none Transiciones de fase topol´ogicas en cristales l´ıquidos Ricardo Paredes V.1, Ana I. Farin˜as-S´anchez1 and Bertrand Berche2 1Centro de F´ısica, Instituto Venezolano de Investigaciones Cient´ıficas, Apartado 21827, Caracas 1020A, Venezuela, and 2Laboratorie de Physique des Mat´eriaux, UMR CNRS 7556, Universit´e Henri Poincar´e Nancy 1, B. P. 239, F-54506 Vandœuvre les Nancy cedex, France 4 0 Mediante simulaciones de Monte Carlo, utilizando escalamiento de taman˜o finito y transforma- 0 ciones conforme se reportan evidencias de una transici´on de fase topol´ogica en cristales l´ıquidos en 2 dos dimensiones. A altas temperaturas se presenta una fase paramagn´etica mientras que a bajas temperaturasseencuentraunfasedecuasi-largo-orden(QLRO).Seencuentraqueamuybajastem- n peraturas el exponente de la funci´on de correlaci´on de la fase QLRO es lineal con la temperatura a teni´endose de esta manera un comportamiento t´ıpico de ondas de esp´ın. Esto u´ltimo contradice J predicciones de que para sistemas con grupo de simetr´ıa global no abeliano las ondas de esp´ın no 3 son relevantes. Adicionalmente se discute que implicaciones tendr´ıa la presencia de impurezas en 2 este tipo detransiciones. ] r PACSnumbers: 68.35.Rh,64.70.Md,03.65.Vf e h t o INTRODUCCIO´N . t a Mermin y Wagner[1] establecieron que para sistemas con grupo de simetr´ıa continuo no existe fase ferromagn´etica m o de orden a largo alcance (LRO), a temperatura diferente de cero, para dimensiones menores o iguales que dos. - d Sin embargo, sistemas de este tipo pueden presentar un tipo de transici´on que esta´ determinado por la aparicio´n n de defectos topol´ogicos en pares a bajas temperaturas que justo en la transici´on, T , se desligan[2, 3, 4]. A este KT o fen´omeno se le llama transici´on de fase topol´ogica o transici´on de Berezinskii, Kosterlitz y Thouless (BKT). c El modelo XY, con grupo de simetr´ıa O(2), presenta este tipo transici´on en dos dimensiones[4]. Entre sus carac- [ ter´ısticasresaltantestenemos quela faseLROes sustituida,a bajastemperaturas,porunordenacuasi-largo-alcance 1 (QLRO). A muy bajas temperaturas, las correlaciones son dominadas por las ondas de esp´ın obteni´endose una de- v pendencia del exponente de la funcio´n de correlacio´n, η, con la temperatura, T, de la forma: η = T/2π, donde 7 la constante de Boltzmann k = 1 y el factor de acoplamiento J = 1. Debido a este comportamiento QLRO, a 5 B 4 temperaturas menores que TKT, la susceptibilidad, que mide las fluctuaciones de la magnetizaci´on, diverge. Otra 1 caracter´ıstica de este tipo de transici´on es que a temperaturas justo por encima de la temperatura de transici´on 0 t=(T −TKT)/TKT >∼0, la longitud de correlacio´n, ξ, diverge de una manera mucho m´as fuerte que la t´ıpica ley de 4 potencias,ξ ∼t−ν,encontradaenlastransicionesdesegundoorden. Dichadivergenciaesdeltipodeunasingularidad 0 escencial: ξ ∼exp(bt−1/2). / at Porotrolado,otromodelode simetr´ıacontinuacomoeldeHeisenbergferromagn´etico,congrupode simetr´ıaO(3), m nopresentaningu´ntipodetransici´ondefaseend=2mientrasquesipresentalat´ıpicatransici´onpara-ferromagn´etica end=3[5,6]. Porestarazo´nsurgio´lapreguntadequesisistemascongrupodesimetr´ıanoabelianospod´ıanpresentar - d transicionesdeltipo BKT.Se hareportadoque elmodelo deHeisenbergantiferromagn´eticocompletamentefrustrado n presenta una transici´on del tipo BKT pero sin correlaciones del tipo de ondas de esp´ın a bajas temperaturas[7, 8]. o KunzyZumbach[9]realizaronunestudiointensivoend=2,mediantesimulaciones,delmodeloRP2elcualconsiste c : en un sistema con grupo de simetr´ıa global O(3) pero con grupo de simetr´ıa local Z2. El modelo RP2 describe la iv transici´onnema´ticaisotr´opicadecistalesl´ıquidosend=3. Ellosdeterminaronlalongituddecorrelacio´nparat>∼0y X encontraron un buen ajuste para una singularidad escencial. Por otro lado, mediante escalamiento de taman˜o finito, r estimaron que tambi´en era v´alido un ajuste del tipo ley de potencia. Sin embargo, en base a ca´lculos de energ´ıa y a calor espec´ıfico as´ı como de ciertas cantidades que estiman el nu´mero de defectos topol´ogicos, argumentaron que la transici´on de fase deber´ıa ser del tipo BKT. En el 2003 se retom´o el estudio pero ahora utilizando el modelo de Lebwohl-Lasher(LL)[10] para describir a los cristales l´ıquidos en d=2. Este modelo ha sido muy exitoso para detectar la transici´onde fase discont´ınua d´ebil que se observa en los experimentos de cristales l´ıquidos en d= 3. En este modelo se representan las mol´eculas mediante vectoresunitarios~σ colocadosenlossitiosdeunaredhipercu´bicaΛdelongitudL. ParaestesistemaelHamiltoniano w viene dado por: H J − = P (~σ ·~σ ), (1) 2 w w+µ k T k T B B w µ XX 2 donde P es el segundo polinomio de Legendre y la interaccio´n es de primeros vecinos. En d=2, se determin´o[11] la 2 presenciadeunordendeltipo QLROabajastemperaturasconsolucionesdeltipodeondasdeesp´ıncuandoT tiende a cero. Esto se hizo mediante el novedoso m´etodo de las transformaciones conformes. De esta manera se concluy´o, que sistemas con grupo de simetr´ıa no abeliano ten´ıantransici´on BKT con correlacionesdel tipo de ondas de esp´ın a bajas temperaturas. Enelpresenteart´ıculorevisar´ael m´etodode transformacionesconformesy suutilidadparadeterminar exponentes de la funcio´n correlacio´npara sistemas con invarianza de escalas. Luego estudiando el para´metro de orden nema´tico bajoT , medianteescalamientode taman˜ofinito,se obtendra´de nuevoelexponentede lacorrelacio´nysemostrar´a KT la excelenteconcordanciaentre losdos procedimientos. Finalmente se discutir´a elefecto de la presenciade impurezas sobre este tipo de transici´on. ME´TODO DE LAS TRANSFORMACIONES CONFORMES Uno de los grandes problemas que existe al simular un sistema f´isico es el de tener evidencia de lo que ocurre en el l´ımite termodin´amico. Por lo general, en los estudios de fen´omenos cr´ıticos, se simulan sistemas a diferentes taman˜os y se estudian como escalan las cantidades termodin´amicas en funcio´n de L. El exponente de escalamiento de dichas cantidades tiene relaci´oncon los exponentes cr´ıticos asociadosa dichas cantidades. El costo computacional es demasiado alto. Recientemente, para sistemas en d=2 se ha comenzado a utilizar las transformacionesconformes (TC).Esta´t´ecnicaconsisteenrealizarsimulacionesensistemasfinitosy conectarlosresultadosconlosde unsistema infinito v´ıa una TC. Esto lo podemos realizar en sistemas que presenten invarianza de escalas y para d=2. Sistemas con invarianza de escala cumplen con la hip´otesis de homogeneidad para la funcio´n de correlacio´nde dos puntos paracualquier densidad φ, tal como el para´metrode orden,la energ´ıa,etc., hφ(b~r )φ(b~r )i=b−ηhφ(~r )φ(~r )i, 2 1 2 1 dondebesunfactordeescalayηesladimensio´nan´omalaoexponentedelacorrelacio´n. Delamismamanera,siexiste invarianza de escala, podemos relacionar mediante la hip´otesis de homogeneidad la funcio´n de correlacio´n entre sis- temasqueseconectanbajounatransformacio´nconforme. Supongamosquelassimulacionesserealizanenunsistema cuadrado (w =u+iv) de taman˜o L×L (−L/2≤u≤L/2, 0≤v ≤L) y mediante una transformacio´n de Schwarz- Christoffello mapeamosen elplano semi-infinito (z =x+iy, 0≤y <∞). Paraestatransformacio´nelcambiode es- calaeslocalylasfuncionesdecorrelacio´nserelacionanmediantehφ(w1)φ(w2)i=|w′(z1)|−xφ|w′(z2)|−xφhφ(z1)φ(z2)i, donde x = 1η. φ 2 Silassimulacionesserealizanenunaredcuadradaconcondicionesdebordefijasseobtienequeelperfildedensidad (funci´on de correlacio´n de un punto) se comporta como una ley de potencia de la forma: hφ(w)i ∼ κ(w)−η/2 con sq κ(w) = ℑ[z(w)](|1−z(w)2||1−k2z(w)2|)−1/2, donde z(w) = sn(2Kw/L), siendo K la integral el´ıptica completa de primera clase, sn el seno el´ıptico de Jacobiy k una constante. Esta expresi´onse obtiene ya que el perfil para una red semi-infinita con condiciones de borde fijas se conoce exactamente hφ(z)i1∞ ∼y−xφ[12]. 2 Gracias a la invarianza de escalas presente en las fases del tipo QLRO, la metodolog´ıa de las TC se aplico´ con exito en la determinaci´on de los exponentes de la funcio´n de correlacio´n del modelo XY en d = 2 a t < 0[13, 14]. Ma´s recientemente, utilizando las TC en el modelo LL para los cristales l´ıquidos en d = 2, se concluy´o la existencia de un orden QLRO en este sistema[11]. Para este problema la funcio´n de correlacio´n de un punto utilizada es: m(w)=hP (~σ ·~h )i donde~h indica que todas las mol´eculas en el borde ∂Λ(w) tienen la orientaci´on fija 2 w ∂Λ(w) sq ∂Λ(w) ~h. En la Fig. 1(a) se muestranlos perfiles del para´metro de orden como funcio´n de κ. Se nota, como a temperaturas menores que T , se presenta un comportamiento del tipo ley de potencias mientras que muy por encima de esta KT temperatura dicho comportamiento es abandonado indicando que el sistema se encuentra en una regi´on donde no existe invarianza de escalas. La determinaci´on del cambio de comportamiento se puede hacer de manera cuantitativa calculando el χ2[11]. En la Fig. 1(b) se grafican los exponentes de la correlacio´nobtenidos a partir de los ajustes de la Fig. 1(a) como funcio´n de T. A muy bajas temperaturas se observa el comportamiento lineal t´ıpico de las ondas de esp´ın. ESCALAMIENTO DE TAMAN˜O FINITO En el presente trabajo se realizaron simulaciones del modelo LL en dos dimensiones con condiciones de borde peri´odicas. Las simulaciones se hicieron para temperaturas comprendidas entre T = 0.4 y T = 0.58. Se simularon sistemas con longitudes comprendidas entre L= 16 y L=512. Se empleo el algoritmo de Wolff[15]. Se tomaron del orden de 105 pasos de equilibracio´n y 106 pasos de promediaci´on. Los tiempos de relajacio´n para todos los taman˜os y longitudes no sobrepasaronlos 200pasosde Monte Carlo. En particular,se reportanestimadosdel exponente de la 3 0,75 T KT TC, L=48 TC, L=100 TC, L=200 0,50 FSS η 0,25 (b) 0,00 0,0 0,2 0,4 0,6 T Figure 1: a) Par´ametro de orden m(w) local en funci´on de κ(w) para diferentes temperaturas. Se nota un comportamiento del tipo ley de potencias para valores de temperatura menores que el valor TKT =0.513 obtenido por Kunzy Zumbach[9]. b) Exponente de la funci´on de correlaci´on como funci´on de la temperatura utilizando los ajustes de la Fig. 1(b) junto con los obtenidos para L=48 y L=200. Los triangulos representan los estimados hechos a partir de escalamiento de taman˜o finito. A temperaturas cercanas a cero se obsevael comportamiento η∝T. funcio´ndecorrelacio´ndelpara´metrodeordenutilizandolat´ecnicadeescalamientodetaman˜ofinitoparaelpara´metro de orden. Un buen para´metro de orden para describir la transici´on de fase nema´tica-isotro´pica, en d=3, para el modelo LL es: M =L−2 P (~σ ·nˆ) =L−2 P (cosθ ) , (2) 2 w 2 w * + * + w w X X donde nˆ es unvectorunitarioque indica la direccio´npreferencialy se le denomina directory θ es el´anguloentre~σ w w y el director. M tiende a 1 a muy bajas temperaturas y a 0 a altas temperaturas. En d = 2, M deber´ıa ser 0 para todo T ya que no puede haber rompimiento de la simetr´ıa continua[1]. En la Fig 2.(a) se tiene una gr´afica del para´metro como funcio´n de la temperatura. Se observa un valor finito del para´metrodeordenatemperaturasbajas. Sinembargo,latendenciaesquedisminuyaalaumentarL. EnlaFig. 2(b) se muestra el comportamiento del para´metro de orden con la longitud del sistema. Obs´erveseque para temperaturas bajas el comportamiento es del tipo ley de potencia. Esto indica la presencia de invarianza de escalas para T <T KT o lo que es lo mismo un orden del tipo QLRO. Sobre T la caida es exponencial, comportamiento caracter´ıstico de KT una fase paramagn´etica. El exponente de la ley de potencia obtenido a bajas temperauras es el correspondiente a la funcio´n de correlacio´nde un punto, es decir, 1η. Colocando los exponentes provenientes de los ajustes realizados con 2 los datos de la Fig. 2(b) en la Fig. 1(b) tenemos que la correspondencia entre las dos metodolog´ıas reportadas es excelente. DISCUSIO´N En el presente trabajo se reportan evidencias de que a bajas temperaturas existe un orden del tipo QLRO. La manera m´as eficiente de realizar estos estimados es mediante el uso de la t´ecnica de las transformaciones conformes ya que solo se necesita hacer simulaciones en un solo taman˜o de red, inclusive para los primeros resultados bast´o el uso de una red pequen˜a (L = 48). El costo computacional del m´etodo de escalamiento de taman˜o finito es mucho mayor al tener que simular para muchas longitudes de red y taman˜os mayores. Realizando estudios del escalamiento de la susceptibilidad se tiene un porcedimiento alternativo para el ca´lculo del exponente η aligual de una forma muy precisa para determinar que en T la singularidad es escencial[16]. Por lo tanto, definitivamente se concluye que, KT para los cristales l´ıquidos en d = 2, se tiene un sistema con grupo de simetr´ıa global no-abeliano que presenta una transici´on BKT con orden QLRO a bajas temperaturas. 4 T (a) (b) KT 0,8 0,6 M M T=0.4 0,4 T=0.42 L=16 T=0.44 L=32 T=0.46 L=64 T=0.48 L=96 0,2 T=0.50 L=128 T=0.52 L=256 T=0.54 L=512 0,1 0,4 0,45 0,5 0,55 10 100 1000 T L Figure 2: a) Par´ametro de orden en funci´on de la temperatura para diferentes taman˜o L del sistema. Se observa como al incrementar L el valor de M para cada T disminuye. El valor de TKT mostrado es el estimado por Kunz y Zumbach [9]. b) Para cada T el par´ametro de orden en funci´on de L. Comportamiento del tipo ley de potencia para T <TKT. Por encima de la temperatura cr´ıtica la tendencia es la de un comportamiento exponencial. En la literatura se ha reportado que para sistemas con transico´n de tipo BKT, la introducci´on de desorden en los enlaces es totalmente irrelevante[17]. Esto se debe a que debido a la singularidad escencial para t > 0 el exponente delcalorespec´ıficoα→−∞(2−dν =α)ydebidoalcriteriodeHarris[18]losexponentescr´ıticosdelsistemapurono deber´ıancambiar. Sin embargo,debido a cambios que aparecen en la coordinacio´nel valor de T deber´ıa depender KT de la intensidad, c, del desorden. Si se realizaran simulaciones del LL con enlaces aleatorios obtendr´ıamos que el exponente de la correlacio´nser´ıa id´entico para todos los valores T (c). KT Donde resulta muy interesante discutir el problema del desorden ser´ıa en d = 3 con campo magn´etico aleatorio. Segu´nelcriteriode Imry y Ma[19]lafase nema´tica deber´ıadesaparecery podr´ıasersustituida por unordendeltipo QLRO[20, 21]. AGRADECIMIENTOS Este trabajo cuenta con el apoyo del programa PCP Venezolano-Franc´estitulado “Fluidos Petroleros”. [1] N.D. Mermin, H. Wagner, Phys. Rev. Lett. 22 (1966) 1133. [2] V.L. Berezinskii, Sov. Phys. JETP 32 (1971) 493. [3] J. M. Kosterlitz, D. J. Thouless, J. Phys. C 6 (1973) 1181. [4] J. M. Kosterlitz, J. Phys. C 7 (1974) 1046. [5] A.M. Polyakov, Phys. Lett. B 59 (1975) 79. [6] U.Wolff, Nucl. Phys. B 334 (1990) 581. [7] H.Kawamura, M. Kikuchi,Phys. Rev. B. 47 (1993) 1134. [8] M. Wintel, H. U.Everts, W. Apel, Phys. Rev. B 52 (1995) 13480. [9] H.Kunzy G. Zumbach,Phys. Rev. B. 46 (1992) 662; Phys. Lett. B. 257 (1991) 299. [10] P.A. Lebwohl, G. Lasher, Phys. Rev. A 6 (1973) 426. [11] A.I. Farin˜as-S´anchez, R.Paredes V.y B. Berche, Phys. Lett. A. 308 (2003) 461. [12] J. L. Cardy, Nucl. Phys. B 240 [FS12] (1984) 514. [13] B. Berche, A. I.Farin˜as-S´anchez y R. Paredes V., Europhys. Lett. 60 (2002) 539. [14] B. Berche, J. Phys. A. 36 (2003) 585. [15] U.Wolff, Phys. Rev. Lett. 62 (1989) 361. [16] R.Paredes V.,A. I. Farin˜as-S´anchez y B. Berche, no publicado. [17] B. Berche, A. I.Farin˜as-S´anchez, Y.Holovatch y R.Paredes V., Eur. Phys. J. B. 36 (2003) 61. 5 [18] A.B. Harris, J. Phys. C 7(1974) 1671. [19] Y.Imry,S. K.Ma, Phys. Rev. Lett 35 (1975) 1399. [20] J. Chakrabarti, Phys. Rev. Lett. 81 (1998) 385. [21] D.E. Feldman, Phys. Rev. Lett. 84 (2000) 4886.