Theorie und Visualisierung algebraischer Kurven und Fl¨achen (Fortbildung fu¨r Mathematiklehrer) Stephan Klaus Oliver Labs Thomas Markwig Mathematisches Forschungsinstitut Oberwolfach Vortragsausarbeitung M¨arz 2009 Inhaltsverzeichnis 1. Was ist algebraische Geometrie? 1 2. Kegelschnitte 30 3. Die projektive Ebene 31 4. Der Satz von Be´zout 55 5. Singularita¨ten 76 6. Enumerative Geometrie 77 7. Angewandte algebraische Geometrie 112 8. Surfex 128 Literatur 129 Kapitel 1: Was ist algebraische Geometrie? 1 1 Was ist algebraische Geometrie? (von Thomas Markwig) Das ist algebraische Geometrie .... 2 1.A) Implizite Darstellungen versus Parametrisierungen A) Implizite Darstellungen versus Parametrisierungen Ich habe in einer Veranstaltung mit dem Titel Elemetarmathematik vom h¨oheren Standpunkt aus angehendenLehrerndieFragegestellt,waseineGeradeist.Folgende Antworten habe ich erhalten: Eine Gerade ist eine Aneinanderreihung von Punkten. • Eine Gerade ist eine Linie. • Eine Gerade ist wie eine Strecke, nur ohne Ende. • Eine Gerade ist durch eine Gleichung der Form y = m x+n gegeben. • · Keine der Antworten ist falsch, und zugleich erkl¨art keine der Antworten zufrieden- stellend, was eine Gerade ist. Dabei handelt es sich bei einer Geraden doch um ein wirklich elementares geometrisches Objekt, von dem jeder eine recht klare Vorstel- lung hat. Es ist bezeichnend, daß es uns schwer f¨allt, diese klare Vorstellung in klare Worte zu fassen, selbst nach einigen Semestern Mathematikstudium. Ich will mich deshalb selbst an einer Definition versuchen, an deren Ende zwei m¨ogliche Beschrei- bungen stehen, die ein erstes Gefu¨hl dafu¨r geben sollen, was algebraische Geometrie ist und weshalb sie hilfreich ist. Der Geometrieunterricht (der Mittelstufe) beruht heute noch genauso wie vor zwei- hundert Jahren auf Euklids Elementen [Euk91], und Euklid fu¨hrt unmittelbar nach dem Punkt den Begriff der Geraden ein als: Eine Gerade ist breitenlose L¨ange. Nach meinem Verst¨andnis ist diese Definition weder exakter noch hilfreicher als die oben angefu¨hrten. Ihnen allen ist gemein, daß sie gewisse Eigenschaften angeben, die Geraden erfu¨llen sollen; ihnen allen fehlt aber eine wichtiger Aspekt, den zweifellos alle ungesagt unterstellen: Eine Gerade ist eine Menge, deren Elemente wir Punkte nennen, und die gewisse Eigenschaften hat. Erst wenn wir wissen, daß eine Gerade eine Menge ist, k¨onnen wir versuchen Ei- genschaften zu spezifizieren, die die Punkte dieser Menge erfu¨llen sollen, so daß die Menge eine Gerade wird. Nun wollen wir Eigenschaften festlegen, die die Punktmenge erfu¨llen muß, um eine Gerade genannt zu werden. Diese h¨angen letztlich vom Standpunkt ab, den man einnehmen m¨ochte. In der axiomatischen Geometrie gibt man sich einen umgebenden Raum als Punkt- menge vor sowie gewisse Teilmengen dieses Raumes, die die Geraden werden sollen. Dann fordert man einige naheliegende Eigenschaften, etwa, daß je zwei Punkte auf genau einer Geraden liegen. Auf diese Weise wird Euklids Geometrie mit Hilfe der mathematischen Sprache des 19. Jahrhunderts pr¨azisiert und alle elementaren Ei- genschaften der ebenen Euklidischen Geometrie lassen sich mit Euklids Beweisen Kapitel 1: Was ist algebraische Geometrie? 3 zeigen. Zudem entstehen auch ganz andere Geometrien, die der Entwicklung der Mathematik wesentliche Impulse gegeben haben. Unser Standpunkt wird ein ganz anderer sein. In seiner Schrift Discours de la M´ethode aus dem Jahr 1637 fu¨hrte Ren´e Descartes die Idee ein, Punkte in der Ebene durch die Angabe von zwei Koordinaten zu be- schreiben. Damit machte er es m¨oglich, in der Geometrie die Methoden der Algebra zur Beschreibung und Untersuchung von geometrischen Objekten einzusetzen, die Algebraische Geometrie war geboren. Auch der letzte der oben angefu¨hrten Definiti- onsversuche des Begriffs Gerade macht sich diesen Umstand zunutze. Etwas pr¨aziser gefaßt lautet er: Eine Gerade ist eine Teilmenge der reellen Zahlenebene R2, deren Punkte genau die L¨osungsmenge einer Gleichung der Form a x+b y+c = 0 (1) · · fu¨r geeignete reelle Zahlen a,b,c R mit (a,b) = (0,0) bilden. ∈ 6 Diese etwas allgemeinere Form der Gleichung schließt Geraden ein, die parallel zur y-Achse sind. Die Gerade legt dabei die Gleichung nur bis auf ein skalares Vielfaches fest. 2x−4y−1 = 0 Geraden, die wir auf diesem Weg einfu¨hren, erfu¨llen auch die in der axiomatischen Geometrie geforderte Eigenschaft, daß durch je zwei Punkte genau eine Gerade geht. GebenwirunszweiPunkteP = (p ,p )undQ = (q ,q )inderreellenZahlenebene 1 2 1 2 vor, dann suchen wir reelle Zahlen a,b,c R derart, daß die Gleichungen ∈ a p +b p +c = 0 1 2 · · 4 1.A) Implizite Darstellungen versus Parametrisierungen und a q +b q +c = 0 1 2 · · erfu¨llt sind. Der Umstand, daß die Punkte verschieden sind, sorgt dafu¨r, daß die Koeffizientenmatrix des Gleichungssystems p p 1 1 2 q q 1 1 2 ! den Rang zwei hat. Man findet also einen eindimensionalen L¨osungsraum, der eine L¨osung (a,b,c) mit (a,b) = (0,0) enth¨alt. 6 Ausgehend von zwei Punkten P = (p ,p ) und Q = (q ,q ) kann man sich die 1 2 1 2 Algebra und Koordinaten aber auch auf andere Weise nutzbar machen, um eine Gerade zu beschreiben. Dazu fassen wir die Punkte der reellen Zahlenebene als Vektoren auf und erlauben es, sie zu addieren, zu subtrahieren oder mit Skalaren zu multiplizieren. Die Differenz P−Q = (p −q ,p −q ) liefert uns einen Vektor, der 1 1 2 2 in Richtung der Geraden zeigt, und wir k¨onnen den Begriff der Geraden dann auch einfu¨hren als: Eine Gerade ist eine Teilmenge der reellen Zahlenebene R2 der Form {Q+t (P−Q) | t R}, (2) · ∈ wobei P und Q zwei verschiedene Punkte der reellen Zahlenebene sind. Unser Ziel ist es, geometrische Objekte, die mit Hilfe algebraischer Mittel beschrie- ben wurden, zu visualisieren. In dieser Hinsicht sind die beiden Beschreibungen einer Geraden in (1) und (2) von fundamental unterschiedlicher Qualit¨at. (2) ist die bei weitem geeignetere Darstellung, da man durch schlichtes Einsetzen von Werten fu¨r den Parameter t eine beliebige Anzahl von Punkten auf der Geraden bestim- men kann. Wir sprechen deshalb von einer Parametrisierung der Geraden. Etwas mathematischer ausgedru¨ckt, haben wir die Gerade als Bild folgender Abbildung dargestellt: F : R R2 : t Q+t (P−Q). − 7 · → → t F(t) F Q P Kapitel 1: Was ist algebraische Geometrie? 5 Da von uns nicht mehr verlangt wird, als Werte in eine Gleichung einzusetzen, um Punkte zu bestimmen, sprechen wir bei der Parametrisierung auch von einer expliziten Darstellung. (1) stellt weit h¨ohere Anforderungen, auch wenn dies bei einer Geraden auf den ersten Blick noch nicht offensichtlich ist. Um Punkte (x,y) auf der Geraden zu finden, mu¨ssen wir eine Gleichung l¨osen, sprich versuchen, eine der Ver¨anderlichen in Abh¨angigkeit der anderen darzustellen. Das ist an sich schon ein gr¨oßerer Aufwand. Aber um dem Leser gleich jede Illusion zu nehmen, es ist im allgemeinen gar nicht m¨oglich, oder m¨ochten Sie die Gleichung (x2+y2)2+3x2y−y3 = 0 (3) nach einer der beiden Variablen aufl¨osen mu¨ssen? Wir sprechen im Fall einer Dar- stellung durch eine oder mehrere Gleichungen wie im Fall (1) von einer impliziten Darstellung. Die Gleichung (3) liefert ein dreibl¨attriges Kleeblatt und die Kurve besitzt eine recht Abbildung 1. Kleeblatt (x2+y2)2+3x2y−y3 = 0 einfache Parametrisierung: t3−3t t4−3t2 t , . 7 (1+t2)2 (1+t2)2 (cid:18) (cid:19) Wir werden etwas sp¨ater sehen, wie man die Parametrisierung in diesem Fall aus der → Gleichung gewinnen kann bzw. umgekehrt die Gleichung aus der Parametrisierung. Das Bild des Kleeblattes ist aus der impliziten Gleichung erstellt worden mit Hilfe des Raytracers Surf [EHO+08]. Schauen wir uns die etwas kompliziertere Gleichung x4+y4 2−x3y3 (x+y) = 0 · an, so versagt der Raytrac(cid:0)er jedoch(cid:1)seinen Dienst und liefert das unkorrekte Bild in Abbildung 2, w¨ahrend die Parametrisierung t4+t3 t5+t3 t , 7 (1+t4)2 (1+t4)2 (cid:18) (cid:19) mit Hilfe von Maple das weit bessere Ergebnis bringt (siehe Abbildung 3). Die Pro- → bleme, in die der Raytracer hier l¨auft, haben mit dem Begriff der Singularit¨at zu tun, den wir uns in Kapitel 5 n¨aher anschauen werden. 6 1.A) Implizite Darstellungen versus Parametrisierungen Abbildung 2. Implizit: x4+y4 2−x3y3 (x+y) = 0 · (cid:0) (cid:1) Abbildung 3. Parametrisiert: x4+y4 2−x3y3 (x+y) = 0 · (cid:0) (cid:1) Da die implizite Darstellung fu¨r die Visualisierung die herausforderndere ist und da Parametrisierungen ohnehin in den interessanten F¨allen nicht existieren, werden wir uns im Folgenden auf implizite Darstellungen konzentrieren. Nach diesen einfu¨hrenden Bemerkungen k¨onnen wir beantworten, womit sich die algebraische Geometrie besch¨aftigt: In der algebraischen Geometrie werden die L¨osungsmengen polynomialer Gleichungssysteme sowie die Bilder rationaler Abbildungen untersucht. Polynomial bedeutet in diesem Zusammenhang, daß die Terme der Gleichungen Po- lynome in den Ver¨anderlichen sein mu¨ssen, und rational, daß die Komponentenfunk- tionen der Parametrisierung Bru¨che von Polynomen sind. Es sind keine analytischen Ausdru¨cke wie etwa cos(x) oder ex zugelassen. Da es unser Ziel ist, die geometrischen Objekte, die entstehen, visualisieren zu k¨onnen, werden wir uns in unseren Beispielen darauf beschr¨anken, Polynome in zwei Kapitel 1: Was ist algebraische Geometrie? 7 oder in drei Ver¨anderlichen zu betrachten, so daß die L¨osungsmengen von Gleichun- gen oder Ausschnitte selbiger entweder in der Ebene R2 oder im Anschauungsraum R3 dargestellt werden k¨onnen. Die Terminologie, die wir ben¨otigen, sowie die Er- gebnisse der algebraischen Geometrie, die wir besprechen wollen, werden wir z.T. aber in gr¨oßerer Allgemeinheit formulieren, um Wiederholungen zu vermeiden. Wenden wir uns nun ersten Beispielen zu. Wir empfehlen dem Leser dabei, zun¨achst ohne Zuhilfenahme von Rechnern zu entscheiden, wie die L¨osungsmenge der gege- benen Gleichung oder das Bild der gegebenen Parametrisierung aussieht. Beispiel 1.1 (Kurven in der reellen Zahlenebene) Wie sehen die L¨osungsmengen folgender Gleichungen im R2 aus? a. y−x2 = 0. b. y−x4+1 = 0. c. y2−x2 = 0. d. x2−y3 = 0. e. y2−x2−x3 = 0. f. (x2+y2)3−4x2y2 = 0. Welches Bild geh¨ort zu welcher Gleichung? Beispiel 1.2 (Fl¨achen und Kurven im Anschauungsraum) Wie sehen die L¨osungsmengen folgender Gleichungen im R3 aus? a. x2−y3 = 0. b. z−x2−y2 = 0. c. z2−x2−y2 = 0. d. z2−x2−y2 = 0 und z2−1 = 0. e. xz = 0 und yz = 0. f. x2+y2+z2−1 = 0. 8 1.B) Ko¨rper und Polynome Welches Bild geh¨ort zu welchem Gleichungssystem? Beispiel 1.3 (Parametrisierungen von Kurven und Fl¨achen) Wie sehen die Bilder folgender Parametrisierungen aus? a. t t3,t2 . 7 b. t (cid:0)t,t2 (cid:1). 7→ c. t (cid:0)t2−(cid:1)1,t3−t . →7 d. t (cid:0)t2−1, 2t . (cid:1) 7→ t2+1 t2+1 (cid:16) (cid:17) e. (s,t) s,t,s2+t2 . → 7 f. (s,t) (cid:0)t2−1 s2−1,(cid:1)t2−1 2s , 2t . 7→ t2+1 · s2+1 t2+1 · s2+1 t2+1 (cid:16) (cid:17) Bis auf den Kreis → finden sich alle Bilder bereits oben! B) K¨orper und Polynome Nachdem wir erste Beispiele von Kurven und Fl¨achen, d.h. Beispiele von sogenann- ten algebraischen Variet¨aten, kennen gelernt haben, wollen wir die grundlegenden Begriffe der algebraischen Geometrie etwas exakter einfu¨hren. Wie bereits angedeu- tet erlauben wir dabei mehr als drei Dimensionen. Dafu¨r gibt es gute Gru¨nde. Wie wir in Kapitel 7 sehen werden, tauchen polynomiale Gleichungssysteme in vielen Anwendungen auf, und die Zahl der Ver¨anderlichen kann dabei leicht hundert und mehr betragen.