Springer-Lehrbuch Florian Scheck Theoretische Physik 1 Mechanik Von den Newtonschen Gesetzen zum deterministischen Chaos Achte Auflage mit 171 Abbildungen, 11 praktischen Übungen und 119 Aufgaben und Lösungen 1 3 ProfessorDr.FlorianScheck Universität Mainz Institut für Physik, Theoretische Elementarteilchenphysik Staudinger Weg 7 55099 Mainz e-mail: [email protected] BibliografischeInformationderDeutschenNationalbibliothek DieDeutscheBibliothekverzeichnetdiesePublikationinderDeutschenNationalbibliografie;detaillierte bibliografischeDatensindimInternetüberhttp://dnb.d-nb.deabrufbar. Umschlagabbildung:demBuchentnommen,sieheSeite48 ISBN978-3-540-71377-7 8.Auflage Springer-VerlagBerlinHeidelbergNewYork ISBN978-3-540-43546-4 7.Auflage Springer-VerlagBerlinHeidelbergNewYork Dieses Werk ist urheberrechtlich geschützt. Die dadurch begründeten Rechte, insbesondere die der Übersetzung,desNachdrucks,desVortrags,derEntnahmevonAbbildungenundTabellen,derFunk- sendung, der Mikroverfilmung oder der Vervielfältigung auf anderen Wegen und der Speicherungin Datenverarbeitungsanlagen, bleiben, auch bei nur auszugsweiser Verwertung, vorbehalten. Eine Ver- vielfältigungdiesesWerkesodervonTeilendiesesWerkesistauchimEinzelfallnurindenGrenzender gesetzlichenBestimmungendesUrheberrechtsgesetzesderBundesrepublikDeutschlandvom9.September 1965inderjeweilsgeltendenFassungzulässig.Sieistgrundsätzlichvergütungspflichtig.Zuwiderhandlun- genunterliegendenStrafbestimmungendesUrheberrechtsgesetzes. SpringeristeinUnternehmenvonScience+BusinessMedia springer.de (cid:1)c Springer-VerlagBerlinHeidelberg2003,2007 DieWiedergabevonGebrauchsnamen,Handelsnamen,Warenbezeichnungenusw.indiesemWerkbe- rechtigtauchohnebesondereKennzeichnungnichtzuderAnnahme,dasssolcheNamenimSinneder Warenzeichen-undMarkenschutz-GesetzgebungalsfreizubetrachtenwärenunddahervonJedermann benutztwerdendürften. Herstellung,Datenkonvertierung,UmbruchinLATEX2ε:LE-TEXJelonek,Schmidt&VöcklerGbR,Leipzig Einbandgestaltung:WMXDesign,Heidelberg GedrucktaufsäurefreiemPapier SPIN:11979555 56/3100/YL-543210 V Vorwort zur Theoretischen Physik Mit diesem mehrbändigen Werk lege ich ein Lehrbuch der Theoreti- schen Physik vor, das dem an vielen deutschsprachigen Universitäten eingeführtenAufbauderVorlesungenfolgt:dieMechanikunddienicht- relativistische Quantenmechanik, die in Geist, Zielsetzung und Metho- dik nahe verwandt sind, stehen nebeneinander und stellen die Grundla- gen für das Hauptstudium bereit, die eine für die klassischen Gebiete, die andere für Wahlfach- und Spezialvorlesungen. Die klassische Elek- trodynamik und Feldtheorie und die relativistische Quantenmechanik leiten zu Systemen mit unendlich vielen Freiheitsgraden über und legen das Fundament für die Theorie der Vielteilchensysteme, die Quanten- feldtheorie und die Eichtheorien. Dazwischen steht die Theorie der WärmeunddiewegenihrerAllgemeinheitineinemgewissenSinnalles übergreifende Statistische Mechanik. Als Studentin, als Student lernt man in einem Zeitraum von drei Jahren fünf große und wunderschöne Gebiete, deren Entwicklung im modernen Sinne vor bald 400 Jahren begann und deren vielleicht dich- teste Periode die Zeit von etwas mehr als einem Jahrhundert von 1830, dem Beginn der Elektrodynamik, bis ca. 1950, der vorläufigen Vollen- dung der Quantenfeldtheorie, umfasst. Man sei nicht enttäuscht, wenn der Fortgang in den sich anschließenden Gebieten der modernen For- schung sehr viel langsamer ist, diese oft auch sehr technisch geworden sind, und genieße den ersten Rundgang durch ein großartiges Gebäude menschlichen Wissens, das für fast alle Bereiche der Naturwissenschaf- ten grundlegend ist. Die Lehrbuchliteratur in Theoretischer Physik hinkt in der Regel der aktuellen Fachliteratur und der Entwicklung der Mathematik um einiges nach. Abgesehen vom historischen Interesse gibt es keinen stichhal- tigen Grund, den Umwegen in der ursprünglichen Entwicklung einer Theorie zu folgen, wenn es aus heutigem Verständnis direkte Zugänge gibt. Es sollte doch vielmehr so sein, dass die großen Entdeckungen in der Physik der zweiten Hälfte des zwanzigsten Jahrhunderts sich auch in der Darstellung der Grundlagen widerspiegeln und dazu füh- ren, dass wir die Akzente anders setzen und die Landmarken anders definieren als beispielsweise die Generation meiner akademischen Leh- rer um 1960. Auch sollten neue und wichtige mathematische Methoden und Erkenntnisse mindestens dort eingesetzt und verwendet werden, wo sie dazu beitragen, tiefere Zusammenhänge klarer hervortreten zu las- sen und gemeinsame Züge scheinbar verschiedener Theorien erkennbar zu machen. Ich verwende in diesem Lehrbuch in einem ausgewogenen Maß moderne mathematische Techniken und traditionelle, physikalisch- VI Vorwort zur Theoretischen Physik intuitive Methoden, die ersteren vor allem dort, wo sie die Theorie präzise fassen, sie effizienter formulierbar und letzten Endes einfa- cher und transparenter machen – ohne wie ich hoffe in die trockene Axiomatisierung und Algebraisierung zu verfallen, die manche neueren Monographien der Mathematik so schwer leserlich machen; außerdem möchteichdemLeser,derLeserinhelfen,dieBrückezuraktuellenphy- sikalischen Fachliteratur und zur Mathematischen Physik zu schlagen. Die traditionellen, manchmal etwas vage formulierten physikalischen Zugänge andererseits sind für das veranschaulichende Verständnis der Phänomeneunverzichtbar,außerdemspiegelnsienochimmeretwasvon der Ideen- und Vorstellungswelt der großen Pioniere unserer Wissen- schaft wider und tragen auch auf diese Weise zum Verständnis der Entwicklung der Physik und deren innerer Logik bei. Diese Bemerkung wird spätestens dann klar werden, wenn man zum ersten Mal vor ei- ner Gleichung verharrt, die mit raffinierten Argumenten und eleganter Mathematik aufgestellt ist, die aber nicht zu einem spricht und verrät, wie sie zu interpretieren sei. Dieser Aspekt der Interpretation – und das sei auch den Mathematikern und Mathematikerinnen klar gesagt – ist vielleicht der schwierigste bei der Aufstellung einer physikalischen Theorie. Jeder der vorliegenden Bände enthält wesentlich mehr Material als man in einer z.B. vierstündigen Vorlesung in einem Semester vor- tragen kann. Das bietet den Dozenten die Möglichkeit zur Auswahl dessen, was sie oder er in ihrer/seiner Vorlesung ausarbeiten möchte und, bei Wiederholungen, den Aufbau der Vorlesung zu variieren. Für die Studierenden, die ja ohnehin lernen müssen, mit Büchern und Origi- nalliteratur zu arbeiten, bietet sich die Möglichkeit, Themen oder ganze Bereiche je nach Neigung und Interesse zu vertiefen. Ich habe den Auf- bau fast ohne Ausnahme ,,selbsttragend“ konzipiert, so dass man alle EntwicklungenbisinsDetailnachvollziehenundnachrechnenkann.Die Bücher sind daher auch für das Selbststudium geeignet und ,,verführen“ Sie, wie ich hoffe, auch als gestandene Wissenschaftler und Wissen- schaftlerinnen dazu, dies und jenes noch einmal nachzulesen oder neu zu lernen. Bücher gehen heute nicht mehr, wie noch vor wenige Jahrzehnten, durch die klassischen Stadien: handschriftliche Version, erste Abschrift, Korrektur derselben, Erfassung im Verlag, erneute Korrektur etc., die zwar mehrere Iterationen des Korrekturlesens zuließen, aber stets auch die Gefahr bargen, neue Druckfehler einzuschmuggeln. Der Verlag hat ab Band 2 die von mir in LaTeX geschriebenen Dateien (Text und For- meln) direkt übernommen und bearbeitet. Auch bei den neuen Auflagen von Band 1, der vom Fotosatz in LaTeX konvertiert wurde, habe ich direkt an den Dateien gearbeitet. So hoffe ich, dass wir dem Druck- fehlerteufel wenig Gelegenheit zu Schabernak geboten haben. Über die verbliebenen, nachträglich entdeckten Druckfehler berichte ich, soweit siemirbekanntwerden,aufeinerWebseite,dieüberdenHinweisBuch- Vorwort zur Theoretischen Physik VII veröffentlichungen/book publications auf meiner homepage zugänglich ist. Die letztere erreicht man über http://wwwthep.physik.uni-mainz.de Den Anfang hatte die zuerst 1988 erschienene, seither kontinuier- lichweiterentwickelteMechanik gemacht.Ichfreuemichzusehen,dass auch die anderen Bände inzwischen gut etabliert sind und ähnliche Re- sonanz finden wie dieser erste Band. Dass die ganze Reihe überhaupt zustande kam, daran hatte auch Herr Dr. Hans J. Kölsch (Springer- Verlag) durch Rat und Ermutigung seinen Anteil, wofür ich ihm an dieser Stelle herzlich danke. Mainz, Januar 2007 Florian Scheck IX Vorwort zu Band 1 Die Mechanik ist nicht nur das älteste Teilgebiet der Physik, sie stellt bis heute die Grundlage für die ganze theoretische Physik dar. So ist z.B. die Quantenmechanik ohne die klassische Mechanik kaum ver- ständlich, vielleicht sogar nicht einmal formulierbar. Aber auch jede klassische Feldtheorie, wie etwa die Elektrodynamik, baut auf dem von der Mechanik vorgegebenen Fundament auf. Dabei geht es nicht nur um die physikalischen Grundbegriffe, die man hier kennen und anwen- den lernt, sondern auch um den formalen Rahmen der Mechanik, ihre mathematisch-geometrische Struktur als Prototyp einer physikalischen Theorie. Diese Leitfunktion zieht sich bis hinein in Fragen der moder- nen Forschung, wo man immer wieder – wenn auch oft in ganz anderen Zusammenhängen – auf die Mechanik zurückkommt. Es ist daher nicht verwunderlich, wenn ihre Darstellung stets auch EntwicklungendermodernenPhysikwiderspiegelt.Wirsetzenheutedie Akzente in diesem klassischen Gebiet wesentlich anders als zu Zeiten von Arnold Sommerfeld oder in den fünfziger Jahren des vergangenen Jahrhunderts. Zum Beispiel spielen Symmetrien und Invarianzprinzi- pien eine wichtige Rolle, ebenso die Struktur des Raum-Zeitkontinuums und die geometrische Natur der Mechanik, während die Anwendungen der Theorie der Differentialgleichungen etwas mehr in den Hintergrund gerückt sind. Anhand der Mechanik lernt man das Aufstellen von all- gemeinen Prinzipien, aus denen physikalische Bewegungsgleichungen folgen und die sich über die Mechanik hinaus verallgemeinern lassen; man gewinnt die Erkenntnis, welche Bedeutung Symmetrien für die Be- handlung physikalischer Systeme haben und, nicht zuletzt, die Übung, wie man ein präzises Begriffssystem aufstellt, mit dem sich ein phy- sikalisches Teilgebiet verstehen und klar formulieren lässt. Das sind grundsätzliche Bezüge, die man anhand der noch weitgehend anschau- lichen klassischen Mechanik lernt, dann aber soweit abstrahieren soll, dass sie in anderen Bereichen der Physik erkennbar und anwendbar werden. Über ihrer Bedeutung als Fundament der ganzen theoretischen Phy- sik und als erstes, noch weitgehend anschauliches Übungsfeld für phy- sikalische Begriffsbildungen wollen wir aber nicht vergessen, dass die Mechanik für sich genommen ein wunderschönes Gebiet ist. Sie ist für Anfänger und Anfängerinnen im Allgemeinen zunächst schwer zu ler- nen, weil sie vielschichtig und in ihrem Aufbau heterogener ist als etwa die Elektrodynamik. Man wird dieses reizvolle, aber etwas spröde Ge- biet in der Regel nicht im ersten Anlauf meistern, sondern wird im Laufe der Zeit immer wieder auf Teilaspekte der Mechanik zurückkom- X Vorwort zu Band 1 men und dabei – vielleicht mit Überraschung – feststellen, dass man sie dabei noch einmal und ein Stück tiefer versteht. Es ist auch ein Irrtum zu glauben, die Mechanik sei ein abgeschlos- senes und längst archiviertes Gebiet. Spätestens im 6. Kapitel wird man lernen, dass sie auch heute noch ein interessantes Forschungsgebiet ist unddassdie moderne, qualitative MechaniknochvieleinteressanteFor- schungsthemen bereithält. Ziele und Aufbau Einige allgemeine Leitlinien für den Aufbau dieses Buches waren die Folgenden: I) Dieser Kurs über Mechanik ist so konzipiert, dass er als Einstieg in die theoretische Physik im modernen Sinne dienen kann. Anhand von Systemen der makroskopischen, ,,vorstellbaren“ Mechanik werden Konzepte und Methoden eingeführt, die in allen Bereichen der Physik vorkommen. Dabei werden diejenigen betont und besonders motiviert, deren Tragfähigkeit über die klassische Mechanik hinausreicht. So hat die Theorie des Kreisels, um nur ein Beispiel zu nennen, unter anderem auch deshalb besondere Bedeutung, weil man in ihr ein erstes anschau- liches Beispiel für eine Lie-Gruppe in der Physik, der Drehgruppe im dreidimensionalen Raum, kennenlernt. II) So wichtig die (wenigen) integrablen Fälle für das Verständ- nis sind, es bleibt unbefriedigend, wenn man sich auf diese und auf lokale Existenzaussagen für Lösungen von nichtintegrablen Systemen beschränkt.ImfortlaufendenTextundindenPraktischenÜbungenhabe ich daher eine Reihe einfacher, aber nichttrivialer Beispiele ausgear- beitet oder beschrieben, die jeder Leser, jede Leserin auf einem PC nachvollziehen, erweitern und variieren kann. Diese Beispiele dienen der Vertiefung, sind aber einfach genug, dass man kaum Gefahr läuft, über der Beschäftigung mit dem Rechner die Physik zu vergessen, die man vertiefen wollte. III)SchondieMechanikträgtdeutlichegeometrischeZüge.Im5.Ka- pitel wird der geometrische Charakter dieses Gebietes klar herausgear- beitet.GleichzeitigwirddamiteineEinführungindiestrenge,differenti- algeometrische Formulierung gegeben, die man unbedingt kennen muss, wenn man die moderne mathematische Literatur zur Mechanik lesen möchte. Ich hoffe hier ein wenig dazu beizutragen, dass die Kluft zwi- schen den ,,physikalischen“ Büchern über Mechanik und der modernen, mathematischen Literatur etwas kleiner und leichter überwindbar wird. IV) Auch wenn man die Mechanik nicht in ihrem vollen Um- fang lernen möchte, sollte man doch eine Vorstellung über globale und qualitative Fragestellungen der Mechanik haben, die Gegenstand der modernen Forschung auf diesem Gebiet sind. Das 6. Kapitel gibt da- her einen Überblick über die notwendigen Begriffsbildungen und die wichtigsten Fragen der qualitativen Dynamik, die in so faszinierende Phänomene wie das deterministische Chaos überleiten. Vorwort zu Band 1 XI Der Schwierigkeitsgrad der einzelnen Kapitel ist unterschiedlich. Das 4. Kapitel ist aus physikalischer Sicht vermutlich das schwierigste, das Fünfte ist sicher das mathematisch anspruchsvollste Kapitel. Dabei ist mir natürlich klar, dass diese Bewertung subjektiv ist und dass ver- schiedene Leser und Leserinnen je nach persönlichen Neigungen und Vorkenntnissen an ganz unterschiedlichen Stellen ihren ersten Schwie- rigkeiten begegnen werden. Auf das 4. Kapitel wird man in der Elek- trodynamik zurückkommen und die physikalische Bedeutung der Spezi- ellenRelativitätstheorieauseinemanderenBlickwinkelerkennen.Wenn man möchte, kann man das 5. Kapitel (Geometrische Aspekte) beim ersten Durchgang auslassen und erst auf der Basis einer gründlichen Kenntnis des 2. und des 6. Kapitels studieren. Ich habe mich bemüht, den Text weitgehend ,,selbsttragend“ zu konzipieren, d.h. unter ande- rem, dass man fast alle Herleitungen nachrechnen und nachvollziehen kann. Das mag an manchen Stellen nicht einfach sein und einige Zeit des Grübelns erfordern. Man sollte aber nicht zu rasch aufgeben, denn was man nicht selbst einmal ,,durchspielt“, versteht man nicht wirklich. Zum Umfang dieses Buches Das Buch enthält wesentlich mehr Stoff als man in einer vierstündigen Vorlesung in einem Semester bewältigen kann. In diesem Fall wird man also eine Auswahl treffen müssen und den übrigen Text als ergänzende Lektüre verwenden. Das erste Kapitel, das noch keinen Gebrauch von Variationsprinzipien und Begriffen der kanonischen Mechanik macht, habe ich so angelegt, dass man es als Begleittext zu einer Vorlesung über Experimentalphysik (bzw. einem integrierten Kursus) oder zu ei- ner Einführung in die theoretische Physik verwenden kann. In diesem Fall kann die eigentliche Mechanikvorlesung im Wesentlichen mit dem zweiten Kapitel beginnen und dann auch bis in das 6. oder 7. Kapitel vordringen. Neben den Praktischen Übungen enthält das Buch zahlreiche Auf- gaben und deren Lösungen. Ein kurzer historischer Exkurs gibt die Lebensdaten einiger Forscherpersönlichkeiten, die zur Entwicklung der Mechanik beigetragen haben. Mathematische Hilfsmittel Als Physiker oder Physikerin muss man eine gewisse Flexibilität im Gebrauch der Mathematik lernen: Einerseits kann man unmöglich alle deduktiven Schritte bis in alle Einzelheiten und in aller Strenge durch- führen, da man auf diese Weise erst sehr spät zu den physikalisch wesentlichen Aussagen kommt. Andererseits muss man wenigstens ei- nige der Grundlagen in ihrer mathematischen Gestalt kennen und im Übrigenwenigstens,,wissen,wieesgeht“, d.h.mansollteimmerinder Lage sein, Einzelheiten der Argumentation mit den Hilfsmitteln zu er- gänzen, die man in den Kursen über Mathematik gelernt hat. Für die Mechanik ist charakteristisch, dass sie Begriffe, Methoden und Sätze