Ultra-high Precision, Absolute, Earth Gravity Measurements MAX PLANCK RESEARCH GROUP Institute of Optics, Information and Photonics University Erlangen-Nuremberg Den Naturwissenschaftlichen Fakult¨aten der Friedrich-Alexander-Universit¨at Erlangen-Nu¨rnberg zur Erlangung des Doktorgrades vorgelegt von Christian Rothleitner aus Berlin Als Dissertation genehmigt von den Naturwissenschaftlichen Fakult¨aten der Universit¨at Erlangen-Nu¨rnberg Tag der mu¨ndlichen Pru¨fung: 26. Juni 2008 Vorsitzender der Promotionskommission: Prof.Dr. Eberhard B¨ansch Erstberichterstatter: Prof. Lijun Wang, Ph.D. Zweitberichterstatter: Prof.Dr. Thomas Fauster Abstract Within the framework of this thesis two apparatuses for an absolute mea- surement of gravity were designed, constructed, and tested for the purpose of detecting long-term variations of gravity, determining the absolute gravity value for metrological applications, and for research in fundamental physics. The work includes a stationary gravimeter, which functions as a highly accurate reference system and a portable gravimeter, which is aimed for field measurements. The principle these gravimeters use to determine the gravity value is based on the relation between the falling distance, the falling time, and the acceleration due to gravity. A Michelson interferometer measures the distance change be- tween a falling object mirror and an inertial reference mirror with a Helium-Neon laser (633 nm). The whole fringe signal is digitized by a high-speed ADC, which is disciplined by a rubidium frequency standard. This fringe recording is novel compared to common gravimeters, which use an analogue zero-crossing determi- nation. Our portable gravimeter’s mechanics also deviate from the standard type. Springs, preloaded by a small motor accelerate the carriage supporting the falling object. This reduces the shock vibrations on the system. Furthermore, a novel method was developed to reduce the uncertainty due to the falling body’s rotation. The position of the optical centre is determined in order to subsequently superpose it with the falling object’s centre of mass by means of acommon balancingmethod. Resolutions of distance of less than 16 µm were reached in three dimensions, which reduces the uncertainty contribution to less than 0.7 µGal (7 nm s−2). A complete uncertainty budget is given for both gravimeters. The combined standard uncertainty for the portable gravimeter is estimated to give 38.4 µGal, and that for the stationary 16.6 µGal, whereas for the portable gravimeter a stan- dard error of 1.6 µGal (statistical uncertainty for 24 hours of measurement), and i for the stationary gravimeter 0.6 µGal (1 month of measurement) was reached. This is comparable to the resolution of the world’s best absolute gravimeters. The portable gravimeter was brought to the European Comparison of Ab- solute Gravimeters (ECAG) 2007 in Luxembourg, and to another comparison with the German Federal Agency of Cartography and Geodesy (Bundesamtes fu¨r Kartographie und Geod¨asie – BKG), where it showed an agreement of the mea- sured values obtained with other gravimeters within the instrument’s uncertainty. ii Zusammenfassung Im Rahmen dieser Arbeit wurden ein station¨ares und ein tragbares Ger¨at zur Absolutschweremessungentworfen, gebautundgetestet. DieGer¨atesollensowohl zur Messung von Langzeit-Schwere¨anderungen und zum Einsatz in der Metrolo- gie, als auch in der Grundlagenforschung verwendet werden. Das station¨are Gravimeter soll hierbei als ein hochgenaues Referenzger¨at dienen, wohingegen das tragbare Gravimeter fu¨r Feldmessungen ausgelegt ist. Das hier angewandte Messprinzip zur Bestimmung des absoluten Schwerewer- tes beruht auf der Beziehung zwischen Fallh¨ohe, Fallzeit und Schwerebeschleuni- gung. Mit Hilfe eines Michelson-Interferometers wird die Entfernungs¨anderung zwischen einem fallenden Objektspiegel und dem inert gelagerten Referenzspiegel gemessen. Als L¨angenstandard dient hier ein Helium-Neon-Laser (633 nm). Das kompletteInterferenzsignalwirdmittelseinesultraschnellenAnalog-Digital-Wand- lers, der durch eine Rubidium-Uhr stabilisiert wird, digitalisiert. Der Schwere- wert wird anschließend durch eine eigens entwickelte Software ermittelt. Diese Interferenzsignal-Erfassung ist eine Besonderheit im Vergleich zu herk¨ommlichen Gravimetern, die u¨blicherweise eine analoge Erfassung der Nulldurchg¨ange an- wenden. Das tragbare Gravimeter hat außerdem eine spezielle Mechanik. Federn, die durch einen kleinen Motor vorgespannt werden, dienen dazu den Wagen, der den Fallk¨orper beinhaltet, nach unten zu beschleunigen. Dies reduziert die Schwingungen, die auf das System u¨bertragen werden. Ferner wurde eine neuartige Methode entwickelt, die dazu dient, die Unsicher- heit zu verringern, die entsteht, wenn der Fallk¨oper w¨ahrend des Freifalls rotiert. Dazu wird die Position des optischen Zentrums des Fallk¨orpers ermittelt, um an- schließend seinen Schwerpunkt zu diesem hin zu verschieben. Ein herk¨ommliches Auswuchtger¨at u¨bernimmt diese Aufgabe. Aufl¨osungen in der Bestimmung der iii Entfernung im dreidimensionalen Raum von besser als 16 µm wurden hierbei er- reicht. Dies entspricht einer Unsicherheit von weniger als 0.7 µGal (7 nm s−2). Einevollst¨andigeMessunsicherheitsanalysewurdefu¨rbeideGravimeterermit- telt. Fu¨r das tragbare Gravimeter betr¨agt diese 38.4 µGal. Fu¨r das station¨are Gravimeter sind 16.6 µGal anzugeben. Hierbei wurden fu¨r das tragbare Ger¨at ein Standardfehler von 1.6 µGal (Messdauer von 24 Stunden) und beim sta- tion¨aren Ger¨at von 0.6 µGal (Messdauer von 1 Monat) gemessen. Dies ist mit der Aufl¨osung der besten Absolutgravimeter weltweit vergleichbar. Das tragbare Gravimeter nahm an einem europ¨aischen Vergleich von Ab- solutegravimetern (ECAG), der 2007 in Luxemburg abgehalten wurde, teil und wurde mit dem Gravimeter des Deutschen Bundesamtes fu¨r Kartographie und ¨ Geod¨asie (BKG) verglichen, wobei es eine gute Ubereinstimmung innerhalb der ermittelten Messunsicherheit zeigte. iv Contents Abstract i Zusammenfassung iii 1 Introduction 1 1.1 Theory of gravity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.1.1 The figure of the Earth . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.1.2 Acceleration due to gravity . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.1.3 Tides . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.2 Absolute measurement of gravity . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.2.1 Historical Background . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.2.2 Free fall gravimeters . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.2.2.1 Free fall . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.2.2.2 Symmetric free fall - Rise and fall . . . . . . . . . 16 1.2.3 Atom gravimeters . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.3 Selected applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.3.1 New definition of the Kelvin . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.3.2 New definition of the kilogram . . . . . . . . . . . . . . . . 20 1.3.3 Measurement of the Planck constant . . . . . . . . . . . . 21 1.3.4 Measurement of the Newtonian constant . . . . . . . . . . 22 1.3.5 Time keeping . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 1.4 Organization of the thesis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 v CONTENTS 2 Stationary free fall gravimeter MPG-1 25 2.1 Setup . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.1.1 Optics and laser . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 2.1.2 Electronics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2.1.3 Software . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 2.1.4 Mechanics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 2.2 Results and analysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 3 Portable free fall gravimeter MPG-2 39 3.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 3.2 Set up . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 3.2.1 Optics and laser . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 3.2.2 Electronics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 3.2.3 Software . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 3.2.4 Mechanics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 3.2.5 Results . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 3.3 International comparison ECAG 2007, Walferdange/Luxembourg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 3.3.1 Discussion of results . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 3.4 Comparison with BKG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 3.4.1 Discussion of the results . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 4 High-precision balancing of the falling body 51 4.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 4.2 Balancing in three dimensions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 4.2.1 Theory of balancing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 4.2.2 Method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 4.2.3 Results . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 4.2.4 Uncertainty analysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 4.2.4.1 Propagation of uncertainty . . . . . . . . . . . . 63 4.2.4.2 OC coordinates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 4.2.4.3 Misalignment of the coordinate systems . . . . . 65 4.2.4.4 Mass values . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 4.2.4.5 Balancing machine calibration . . . . . . . . . . . 66 vi CONTENTS 4.2.4.6 Dynamic imbalances . . . . . . . . . . . . . . . . 67 4.2.4.7 Calculated eccentricities . . . . . . . . . . . . . . 68 4.2.4.8 COMcoordinatesanddifferencebetweenthecentres 69 4.3 Method of index balancing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 4.3.1 Theory of index balancing . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 4.3.1.1 Eccentricity of the mounting jigs . . . . . . . . . 72 4.3.2 Method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 4.3.3 Results . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 4.3.4 Uncertainty analysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 4.3.4.1 Propagation of uncertainty . . . . . . . . . . . . 80 4.3.4.2 OC coordinates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 4.3.4.3 Mass values . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 4.3.4.4 Calibrating the balancing machine . . . . . . . . 82 4.3.4.5 Dynamic imbalances . . . . . . . . . . . . . . . . 83 4.3.4.6 Calculated eccentricities . . . . . . . . . . . . . . 83 4.3.4.7 COMcoordinatesanddifferencebetweenthecentres 83 4.4 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 5 Uncertainty budgets and possible errors 87 5.1 Uncertainty budget due to the instrument . . . . . . . . . . . . . 88 5.1.1 Vacuum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 5.1.1.1 Air drag . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 5.1.1.2 Outgassing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 5.1.1.3 Buoyancy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 5.1.2 Magnetic field . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 5.1.2.1 Magnetic attraction . . . . . . . . . . . . . . . . 90 5.1.2.2 Eddy currents . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 5.1.3 Electrostatic field . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 5.1.4 Influence of instrumental masses . . . . . . . . . . . . . . . 92 5.1.5 Verticality of the laser beam . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 5.1.6 Accuracy and stability of the laser . . . . . . . . . . . . . 96 5.1.7 Accuracy and stability of the atomic clock . . . . . . . . . 97 5.1.8 Corner cube rotation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98 vii CONTENTS 5.1.9 Radiation pressure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98 5.1.10 Beam divergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 5.1.11 Temperature effects . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 5.1.11.1 Temperature gradient . . . . . . . . . . . . . . . 100 5.1.11.2 Effects on the setup . . . . . . . . . . . . . . . . 101 5.1.12 Floor recoil and seismic vibrations . . . . . . . . . . . . . . 103 5.1.13 Speed of light . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 5.1.14 Reference height . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108 5.1.15 Non-linearity of electronics . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110 5.2 Uncertainty budget due to environmental effects . . . . . . . . . . 111 5.2.1 Solid Earth tides . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 5.2.2 Ocean loading . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113 5.2.3 Polar motion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113 5.2.4 Pressure effects . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114 5.2.5 Coriolis force . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115 5.3 Combined standard uncertainty . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117 5.3.1 MPG-1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117 5.3.2 MPG-2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118 5.4 Discussion of the uncertainty budgets . . . . . . . . . . . . . . . . 118 6 Summary and outlook 121 A List of numbers and physical constants 125 Conclusions and outlook 124 B Results of long term measurements 127 B.1 Measurements with MPG-1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127 B.2 Measurements with MPG-2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130 References 140 viii