Über den Beweis der Bloch-Kato-Vermutung Abschlussarbeit zur Erlangung des akademischen Grades Master of Science des Fachbereichs Physik, Mathematik und Informatik der Johannes Gutenberg-Universität Mainz vorgelegt von Christoph Spies betreut von Jun.-Prof. Dr. Nikita Semenov Mainz, 15. Mai 2012 iii Erklärung Hiermit erkläre ich, dass ich die vorliegende Arbeit selbstständig verfasst und keine anderen als die angegebenen Quellen und Hilfsmittel benutzt habe. Desweiteren wurde diese Arbeit in gleicher oder ähnlicher Form noch keiner Prüfungsbehörde vorgelegt. Mainz, 15. Mai 2012 v Zusammenfassung Die vorliegende Arbeit skizziert den Beweis der Milnor-/ Bloch-Kato-Vermutung nach Voe- vodsky und Rost. Es wird vor allem die Strukturierung und Logik an der Oberfläche des Beweises erläutert, sowie eine Einführung in die zugrundeliegenden algebraischen Struktu- ren gegeben. Die Arbeit richtet sich an Neulinge und soll einen Einstieg ins Studium des Beweisprogramms Voevodskys geben. Inhaltsverzeichnis Einleitung xi Kapitel I. Grundlagen 1 1. Milnor’sche K-Theorie........................................................... 1 1.A. Definitionen und elementare Eigenschaften.................................. 1 1.B. Milnor’sche K-Theorie von endlichen Körpern............................... 3 1.C. Milnor’sche K-Theorie der reellen Zahlen.................................... 3 1.D. Milnor’sche K-Theorie von diskret bewerteten Körpern...................... 4 1.E. Satz von Milnor-Tate........................................................ 7 1.F. Normabbildung............................................................. 9 2. Galoiskohomologie............................................................... 11 2.A. Proendliche Gruppen und diskrete G-Moduln............................... 11 2.B. Gruppenkohomologie........................................................ 12 2.C. Funktorielle Eigenschaften .................................................. 14 2.D. Induzierte Moduln, Restriktion & Korestriktion............................. 15 2.E. Lange exakte Sequenz....................................................... 17 2.F. Cup-Produkt................................................................ 18 2.G. Galoiskohomologie.......................................................... 19 2.H. Beziehung zur Brauergruppe................................................ 21 3. Étale Kohomologie eines Körpers................................................ 22 3.A. Étale Algebren.............................................................. 22 3.B. Étale Algebren und endliche diskrete Γ -Mengen............................ 23 k 3.C. Étale Garben über k und diskrete Γ -Moduln............................... 23 k 4. Bilinearformen................................................................... 25 4.A. Struktur von Wc(k) und W(k)............................................... 26 4.B. Ib(k) und I(k)............................................................... 27 4.C. Stiefel-Whitney-Invarianten von Bilinearformen ............................. 28 4.D. Die Surjektion KM/2 → In/In+1 ........................................... 31 n Kapitel II. Bloch-Kato-Vermutung 33 1. Normresthomomorphismus....................................................... 33 1.A. Kummer-Sequenz und Konstruktion der Normresthomomorphismus......... 33 1.B. Normresthomomorphismus und Korestriktion................................ 35 vii viii INHALTSVERZEICHNIS 2. Motivische Kohomologie und Kategorien von Motiven............................ 38 2.A. Übersicht................................................................... 38 2.B. Kategorie der endlichen Korrespondenzen................................... 39 2.C. Kategorie der Prägarben mit Transfers...................................... 40 2.D. Simpliziale Prägarben, Komplexe von Prägarben und Kohomologieprägarbe. 41 2.E. Zariski-, Nisnevich- und étale Topologie auf Schemata....................... 42 2.F. Garben mit Transfers auf glatten Schemata.................................. 43 2.G. Motivischer Komplex Z(n).................................................. 43 2.H. Motivische Kohomologiegruppe ............................................. 44 2.I. Étale und Nisnevich-motivische Kohomologie................................. 45 2.J. Verbindung zu K-Theorie und étaler Kohomologietheorie.................... 46 3. Verwandte Vermutungen und Resultate.......................................... 50 3.A. Beilinson-Lichtenbaum-Vermutung.......................................... 50 3.B. Motivischer Hilberts Satz 90................................................ 51 3.C. Milnor-Vermutung über Bilinearformen...................................... 51 Kapitel III. Skizze des allgemeinen Beweises 53 1. Struktur des Beweises........................................................... 53 2. Veranschaulichung der Beweisstrategie am Fall n = 1 ............................ 56 2.A. H90(1,‘,k) für spezielle Körper............................................. 56 2.B. H90(1,‘,k) für allgemeine Körper........................................... 58 √ 2.C. Injektivität von H1(cid:0)F,G (cid:1) → H1(cid:0)F(cid:0)‘ a(cid:1),G (cid:1)......................... 60 et m(‘) et m(‘) 3. Elementare Reduktionen und Vereinfachungen................................... 61 4. Hilbert 90 impliziert Bloch-Kato-Vermutung..................................... 64 5. Hilbert 90 für ‘-spezielle Körper mit KM(k)/‘ = 0............................... 68 n 6. Hilbert 90 für beliebige Körper der Charakteristik null........................... 74 6.A. Konstruktion von k0......................................................... 75 6.B. Konstruktion von k(∞)...................................................... 77 7. Normvarietäten.................................................................. 77 8. Verschwinden von Hn+1,n(cid:0)Cˇ(X),Z (cid:1)........................................... 80 (‘) 8.A. Verschwinden von Hn+1,n(cid:0)Cˇ(Q),Z (cid:1)....................................... 80 (2) 8.B. Verschwinden von Hn+1,n(cid:0)Cˇ(X),Z (cid:1) für ungerade ‘........................ 82 (‘) Anhang 83 1. Grothendieck-Topologie.......................................................... 83 2. Étale Kohomologie .............................................................. 84 2.A. Étale Morphismen.......................................................... 84 2.B. Étale Topologie............................................................. 85 2.C. Étale Kohomologie.......................................................... 86 3. Derivierte Kategorien und Funktoren, Garben- und Hyperkohomologie........... 87 INHALTSVERZEICHNIS ix 3.A. Kohomologie in abelschen Kategorien....................................... 88 3.B. Rechtsderivierte und hyperrechtsderivierte Funktoren – klassischer Ansatz... 88 3.C. Rechtsderivierte Funktoren – moderner Ansatz mittels derivierter Kategorien 88 3.D. Garben- und Hyperkohomologie............................................. 89 Literaturverzeichnis 91