TOPO LOGIA DE ESPACIOS METRICOS IGNACIO L. llliARIEN T. Din:ciDr de la Diviai6n de Cienciu Fiaica1 y Malelláticu Univetlidad Simón BoUvv, Caracaa. LIMUSA MÉXICO, Venezuela, Colombia, Espa"a, Guatemala 2:>4 p. :1:: 2J a 15 S cm. ISBN:I3; 978-968-18-0659~. RÜ$1oca. 1.Topo~ Dewey: 514122tl717t TOPOlOGIA DE ESPACIOS MÉTRICOS SON PAOPIEOAO Oa EOtTOA. NINGUNA PARTE DE ESTA OIIRA PUEDE SEA AEPAOOUCIOA O TIWISWI'flOA. 1o1EDW1TE NINGÚN ~ o LIETooo. aECTROHICO O JoEc.4Hico (INQ.UYEHOO El FOTOCOP1ADO, LA GRA· BAClON O CUALOVIER SISTEMA CE RfCUPEAACION Y At.MACENüMENTO 0E IHFOA. ...C lON). SIN CONSEN· TMENTO POR ESCIVTO OEL EDITOR. C 2008. EDITORIAL LIMOSA. SA DE C.V. GRUPO NORIEGA EDITORES 8aldaru 95, Wxíco, D.F. CmP.0 6040 (5) 5130-07-QO (S) 5512·29-03 ~Ononega..A:Om.m• -noneoa.com.m· CANIEM Núm. 121 HECHO EN MExtCO ISBN 13: 978-9!>8-18-0659-0 <4.1 ESTA OBRA SE REALIZO EN IMPRESION SAJO DEMANDA. EN EL MES DE ENERO DE 2008 LA EOICION. CONPOSICION. DISEÑO E IW'RESION DE ESTA OBRA FUERON REALIZAOOS BAJO LA SUPERVISION OE GRUPO NORIEGA EDITORES ISALOERAS.S. COL. Ct:.NTRO MEXICO. O F C P. ~O 02594620001080P!n3540E .• Prólogo El concepto abstracto de espacio métrico fue introducido inicialmente por el matemático francés M. Fréchet en 1906 y desarrollado JDáa tarde por el famoso topólogo F. Hausdorff en su "Mengenlehre". De-.1pué! ~ 1920, la topología métrica es objeto de exhaustivas investi gaciones que logran su pleno desarrollo y ponen de manifiesto au extraordi nario poder unificador de toda una variedad de teoríaa, hasta entoncca diJ. penas y aparentemente independientes. Su importancia inicial se atribuye, en parte, a que fuera rec:onocida como una interesante generalización de la teoría de espacios normados y las aplicaciones de éstos en el naciente análisis funcional, desarrollada por Stephan Banach y sus seguidores. A su vez, la escuela de Moscú realizaba importantes descubrimient<lf sobre propiedades de Jos espacios métricos, con impresionante despliegue: de actividad investigadora durante la década 1920-30. Su principal objetiv<f consistía en obtener condiciones neceaari~U y suficiente$ para que un espacio topológico fuese metrizable. · En la actualidad, la topología métrica constituye una rama de la topo logía gener~J y los espacios métricos un caso particular de los topológicos. Todas las obras de topología general dedican uno o dos capítulos al trata· miento de los espacios métricos. No obstante, estos últimos admiten y merecen un estudio independiente por dos razone!. Primero, pueden ser desarrollados en forma de una hennosa teoría acabada, menos inclinada a presentar fenómenos patológicos que la topología general, y, por tanto, más asequible a nuestra intuición geométrica. Segundo, constituyen el funda mento indispensable y más inmediato para un estudio serio y riguroso del análisis matemático, por no mencionar una profusión de teorías sofisticadas. A pesar de todo, existe un sorprendente vacío de obras dedicadas al desarrollo autónomo de la topología métrica y ello, acompañado de las razones señaladas, nos animó a escribir un libro de esta especie. Quién dirija su atención a la topología, con el propósito de adquirir las bases necesarias y orientarse luego al aprendizaje riguroso del análisis, hallará frente a sí un vasto y aternorizante cuerpo de doctrina. Para llegar a lo que él requiere (casi exclusivamente espacios métricos y normados) , deberá atra· 5 6 PRÓLOGO vesar un largo y dificultoso camino, pocas veces al alcance de la intuición y erizado de sutilezas axiomáticas, contra-ejemplos y extraños fenómenos. En esta obra presentamos un desarrollo, bastante exhaustivo, de la topo lota de espacios métricos, con absoluta independencia de la topología ge neral. Vale decir, no suponemos ni apelamos a conocimiento alguno de esta última. Esperamos además que el lector perciba y disfrute la belleza matemática de esta relevante y depurada teoría como fm en sí, a la par que cimiento esencial. Este libro tuvo ru origen en cursos que, sobre la materia, el autor dictó en la Facultad de Ingeniería de la Univenidad Central de Venezuela; sus propios apuntes fueron editados intentamente y, se cree, son utilizados hasta el día de hoy en calidad de texto. Posteriormente, él mismo ha enseñado la asignatura de Topología Métrica a estudiantes del tercer año de la carrera de Matemáticas en la Universidad Simón Bolivar. Tales experiencias, por el transcurso de unos seis años, se plavnaron en la elaboración de esta obra. Desde un punto de vista formal, los únicos conocimientos previos, reque ridos para asimilar el contenido de este libro, son los brevemente enunciados en la Introducción. A saber, familiaridad y destreza con las nociones elemen tales de la teorla de conjuntos, incluyendo lo relativo a funciones, relaciones de equivalencia y orden, excluyendo el axioma de elección y sus equivalentes; estructuras numéricas, principio de inducción, conjuntos contables (que se consideró oportuno tratarlos en dicha Introducción) y, muy particularmente, el cuerpo de los números reales con su propiedad del "sup" columna ver tebral de los espacios métricos. Finalmente, y s6lo para el último capítulo, los conocimientos más elementales de álgebra lineal. Realista y pedagógicamente, seria deseable que el lector poseyera cierta madurez matemática (independiente de la biológica), lograda, digamos, despu& de haber perdido la inocencia en un primer curso de cálculo en una y varias variables. Sin embargo, hemos tenido muchas consideraciones con el lector, en oca.üones a riesgo de aburrir a alguno más veterano. Todo nuevo concepto se acompaña de motivaciones intuitivas, en un lenguaje llano y ordinario. · Se ha procurado siempre destacar la significaci6n y grado de trascendencia de cada teorema, señalando lo que se persigue e indicando el camino. Al final de cada capítulo se ofrece una colección más o menos numerosa de ejercicios, dependiendo de las posibilidades del tema. Sobre ellos conviene ~eclarar que son totalmente independientes del texto, en el sentido de que Jamás se hace uso de alguno como parte integral del desarrollo teórico; a lo más, se cita uno que otro en calidad de contra-ejemplo. • Esto no debe servir de motivo, &in embargo, para que el estudiante pres cmda de ellos o interprete que no son importantes. Muy al contrario, los PRÓLOGO 1 ejercicios evidencian las posibilidades de la teorla y Ié confieren una mayor significación. El lector puede medir su dominio del tema enfrentándose con ellos. Algunos, por otra parte, apuntan hacia ramificaciones interesantes. Consideramos que el libro puede adoptarse como texto y cubrirse total mente en un semestre. Podria constituir un primer curso de topologia des tinado a estudiantes de Matemáticas en la mitad de su carrera. Estamos convencidos, no obstante, de que la obra se presta a ser utilizada también y con provecho por alumnos de lngenieria, :t'isica u otras disciplinas afines. en esclarecidos "pensa" de esas ciencias. Para eJios recomendamos el siguiente plan de estudio simplificado, que no rompe la hilación lógica del desatrollo: Capítulo I, secciones 1.1 y 1.4. Capítulo II, secciones 2.1, 2.2, 2.3, 2.4 y 2.6. Capítulo III,. secciones 3.1 y 3.5. Capítulo IV, completo. Capítulo V, secciones 5.1, 5.2, 5.4, 5.5 y 5.7. Capítulo VI, secciones 6.1, 6.2, 6.3, 6.4, 6.6 y 6.8. Capítulo VII, secciones 7.1 y 7. 3. Por último, y no por ello menos merecido, deseo manifestar mi sincero agradecimiento a ·¡a señorita Reina V. Raven, quien con admirable des prendimiento y efidencia realiz6 la mecanografía. Mi sentimiento de grati• tud para mi esposa por haber sufrido en silencio largos meses de reclusión y a quien dedico la obra. IoNACIO L. huBAluu!N Universidad Sim6n Bolívar Contenido Prólogo Introducc:ión 11 l. Espacios métricos 15 1.1 Definición y casos particulares importantes, '15 1.2 Distancia entre conjuntos, 24 1 1.3 Isometría, 27 1.4 Subespacios, 28 Ejercicios, 29 rr. Conjunios abiertos y conjuntos cerrados 33 2.1 Esferas abiertas, cerradas y superficie esférica, 33 2.2 Conjuntos abiertos, 34 2.3 Entornos y puntos de acumulación, 40 2.4 Conjuntos cerrados, 43 2.5 Frontera y borde, 53 2.6 Abiertos y cerrados en un subespacio, 55 2.7 Conjuntos densos, fronterizos y nada-densos 58 1 Ejercicios, 62 m. Conectividad 57 3.1 Conjuntos conexos, 67 3.2 Clausura y unión de conjuntos conexos, 70 3.3 Componentes de un conjunto, 72 3.4 Espacios localmente conexos, 74 3.5 Conectividad en la recta real, 76 Ejercicios, 79 IV. Compacidad 81 4.1 Conjuntos acotados. Diámetro, 81 4.2 Conjuntos precompactos y separables, 85 .9 10 CONTENIDO 4.3 Conjuntos compactos, 90 4. 4 Conjuntos relativamente compactos, 96 Ejercicios, 97 101 V. Límites y espacios completos 5.1 Límites de sucesiones, 101 5. 2 Sucesiones de Cauchy y espacios completos, 110 5. 3 Subespacios completos, 117 5.4 Completitud y precompacidad en R", 118 5.5 Resumen de resultados sobre compacidad, 127 5 . 6 Teoremas de Can,tor y Baire, 129 5. 7 Vmites funcionales, 135 Ejercicios, 142 149 VI. Continuidad 6. 1 Continuidad en un punto, 149 6. 2 Continuidad en un conjunto, 155 6.3 Continuidad en conjuntos compactos, 164 6.4 Continuidad en conjuntos conexos, 169 ·6. 5 Arco-conectividad, 173 6.6 Continuidad uniforme, 180 6. 7 Completación de un espacio métrico, 189 6.8 Contracciones y teorema del punto fijo, 195 Ejercicios, 199 209 VD. Espacios normados 7. 1 Fundamentos, 209 7.2 Convexidad y poli-conectividad, 215 7. 3 Transformaciones lineales, 224 7 . 4 Isomorfismo topol6gico: isotopía, 227 7. 5 Producto de dos espacios normados, 235 Ejercicios, 244 249 Bibliografía 251 Ind ice lntrodu~~ión Empecemos con un recuento breve (y en algunos casos algo más extenso) de todos aquellos conocimientos que se supone posee el lector, ya que en el transcurso de la obra serán utilizados con entera libertad, si.n citarlos expre samente. Para cualquier consulta al respecto, puede recurrirse a la biblio grafía recomendada. Debemos aceptar que el lector está familiarizado con las nociones ele mentales de la teoría de conjuntos y que ha adquirido suficiente destreza en su manejo. Para ser más concretos, se requieren conocimientos sobre determinación de un conjunto, inclusión, unión en una familia cualquiera, diferencia y complementación de conjuntos, intersección, distributividad de esta última con respectó a la unión y viceversa; par ordenado y producto cartesiano con sw propiedades fundamentales; relaciones binarias, y de orden parcial y total; relaciones de equivalencia, propiedades de las ciases de equivalencia y conjunto cociente. Es indispensable un dominio adecuado del concepto de función; imágenes directas e inversas de un conjunto bajo una función; sobrtyección, inyección y biyección; función inversa; compo sición de funciones. No hace falta haber hecho un estudio axiomático, riguroso, de tales fundamentos, sólo se espera que el lector tenga un poco de práctica en su manipulación y conceptos claros. La notación conjuntista que se emplea en este libro, en todos Jos casos, es la usada universalmente. En vez de pro¡><>rcionar una especie de resumen pormenorizado de los conocimientos mencionados, preferimos remitir al lector a algunos de los ex celentes textos existentes. Al respecto, puede consultar las siguientes obras: (16)*, cuya exposición es informal y entretenida, y (29), si se desea un estudio rigurosamente axiomático y extenso. Recomendamos particularmente el libro (23), de reciente aparición, por su elegancia y rigor. En lo relativo a teoria de conjuntos y casi todos los otros requ~itos que señalaremos, cabe citar de una vez la conocida obra (33), que presenta un panorama mucho más amplio de los fundamentos de la Matemática. • Los números entre par&\teaia JC refieren a obras de la bibliosrafla dad& al f~ del libro. 11 INTRODUCCIÓN 12 Sobre los números naturales, cuyo conjunto designamos por N "" {0, 1, 2, 3, ... } necesitamos propiedades globales más bien que de carácter aritmético. A saber, que N está bien ordenado; es decir, que todo conjunto de números naturales tiene un mínimo. En especial, se usa frecuentemente el principio de inducción completa y es preciso que el lector lo conozca bien y lo sepa emplear con soltura. El pequeño y muy didáctico libro (27) se dedica exclusivamente a ello. Conviene precisar el siguiente concepto que utilizaremos en varias oca siones. Decimos que un conjunto no vacío X es contable si existe una .sobre yección 1: N~ X. Por ejemplo, el conjunto N es contable trivialmente, donde la sobreyec ción es la función idéntica. Asimismo, si X es un conjunto finito es fácil comprobar que es contable. En efecto, podemos expresar X= {x.o,x, ... ,x.} < < y definimos la sobreyección 1: N~ X tal que /(i) = X¡, para O i n, y /(i) = .x-o, para todo i > n. Si el conjunto Y no es vac:o, X es contable y existe una sobreyección g : X~ Y, entonces Y es contable. Basta con saber que existe una sobre yección 1 : N ~ X, luego, la (unción compuesta g •1 : N ~ Y es sobreyec::tiva. Como consecuencia, probamos con facilidad que, si A es un subconjunto no vacío del conjunto contable X, entonces A es contable. En efecto, la func·óng: X ~A tal que V .rEA: g(x} = x, y x EX-A: g(x) - a, don. de a E A es un elemento fijo, es sobreyectiva. Veamos ahora que el conjunto N X N es contable. E.s muy sencillo comprobar que la función 1 : N X N-+ N, tal que y m, n EN:f(m, n) ~ 2•·3", es inyectiva. Por otra parte, su rango M es contable, debido a que M C N y lo establecido anteriormente. Luego, la función inversa t • : M ~ N X N es sobreyectiva y N X N es contable. Por último, sea F una familia contable de conjuntos contables. Deseamos demostrar que Y - UX z•r es contable. Existe pues una sobreyección h: N ~ F y, como cada X E F es contable, para todo n E N existe una sobreyecci6n /. : N ~ h ( n). Ahora bien, defi namos una función g: N X N~ Y tal que vm, n EN: g(m, n) ~ f,..(n). Resulta entonces que g es sobreyectiva y Y es, por tanto, contable, ya que lo es N X N. En efecto, si x E Y, ha de tenerse que x EX para algún X EF; pero hes sobreyectiva, luego exhte un m En con h(m) =X y, como también f,. es sobreyectiva, debe haber un n EN con x"" f,.(n) = g(m, n). De este resultado fundamental se obtiene la contabilidad del conjunto Q de los números racionales como simple ejercicio