acotados en 𝑛. En lo sucesivo  denotará a la familia de todos los conjuntos elementales en 𝑛. En particular, ∅ ∈ . Para estudiar las propiedades de la familia será necesario introducir algunos conceptos preliminares. 1.2 Definición. Sea una familia de subconjuntos de un conjunto 𝑋. Se dice que  es un 2 anillo de conjuntos en 𝑋 si para todo 𝐴,𝐵 ∈ , se tiene 𝐴∪𝐵,𝐴\𝐵 ∈ , es decir, la familia  es cerrada bajo uniones finitas y diferencias de conjuntos. Se dice que  es una álgebra de conjuntos en 𝑋 si para todo 𝐴,𝐵 ∈ , se tiene 𝑋,𝐴∪𝐵,𝐴𝑐 = 𝑋\𝐴 ∈  es decir, la familia  tiene a 𝑋 como uno de sus elementos y es cerrada bajo uniones finitas y complementos de conjuntos. Note que si  es un anillo o una álgebra de conjuntos en 𝑋, entonces para todo 𝐴,𝐵 ∈ , se tiene 𝐴∩𝐵 ∈ , es decir, la familia  también es cerrada respecto a intersecciones finitas. En efecto, basta observar1 que 𝐴∩𝐵 = 𝐴\(𝐴\𝐵) = (𝐴𝑐 ∪𝐵𝑐)𝑐. Note también que una familia de conjuntos  de 𝑋 es una álgebra si y sólo si  es un anillo y 𝑋 ∈  (pues 𝐴𝑐 = 𝑋\𝐴 y 𝐴\𝐵 = 𝐴∩𝐵𝑐). En lo sucesivo, en relación a familias de conjuntos, por brevedad, será usada la expresión disjuntos en lugar de disjuntos a pares o ajenos. 1.3 Proposición. La familia  de conjuntos elementales en 𝑛 es un anillo pero no una álgebra. Además, todo conjunto elemental puede ser escrito como unión de alguna familia finita de rectángulos acotados disjuntos. Demostración. (a) Se probará primero que  es un anillo de conjuntos en 𝑛. Sean pues 𝐴,𝐵 ∈ . Se afirma que 𝐴∪𝐵,𝐴∩𝐵 ∈ . En efecto, existen rectángulos acotados {𝑃 }𝑙 y =1 𝑟 {𝑄 } tales que 𝐴 = ⋃𝑙 𝑃 y 𝐵 = ⋃𝑟 𝑄 . Ya que 𝐴∪𝐵 = (⋃𝑙 𝑃 )∪(⋃𝑟 𝑄 ),  =1  =1  =1  =1  =1 claramente 𝐴∪𝐵 resulta ser unión finita de rectángulos acotados en 𝑛. Por lo tanto 𝐴∪ 1 Recuerde las Leyes de De Morgan: 𝑐 𝑐 (⋃𝐴 ) =⋂𝐴𝑐 y (⋂𝐴 ) =⋃𝐴𝑐 , 𝛼 𝛼 𝛼 𝛼 𝛼∈Ω 𝛼∈Ω 𝛼∈Ω 𝛼∈Ω donde {𝐴 } es una familia arbitraria de conjuntos. 𝛼 𝛼∈Ω 3 𝐵 ∈ . Similarmente, 𝑙 𝑟 𝑙 𝑟 𝐴∩𝐵 = (⋃𝑃 )∩(⋃𝑄 ) = ⋃⋃(𝑃 ∩𝑄 ). 𝜆 𝜌 𝜆 𝜌 𝜆=1 𝜌=1 𝜆=1𝜌=1 Siendo la intersección de dos rectángulos acotados en 𝑛 un rectángulo acotado (¿Por qué?), la identidad anterior muestra que 𝐴∩𝐵 es unión finita de rectángulos acotados en 𝑛, es decir, 𝐴∩𝐵 ∈ . Esto prueba la afirmación. Se afirma ahora que 𝐴\𝐵 ∈ . En efecto, se tiene2 𝑙 𝑟 𝑙 𝑟 𝐴\𝐵 = (⋃𝑃 )\(⋃𝑄 ) = ⋃⋂(𝑃 \𝑄 ). 𝜆 𝜌 𝜆 𝜌 𝜆=1 𝜌=1 𝜆=1𝜌=1 En vista de esta identidad y puesto que la unión finita de conjuntos elementales en 𝑛 es un conjunto elemental, para mostrar que 𝐴\𝐵 ∈  bastará probar las dos afirmaciones siguientes: () Si 𝑃 y 𝑄 son dos rectángulos acotados en 𝑛, entonces 𝑃\𝑄 ∈ . () Si 𝐶 y 𝐷 son dos conjuntos elementales en 𝑛, entonces 𝐶 ∩𝐷 ∈ . Ya se sabe que se cumple (). Falta probar (). Se mostrará por inducción sobre 𝑛 que 𝑃\𝑄 ∈  en 𝑛. Se puede escribir 𝑃 = 𝑃𝑛−1 ×𝐴 y 𝑄 = 𝑄𝑛−1×𝐵 , donde 𝑃𝑛−1 y 𝑄𝑛−1 son 𝑛 𝑛 rectángulos acotados en 𝑛−1 y 𝐴 y 𝐵 son dos intervalos acotados en . Es claro que 𝑛 𝑛 𝐴 \𝐵 es la unión de a lo más dos intervalos acotados 𝐶 ∪𝐶 disjuntos en . Suponga ahora 𝑛 𝑛 1 2 que 𝑃𝑛−1\𝑄𝑛−1 es la unión de s rectángulos acotados ⋃𝑠 𝑅𝑛−1 disjuntos en 𝑛−1. 𝜎=1 𝜎 Entonces3 𝑃\𝑄 = (𝑃𝑛−1 ×𝐴 )\(𝑄𝑛−1×𝐵 ) 𝑛 𝑛 = [(𝑃𝑛−1\𝑄𝑛−1)×𝐴 ]∪[(𝑃𝑛−1 ∩𝑄𝑛−1)×(𝐴 \𝐵 )] 𝑛 𝑛 𝑛 2 Recuerde las Leyes de De Morgan en su versión de diferencias: 𝐴\(⋃𝐴 )=⋂(𝐴\𝐴 ) y A\(⋂𝐴 )=⋃(𝐴\𝐴 ), 𝛼 𝛼 𝛼 𝛼 𝛼∈Ω 𝛼∈Ω 𝛼∈Ω 𝛼∈Ω donde A es un conjunto y {A } es una familia arbitraria de conjuntos.  3 El lector puede verificar fácilmente la identidad (𝑌 ×𝑍 )\(𝑌 ×𝑍 )=[(𝑌\𝑌)×𝑍 ]∪[(𝑌 ∩𝑌)×(𝑍 \𝑍 )] 1 1 2 2 1 2 1 1 2 1 2 siendo disjuntos los conjuntos de la derecha. 4 𝑠 = [(⋃𝑅𝑛−1)×𝐴 ]∪[(𝑃𝑛−1 ∩𝑄𝑛−1)×(𝐶 ∪𝐶 )] 𝜎 𝑛 1 2 𝜎=1 𝑠 = [⋃(𝑅𝑛−1×𝐴 )]∪[(𝑃𝑛−1 ∩𝑄𝑛−1)×𝐶 ]∪[(𝑃𝑛−1 ∩𝑄𝑛−1)×𝐶 ]. 𝜎 𝑛 1 2 𝜎=1 Puesto que la intersección de dos rectángulos acotados en 𝑛 es un rectángulo acotado, la identidad anterior muestra que 𝑃\𝑄 es una unión finita de rectángulos acotados disjuntos en 𝑛. En particular, 𝑃\𝑄 ∈ . Esto prueba (). Por lo tanto,  es un anillo de conjuntos en 𝑛. El anillo  no es una álgebra porque todo conjunto elemental debe ser acotado y como 𝑛 no lo es, entonces 𝑛 ∉ . (b) Se probará ahora que todo conjunto elemental se puede escribir como unión finita de rectángulos acotados disjuntos. Considere el mismo conjunto 𝐴 = ⋃𝑙 𝑃 ∈  de la parte =1  (a). Aplicando la conocida técnica para reemplazar una unión a lo sumo numerable de conjuntos por otra unión a lo sumo numerable de conjuntos disjuntos y las leyes de De Morgan, resulta 𝑙 𝜆−1 𝑙 𝜆−1 𝐴 = ⋃[𝑃 \(⋃𝑃 )] = ⋃[⋂(𝑃 \𝑃 )] , 𝜆 𝜌 𝜆 𝜌 𝜆=1 𝜌=1 𝜆=1 𝜌=1 donde los conjuntos 𝜆−1 𝜆−1 𝑃 \(⋃𝑃 ) = ⋂(𝑃 \𝑃 ), 𝜆 𝜌 𝜆 𝜌 𝜌=1 𝜌=1 = 1,,𝑙, son disjuntos. Por (), para = 1,,𝑙 y = 1,,−1, el conjunto 𝑃 \𝑃 se   puede escribir como unión finita de rectángulos acotados disjuntos. Siendo la intersección finita de rectángulos acotados un rectángulo acotado en 𝑛, el conjunto 𝜆−1 ⋂(𝑃 \𝑃 ) 𝜆 𝜌 𝜌=1 también se puede escribir como unión finita de rectángulos acotados disjuntos. Por lo tanto, 𝐴 debe ser una unión finita de rectángulos acotados disjuntos.▐ El siguiente resultado afina la Proposición 1.3 y será utilizado de manera crucial en 5 la definición de medida (o volumen) de conjuntos elementales. 1.4 Proposición. Para cualquier colección finita 𝑃 ,,𝑃 de rectángulos acotados en 𝑛 1 𝑚 existe otra colección finita 𝑄 ,,𝑄 de rectángulos acotados disjuntos tales que: 1 𝑠 𝑚 𝑠 𝒊. ⋃𝑃 = ⋃𝑄 . 𝑖 𝑗 𝑖=1 𝑗=1 ii. Para 𝑖 = 1,,𝑚, 𝑃 es unión de algunos 𝑄 . 𝑖 𝑗 Las condiciones (i) y (ii) son equivalentes a las condiciones (i) y iii. Para 𝑖 = 1,,𝑚 y 𝑗 = 1,,𝑠, se tiene bien 𝑄  𝑃 o bien 𝑄 ∩𝑃 = ∅, 𝑗 𝑖 𝑗 𝑖 equivalentemente, 𝑄 ∩𝑃 = ∅ o bien 𝑄 ∩𝑃 ≠ ∅ implica 𝑄  𝑃. 𝑗 𝑖 𝑗 𝑖 𝑗 𝑖 Demostración. Bastará probar que existen conjuntos elementales disjuntos 𝐶 ,,𝐶 tales 1 𝑁 que 𝑚 𝑁 𝐚) ⋃𝑃 = ⋃𝐶 . 𝑖 𝑗 𝑖=1 𝑗=1 b) Para 𝑖 = 1,,𝑚, 𝑃 es unión de algunos 𝐶 . 𝑖 𝑗 En efecto, si se cumplen (a) y (b), el resultado se obtendrá al escribir a cada 𝐶 como 𝑗 unión finita de rectángulos acotados disjuntos (vea la Proposición 1.3). Los conjuntos 𝐶 se 𝑗 definen de la siguiente manera. Para cada subconjunto no vacío 𝐽 de {1,,𝑚}, se define el conjunto 𝐶 = (⋂𝑃)\(⋃𝑃 ). 𝐽 𝑗 𝑘 𝑗∈𝐽 𝑘∉𝐽 Note que 𝐶 ∈ ,∀𝐽 ⊂ {1,,𝑚}, por ser  un anillo de conjuntos en 𝑛 (vea la Proposición 𝐽 1.3). Se afirma que () 𝐶  𝑃 si 𝑖 ∈ 𝐽. 𝐽 𝑖 () 𝐽 ≠ 𝐾 implica 𝐶 ∩𝐶 = ∅. 𝐽 𝐾 (𝜸) 𝑃 = ⋃ 𝐶 . 𝑖 𝐽 {𝐽|𝑖∈𝐽} En efecto, () se cumple por definición de 𝐶 . Considere ahora dos subconjuntos distintos 𝐽 6 𝐽 = {𝑗 ,,𝑗 } y 𝐾 = {𝑘 ,,𝑘 } de {1,,𝑚}. Si, por ejemplo, 𝑘 ∉ 𝐽, entonces 𝑃 ∩𝐶 = 1 𝑟 1 𝑠 1 𝑘1 𝐽 ∅, por definición de 𝐶 , pero 𝐶  𝑃 , por (), luego, 𝐶 ∩𝐶 = ∅ mostrando así (). 𝐽 𝐾 𝑘1 𝐾 𝐽 Finalmente, fije 𝑖 ∈ {1,,𝑚} y sea 𝑥 ∈ 𝑃. Ponga 𝑖 = 𝑖 y sean 𝑖 ,,𝑖 los demás índices 𝑗 𝑖 1 2 𝑟 en {1,,𝑚} tales que 𝑥 ∈ 𝑃. Sea 𝐽 = {𝑖 ,,𝑖 }. Entonces 𝑥 ∈ 𝐶 , por definición de 𝐶 . Así 𝑗 1 𝑟 𝐽 𝐽 pues, 𝑃 está contenido en aquellos 𝐶 para los cuales 𝐽 es tal que 𝑖 ∈ 𝐽, o sea, 𝑖 𝐽 𝑃 ⊂ ⋃ 𝐶 . 𝑖 𝐽 {𝐽|𝑖 ∈ 𝐽} La contención opuesta se sigue de (). Esto prueba ().▐ Se procederá ahora a definir y estudiar las propiedades de una función de conjunto no negativa, aditiva y regular que asocia a cada conjunto elemental su medida (o volumen). 1.5 Definición. Sea 𝑛 𝑃 = ∏𝐼 𝑘 𝑘=1 un rectángulo acotado en 𝑛, donde 𝐼 es un intervalo acotado con extremos 𝑎 y 𝑏 en , 𝑘 𝑘 𝑘 𝑘 = 1,,𝑛. Si 𝑎 ≤ 𝑏 , 𝑘 = 1,,𝑛, se define el volumen de 𝑃 como el número real 𝑘 𝑘 𝑛 𝑣𝑜𝑙(𝑃) = ∏(𝑏 −𝑎 ). 𝑘 𝑘 𝑘=1 Si 𝑎 > 𝑏 para algún 𝑘 ∈ {1,,𝑛}, por convención se escribe 𝑘 𝑘 𝑣𝑜𝑙(𝑃) = 0. Note que el volumen de un rectángulo degenerado (es decir, un rectángulo con interior vacío o igual al conjunto vacío) queda definido automáticamente como cero. Para 𝑛 = 1,2,3, 𝑣𝑜𝑙(𝑃) representa la longitud, el área y el volumen de 𝑃 en el sentido usual, respectivamente. 1.6 Lema. Si 𝑃 es un rectángulo acotado en 𝑛 tal que 𝑀 𝑃 = ⋃𝑃, 𝑖 𝑖=1 donde 𝑃 ,,𝑃 son rectángulos disjuntos, entonces 1 𝑀 𝑀 𝑣𝑜𝑙(𝑃) = ∑𝑣𝑜𝑙(𝑃). 𝑖 𝑖=1 7 Demostración. Se procederá por inducción sobre la dimensión de 𝑛. (i) Para el caso , 𝑃 es un intervalo con extremos 𝑎 < 𝑏. Sean 𝑎 ≤ 𝑏 los extremos 𝑖 𝑖 del intervalo 𝑃, 𝑖 = 1,,𝑀. Sin pérdida de generalidad se puede suponer que 𝑎 ≤ ⋯ ≤ 𝑎 . 𝑖 1 𝑀 Ya que 𝑃 = ⋃𝑀 𝑃, se debe tener 𝑎 = 𝑎. Siendo los 𝑃 disjuntos, necesariamente 𝑏 ≤ 𝑎 . 𝑖=1 𝑖 1 𝑖 1 2 Pero, otra vez, ya que 𝑃 es un intervalo y 𝑃 = ⋃𝑀 𝑃, necesariamente 𝑎 = 𝑏 (pues 𝑃 es 𝑖=1 𝑖 2 1 conexo). Análogamente, 𝑎 = 𝑏 , 𝑗 = 1,,𝑀-1, y 𝑏 = 𝑏. Entonces 𝑗+1 𝑗 𝑀 𝑣𝑜𝑙(𝑃) = 𝑏−𝑎 = (𝑏−𝑎 )+(𝑎 −𝑎 )+⋯+(𝑎 −𝑎) 𝑀 𝑀 𝑀−1 2 𝑀 = (𝑏 −𝑎 )+(𝑏 −𝑎 )+⋯+(𝑏 −𝑎 ) = ∑𝑣𝑜𝑙(𝑃). 𝑀 𝑀 𝑀−1 𝑀−1 1 1 𝑖 𝑖=1 (ii) Suponiendo que el resultado es cierto para 𝑛−1, se probará ahora para 𝑛. Identifique a 𝑛 con 𝑛−1 ×. Con esta identificación, 𝑃 =𝑃′×𝑃′′, donde 𝑃′ es un rectángulo en 𝑛−1 y 𝑃′′ es un intervalo en . Se mostrará primero el resultado para ciertas particiones particulares de 𝑃 en rectángulos. (a) Suponga que 𝐻 ,,𝐻 son rectángulos disjuntos en 𝑛−1 tales que 1 𝑟 𝑟 ⋃𝐻 = 𝑃′ 𝑗 𝑗=1 y que 𝐽 ,,𝐽 son intervalos disjuntos en  tales que 1 𝑠 𝑠 ⋃𝐽 = 𝑃′′. 𝑘 𝑘=1 Entonces {𝐻𝑗 ×𝐽𝑘}𝑟,𝑠 son rectángulos disjuntos en 𝑛 tales que 𝑗,𝑘=1 𝑟 𝑠 𝑃 = ⋃⋃(𝐻 ×𝐽 ), 𝑗 𝑘 𝑗=1𝑘=1 es decir, {𝐻 ×𝐽 }𝑟,𝑠 es una partición de 𝑃 en rectángulos de 𝑛. Este tipo de partición de 𝑗 𝑘 𝑗,𝑘=1 𝑃 será llamada “regular”. Por la parte (i) y la hipótesis inductiva, se tiene 𝑟 𝑠 𝑟 𝑠 𝑠 𝑟 ∑∑𝑣𝑜𝑙(𝐻 ×𝐽 ) = ∑∑𝑣𝑜𝑙(𝐻 )𝑣𝑜𝑙(𝐽 ) = ∑(∑𝑣𝑜𝑙(𝐻 ))𝑣𝑜𝑙(𝐽 ) 𝑗 𝑘 𝑗 𝑘 𝑗 𝑘 𝑗=1𝑘=1 𝑗=1𝑘=1 𝑘=1 𝑗=1 8 𝑠 = 𝑣𝑜𝑙(𝑃′)∑𝑣𝑜𝑙(𝐽 ) = 𝑣𝑜𝑙(𝑃′)𝑣𝑜𝑙(𝑃′′) = 𝑣𝑜𝑙(𝑃). 𝑘 𝑘=1 Así pues el resultado es válido para particiones regulares de 𝑃. (b) Finalmente considere una partición arbitraria de 𝑃 en rectángulos 𝑃 ,,𝑃 . 1 𝑀 Escriba 𝑃 = 𝑃′ ×𝑃′′ donde 𝑃′ es un rectángulo en 𝑛−1 y 𝑃′′ es un intervalo en , 𝑖 = 𝑖 𝑖 𝑖 𝑖 𝑖 1,,𝑀. Necesariamente, 𝑀 𝑀 𝑃′ = ⋃𝑃′ y 𝑃′′ = ⋃𝑃′′. 𝑖 𝑖 𝑖=1 𝑖=1 En general ni los 𝑃′ ni los 𝑃′′ van a ser disjuntos pero, por la Proposición 1.4, existen 𝑖 𝑖 rectángulos disjuntos 𝐻 ,,𝐻 tales que 1 𝑟 𝑟 𝑃′ = ⋃𝐻 𝑗 𝑗=1 y cada 𝑃′ es unión de algunos 𝐻 , es decir, 𝑖 𝑗 (1.1) 𝐻 ⊂ 𝑃′ o 𝐻 ∩𝑃′ = ∅, 𝑗 𝑖 𝑗 𝑖 para todo 𝑗 = 1,,𝑟 e 𝑖 = 1,,𝑀. Del mismo modo, existen intervalos disjuntos 𝐽 ,,𝐽 1 𝑠 en  tales que 𝑠 𝑃′′ = ⋃𝐽 𝑘 𝑘=1 y cada 𝑃′′ es la unión de algunos 𝐽 , es decir, 𝑖 𝑘 (1.2) 𝐽 ⊂ 𝑃′′ o 𝐽 ∩𝑃′′ = ∅, 𝑘 𝑖 𝑘 𝑖 para todo k= 1,,𝑠 e 𝑖 = 1,,𝑀. Más precisamente, 𝑃′ = ⋃𝐻 y 𝑃′′ = ⋃ 𝐽 , 𝑖 𝑗 𝑖 𝑘 𝑗∈𝐴 𝑘∈𝐵 𝑖 𝑖 donde 𝐴  {1,,𝑟} y 𝐵  {1,,𝑠}. Entonces la familia de rectángulos {𝐻 ×𝐽 } 𝑖 𝑖 𝑗 𝑘 (𝑗,𝑘)∈𝐴×𝐵 𝑖 𝑖 es una partición regular del rectángulo 𝑃. Por el inciso (a) se tiene pues 𝑖 (1.3) 𝑣𝑜𝑙(𝑃) = ∑ 𝑣𝑜𝑙(𝐻 ×𝐽 ). 𝑖 𝑗 𝑘 (𝑗,𝑘)𝐴×𝐵 𝑖 𝑖 Se afirma que {𝐴 ×𝐵 }𝑀 es una partición de {1,,𝑟}×{1,,𝑠}. En efecto, note que 𝑖 𝑖 𝑖=1 9 (𝑗,𝑘) ∈ 𝐴 ×𝐵 significa que 𝐻 ×𝐽 ⊂ 𝑃. Sea pues (𝑗,𝑘) ∈ {1,,𝑟}×{1,,𝑠} y tome un 𝑖 𝑖 𝑗 𝑘 𝑖 punto 𝑥 ∈ 𝐻 ×𝐽 . Entonces x pertenece a cierto 𝑃. Luego 𝑗 𝑘 𝑖 ∅ ≠ (𝐻 ×𝐽 )∩𝑃 = (𝐻 ×𝐽 )∩(𝑃′ ×𝑃′′) = (𝐻 ∩𝑃′)×(𝐽 ∩𝑃′′). 𝑗 𝑘 𝑖 𝑗 𝑘 𝑖 𝑖 𝑗 𝑖 𝑘 𝑖 Así pues, 𝐻 ∩𝑃′ ≠ ∅ y 𝐽 ∩𝑃′′ ≠ ∅. Por (1.1) y (1.2), se sigue que 𝐻  𝑃′ y 𝐽  𝑃′′, luego 𝑗 𝑖 𝑘 𝑖 𝑗 𝑖 𝑘 𝑖 𝐻 ×𝐽  𝑃, o sea, (𝑗,𝑘) ∈ 𝐴 ×𝐵 . Pero cada 𝐻 ×𝐽 no puede estar contenido en más de 𝑗 𝑘 𝑖 𝑖 𝑖 𝑗 𝑘 un 𝑃, por ser los 𝑃 disjuntos. Por lo tanto, cada (𝑗,𝑘) ∈ {1,,𝑟}×{1,,𝑠} pertenece a un 𝑖 𝑖 𝐴 ×𝐵 y sólo uno. Así pues, {𝐴 ×𝐵 }𝑀 es una partición de {1,,𝑟}×{1,,𝑠}. Ya que 𝑖 𝑖 𝑖 𝑖 𝑖=1 𝑟,𝑠 {𝐻 ×𝐽 } es claramente una partición regular del rectángulo 𝑃, se sigue de (1.3) y del 𝑗 𝑘 𝑗,𝑘=1 inciso (a) que 𝑀 𝑀 𝑟 𝑠 ∑𝑣𝑜𝑙(𝑃) = ∑ ∑ 𝑣𝑜𝑙(𝐻 ×𝐽 ) = ∑∑𝑣𝑜𝑙(𝐻 ×𝐽 ) = 𝑣𝑜𝑙(𝑃).▐ 𝑖 𝑗 𝑘 𝑗 𝑘 𝑖=1 𝑖=1(𝑗,𝑘)𝐴×𝐵 𝑗=1𝑘=1 𝑖 𝑖 𝑟 1.7 Teorema y Definición. Sea 𝐴 ∈ . Suponga que {𝑃 }𝑙 y {𝑄 } son familias de =1  =1 rectángulos acotados disjuntos en 𝑛, respectivamente, tales que 𝑙 𝑟 𝐴 = ⋃𝑃 = ⋃𝑄 . 𝜆 𝜌 𝜆=1 𝜌=1 Entonces, 𝑙 𝑟 ∑𝑣𝑜𝑙(𝑃 ) = ∑𝑣𝑜𝑙(𝑄 ). 𝜆 𝜌 𝜆=1 𝜌=1 La medida de 𝐴 se define entonces como el número real 𝑙 𝑚(𝐴) = ∑𝑣𝑜𝑙(𝑃 ). 𝜆 𝜆=1 𝑙,𝑟 Demostración. Se tiene que {𝑃 ∩𝑄 } es una familia finita de rectángulos acotados   ,=1 disjuntos tales que 𝑟 𝑙 𝑃 = ⋃(𝑃 ∩𝑄 ), 𝜆 = 1,…,𝑙, 𝑄 = ⋃(𝑃 ∩𝑄 ), 𝜌 = 1,…,𝑟.    𝜌   =1 𝜆=1 Por el Lema 1.6, se tiene 10