Repu´blica Bolivariana de Venezuela Universidad de Carabobo Facultad Experimental de Ciencias y Tecnolog´ıa Departamento de Matem´aticas Un estudio comparativo entre Espacios Vectoriales de Dimensio(cid:19)n Finita e Infinita Trabajo Especial de Grado presentado ante la ilustre Universidad de Carabobo por el Br. Ojeda A. Juan N. para optar al t(cid:19)(cid:16)tulo de Licenciado en Matema(cid:19)tica Tutor: Prof. Nelson C. Herna(cid:19)ndez. Valencia-Venezuela Mayo de 2011 Repu´blica Bolivariana de Venezuela Universidad de Carabobo Facultad Experimental de Ciencias y Tecnolog´ıa Departamento de Matem´aticas Un estudio comparativo entre Espacios Vectoriales de Dimensio(cid:19)n Finita e Infinita Trabajo de Especial de Grado Como requisito para obtener el t´ıtulo de Licenciado en Matem´atica Tesista: Ojeda A. Juan N. Tutor: Prof. Hern´andez Nelson C. Jurado: Prof. Montilla Orestes Jurado: Prof. Rodr´ıguez Luis Naguanagua-Venezuela, 2011 (cid:19) Indice general Agradecimientos 5 Introducci(cid:19)on 5 1. Historia de los Espacios Vectoriales 11 1.1. Geometr´ıa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.2. Teor´ıa de nu´meros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.3. Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1.4. Sistemas de ecuaciones lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 1.5. Espacios vectoriales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 1.6. Espacios vectoriales de dimensi´on infinita . . . . . . . . . . . . . . . 25 2. Estudio preliminar sobre Espacios Vectoriales 29 2.1. Introducci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 2.2. Espacios vectoriales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 2.3. Subespacios vectoriales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 2.4. Combinaciones lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 2.5. Sistemas de generadores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 2.6. Independencia lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 2.7. Base de un espacio vectorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 3 2.8. Dimensi´on de un espacio vectorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 2.9. Espacio cociente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 2.10.Teoremas de la dimensi´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 2.11.Suma directa interna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 2.12.Bases ordenadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98 2.13.Transformaci´on lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 2.14.Funcional lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 2.15.Teoremas de isomorfismo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120 3. Espacios Vectoriales de Dimensi(cid:19)on In(cid:12)nita 130 3.1. Introducci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130 3.2. Conceptos fundamentales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132 3.3. Existencia de una base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137 3.4. Equicardinalidad de las bases de Hamel infinitas . . . . . . . . . . . 140 3.5. Teoremas de la dimensi´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145 3.6. Reticulados de subespacios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153 3.7. Condiciones de cadenas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158 3.8. Reformulaci´on de la definici´on de bases ordenadas y coordenadas . . 165 3.9. ((Equipotencia)) entre espacio vectoriales y la clase de los cardinales 168 3.10.Espacios duales infinitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171 4. Conclusiones y re(cid:13)exiones (cid:12)nales 181 A. Teor(cid:19)(cid:16)a de conjuntos 184 A.1. Teor´ıa axiom´atica de conjuntos Zermelo-Fraenkel . . . . . . . . . . 184 A.2. Lema de Zorn-Kuratowski . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185 A.3. Ordinales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189 A.4. Cardinalidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192 A.5. Aritm´etica cardinal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194 4 5 B. 198 B.1. Funciones y conjuntos de funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198 B.2. Sucesiones infinitas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198 B.3. Funciones medibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199 B.4. Ecuaciones lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200 Bibliograf(cid:19)(cid:16)a 203 Agradecimientos A mis padres, quienes han sabido formarme con buenos sentimientos, h´abitos y valores, lo cual me ha ayudado a salir adelante buscando siempre el mejor camino, y por todo lo que me han dado en esta vida, especialmente por sus sabios consejos y por estar a mi lado en los momentos dif´ıciles. A mi padre que siempre y de manera constante me repite que para alcanzar el (cid:19)exito se requiere de tres cosas: voluntad, valor y decisi(cid:19)on, adem´as me dice que Caer est(cid:19)a permitido. <Levantarse es obligatorio!. A mi hermana Anais, quien me ha acompan˜ado en silencio con una comprensi´on a prueba de todo. Quiero darles las gracias a todos los profesores del Departamento de Matem´atica quemeeducaron yquede unauotra maneraformaron ymeayudarona evolucionar en el pequen˜o mundo de las matem´aticas. En particular a mi tutor de tesis, gu´ıa y guru´, el profesor Nelson Hern´andez, quien me orient´o durante toda la carrera y especialmente por sus consejos, correcciones, consultas durante el tiempo que dur´o esta tesis y por tener la paciencia ante mis dudas de novato y por escuchar atentamente los problemas que a lo largo de esta tesis surgieron. Como expresaba Gladys Bronwyn Stern: La gratitud en silencio no sirve a nadie, entonces es importante agradecerle a Dayana, pues como dicen que detr´as de un no 7 tan gran hombre hay una gran mujer, gracias a Dayana, por estos nueves an˜os y todo lo que me ensen˜´o en ellos: tuve mucha suerte por haberle conocido. A mi t´ıa Mary y Aracelis, por estar siempre dispuestas a ayudarme. A mi abuela Carmen, por el apoyo incondicional que me dio cuando lo necesit´e. Y por ensen˜arme que la generosidad no consiste en dar mucho sino en dar a tiempo. A mi nin˜a, simplemente por ser como es. Con todas su man´ıas y defectos, con todas sus virtudes y bellezas. Gracias por caminar a mi lado durante todo este pequen˜o tiempo. Tambi´en por ensen˜arme que no hay l´ımites, que lo que me proponga lo puedo lograr y que s´olo depende de mi. Gracias tambi´en a tu familia. Agradezco a mis compan˜eros de estudios, porque la constante comunicaci´on con ellos ha contribuido en gran medida a transformar y mejorar mi forma de actuar en mis estudios, especialmente a aquellos que me brindaron carin˜o, comprensi´on y apoyo, d´andome con ello, momentos muy gratos. Finalmente quiero agradecer a todas aquellas personas que de una u otra manera hicieronposiblelaterminaci´ondeestetrabajodetesisyquenolasmencion´e,gracias a todos. Introducci(cid:19)on La presente investigaci´on se refiere al tema de los espacios vectoriales, que debido al nu´mero cardinal (ya sea finito o infinito) asociado a una base del espacio vectorial pueden ser clasificados como espacios vectoriales de dimensi´on finita (si el cardinal asociado a la base es finito) o infinito dimensional (en otro caso). Nuestro objetivo a lo largo del presente trabajo es estudiar de manera detallada las similitudes y diferencias presentadas entre los espacios antes mencionados. Desde el punto de vista antes citado podemos afirmar que de este trabajo se deriva la clasificaci´on de las propiedades de los espacios vectoriales en tres grandes grupos: 1. Aquellas que son validas para espacios vectoriales cualesquiera, independien- temente de la cardinalidad de sus bases. 2. Las que son validas u´nicamente para espacios vectoriales de dimensi´on finita. 3. Las que son validas s´olo para espacios vectoriales infinito dimensionales. No ahondaremos ejemplificando las propiedades citadas en 1), 2) y 3); pues ´estas pueden ser encontradas, con lujo de detalle, en los cap´ıtulos que componen el presente trabajo. ´ Un hecho notorio que se percibe al revisar los textos cl´asicos de Algebra Lineal (a nivel de licenciatura) es que se omiten resultados importantes cuando el espacio 9 vectorial posee una base de cardinalidad infinita. En particular, no se introduce el concepto de dimensi´on para esos casos. En este trabajo realizaremos una ′ actualizaci´on y revisi´on del teorema de L¨owig (si B y B son dos bases con cardinales infinitos asociadas a ellas, entonces estas deben ser equipotentes), como consecuencia del anterior teorema puede introducirse la noci´on de dimensi´on para el caso particular cuando el espacio vectorial tiene una base de Hamel infinita (en realidad, en este caso, la dimensi´on se corresponder´a con un cardinal infinito). En base a lo antes expresado, se reformular´a la noci´on de bases ordenadas y coordenadas para espacios vectoriales de tal forma que se adapte a la perfecci´on para cualquier dimensi´on del espacio (finita o infinita). Evidentemente para sustentar un estudio como el que aqu´ı presentamos, se requiri´o el estudio de algunos aspectos de la teor´ıa de conjunto (especialmente la aritm´eticatransfinita),cuyosaspectosm´asb´asicospresentamosaqu´ıenunap´endice. Una duda natural que surge al leer la presente introducci´on es la pertinencia o importancia de un trabajo como este y la respuesta obvia es que los espacios vectoriales de dimensi´on infinita se presentan m´as frecuentemente en diversas ´areas del quehacer matem´atico de lo que usualmente se percibe (por ejemplo: espacios vectoriales topol´ogicos, an´alisis funcional y espacios de Hilbert, ecuaciones diferenciales, teor´ıa de nu´meros algebraicos, entre otros). El contenido de este trabajo est´a estructurado en cuatro cap´ıtulos y dos ap´endices. En el primer cap´ıtulo se presenta una breve resen˜a hist´orica acerca de la evoluci´on de las ideas relacionadas con los espacios vectoriales y su vinculaci´on con las diferentes ramas de las matem´aticas. Hemos incluido este cap´ıtulo para presentar unaperspectivam´asclaradelainteracci´onentrelasnocionesalgebraicas(ennuestro ´ caso especial el Algebra Lineal) y otras ´areas de las matem´aticas. En el cap´ıtulo dos hemos presentado un compendio resumido de los resultados fundamentales que se estudian en un primer curso de licenciatura en matem´aticas ´ de Algebra Lineal; evidentemente no se presupone originalidad en ninguno de los 10 resultados presentados y la raz´on primordial de su inclusi´on es hacer el trabajo autocontenido y presentar este material de forma ordenada de acuerdo a la complejidad de los t´opicos estudiados. El cap´ıtulo tres es el m´as importante de este trabajo y all´ı se hace un an´alisis exhaustivo de los espacios vectoriales infinito dimensionales y se hace un estudio comparativo con los espacios vectoriales de dimensi´on finita, como se especific´o al comienzo de esta introducci´on. Finalmente, en el cap´ıtulo cuatro se presentan algunos temas y problemas abiertos que no fueron abordados en este trabajo y que podr´ıan servir de punto de partida de otros trabajos de investigaci´on. Terminaremos con unas palabras finales relacionados con la notaci´on. Usaremos el cl´asico rect´angulo 2 (introducido por Paul Halmos) para indicar el fin de la demostraci´on de un teorema o proposici´on y el rombo ⋄ para indicar el final de una parte de una demostraci´on. El uso de conectivos y cuantificadores tendr´an el significado usual (ver [12]) y el resto de la notaci´on ser´a la est´andar (ver [8] y [21]).