ThØorie de Galois Marc SAGE Table des matiŁres 1 Introduction 2 1.1 Prolongements d(cid:146)isomorphismes aux corps de dØcomposition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.2 Groupe de Galois . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.3 Morphisme de Frobenius . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.4 Polyn(cid:244)mes sØparables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.5 Corps parfaits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.6 Corps (cid:133)nis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.6.1 Rappels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.6.2 CyclicitØ de Gal Fq(cid:30) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 Fp 1.6.3 Extensions intermØdiaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 (cid:0) (cid:1) 1.7 Cl(cid:244)ture algØbrique de Fq . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.8 ThØorŁme de L(cid:252)roth . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 2 ThØorie de Galois 12 2.1 (cid:201)tude prØliminaires des K-morphismes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 2.1.1 ThØorŁme d(cid:146)existence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 2.1.2 Extensions sØparables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 2.1.3 Extensions normales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 2.2 Extensions galoisiennes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2.3 Lemme d(cid:146)Artin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.4 Correspondance de Galois . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2.5 Cl(cid:244)ture galoisienne d(cid:146)une extension sØparable (cid:133)nie (cid:150)ThØorŁme de l(cid:146)ØlØment primitif . . . . . . . 19 2.6 Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2.6.1 Racines de l(cid:146)unitØs (cid:150)Extensions cyclotomiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2.6.2 Polyn(cid:244)mes symØtriques (cid:150)Discriminant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2.6.3 Extension cycliques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 3 RØsolubilitØ par radicaux 27 3.1 Extensions composØes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 3.2 Calcul de Gal L1L2(cid:30)K en fonction de Gal L1(cid:30)K et Gal L2(cid:30)K . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 3.3 Construction de la thØorie des groupes : produit (cid:133)brØ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (cid:0) (cid:1) (cid:0) (cid:1) (cid:0) (cid:1) 4 Calcul du groupe de Galois d(cid:146)un polyn(cid:244)me P Z[X] via la rØduction modulo p 32 2 4.1 Lecture de Gal P dans la dØcomposition de P en facteurs irrØductibles . . . . . . . . . . . . . . 32 Q 4.2 RØduction modulo p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 4.2.1 Construction d(cid:146)un corps de dØcomposition de P . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 4.2.2 Injection de Gal P dans Gal P . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 Fp Q 4.2.3 Recherche de facteurs irrØductibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 1 1 Introduction 1.1 Prolongements d(cid:146)isomorphismes aux corps de dØcomposition DØ(cid:133)nition. Soit K un corps, P K[X]. 2 Un corps de dØcomposition de P est une extension L de K telle que P est scindØ sur L . L engendrØ par les racines de P (cid:26) Proposition (rappel). Un corps de dØcomposition existe toujours, et est unique (cid:224) isomorphisme prŁs. Proposition (prolongement d(cid:146)isomorphismes aux corps de dØcomposition). Soit (cid:27) :K K un isomorphisme de corps. Soit P K [X], et P K [X] le polyn(cid:244)me obtenu via (cid:27), 1 2 1 1 2 2 (cid:0)! 2 2 L le corps de dØcomposition de P sur K et 1 1 1 . Alors il existe un isomorphisme (cid:27) :L L qui prolonge L2 le corps de dØcomposition de P2 sur K2 1 (cid:0)! 2 (cid:27) :(cid:26) K , L 1 1 e ! (cid:27) (cid:27) , # # K , L 2 2 ! le nombre (cid:23) de tels isomorphismes vØri(cid:133)e e (cid:23) [L :K ], 1 1 (cid:20) et si P est scindØ simple dans L , on a l(cid:146)ØgalitØ 1 1 (cid:23) =[L :K ]. 1 1 DØmonstration. On fait alors une rØcurrence sur d=[L :K ]. 1 1 L =K Si d=1, i.e. si K =L , ce qui revient (cid:224) dire que P a toutes ses racines dans K , alors 1 1 , et (cid:15) 1 1 1 1 L2 =K2 (cid:26) (cid:27) vaut nØcessairement (cid:27). On a alors bien (cid:23) =1=[L ;K ]. 1 1 Soit d>1, et supposons la proposition vraie pour tous les extensions (de dØcomposition) de degrØ <d. (cid:15) Si P est scindØ sur K , alors L =K et d=1, absurde. P peut donc s(cid:146)Øcrire dans K [X] comme e 1 1 1 1 1 1 P =Q (cid:10) 1 1 1 oøQ estunfacteurirrØductibledeP surK dedegrØ2 degQ <degP ;notonsQ sonimagedansK [X]. 1 1 1 1 1 2 2 (cid:20) Dans L [X], on a alors 1 P =(cid:5)r (X (cid:21) ) 1 i=0 (cid:0) i , 1 s r, (cid:26) Q1 =(cid:5)si=0(X(cid:0)(cid:21)i) (cid:20) (cid:20) et dans L [X] on a 2 P =(cid:5)r (X (cid:22) ) 2 i=0 (cid:0) i , 1 s r. (cid:26) Q2 =(cid:5)si=0(X(cid:0)(cid:22)i) (cid:20) (cid:20) Le point (cid:224) remarquer est que tout prolongement (cid:27) de (cid:27) (cid:224) L envoie les racines de Q sur celles de Q . En e⁄et, 1 1 2 on a e (cid:5)s (X (cid:22) )=Q =(cid:27)(Q )=(cid:27)(Q )=(cid:27)((cid:5)s (X (cid:21) ))=(cid:5)s (cid:27)(X (cid:21) )=(cid:5)s (X (cid:27)((cid:21) )), i=0 (cid:0) i 2 1 1 i=0 (cid:0) i i=0 (cid:0) i i=0 (cid:0) i donc nØcessairement (cid:27)((cid:21) ) est un (cid:22) oø 0 i s. 0 i e (cid:20) (cid:20)e e e Soit donc K =K [(cid:21) ], K [(cid:21) ;:::;(cid:21) ]=L , e 10 1 0 ! 1 0 r 1 2 avec [K :K ] = deg(cid:21) ; or Q est un polyn(cid:244)me irrØductible sur K qui annule (cid:21) , donc Q est le polyn(cid:244)me 10 1 0 1 1 0 1 minimal de (cid:21) sur K . On en dØduit deg(cid:21) =degQ , d(cid:146)oø 0 1 0 1 [K :K ]=degQ >1. 10 1 1 Pour chaque racine distincte (cid:22) de Q , on dØ(cid:133)nit un morphisme i 2 K =K [(cid:21) ] L 10 1 0 (cid:0)! 2 (cid:27) : x K (cid:27)(x) i 1 8 2 7(cid:0)! (cid:21) (cid:22) < 0 7(cid:0)! i par : K L (cid:27)i : a10(cid:21)n (cid:0)! (cid:27)(a2 )(cid:22)n (cid:26) n 0 7(cid:0)! n i (remarquer au passage que (cid:27)i prolonge (cid:27)). SPoit alors P K =(cid:27) (K )=(cid:27) (K [(cid:21) ])=K [(cid:27) ((cid:21) )]=K ((cid:22) ), L . 20 i 10 i 1 0 2 i 0 2 i ! 2 RØsumons la situation : K , K =K [(cid:21) ] , L =K [(cid:21) ;:::;(cid:21) ] 1 ! 10 1 0 ! 1 1 0 r (cid:27) (cid:27) . i # # K , K =K [(cid:22) ] , L =K [(cid:22) ;:::;(cid:22) ] 2 ! 20 2 i ! 2 2 0 r On va appliquer l(cid:146)hypothŁse de rØcurrence au morphisme (cid:27) :K K et au polyn(cid:244)me P . Il convient de i 10 (cid:0)! 20 1 vØri(cid:133)er les hypothŁses. P est scindØ sur L , et l(cid:146)engendrØ de ses racines sur K vaut 1 1 10 K [(cid:21) ;:::;(cid:21) ]=K [(cid:21) ][(cid:21) ;:::;(cid:21) ]=K [(cid:21) ;(cid:21) ;:::;(cid:21) ]=K [(cid:21) ;(cid:21) ;:::;(cid:21) ]=L , 10 0 r 1 0 0 r 1 0 0 r 1 0 1 r 1 donc L est bien un corps de dØcomposition de P sur K . De mŒme, P est scindØ sur L et 1 1 10 2 2 K [(cid:22) ;:::;(cid:22) ]=K [(cid:22) ][(cid:22) ;:::;(cid:22) ]=K [(cid:22) ;:::;(cid:22) ]=L , 20 0 r 2 i 0 r 2 0 r 2 donc L est bien un corps de dØcomposition de P sur K . D(cid:146)autre part, le degrØ de l(cid:146)extension L sur K vaut 2 2 20 1 10 [L :K ] [L :K ] [L :K ]= 1 1 = 1 1 <[L :K ]. 1 10 [K :K ] degQ 1 1 10 1 1 On peut donc rØcurrer : il existe un morphisme (cid:27) :L L qui prolonge (cid:27) , donc qui prolonge (cid:27) : i 1 2 i (cid:0)! K , K =K [(cid:21) ] , L =K [(cid:21) ;:::;(cid:21) ] 1 ! 10 1 e0 ! 1 1 0 r (cid:27) (cid:27) (cid:27) , i i # # # K , K =K [(cid:22) ] , L =K [(cid:22) ;:::;(cid:22) ] 2 ! 10 2 i ! 2 2 0 r e et leur nombre (cid:23) est au plus Øgal [L :K ]. i 1 10 Pour l(cid:146)inØgalitØ : si (cid:27) : L L est un prolongement de (cid:27), alors (cid:27)((cid:21) ) est nØcessairement un (cid:22) , donc 1 (cid:0)! 2 0 i (cid:27) est nØcessairement un (cid:27) . Par consØquent, en notant jK10 i e e N =# (cid:22) ;:::;(cid:22) degQ , e f 1 sg(cid:20) 2 i.e. le nombre de racines distinctes de Q , on a N choix pour (cid:27) (qui correspondent bien (cid:224) des morphismes 2 i (cid:27) ((cid:21) )=(cid:22) distincts, car i 0 i sont distincts pour i = j). Par ailleurs, l(cid:146)hypothŁse de rØcurrence nous fournit (cid:26) (cid:27)j((cid:21)0)=(cid:22)j 6 au plus [L :K ] choix pour (cid:27) (cid:224) i (cid:133)xØ. On a (cid:133)nalement au plus 1 10 i [L :K ] degQ N e[L :K ]=N 1 1 2 [L :K ]=[L :K ] (cid:2) 1 10 degQ (cid:20) degQ 1 1 1 1 1 1 choix pour (cid:27). En(cid:133)n, si P est scindØ simple dans L , on a ØgalitØ partout. En e⁄et, Q est alors scindØ simple, donc on 1 1 1 a N = degQ choix pour i; comme de plus P est scindØ simple sur K , on a par hypothŁse de rØcurrence e 1 1 10 [L :K ] choix pour.(cid:27) . 1 10 i e 3 1.2 Groupe de Galois DØ(cid:133)nition. Soit K Ldeuxcorps.Onappelle K-automorphismede Ltoutautomorphismede Lqui(cid:133)xe K.Onappelle (cid:26) groupe de Galois de L sur K l(cid:146)ensemble des K-automorphismes de L. On le note Gal L(cid:30)K = (cid:27) AutL ; a K, (cid:27)(a)=a . f 2 8 2 g (cid:0) (cid:1) PropriØtØ. Si L est un corps de dØcomposition d(cid:146)un polynome P de K[X], alors Gal L(cid:30)K [L:K], (cid:20) et si P est scindØ simple sur L, il y a Øgalit(cid:12)Ø. (cid:0) (cid:1)(cid:12) (cid:12) (cid:12) DØmonstration. Puisqu(cid:146)un K-automorphisme de L est un prolongement (cid:224) L de l(cid:146)identitØ sur K, on applique la proposition prØcØdente (cid:224) K =K =K et (cid:27) =Id. 1 2 1.3 Morphisme de Frobenius DØ(cid:133)nition. Soit K un corps de caractØristique p. On appelle morphisme de Frobenius le morphisme de corps : K K Fr: (cid:0)! . x xp (cid:26) 7(cid:0)! On note son image Kp = xp oø x dØcrit K . f g Fr est bien un morphisme additif, Øtant donnØ que pour i p=n, ^ p p p 1 p 1 = (cid:0) =pi(cid:0)1 (cid:0) 0 [p] i i i 1 i 1 (cid:17) (cid:18) (cid:19) (cid:18) (cid:0) (cid:19) (cid:18) (cid:0) (cid:19) et donc que p 1 Fr(x+y)=(x+y)p =xp+ (cid:0) p xiyn i+yp =xp+yp. (cid:0) i i=1(cid:18) (cid:19) X =0 | {z } 1.4 Polyn(cid:244)mes sØparables DØ(cid:133)nition. Un polyn(cid:244)me de K[X] est dit sØparable si toutes ses racines sont simples dans toute extension de K. Si K L est une extension algØbrique, un ØlØment x de L est dit sØparable si son polyn(cid:244)me minimum est (cid:26) sØparable. Proposition (critŁre de sØparabilitØ sans sortir du corps de base). Un polyn(cid:244)me P K[X] est sØparable ssi il est premier avec sa dØrivØe : 2 P sØparable P P =1. 0 () ^ DØmonstration. 4 Si P n(cid:146)est pas sØparable, P a une racine double dans une extension L de K, donc P P =1 dans L[X], a 0 ^ 6 fortiori dans K[X] puisque le pgcd est inchangØ par extension de corps. RØciproquement, si P P = 1, alors P a une racine double dans un de ses corps de dØcomposition, donc 0 ^ 6 n(cid:146)est pas sØparable. Proposition (critŁre de sØparabilitØ pour les polyn(cid:244)me irrØductibles). Soit P K[X] irrØductible. Alors P est sØparable ssi P =0. 0 2 6 DØmonstration. SiP estirrØductiblesurK[X]etn(cid:146)estpassØparable,alorsP etP ont(dansuneextensiondeK)unfacteur 0 en commun non constant, qui ne peut Œtre que P vu que P est irrØductible, d(cid:146)oø P P , ce qui implique P =0 0 0 j en prenant les degrØs. RØciproquement, P = 0 = P P = P P = P = 1 = P non scindØ simple dans une cl(cid:244)ture 0 0 0 ) j ) ^ 6 ) algØbrique de K. Proposition (factorisation de Xp a). (cid:0) Soit K de caractØristique p>0, et a K. 2 Si a Kp, alors Xp a se scinde en (cid:15) 2 (cid:0) Xp a= X ppa p. (cid:0) (cid:0) Si a = Kp, alors Xp a est irrØductible. (cid:0) (cid:1) (cid:15) 2 (cid:0) DØmonstration. (cid:201)vident car on est en caractØristique p. (cid:15) Montrons la contraposØe. Si P = Xp a n(cid:146)est pas irrØductible, soit Q un facteur irreductible de P, de (cid:15) (cid:0) sorte que Xp a=QR (cid:0) avec 1 degQ<p. Soit b une racine de Q dans une extension appropriØe de K. Alors (cid:20) 0=QR(b)=P (b)=bp a, (cid:0) d(cid:146)oø Xp a=Xp bp =(X b)p, (cid:0) (cid:0) (cid:0) donc Q (X b)p, i.e. Q = (X b)r pour un 1 r < p. Puisque Q K[X], son terme constant br est dans j (cid:0) (cid:0) (cid:20) 2 K; or p est premier, donc Bezout donne ur+vp=1, d(cid:146)oø b=(br)u(bp)v K = a=bp Kp. 2 ) 2 Corollaire. Dans K =Fp(T), le polyn(cid:244)me P =Xp T K[X] n(cid:146)est pas sØparable. (cid:0) 2 DØmonstration. Montrons dØj(cid:224) que P est irrØductible sur K = Fp(T). D(cid:146)aprŁs la proposition prØcØdente, il su¢ t pour cela de montrer que T K n(cid:146)est pas une puissance de p dans K. Si c(cid:146)Øtait le cas, on aurait T = A p avec 2 B A= a Ti =0 (cid:0) (cid:1) i i 6 , B = b Ti (cid:26) P i i Ap = apTpi P d(cid:146)oø i i et Bp = bpTpi (cid:26) Pi i P apTpi =Ap =TBp =T bpTpi = bpTpi+1, i i i i i i X X X absurde car p 2. (cid:21) Il reste (cid:224) voir que P =0, donc, d(cid:146)aprŁs la derniŁre proposition, P ne peut Œtre sØparable. 0 5 1.5 Corps parfaits DØ(cid:133)nition. Un corps K est dit parfait si tout polyn(cid:244)me irrØductible de K[X] est sØparable. Proposition (critŁre de perfection). Si carK =0, alors K est parfait. (cid:15) Si carK =p>0, alors K est parfait ssi Kp =K, i.e. ssi Fr est surjectif. (cid:15) Demonstration. Si carK =0, alors tout polyn(cid:244)me irrØductible y est de degrØ au moins Øgal (cid:224) 1, donc de dØrivØe non nulle, (cid:15) donc sØparable. Si Kp K, soit a K Kp. Le polyn(cid:244)me Xp a est alors irrØductible (car a = Kp) et de dØrivØe nulle, (cid:15) 2 n (cid:0) 2 donc n(cid:146)est pas sØparable et K ne peut Œtre parfait. Si Kp = K, soit P K[X] irrØductible. Si P n(cid:146)Øtait pas sØparable, sa dØrivØe serait nulle. En posant 2 P = a Xk, on aurait k 0 k (cid:21) n P 0=P = a kXk 1, 0 k (cid:0) k=1 X d(cid:146)oø a k =0 pour tout k et a =0 pour k p=1.On en dØduirait k k ^ p P = apjXjp = ppapjpXjp = ppapjXj 0 1 j 0 j 0 j 0 X(cid:21) X(cid:21) X(cid:21) @ A oø l(cid:146)un des a est non nul (sinon P =0), absurde car P irrØductible. pj 1.6 Corps (cid:133)nis 1.6.1 Rappels Z K Soit K un corps (cid:133)ni. Le morphisme (cid:0)! ne saurait Œtre injectif, donc son noyau est du type n n 1 K (cid:26) 7(cid:0)! (cid:1) aZ avec a=0. Alors a est nØcessairement premier, puisque pour toute dØcomposition a=bc on a 6 0=a 1 =bc 1 =(b 1 )(c 1 ) K K K K (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) d(cid:146)oø b 1K =0 (ou c 1K) par intØgritØ de K, i.e. b aZ, ou encore a b. (cid:1) (cid:1) 2 j On note alors a=p (comme premier). p est appelØe caractØristique de K, et est notØe carK =p. D(cid:146)autre part, K contient les p itØrØs de 1K, i.e. le corps Fp = 0;1;:::;p 1 vu dans K (on appelle cette f (cid:0) g copie de Fp le sous-corps premier de K) Ainsi, carK =p>0 = Fp , K. ) ! On peut alors considØrer K comme un Fp-espace vectoriel de dimension (cid:133)nie n, d(cid:146)oø K =pn. j j Proposition (rappel). Soit p premier. Pour tout n 1, il existe ((cid:224) isomorphisme prŁs) un unique corps (cid:133)ni de cardinal q = pn : (cid:21) c(cid:146)est le corps de dØcomposition sur Fp de Xq X, et on le note Fq: On a de plus Fp , Fq. (cid:0) ! Proposition (rappel). F(cid:3)q est cyclique. 6 1.6.2 CyclicitØ de Gal Fq(cid:30) Fp (cid:0) (cid:1) Proposition. Gal Fq(cid:30) est cyclique et engendrØ par Fr : Fp (cid:0) (cid:1) Gal Fq(cid:30) = Fr . Fp h i (cid:0) (cid:1) DØmonstration. Soit a engendrant F(cid:3)q, de sorte que Fq = Fp[a]. Les ØlØment (cid:27) de G = Gal Fq(cid:30)Fp sont entiŁrement dØterminØs par les (cid:27)(a), donc (cid:0) (cid:1) G # (cid:27)(a) oø (cid:27) dØcrit G . j j(cid:20) f g En considŁrant le polyn(cid:244)me minimal P de a sur Fp, avec degP =[Fq :Fp]=n, on remarque que les (cid:27)(a) sont des racines de P car P Fp et (cid:27) (cid:133)xe Fp : 2 P ((cid:27)(a))= (cid:21) ((cid:27)(a))k = (cid:27)((cid:21) )(cid:27) ak = (cid:27) (cid:21) ak =(cid:27) (cid:21) ak =(cid:27)(P (a))=(cid:27)(0)=0. k k k k ! k k k k X X (cid:0) (cid:1) X (cid:0) (cid:1) X Il y a donc au plus n possibilitØs pour (cid:27)(a), d(cid:146)oø G n. j j(cid:20) PourmontrerqueFrengendreG,ilsu¢ tdemontrerquesonordre! dansGest n.Pourcela,onremarque que x Fq, x = Id(x) = Fr!(x) = xp!, donc le polyn(cid:244)me Xp! X s(cid:146)annule sur(cid:21)Fq tout entier, donc est de 8 2 (cid:0) degrØ p! q =pn, d(cid:146)oø ! n, CQFD. (cid:21) (cid:21) 1.6.3 Extensions intermØdiaires Lemme 0. Soient a et b des entiers 1 et p un entier 2. Alors (cid:21) (cid:21) (pa 1) pb 1 =pa b 1 (cid:0) ^ (cid:0) ^ (cid:0) . (Xa 1) Xb 1 =Xa b 1 ^ (cid:26) (cid:0) ^ (cid:0) (cid:0) (cid:1) (cid:0) (cid:0) (cid:1) DØmonstration. Clair si a=b. On suppose alors a>b. On e⁄ectue la division euclidienne de a par b : a=bq+r. On Øcrit alors pa 1=pbqpr 1=pbqpr pr+pr 1=pr pbq 1 +(pr 1)=prA pb 1 +(pr 1) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (oøAestentier),cequimontrequelerestedeladivisio(cid:0)neuclid(cid:1)iennedepa 1par(cid:0)pb 1e(cid:1)stpr 1.Lestermes (cid:0) (cid:0) (cid:0) successifs de l(cid:146)algorithme d(cid:146)Euclide "passent" donc (cid:224) la puissance p, et en rØitØrant le procØdØ, on trouve que le dernier reste non nul est bien pa b 1. ^ (cid:0) La dØmonstration est identique pour les polyn(cid:244)mes, vu que l(cid:146)on dispose d(cid:146)une division euclidienne polyno- miale. Lemme. Les trois ØnoncØs suivants sont Øquivalents : Xpm X Xpn X (cid:0) j (cid:0) pm 1 pn 1 (cid:0) j (cid:0) m n: j DØmonstration. 7 Par Øquivalences, et en utilisant le lemme 0, on a Xpm X Xpn X (cid:0) j (cid:0) Xpm 1 1 Xpn 1 1 (cid:0) (cid:0) () (cid:0) j (cid:0) Xpm 1 1 Xpn 1 1 =Xpm 1 1 (cid:0) (cid:0) (cid:0) () (cid:0) ^ (cid:0) (cid:0) (cid:16)Xpn^m(cid:0)1 1(cid:17)=X(cid:16)pm(cid:0)1 1 (cid:17) () (cid:0) (cid:0) n m=m () ^ m n, () j la mŒme mØthode marchant pour pm 1 pn 1. (cid:0) j (cid:0) Proposition (extensions intermØdiaires). Les sous-corps de Fpn sont exactement les Fpk oø k n. j Fpk peut Œtre Øgalement vu comme le corps des racines de Xpk X sur Fp. On a alors les injections (cid:0) Fp , Fpk , Fpn. ! ! DØmonstration. Soit E une extension intermØdiaire : Fp , E , Fq. E est (cid:133)ni, donc est un Fq avec q0 = (p0)k et k 1; (cid:15) ! ! 0 (cid:21) E Øtant par ailleurs un sous-groupe additif de Fq son cardinal doit diviser le cardinal de Fq, i.e. (p0)k pn, j d(cid:146)oø p0 =p et q0 =pk. D(cid:146)autre part, Fq peut Œtre vu comme un Fq -espace vectoriel de dimension (cid:133)nie r, d(cid:146)oø Fq = Fq r,i.e. pn =pkr,ou encore k n. 0 j j j 0j j RØciproquement, soit k n et considØrons (cid:15) j E = racines de Xpk X dans Fq . (cid:0) n o E(cid:3) est clairement un sous-groupe de F(cid:3)q, et est de plus stable par + : en e⁄et, si x et y sont dans E, on a (x+y)pk =Frk(x+y)=Frk 1(xp+yp)=Frk 2 xp2 +yp2 =:::=xpk +ypk =0. (cid:0) (cid:0) (cid:16) (cid:17) E est donc un corps pour les lois induites, i.e. un sous-corps de Fq. Comme de plus k n, on a (par le lemme) j Xpk X Xpn X = (X a) (cid:0) j (cid:0) (cid:0) aY2Fq scindØ simple, donc Xpk X a exactement pk racines, d(cid:146)oø E =pk. On a ainsi construit un sous-corps de Fq (cid:0) j j de cardinal pk, qui est donc isomorphe (cid:224) Fk, CFQD. Corollaire (correspondance de Galois). Onaunecorrespondancebijectiveentrelessous-groupesde G=Gal Fq(cid:30) etlesextensionsintermØdiaires Fp Fp (cid:26)Fpk (cid:26)Fq, qui (cid:224) un sous-groupe H associe le sous-corps FHq des Øl(cid:0)Øments(cid:1)de Fq stables par H. DØmonstration. Lepointcentralestderemarquerquesik n,alorsFpk =FhqFrki.Ene⁄et,lesracinesdupolyn(cid:244)meXpk X j (cid:0) de Fq[X] sont exactement les ØlØments de Fq stables par Frk, i.e. par Frk , donc FhqFrki est l(cid:146)ensemble Fpk de ces telles racines. D E (cid:15) Soit H un sous-groupe de G, et E =FHq . Puisque G est engendrØ par Fr, H est de la forme Frk oø k jn Frk D E (pour H = Id , prendre k = n). Donc E = Fhq i = Fpk, qui est bien une extension intermØdiaire d(cid:146)aprŁs la f g proposition prØcØdente. H = Frk (cid:15) La correspondance Øtablie est injective : si 8 H =DFrk0E sont deux sous-groupes de G tels que FHq = 0 < FHq 0, alors les polyn(cid:244)mes Xpk (cid:0)X et Xpk0 (cid:0)X o:nt mŒmeDenseEmble de racines, i.e. Fpk = Fpk0, d(cid:146)oø k = k0 et H =H . 0 Elle est en outre surjective : si E est une extension intermØdiaire, E est un Fpk d(cid:146)aprŁs la proposition (cid:15) prØcØdente, donc un FhqFrki oø Frk est un sous-groupe de G. D E 8 1.7 Cl(cid:244)ture algØbrique de Fq DØ(cid:133)nition. Soit (K ) une suite croissante de corps, au sens oø n m, il existe un morphisme (cid:19) :K , K . On appenllen2lNimite inductive de la suite (K ) le corps K8=(cid:20) K formØ de la rØunionn!"mcroissnan!te" dmes n n N n K , dont les lois entre deux ØlØments sont dØ(cid:133)nis par : 2 n (cid:3) S a K si b 2Kmn n , alors a(cid:3)b=(cid:19)n!m(a)(cid:3)b. (cid:26) 2 (cid:21) Proposition. Soit p premier, q =pk oø k 1. La limite inductive des Fpn! est une cl(cid:244)ture algØbrique de Fq. (cid:21) DØmonstration. Posons (cid:10)= n NFpn!. (cid:15) Pour x2(cid:10)S, m2ettons x2Fpn!, x est annulØ par le polyn(cid:244)me Xpn! (cid:0)X de Fq, donc est algØbrique sur Fq. Soit par ailleurs P un polyn(cid:244)me de (cid:10)[X]. Les coe¢ cients de P sont en nombre (cid:133)ni, donc sont tous dans (cid:15) un mŒme Fpn!. On considŁre alors D un corps de dØcomposition de P sur Fpn!, mettons D =Fpn![(cid:24)1;::;(cid:24)r] oø (cid:24)1;::;(cid:24)r sont lesracinesdeP dansD.AlorslesØlØmentsdeDsontlespolyn(cid:244)mesenles(cid:24) ;::;(cid:24) dontledegrØtotalestmajorØ 1 r par (degP)r (le degrØ de chaque puissance d(cid:146)un (cid:24) pouvant Œtre majorØ par degP), (cid:224) coe¢ cients dans un corps i (cid:133)ni, donc sont en nombre (cid:133)ni. Par consØquent, D est un F(p0)k0, admettant Fpn! comme sous-corps, donc D est un Fpm oø n! m. On a alors les extensions j Fpn! Fpm Fpm!, (cid:26) (cid:26) donc D est contenu dans Fpm! (cid:10). Par consØquent, P se scinde sur (cid:10). (cid:26) 1.8 ThØorŁme de L(cid:252)roth Soit K un corps. On s(cid:146)intØresse (cid:224) Gal K(X)(cid:30)K ainsi qu(cid:146)aux extensions intermØdiaires (cid:0) K (cid:1)E K(X). (cid:26) (cid:26) Lemme. Soit u K(X) K, mettons u= P oø P Q=1. Alors : 2 n Q ^ u est transcendant sur K; (cid:15) L(cid:146)extension K(u) K(X) est algØbrique (cid:133)nie, de degrØ (cid:14)(u):=max(degP;degQ); (cid:15) (cid:26) Le polyn(cid:244)me minimal de X sur K(u) est le normalisØ de P (T) uQ(T) K(u)[T]. (cid:15) (cid:0) 2 DØmonstration. Soit R(T) = P (T) uQ(T) K(X)[T]. On a R(X) = 0, donc X est algØbrique sur K(u) de degrØ (cid:0) 2 degR (cid:14)(u), donc K(X) est une extension algØbrique (cid:133)nie de K(u). NØcessairement, u ne peut Œtre (cid:20) (cid:20) algØbrique sur K, car alors X le serait (pas possible). OnpeutconsidØrerR(T)=P (T) uQ(T)commeunpolyn(cid:244)meenudedegrØ1,irrØductiblecarP Q=1, (cid:0) ^ donc irrØductible dans K[u][T], a fortiori dans K(u)[T] Donc R est le polyn(cid:244)me minimal de X. ThØorŁme. a b Les K-automorphismes de K(X) sont donnØs par les ’ : X aX+boø GL (K). On a de 7(cid:0)! cX+d c d 2 2 (cid:18) (cid:19) plus Gal K(X)(cid:30)K PGL2(K). ’ (cid:16) (cid:17) 9 DØmonstration. Soit ’ un K-automorphisme de K(X). Puisque X gØnŁre K(X), la donnØe de u=’(X) dØtermine entiŁ- rement ’. De plus, ’ est surjective, donc K(u)=Im’=K(X); en particulier u = K, et le lemme s(cid:146)applique : 2 (cid:14)(u)=[K(X):K(u)]=[K(X):K(X)]=1. On en dØduit la forme de u : aX+b u= cX+d a b oø a ou c = 0 et ad bc = 0, i.e. ad bc = 0, ou encore GL (K). On considŁre ensuite le 6 (cid:0) 6 (cid:0) 6 c d 2 2 (cid:18) (cid:19) morphisme surjectif GL2(K) Gal K(X)(cid:30)K (cid:0)! (cid:8): a b , 8 X (cid:0) aX+b(cid:1) < c d 7(cid:0)! 7(cid:0)! cX+d (cid:18) (cid:19) 1 0 dont le noyau est K , d(cid:146)oø : 0 1 (cid:18) (cid:19) Gal K(X)(cid:30)K GL2(K)(cid:30)Ker(cid:8) =PGL2(K). ’ (cid:16) (cid:17) ThØorŁme de L(cid:252)roth (sous-corps de K(X)). Les sous-corps de K(X) sont monogŁnes, en cela que K E K(X) = u K(X) tel que E =K(u). (cid:26) (cid:26) ) 9 2 DØmonstration. Si E =K, u=1 convient. Si K E, soit v E K, d(cid:146)oø des extensions K(v) E K(X). Le lemme nous dit alors que K(X) 2 n (cid:26) (cid:26) est une extension algØbrique de K(v) de degrØ (cid:14)(v). A fortiori, X est algØbrique sur E, et l(cid:146)on dispose de son polyn(cid:244)me minimal sur E[T] (cid:22)=Tn+a Tn 1+:::+a 1 (cid:0) n oøchaquea E.PuisqueX n(cid:146)estpasalgØbriquesurK,undesa n(cid:146)habitepaschezK,mettonsa = P E K i 2 i i0 Q 2 n oø P Q=1, avec d=(cid:14)(a ). Nous allons montrer que E =K(a ), ce qui concluera. ^ i0 i0 Le lemme nous donne des extension (cid:133)nies K(a ) E K(X) avec i0 (cid:26) (cid:26) [K(X):K(a )] (cid:14)(a ) d [E :K(a )]= i0 = i0 = . i0 [K(X):E] n n Montrons que d=n, ce qui donnera [E :K(a )]=1 et E =K(a ) monogŁne comme voulu. i0 i0 Le polyn(cid:244)me P (T) a Q(T) annule X et est (cid:224) coe¢ cients dans K(a ) E, donc est un multiple de (cid:22), (cid:0) i0 i0 (cid:26) mettons P (T) a Q(T)=(cid:22)(T)(cid:23)(T) (cid:0) i0 dans K(X)[T], ce que l(cid:146)on rØØcrit sous la forme P (T)Q(X) P (X)Q(T)=(cid:22)(T)(cid:23)(T)Q(X). (cid:0) Par ailleurs, les a E K(X) s(cid:146)Øcrivent a = Pi(X), donc en multipliant (cid:22) par le ppcm des dØnominateurs i 2 (cid:26) i Qi(X) (cid:21)= Q , on retombe dans K[X] (plut(cid:244)t que dans K(X)), mettons i=1;:::n i W (cid:21)(X)(cid:22)(T)=A (X)Tn+A (X)Tn 1+:::+A (X), 0 1 (cid:0) n et on a mŒme les A premiers entre eux (on dit que le terme de droite est primitif en X). i P A Puisque Ai0(X)=(cid:21)(X)ai0 =(cid:21)(X)QP((XX)) avec P ^Q=1, on a Qj(cid:21)i0 . On en dØduit une rØØcriture (cid:26) j Q(X) P (T)Q(X) P (X)Q(T) = (cid:21)(X)(cid:22)(T)(cid:23)(T) (cid:0) (cid:21)(X) Q(X) = (cid:23)(T) A (X)Tn+A (X)Tn 1+:::+A (X) . (cid:21)(X) 0 1 (cid:0) n (cid:2) (cid:3) 10