Revista Internacional de Métodos Numéricos para Cálculo y Diseño en Ingeniería. Vol. 9, 2, 161-179( 1993) TOPICOS DEL ANALISIS 'UNIDIMENSIONAL DE ESTRUCTURAS. PARTE 1. Vigas y arcos S. MONLEON E. T.S.I. Caminos, Canales y Puertos, Universidad Poliiécnica de Valencia. RESUMEN En esta serie de dos artículos, se muestra cómo las tradicionales presentaciones en rigidez o transferencia del equilibrio de vigas, arcos, placas o láminas tienen un origen común y único en la adecuada formulación del problema de valores iniciales correspondiente, siempre que éste implique integrar exclusivamente ecuaciones diferenciales en una variable. Ofrece por lo tanto, una metodología unificada para llevar a cabo la resolución de un mismo problema conceptual independientemente del contexto geométrico de aplicación. SUMMARY This two papers set shows how the standard stiffness and tranfer approach of equilibrium in beams: arches, plates and shells have a unique common srigin in the appropriate formulation of the corresponding initial-value problem provided that this implies integrating one variable differential equations onl y. Therefore, a unified method is offered to carry out the resolution of the same general problem irrespective of the geometrical context to which it is applied. INTRODUCCION Si los elementos estructurales que constituyen fundamentalmente la construcciones se clasifican, siguiendo a Vlassovl, a partir de su extensión en el espacio, tendremos: (1) cuerpos macizos, (11) placas y laminas, (111) piezas alargadas. La principal característica de los cuerpos de segunda y tercera categoría consiste en que sobre éstos pueden establecerse hipótesis de comportamiento geométrico suplementarias (hipótesis cinemáticas) que permiten asimilar la pieza real a un modelo bidimensional (2D) o unidimensional (ID) respectivamente. Los modelos 2D se materializan mediante una superficie C denominada convencionalmente superficie de referencia, mientras que los modelos 1D se materializan mediante una curva a, directriz de la pieza. En ambos casos, el dominio geométrico adoptado en la modelización del cuerpo, junto con la hipótesis cinemática, permiten describir un Recibido: Mayo 1992 QUniversitat Politecnica de Catdunya (España) ISSN 0213-1315 161 S. MONLEON comportamiento tridirnensional del sólido (precisamente el correspondiente al binomio modelo-hipótesis cinemática) mediante sistemas de ecuaciones diferenciales de las variables que parametrizan la superficie dreferencia o la directriz. En el primer caso, asociado a la modelización 2D de placas y láminas, las ecuaciones diferenciales que rigen el problema dependerán de dos variables, los parámetros Gaussianos de la superficie C, mientras que en el segundo caso las ecuaciones diferenciales que gobiernan el comportamiento de las piezas alargadas sólo dependerán de una variable, el párametro de 1; directriz u. Sin embargo, la resolución analítica de problemas de equilibrio de placas y láminas se reduce frecuentemente a la integración de ecuaciones diferenciales en sólo una de las dos variables de superficie. Ello sucede cuando la geometría de C presenta determinadas propiedades, como ser de revoluciGn o de traslación, que permiten una formulación armónica del problema. Incluso bajo determinadas solicitaciones y condiciones de contorno, el análisis de placas y láminas puede ser puramente función de una vaiable, como es el caso de las láminas de revolución con cargas axisimétricas. Comenzaremos por el análisis de los cuerpos de tercera categoria como estructuras ID, ordenando su desarrollo en tres partes más unos ejemplos de aplicación. En primer lugar, estableceremos la adecuada descripción geométrica de las piezas alargadas, obteniendo a continuación las ecuaciones de campo correspondientes a problemas de equilibrio elástico-lineales en la forma apropiada para construir cómodamente una metodología unificada de resolución, aspecto que se aborda en la parte final del trabajo, previa a las aplicaciones. CONTEXTO GEOMETRICO Consideremos un cuerpo B inmerso en R3. En un instante t ocupa una región V, o volumen, que supondremos simplemente conexa. Para su estudio, adoptaremos un sistema de coordenadas curvilineas Oi(i = 1,2,3) particular, afín a la geometría espacial del cuerpo B según se especifica a continuación. Para los cuerpos de tipo 111, la coordenada B1 se toma igual al parámetro S, longitud de arco de la directriz de la pieza, mientras que las coordenadas (O2, 03) se denominan (y, z) respectivamente y se definen a partir de la ecuación: donde r(s) es el vector posición de los puntos materiales de u(s), curva directriz de la pieza alargada, y p es el vector posición de los puntos materiales de B, mientras que n y b son los vectores unitarios normal y binormal del triedro de Frenet-Serret del punto r de u, definidos a partir del vector unitario tangente a a, X(s), según las fórmulas (2). Todos estos vectores se representan en la Figura 1. x En las fórmulas (2), es la curvatura de la curva directriz u(s) y T su torsión. Sea II,, el plano definido en cada punto de a por los vectores n, b (plano normal), y sea TOPICOS DEL ANALISIS UNIDIMENSIONAL DE ESTRUCTURAS Figura 1. Sistema de referencia de una pieza alargada y definición del tiedro local {A, n,b l. r(s) el segmento de directriz sobre el cual II,, intersecta materialmente al cuerpo B, definido por Denominaremos sección transversal de B al conjunto de puntos materiales A, = B n II,. Estará definida sobre el intervalo [sl,s2], siendo Al = B n II, para s = si y A2 = B n II, para s = s2 las secciones transversales extremas de la pieza alargada. El sistema coordenado di definido anteriormente será válido para los puntos de IEt3 que cumplan + siendo h = [(y,,, - (zmaz - z ~ ~ ~la )má~xim]a d~im/ens~ión de la sección transversal, y L la longitud de la pieza (L= s2 - si). Utilizando las definiciones anteriores, el contorno del cuerpo, que denominaremos dB, puede descomponerse de la siguiente forma donde aA, = aB n II,, es la curva cerrada que define el contorno de la sección transversal, y d~ aparece como la superficie lateral de la pieza. Denominaremos espacio prismático al conjunto de puntos de R3 definido por r, r(s) x A,(Y, z) = {P E R ~ /ES (Y,Z ) E As) (6) Las componentes del tensor métrico g;3. asociado al sistema coordenado adoptado podrán evaluarse, en virtud de (4), en cada punto de este dominio, resultando: S. MONLEON Sea g* el determinante del sistema definido en (8). En lo sucesivo denominaremos 1.1 a su raíz cuadrada positiva, cuyo valor es: Según lo expuesto en la introducción, para las piezas alargadas, comúnmente denominadas vigas o arcos en la práctica estructuralista, la hipótesis cinemática que se asocia al modelo 1D puede expresarse mediante la ecuación donde d* es el vector desplazamiento de los puntos de B en las direcciones gf, h una matriz independiente de la solicitación actuante y característica de la hipótesis cinemática adoptada (Navier, Timoshenko, St Venant, Oumanski ...) de 3 x n componentes, y u es el vector de desplazamientos generalizados del modelo, definido en cada punto de I' y de n componentes. Adoptada una composición para u(s), los elementos de h(y, z) se deducen por simples relaciones geométricas. Por ejemplo, para la viga de Timoshenko tendremos (omitiendo el alabeo torsional) d* = {U*,V*,W*}~ definido sobre B U = {u, u, w, 4, By, PZjT definido sobre I' 1 1 0 0 O z - -(YG) ZG O 1 O -(z-zC) O 0 0 1 Y-Y, O OO donde (yG,z G),( y,, zc) definen respectivamente la posición del centro de gravedad y centro de esfuerzos cortantes de A,, {u, u, w} son los desplazamientos de los puntos r(s) de I' en las direcciones coordenadas y cj,Py,Pz las rotaciones de A, respecto a estos mismos ejes. No es objeto de este artículo discutir la construcción de hipótesis cinemáticas adecuadas para el análisis de piezas alargadas, aunque en las aplicaciones incluidas se emplean algunas de las más usuales, puestas en la forma general (10). ECUACIONES DE CAMPO El conjunto de ecuaciones que rige todo problema estático se reduce a las ecuaciones cinemáticas del cuerpo, sus ecuaciones constitutivas (elásticas en nuestro caso) y las ecuaciones de equilibrio y condiciones de contorno. Desarrollaremos un plantemiento intrínsecamente tridimensional para obtener los sistemas de ecuaciones correspondientes a piezas alargadas, recurriendo a una formulación variacionalZ para generar las ecuaciones de equilibrio y condiciones de contorno propias del modelo ID. 1 TOPICOS DEL ANALISIS UNIDIMENSIONAL DE ESTRUCTURAS 165 Ecuaciones cinemáticas l Estas pueden darse, para comportamiento geométricamente lineal, en la forma E es un operador diferencial lineal de primer orden de dimensión 6 x 3. Aplicado a los desplazamientos de B proporciona el vector de deformaciones en el punto considerado, de seis componentes. La forma explícita de esta ecuación se facilita en la Tabla 1, para sistemas de coordenadas ortogonales. En general, E puede descomponerse en la forma donde Ei (i = 0,3) son operadores lineales de 6 x 3 componentes. Llevando (10) a (11 ) y recurriendo a (12) se deduce la siguiente expresión del vector de deformaciones: e*($,y , t) = B v(s) d u , v={;/} u/=, . B = [Bo, Bl], Bo = E h y B1 = El h El vector v es de 2n componentes e incluye los desplazamientos generalizados y sus derivadas, y B, de 6 x 2n, define la deformación del espacio prismático. Variable Definición Expresión general Expresión en coordenadas ortogonales Vector de deformaciones e* e* = E .d * de los puntos de B,de6xl Matriz de deformación del espacio prismático, B=Eh+Elh de 6 x 2n Tabla 1. Definiciones Cinemáticas. S. MONLEON La ecuación (13) resume la cinemática de la pieza alargada con modelización ID. Nótese que dada una hipótesis cinemática, la matriz B estará totalmente determinada por (14)2. La Tabla 1 contiene los elementos necesarios para su evalución en coordenadas ortogonales. Las expresiones facilitadas en la Tabla anterior corresponden a sistemas ortogonales, en los cuales pueden definirse componentes físicas de las variables. Ello exige, según (8), que la directriz sea una curva plana (T = O). Para directrices alabeadas, los cálculos deben desrrollarse en componentes tensoriales3. Ecuaciones constitutivas, de equilibrio y condiciones de contorno Como ya se anticipó, recurriremos a un planteamiento variacional para las ecuaciones de equilibrio interno y condiciones de contorno de B. En tal caso, debe establecerse el funcional de acción del problema, definido por la energía potencial V del cuerpo para problemas estáticos, cuya expresión4 es siendo U la energía de deformación y S2 el potencial de las fuerzas actuantes, correspondientes a fuerzas másicas definidas en cada punto B y fuerzas de superficie aplicadas sobre el contorno dB del cuerpo. Ambas funciones escalares pueden escribirse como es el vector de tensiones, de seis componentes, definido sobre todo B, b las fuerzas S* por unidad de masa y p* la densidad de masa por unidad de volumen de B. El vector q define las fuerzas de superficie aplicadas sobre el contorno del cuerpo dB, previamente descrito en (5). Al admitir que nuestro cuerpo es elástico, la relación constitutiva entre los sistemas S' y e* es lineal y de la forma Obviamente, C es un operador lineal de 6x6, función de dos constantes elásticas G y u, cuya expresión se proporciona a continuación mediante la escritura en componentes de la ecuación anterior: TOPICOS DEL ANALISIS UNIDIMENSIONAL DE ESTRUCTURAS Operando convenientemente, de las relaciones anteriores se deduce la siguiente expresión de la energía potencial: V = F(s, u, ul)ds - (ff ul + fr . u2) (20) siendo La ecuación (21) proporciona la forma explícita de la densidad de energía potencial de la pieza alargada. Es un funcional de los desplazamientos generalizados y su derivada. La matriz D, de 2n x 272, es la matriz de rigideces locales de la pieza, su evaluación sólo requiere disponer de B, luego de una determinada hipótesis cinemática. r Q es el valor de densidad de carga lineal y se obtiene reduciendo a las fuerzas másicas y las fuerzas de superficie sobre el contorno lateral de la pieza (tubo aB). Aunque, en el análisis estructural, es usual postular directamente la distribución de carga Q, para su correcta evaluación deben calcularse las integrales dadas en (23). En estas es la raiz cuadrada positiva del determinante de la métrica de la superficie lateral dB(s, 5): Los dos últimos sumandos de la expresión de la energía potencial (20) corresponden al trabajo de las fuerzas actuantes en las caras extremas de la pieza e intervienen en la definición de las condiciones de contorno del problema como veremos a continuación. Para su obtención se ha empleado la notación siguiente: Supongamos que la pieza registra unos desplazamientos virtuales a partir de una configuración de equilibrio definida por u,. La nueva configuración de la pieza podrá expresarse como donde E es una constante arbitraria pequeña y h(s) cualquier función vectorial de norma acotada que satisfaga las adecuadas condiciones de continuidad y las condiciones S. MONLEON de contorno cinemáticas (si existen). Para que la pieza esté en equilibrio, la energía potencial ha de ser estacionaria, luego la primera variación de V (suma de los términos de primer orden en la expresión obtenida al sustituir (26) en (20), que son los afectados del factor E) debe anularse para todo desplazamiento virtual. Esto es: donde representa para u = u,, etc.. Integrando por partes se deduce la siguiente ecuación - 1 a~ a~ a~ / [- -d-] + r duE - dsau; iids + [d[uEÉ ] - fl] ii2 - au; f:] iil = O (28) ,=S2 ,=S1 La ecuación (28) debe satisfacerse, en configuraciones de equilibrio, para cualquier variación de los desplazamientos. Por lo tanto deberán anularse tanto la integral sobre S como el término independiente: [[E] - f;] ii2 - [[E] + r:] . ii, = 0 dut aul ,=S2 ,=S, La ecuación (29) proporciona un sistema de n ecuaciones diferenciales de segundo orden en las n componentes de los desplazamientos generalizados, define las ecuaciones de equilibrio de la pieza alargada y corresponde a la derivada variacional del funcional F, o ecuación de Euler del cálculo de variaciones415. En cuanto a la ecuación (30), define las condiciones de contorno que debe verificar la solución, pero para su adecuada interpretación, conviene realizar previamente unas sencillas operaciones. Inspirándonos en las definiciones (24), podemos introducir un vector de esfuerzos generalizados asociado a cada sección A, de la pieza: - hT t dydz f(s) = S siendo t el vector tensión actuante en cada punto de la sección transversal. Se comprueba fácilmente a partir de la Tabla 1 que t =aBA+~S,n+r;~b=pET.s* por lo tanto, haciendo uso de (18), (13) y (14) se deduce Volviendo a la definición (22), la matriz de deformación B admite una descomposición en bloques (14)2 que permite reescribir la matriz de rigideces D como TOPICOS DEL ANALISIS UNIDIMENSIONAL DE ESTRUCTURAS y por lo tanto, a partir de (21) es sencillo deducir Esta relación permite una correcta interpretación de las condiciones de contorno. Efectivamente, en ambos extremos de la pieza podremos imponer (1) condiciones de contorno cinemáticas (o de desplazamiento impuesto) (2) condiciones de contorno estáticas (o de tensión impuesta) Las primeras implicarán nulidad en algunas componentes de U(s = sl,s2), las segundas proporcionarán el valor de las restantes componentes del vector de esfuerzos generalizados f(s = si, s2). En cualquier caso dispondremos de 2n condiciones de contorno para determinar nuestra solución a (29). PRESENTACION UNIFICADA DE LA RESOLUCION DE PROBLEMAS ELASTICOS EN PIEZAS ALARGADAS Utilizando la definición de los esfuerzos generdzados dada en (35), las ecuaciones (29) y (30) que gobiernan este tipo de problemas se reducen a: + [f(s = s2) - f2IT' U2 - [f(s = sl) f1lT . U1 = O (37) Recurriendo a la definición del funcional F dada en (21) y empleando la descomposición en bloques del operador constitutivo (34), las ecuaciones diferenciales (36) pueden escribirse alternativamente como sigue: Ea ecuación (38) constituye un sistema de 2n ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden en las n componentes de u y n componentes de f. Las 2n condiciones de contorno correspondientes son las expresadas en (37). Supongamos que la solución general del problema homogéneo asociado puede darse en la forma T(s) es una matriz de 2n x 2n componentes que agrupa las 2n soluciones linealmente independientes del sistema homogéneo asociado a la ecuación (38). 1 y m son vectores constantes de n componentes, a determinar en función de las condiciones de contorno. Sobre la propia resolución del sistema, es decir sobre la 170 S. MONLEON obtención de las 2n soluciones básicas con las que se forma la matriz T, realizaremos unos comentarios posteriormente. Por ahora, nos basaremos en la ecuación (39) para desarrollar una presentación unificada de la resolución del problema de equilibrio planteado. En virtud de (35) tendremos Entonces, la solución general de nuestro problema será Las matrices N y P se definen en la Tabla 11. Según comentamos en la sección anterior, las 2n condiciones de contorno pueden ser de tensión o de desplazamiento impuesto, o bien darse en forma combinada. Cada una de estas alternativas proporciona una presentación particular del problema de valores iniciales asociado, entre las cuales tienen particular interés la presentación mixta y la presentación en desplazamientos, que conducen a formulaciones en transferencia o formulaciones en rigidez del problema de equilibrio de la pieza alargada. Expresión general Posible expresión de cálculo sea T = L(s) = [L - M~-'N]-~ N(.$)= -L-~MP M(S)= -P-~NE P(s) = [P- NL-'M]-' Tabla 11. Las condiciones de contorno mixtas exigirán que se cumpla simultáneamente en un extremo de la pieza condiciones de desplazamiento y de tensión impuestas, u(s = sl) = ul y f(s = si) = -fl, según (37). Por lo tanto la ecuación (41) particularizada en s = si proporcionará las constantes de integración 1, m resultando finalmente: