Nils-Peter Skoruppa Th¶eorie de Galois et Th¶eorie Alg¶ebrique des Nombres Notes d’un cours de Maitrise U.F.R. de Math¶ematiques et Informatique Universit¶e Bordeaux 1 Version: Id: mor.tex,v 1.3 2003/11/25 14:55:13 fenrir Exp (cid:176)c Nils-Peter Skoruppa, 2000 - 2003 www.countnumber.de Avant-Propos C’est une version tr(cid:181)es pr¶eliminoire du polycopi¶e au module Th¶eorie de Galois et th¶eorie alg¶ebrique des nombres (MOR 3) que j’ai assur¶e au debut de l’ann¶ee2000a(cid:181)Bordeaux.Ilmanquetoujoursleschap^‡tressurlesfaitsdebase delath¶eoriedeGalois.D’autrepart,danscessections1.2a(cid:181)1.6quimanquent jesuissuiviengroslessectionscorrespondantesdulivreSergeLange,Algebra. En outre c’est un tr(cid:181)es bon livre (et moins cher) que je recommends beaucoup. Il manque aussi une revision profonde de l’orthographie et de l’expression | est-ce que je vois des volontaires? Nils-Peter Skoruppa en mars 2000 Table des mati(cid:181)eres 1 Th¶eorie de Galois et applications 1 1.1 Extensions flnies et alg¶ebriques . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.2 Clotu^re alg¶ebrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.3 Th¶eor(cid:181)eme de Steinitz et de l’¶el¶ement primitif . . . . . . . . . . 1 1.4 Extensions normales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.5 Extensions galoisiennes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.6 Exemples I : Corps flnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.7 Exemples II : Corps cyclotomiques . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.8 Resolution explicites d’¶equations de degr¶e 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 ‚ 1.9 Construction a(cid:181) la r(cid:181)egle et compas . . . . . . . . . . . . . . . . 16 2 Th¶eories des nombres alg¶ebriques 23 2.1 Nombres entiers alg¶ebriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 2.2 Id¶eaux fractionnaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 2.3 D¶ecomposition d’id¶eaux premiers . . . . . . . . . . . . . . . . 42 2.4 G¶eom¶etrie des nombres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 2.4.1 Th¶eor(cid:181)eme de Minkowski . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 2.4.2 Finitude du groupe de classe . . . . . . . . . . . . . . . 56 2.4.3 Le Th¶eor(cid:181)eme de Dirichlet . . . . . . . . . . . . . . . . 58 3 Exercices 63 4 La CC 71 Bibliography 75 iii Chapitre 1 Th¶eorie de Galois et applications 1.1 Extensions flnies et alg¶ebriques | a(cid:181) faire | 1.2 Clotu^re alg¶ebrique | a(cid:181) faire | 1.3 Th¶eor(cid:181)eme de Steinitz et de l’¶el¶ement pri- mitif | a(cid:181) faire | 1.4 Extensions normales | a(cid:181) faire | 1.5 Extensions galoisiennes | a(cid:181) faire | 1 ¶ 2 CHAPITRE 1. THEORIE DE GALOIS ET APPLICATIONS 1.6 Exemples I : Corps flnis Fixons un nombre premier p. Nous utilisons Fp pour le corps Z=pZ, et Fp pour sa clo^ture alg¶ebrique. Rappelons que nous avons l’automorphisme de Frobenius F : Fp Fp; a ap: ! 7! Soit K un corps flni de caract¶eristique p. On peut supposer Fp K Fp: ‰ ‰ Car K est un espace vectoriel sur Fp, on a #K = p[K:Fp] =: q: On a en plus K = w ; ord(w) = q 1: ⁄ h i ¡ En particulier, pour tout a K 2 aq = a: En cons¶equence K est le corps de d¶ecomposition de xq x. ¡ Th¶eor(cid:181)eme. Pour tout nombre naturel n il existe un et un seul sous-corps de Fp avec q := pn ¶el¶ements, not¶e Fq. C’est le corps de d¶ecomposition de xq x Fp[x] sur Fp. ¡ 2 D¶emonstration. Il reste a montrer l’existence. Soit Fq l’ensemble des racines dans Fp du polyno^me f(x) := xq x. Car f0 = 1 ces racines sont 2 a(cid:181) 2 ¡ ¡ difi¶erentes. Donc #Fq = q. Finalement, l’ensemble Fq est un corps, i.e. stable sous+et .Parexemple+:Siaq = aetbq = b,alors(a+b)q = Fn(a+b) = ¢¢¢ Fn(a)+Fn(b) = aq +bq, ou(cid:181) F : x xp et l’automorphisme de Frobenius de 7! Fp. Evidemment, nous avons m n = Fpm Fpn; j ) ‰ et Fpm \Fpn = Fppgcd(m;n): 1 Th¶eor(cid:181)eme. On a Fp = Fpn. n=1 [ 1.6. EXEMPLES I : CORPS FINIS 3 D¶emonstration. Soit a Fp, et K := Fp(a). Nous avons d¶eja(cid:181) montr¶e que 2 K = Fq pour une puissance convenable q de p. En tant que corps flni Fp et parfait. Donc toute extension alg¶ebrique de Fp et separable, autrement dit, Fp est separable sur Fp. En plus, Fp et tout Fq est normal sur Fp. Th¶eor(cid:181)eme. Pour tout q := pn le groupe Gal(Fq=Fp) est cyclique d’ordre n, engendr¶e par FjFq. D¶emonstration. Soit ` := FjFq. Clairement ` 2 G := Gal(Fq=Fp). L’ordre de G est [Fq : Fp] = n. En particulier `n = 1. Supposons `l = 1. Pour tout a Fp donc apl = a. Car xpl x n’a que pl racines, on a donc pl pn, puis 2 ¡ ‚ l = n. En conlusion, ord` = n et le th¶eor(cid:181)eme suit. Nous allons d¶ecrire le groupe de Galois \absolu" G := Gal(Fp=Fp): Pour ceci nous introduisons Z := limZ=nZ ˆ (limite proj¶ective du syst(cid:181)eme pbroj¶ectif Z=nZ ). Par d¶eflnition c’est le sous- f g groupe des s dans le produit direct n f g Z=nZ; n Y tels que m n = s s mod m: m n j ) · Pour s := sn Z nous d¶eflnissons f g 2 b Fs : Fp Fp ! par Fs(a) = apsn si a Fpn: 2 D’apr(cid:181)es la d¶eflnition du groupe Z cette d¶eflnition ne d¶epend du chois de n. En plus, Fs et un automorphisme de Fp (car sa restriction sur tout Fpn l’est), et s Fs est un morphisme de gbroupe (exercice). ! Th¶eor(cid:181)eme. L’application s Fs d¶eflnit un isomorphisme de groupe 7! Z Gal(Fp=Fp): ! b ¶ 4 CHAPITRE 1. THEORIE DE GALOIS ET APPLICATIONS D¶emonstration. s Fs estinjectif:SiFs = 1,alorspourtoutn,onaapsn = 7! a pour tout a Fpn. D’apr(cid:181)es le th¶eor(cid:181)eme pr¶ec¶edent donc sn 0 mod n. 2 · L’application est surjectif : Soit ˆ G. Alors pour tout n il exist d’apr(cid:181)es 2 le th¶eor(cid:181)eme pr¶ec¶edent un sn Z=nZ tel que ˆ(a) = apsn pour tout a Fpn. 2 2 Il est facile a(cid:181) v¶erifler que s := sn Z (i.e. sm sn mod m si m n), et que f g 2 · j ˆ = Fs. b Nous remarquons que Z est un anneau (parce que les Z=nZ le sont). De plus Z est un anneau topologique. On munit Z par la topologie de trace de la toplogie de produit sur b Z=nZ. Ici la topologie sur Z=nZ est la toplogie n discr(cid:181)ebte. En particulier, nous remarquons quebZ est compact (par le lemme Q d’Uryson). b 1.7 Exemples II : Corps cyclotomiques Dans cette section nous flxons un corps de base k de caract¶eristique 0. Soit k une clo^ture alg¶ebrique k. Nous regardons Q comme sous-corps de k. Pour un nombre naturel n > 0 nous utilisons „ = ‡ k : ‡n 1 : n f 2 ¡ g C’est donc l’ensemble des racines du polyno^me xn 1, qui poss(cid:181)ede n racines ¡ difi¶erentes (diff¶erentes car car(k) = 0). Il est clair que „ est un sous-groupe n flni de k⁄, en particulier „ est cyclique (exercice : Tout sous-groupe flni du n groupe multiplicatif d’un corps est cyclique.) Les ¶el¶ements de „ sont appel¶es racines d’unit¶e n-i(cid:181)eme. Les g¶en¶erateurs n de „ sont dits racines d’unit¶e n-i(cid:181)eme primitives. n Rappel : Si k C, alors ‰ „n = e2…ink : 0 k < n : f • g Les racines d’unit¶es n-i(cid:181)eme pimitives sont e2…ink (pgcd(k;n) = 1): Le corps k(„ ) est une extension galoisienne (en tant que corps de d¶e- n composition de xn 1 sur k). Par restriction on obtient l’homomorphisme ¡ Gal(k(„n)=k) ! Gal(Q(„n)=Q);ˆ 7! ˆjQ(„n): Ce morphisme est injectif (exercice). Donc, pour ¶etudier l’extension k(„ )=k n il su–t a(cid:181) consid¶erer le cas k = Q.