Klaus-Eberhard Kruger Transfonnatlonen Aus dem Programm ______________- --.. Informationstechnik Kommunikationstechnik vonM. Meyer Informationstechnik kompakt herausgegeben von O. Mildenberger Datenubertragung von P. Welzel Telekommunikation von D. Conrads Informatik fur Ingenieure von G. Kiiveler und D. Schwoch Turbo Pascal fur Ingenieure von E. Hering, E. Bappert und J. Rasch Handbuch Elektrotechnik herausgegeben von W. Boge vieweg _________________ ~ Klaus-Eberhard Kriiger Transformationen Grundlagen und Anwendungen in der Nachrichtentechnik Mit 141 Abbildungen und 10 Tabellen Herausgegeben von Otto Mildenberger ~ vleweg Die Deutsche Bibliothek - CIP-Einheitsaufnahme Ein Titeldatensatz ffir diese Publikation ist bei Der Deutschen Bibliothek erhliltlich. Herausgeber: Prof. Dr.-Ing. Otto Mildenberger lehrte an der Fachhochschule Wiesbaden in den Fachbereichen Elektrotechnik und Informatik. 1. Auflage Februar 2002 AIle Rechte vorbehalten © Friedr. Vieweg & Sohn Verlagsgesellschaft mbH, Braunschweig/Wiesbaden, 2002 Der Verlag Vieweg ist ein Unternehmen der Fachverlagsgruppe BertelsmannSpringer. www.vieweg.de Das Werk einschlieBlich alIer seiner Teile ist urheberrechtlich geschiitzt. Jede Verwertung auBerhalb der engen Grenzen des Urheberrechtsgesetzes ist ohne Zustimmung des Verlags unzulassig und strafbar. Das gilt insbesondere fUr Vervielf<iItigungen, Ubersetzungen, Mikroverfilmungen und die Einspeicherung und Verarbeitung in elektronischen Systemen. Konzeption und Layout des Umschlags: Ulrike Weigel, www.CorporateDesignGroup.de Gedruckt aufsaurefreiem Papier ISBN-13: 978-3-528-03908-0 e-ISBN-13: 978-3-322-88915-7 DOl: 10.1007/978-3-322-88915-7 v Vorwort In Physik und Technik versteht man unter dem Begriff Transformation, was dem Worte nach Umwandlung bedeutet, die Umformung eines mathematischen Ausdruckes. FUr ein Buch, das sich in eine Schriftenreihe fUr die Kommunikationstechnik einordnet, ist eine weitere Spezifi kation des Begriffes erforderlich, urn MiBverstiindnisse von yom herein auszuschIie8en. 1m Zentrum der Kommunikationstechnik stehen das Signal, eine Information tragende Zeitfunkti on und das System, die mathematische Beschreibung technischer Einrichtungen zur Ubertra gong und Verarbeitung von Signalen. So wird der Begriff auf Verfahren, die die Analyse und Synthese von Signalen und Systemen, deren Wechselwirkungen und die Signalverarbeitung betreffen, beschriinkt. Die Wurzeln der bier zu behandelnden Transformationen liegen in der Behauptung von Joseph Fourier (1768 - 1830), dass aIle Funktionen durch eine Summe von trigonometrischen Funk tionen beschreibbar sind. 1m Laufe der Zeit wurde entdeckt, dass nicht ausschlieBlich trigono metrische Funktionen oder wie man sagt harmonische Schwingungen Basisfunktionen einer solchen Summendarstellung sein konnen. Damit sind zahlreiche weitere Beschreibungsformen entwickelt worden. In diesem Sinne sind die hier zu behandelnden Transformationen als Ab bildungen gegebener Originalfunktionen auf Linearkombinationen von in der Regel anaIytisch einfachen Grundfunktionen bestimmter Eigenschaften zu verstehen. Das Interesse an diesen Transformationen ist mit der rasanten Entwicklung der elektronischen Rechentechnik stark angestiegen, da es gelingt, durch die Nutzung der Transformationen die Signalverarbeitung in Echtzeitanwendungen effektiv zu gestalten. Die Transformationen sind also mathematische Methoden und gehOren in ein Mathematikbuch. Anwender der Transformationen sind aber zu einem groBen Teil Ingenieure, die die Methoden verstehen mussen und vor allem ihre anwendungsbereite Autbereitung benotigen. Zor Ver mittlung dieser Kenntnisse solI ein Beitrag geliefert werden. Mathematische Beweise werden nur so weit gefiihrt, wie sie zum Verstiindnis der Zusammenhiinge erforderlich sind. Besonde rer Wert wird auf die praktische Ausfiihrung gelegt. Es gibt eine groBe Zahl von Veroffentlichungen zu diesem Thema. Was motiviert, diesen noch eine binzuzufiigen? Gewohnlich werden die Transformationen im Kontext mit speziellen An wendungen behandelt, die Fouriertransformation z.B. im Rahmen der Signaltheorie, die Z-Transformation bei der Analyse zeitdiskreter Systeme. Hier wird der Versuch untemommen, die Gemeinsamkeiten und das Trennende, Vor- und Nachteile, zweckma8ige Einsatzgebiete und die Grenzen der wichtigsten bekannten Transformationen im Zusammenhang darzustellen. Dabei finden auch selten benutzte Verfahren ihren Platz. Die elektronische Datenverarbeitung stellt heute umfangreiche Software zur Verfugung, mit der in einfacher Weise die rechnerische Durchfuhrung der zu behandelnden Transformationen bewerkstelligt werden kann. Selbst wissenschaftliche Taschenrechner sind dazu in der Lage. Studenten vertreten daher haufig die Ansicht, dass das intensive Studium der Transformationen uberflussig sei. Dabei wird ubersehen, dass die richtige Handhabung nur dann geIingt, wenn man die mathematischen Zusammenhange genau kennt und sie in die richtige Beziehung zur physikaIischen Welt zu setzen weis. Au8erdem geht ohne umfangreiche Kenntnisse die Kritik fahigkeit gegenuber erreichten Ergebnissen verloren. Dieses Buch wendet sich so in erster Linie an Studenten der Elektrotechnik an Universitiiten und Fachhochschulen aber auch an in der Entwicklung und Projektierung tatige Ingenieure. Es mOchte eine Briicke zwischen mathe matischer Begriindung und formaler praxisorientierter Anwendung schlagen. So ist es in zwei Teile untergliedert, von dem der Erste den mathematischen Zusammenhangen gewidmet ist. VI Vorwort Dabei wurde die Darstellung in erster Linie so gestaltet, dass das physikalische Verstiindnis gefOrdert wird. Der zweite Teil fiihrt mehr formal unter Verwendung von Ubersichten und Tabellen an Hand zahlreicher Beispiele aus den Gebieten Signal-und Systemtheorie so wie der Signalverarbeitung in die Praxis der Transformationen ein und kann ohne Studium des ersten Teiles auch zum Nachschlagen verwendet werden. Die Beispiele betreffen sowohl einfache Funktionen zurEinfiihmng in die Thematik als auch Anwendungen zur LOsung technischer Probleme vorzugsweise der Nachrichtententechnik wie der Modulation, der Systemsynthese oder der Bildverarbeitung. Behandelt werden in erster Linie die Fouriertransformation und die mit ihr eng verbundenen Laplace-und Z-Transformation, aber auch die wichtigsten, auf recht eckformigen Basisfunktionen beruhenden Transformationen, wie die Walsh-Hadamard-Trans formation. Dankenswerter Weise hat meine Kollegin Frau Professor Dr. K. Kelber fiir beide Buchteile Beitrage zur Wavelet-Transformation verfasst, so dass auch in diese Methode, die fiir die Bildverarbeitung gro6e Bedeutung gewonnen hat, eingefiihrt wird, ohne alle Details behan deln zu konnen. Neben der Abfassung der genannten Beitrage in den Kapiteln 6 und 11 hat Frau Prof. Dr. Kel ber die muhselige Arbeit des Korrekturlesens ubemommen und in Diskussionen Anregungen zur LOsung von Detailfragen gegeben. Dafiir danke ich ihr ganz herzlich. Kritik und Anregungen zur Verbesserung sind stets willkommen. Dresden, im Dezember 2001 K.-E. Krager VII Inhaltsverzeichnis 1 Einleitung..................................................................................................................... 1 Tell 1: MatheDlatische Grundlagen................................................................................. 5 2 Einrlihrende Grundlagen ........................................................................................... 5 2.1 Die harmonische Schwingung ........................ '..................................................... 5 2.2 Orthogonale Funktionen .. .. ...... ...... ..... ..... ...... ...... .... ..... ...... .... ..... ..... ..... ..... ...... ... 8 2.2.1 Definition... .......... ..... ..... ..... ..... ...... ..... ..... ...... ..... ..... .... ..... ...... ..... ...... ...... 8 2.2.2 Reihenentwicklung mit orthogonalen Funktionen................................... 9 2.2.3 Anwendung: Die Fourier-Reihe ............................................................... 10 2.3 Die Dirac-Funktion .............................................................................................. 13 2.4 Zerlegung von Funktionen................................................................................... 18 3 Grundlagen der FouriertransforDIBtion ................................................................... 20 3.1 Die Herleitung der Fourierintegrale ..................................................................... 20 3.2 Einfache Beispiele ............................................................................................... 21 3.3 Eigenschafien und Rechenregeln ......................................................................... 23 3.3.1 Allgemeine Eigenschafien der Fouriertransformation............................. 23 3.3.2 Wichtige Rechenregeln............................................................................ 25 3.4 Demonstrationsbeispiele ...................................................................................... 28 3.5 Die Fouriertransformation diskreter Funktionen.................................................. 30 3.5.1 Die Transformationsbeziehungen............................................................ 30 3.5.2 Elementarfunktionen ............................................................................... 32 3.6 Diskrete Fouriertransformation (DFf)................................................................. 33 3.6.1 Die Transformationsbeziehungen der DFf ............................................. 33 3.6.2 Eigenschaften der DFf ............................................................................ 35 3.6.3 Anwendung der DFf auf kontinuierliche Funktionen............................. 39 3.6.4 Die Schnelle Fouriertransformation (FFf = Fast Fourier Transform) ..... 40 4 Grundlagen der LaplacetransforDIBtion (LT) ......................................................... 46 4.1 Das Laplaceintegral .. ... ............... ......... ..... ..... .......... .... ...... .......... .......... ..... .... ..... 46 4.1.1 Definition des Laplaceintegrals ............................................................... 46 4.1.2 Laplacetransformation und Fouriertransformation... ...... .... ..... ..... ..... ...... 46 4.1.3 Konvergenz des Laplaceintegrals ...... ............... .......... ..... ..... ..... ..... ..... .... 47 4.2 Das Umkehrintegral............................................................................................. 48 4.3 Regeln zur Anwendung der Laplacetransformation............................................. 49 4.3.1 ()-und Sprungfunktion............................................................................. 49 4.3.2 Rechenregeln ........................................................................................... 50 4.3.3 Grenzwertsatze ........................................................................................ 56 4.4 Laplacetransformation einfacher Funktionen....................................................... 57 4.5 Die inverse Laplacetransformation ...................................................................... 59 4.5.1 Riicktransformation mit der Umkehrformel............................................ 59 4.5.2 Riicktransformation mit Tabellen und Rechenregeln .............................. 61 4.6 Differentialgleichungen ....................................................................................... 62 VIII Inhaltsverzeichnis S Grundlagen der Z-Transfonuatioa ........................................................................... 71 5.1 Herleitung aus der Laplacetransformation .. ..... ... ...... ..... ....... .......... ..... .... ............ 71 5.2 Eigenschaften der Z-Transformierten .................................................................. 72 5.3 Das Umkehrintegral............................................................................................. 75 5.4 Rechenregeln und Beispiele fUr die Hintransformation ....................................... 76 5.4.1 Rechenregeln ...............................•............................•............................•. 76 5.4.2 Beispiele der Hintransformation............................................................... 79 5.4.3 Differenzengleichungen........................................................................... 82 5.5 Riicktransformation._ ............... _.......................................................................... 83 5.5.1 Riicktransformation durch Ausdividieren................................................ 83 5.5.2 Riicktransformation mit Hilfe des Anfangswertsatzes............................. 84 5.5.3 Riicktransformation mit Tabellen ............................................................ 84 5.5.4 Riicktransformation durch Partialbruchzerlegung ................................... 87 6 Grundlagen weiterer Transformationen................................................................... 89 6.1 Hartleytransformation (HT) ......... ..... .... ..... ..... .... ..... ...... ..... ..... ..... ..... .... ...... ........ 90 6.1.1 Definition................................................................................................. 90 6.1.2 Diskrete Hartley transformation (DHT).................................................... 91 6.1.3 Ausgewahlte Rechenregeln...................................................................... 92 6.1.4 Anwendungsbeispiel.. ..... ......... ..... ..... .... ..... ..... ...... .... ..... ..... ...... ..... ..... .... 93 6.2 Kosinustransformation (CT) ................................................................................ 93 6.2.1 Definition................................................................................................. 93 6.2.2 Diskrete Kosinustransformation (OCT)................................................... 94 6.3 Sinustransformation (ST) ..................................................................................... 98 6.3.1 Definition................................................................................................. 98 6.3.2 Diskrete Sinustransformation (DST) ....................................................... 99 6.4 Wavelet-Transformation (WT) ............................................................................ 99 6.4.1 Definition und Eigenschaften .................................................................. 100 6.4.2 Diskrete Wavelet-Transformation (DWT)............................................... 103 6.4.3 Anwendungsbeispiele .............................................................................. 104 6.5 Transformationen mit rechteckformigen Basisfunktionen ................................... 107 6.5.1 Walshfunktionen...................................................................................... 107 6.5.2 Diskrete Walsh-Hadamard-Transformation............................................. 108 6.5.3 Slanttransformation.................................................................................. 110 6.5.4 Haartransformation (HaT) ....................................................................... 111 Teil 2: Anwendung der Transformationen .................................................................... 113 7 Transformationen im Uberblick ................................................................................ 113 8 Fouriertransformation (FT) ....................................................................................... 116 8.1 Eigenschaften und Rechenregeln in Tabellen ...................................................... 116 8.2 Korrespondenzen ................................................................................................. 118 8.3 Anwendungen der Fouriertransformation ............................................................ 120 8.3.1 Die Signum-Funktion .............................................................................. 120 8.3.2 Dreieckimpuls.......................................................................................... 122 8.3.3 Der GauB-Impuls ..................................................................................... 124 8.3.4 Signaienergie -Das Parseval'sche Theorem ............................................ 124 8.3.5 Kausale Funktionen ................................................................................. 125 8.3.6 Analytische Signale: ................................................................................ 127 Inhaltsverzeichnis IX 8.3.7 Amplitudenmodulation............................................................................ 129 8.3.8 Geschaltete Sinusschwingung ................................................................. 130 8.3.9 Der Impulskamm..................................................................................... 132 8.3.10 Bandpassfunktionen................................................................................. 133 8.3.11 Das Abtasttheorem ........................................ .......... ..... ............. .............. 136 8.3.12 Digitale Signaliibertragung (Nyquistkriterium)....................................... 140 8.3.13 Idealsysteme ............................................................................................ 146 8.4 Rechnergestiitzte Fouriertransformation....... ............ .................... .............. ......... 148 8.4.1 Diskrete Fouriertransformation (DFf) .................................................... 148 8.4.2 Anwendung der DFf auf analoge Funktionen......................................... 150 8.5 Zusammenfassung................................................................................................ 163 9 Laplacetransformation (L T) ...................................................................................... 166 9.1 Definitionen, Eigenschafien und Rechenregeln................................................... 166 9.2 Praktische Ausfiihrung der Transformation ............ ................ .............. ............... 167 9.3 Anwendungsbeispiele .......................................................................................... 173 9.4 Rechnergestiitzte Ausfiihrung der LT .................................................................. 184 9.5 Systemsynthese .................................................................................................... 186 10 Z-Transformation (ZT) .............................................................................................. 187 10.1 Definitionen, Eigenschafien und Regeln...................................... ................. ....... 187 10.2 Praktische Ausfiihrung der Z-Transformation ........... .............. ..................... ....... 189 10.3 Riicktransformation.......... ............ .... ......... ................. .............. ..... ..... ..... ...... ....... 194 10.4 Ubertragungsfunktion und Frequenzcharakteristik...... ............................ 198 10.5 Taktverlinderung .................................................................................................. 199 10.5.1 Taktverringerung oder Dezimation.......................................................... 200 10.5.2 Takterh6hung........................................................................................... 203 10.6 Approximation kontinuierlicher Funktionen........................................................ 204 10.6 Rechnergestiitzte Z-Transformation............. .......... ..... ..... ..... .......... ..................... 206 11 Weitere Transformationen......................................................................................... 210 11.1 Wavelet-Transformation ...................................................................................... 210 11.1.1 Definitionen und Eigenschafien............................................................... 210 11.1.2 Anwendungsbeispiele .............................................................................. 211 11.2 Diskrete Kosinustransformation (OCT)............................................................... 218 11.2.1 Definition. ......... ..... ......... ..... ......... ..... .............. ........... .............. ..... .......... 218 11.2.2 Anwendungsbeispiel.. ............... ........ ................ .................................. ..... 219 Abkiirzungen und Formalzeichen................................................................................... 221 Literaturverzeichnis ......................................................................................................... 223 Sachwortverzeichnis......................................................................................................... 225 I 1 Einleitung In Physik und Technik gehOren Transformationen zu den wichtigsten mathematischen Werk zeugen. Selbst Biologie, Medizin oder Seismologie und zahlreiche andere wissenschaftliche Bereiche konnen auf ihre Anwendung nieht verzichten. Aligemein versteht man unter Trans formationen die wechselseitige Zuordnung zweier Funktionen f(x) und F(!J) nach fester, vorgegebener Relation. Diese Zuordnungen haben die unterschiedlichsten Formen jeweils an gepasst an die zu losenden Aufgaben. Eine oft angewendete Transformation ist die bekannte Logarithmierung !J=logb(x) (1-1) Sie hat die Umkehrfunktion oder inverse Funktion (1-2) Die Beziehungen (1-1) und (1-2) stellen eine eindeutige Umkehrbarkeit der Transformation sicher, d.h. ist eine der beiden GroBen bekannt, dann kann die andere vollstiindig bestimmt werden. So sind Transformationen grundsiitzlich durch ein Funktionenpaar beschrieben. Eine weitere bekannte Transformation ist mit (1-3) gegeben, die die Drehung eines Koordinaten systems bewirkt. cos(a) -Sin(a») !J= ( ·x=A·x (1-3) - sin(a) cos(a) - -- Die Umkehrfunktion lautet: !=A-1.!J (1-4) Wiihrend die angefiihrten Transformationen im eigentlichen Sinne mathematische Umformun gen darsteilen, die moglicherweise Rechenerleichterungen bringen, spricht man auch dann von Transformationen, wenn bestimmte Eigenschaften einer bekannten Funktion auf eine andere iibertragen werden soilen. Ein Beispiel hierfiir ist die dem Nachrichtentechniker wohlbekannte Tiefpass-Bandpass-Transformation J!.... !(J!....+ aJo) TP--+BP) (1-5) aJo 0 aJo p im Zusammenhang mit dem Filterentwurf, beim dem die Selektionseigenschaften eines Tiefpas ses auf ein System mit Bandpasscharakter iibertragen werden, oder die Bilineartransformation 2 z-I (1-6) p~--­ T z+1 fiir den Ubergang von analogen zu zeitdiskreten Systemen. Diese Transformationen, zu denen auch die oft verwendete Hilbertransformation gehOrt, veriindem zwar die funktionellen Zu sammenhiinge, nicht aber den Grundcharakter der unabhiingigen Variablen. Bei (1-5) und (1-6) z.B. haben wir sowohl vor als auch nach der Transformation frequenzabhiingige Funktionen. Solche Zuordnungen sind niitzliche Hilfsmittel, sind aber Dicht Gegenstand dieses Buches, sie finden lediglich als Anwendungen Beriicksichtigung.