Luís M. Aires História uma da Matemática Dos Primeiros Agricultores a Alan Turing, dos Números ao Computador EDIÇÕES SÍLABO Este livro é dedicado a duas pessoas: À minha irmã, Cecília Marques, cujas mãos dotadas cuidam zelosamente desses objectos formados por folhas e uma capa que encapsulam as histórias de grandeza e tragédia que moldam a nossa espécie. Ao meu editor, Dr. Manuel Robalo, possuidor daquele tipo de coragem intelectual que alimenta a liberdade criativa e de expressão que tantas vezes faz História. Uma História da Matemática Dos Primeiros Agricultores a Alan Turing, dos Números ao Computador Luís M. AIRES EDIÇÕES SÍLABO É expressamente proibido reproduzir, no todo ou em parte, sob qualquer forma ou meio, NOMEADAMENTE FOTOCÓPIA, esta obra. As transgressões serão passíveis das penalizações previstas na legislação em vigor. Visite a Sílabo na rede www.silabo.pt Editor: Manuel Robalo FICHA TÉCNICA: Título: Uma História da Matemática - Dos Primeiros Agricultores a Alan Turing, dos Números ao Computador Autor: Luís M. Aires © Edições Sílabo, Lda. Capa: Pedro Mota 1B Edição Lisboa, 2010. Impressão e acabamentos: Europress, Lda. Depósito Legal: 305682/1 O ISBN: 978-972-618-570-3 EDIÇÕES SÍLABO, LDA. R. Cidade de Manchester, 2 1170-1 00 Lisboa Telfs.: 218130345 Fax:218166719 e-mail: [email protected] www.silabo.pt Índice Introdução 7 1. NÚMEROS 11 2. ZERO 29 3. ARITMÉTICA 37 4. ÁLGEBRA 49 5. TEORIA DOS NÚMEROS 67 6. ÁLGEBRA ABSTRACTA 81 7. LÓGICA 97 8. ALAN TURING 115 Nota pessoal 129 Índice remissivo 131 Introdução Galileu (1564-1642) afinnou que «em ordem a compreender o Uni verso, temos de conhecer a linguagem em que foi escrito. E essa lin guagem é a matemática.» Vejo a questão de outro modo. Para descrevennos sinteticamente os padrões da natureza, inventámos a matemática. Por isso, a história desta ciência dos padrões é uma história de seres humanos. De homens e mulheres, com uma determinada concepção dos fenóme nos do mundo que nos rodeia. Esta história começa com a criação de símbolos escritos para representar números. O sistema de algarismos O, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, que usamos para escrever todos os números concebíveis, surgiu há cerca de 1500 anos, tendo os decimais não mais que 450 anos. Mas o conceito de número é muito antigo, e uma aquisição que levou milha res de anos a conseguir. Os números (naturais) resultaram do reconhecimento de padrões observáveis na natureza. O padrão que designamos «três unidades», por exemplo, emerge do entendimento de que existe algo comum a um conjunto de três maçãs, de três crianças ou de três pedras. Contar e representar três coisas são uma forma de descrever esse padrão; hoje fazemo-lo com o símbolo 3, há muito tempo atrás seriam três marcas num pedaço de argila. Para muitos filósofos, a matemática é um produto da existência de números. «Deus criou os números (inteiros); tudo o resto é obra do Homem», escreveu o matemático alemão Leopold Kronecker (1823- -1891). Desse primeiro conceito derivaram todas as outras abstracções - pontos, linhas, planos, superfícies, figuras geométricas, funções, ... - que enriquecem, e apenas existem, na «mente colectiva» da humani dade. Até ao ano 500 a.e., a matemática era essencialmente o estudo 8 UMA HISTÓRIA DA MATEMÁTICA dos números, de cariz utilitário, para uso como uma espécie de «livro de receitas». Mais tarde, com os Gregos, passou a ser encarada como uma actividade intelectual, integrando elementos quer estéticos quer religiosos. Perto do final do século XIX, a matemática evoluiu para desafio do estudo do número, da forma, da mudança e do espaço, e das ferramentas mentais utilizadas nesse estudo. Actualmente, os matemáticos analisam padrões abstractos - padrões numéricos, padrões de formas, padrões de movimento, de comportamento, entre outros - que tanto podem ser reais como imagi nários, visuais ou intelectuais, estáticos ou dinâmicos, qualitativos ou quantitativos, procurando sintetizá-los através de uma notação especí fica, igualmente abstracta. Como estudo desses padrões, poucos são os aspectos da realidade humana que não são influenciados pela matemática; não são os padrões abstractos a essência do pensa mento, da comunicação, da sociedade e da própria vida? Não estará esta reflectida na lógica, rigor e concisão das descrições e fórmulas matemáticas? Segundo G. H. Hardy (1877-1947), ccÜS padrões do matemático, tais como OS do pintor OU do poeta, devem ser belos; as ideias, da mesma forma que as cores ou as palavras, devem combinar-se harmoniosamente. A beleza é o primeiro teste; no mundo não há lugar perma nente para a matemática feia ... Pode ser muito difícil definir a beleza em matemática, mas essa dificuldade existe em rela ção a qualquer tipo de beleza - podemos não saber bem o que significa um belo poema, mas isso não impede que o reconheçamos como tal no momento em que o lemos." A Mathematician'sApology, 1940. Ao propor-me desvendar humildemente o poder da matemática por meio da sua história tive de enfrentar o desafio de conceber uma estrutura leve para esta obra, um livro de divulgação científica geral e não um tratado exaustivo de tão amplo tema. Decidi estabelecer como fio condutor a invenção de um aparelho caro às actuais civilizações humanas, o computador, contando as mais marcantes histórias - de ideias, de pessoas - dessa jornada particular. Haverá alguns saltos