ebook img

The Theory of Matrices PDF

120 Pages·1933·4.151 MB·English
Save to my drive
Quick download
Download
Most books are stored in the elastic cloud where traffic is expensive. For this reason, we have a limit on daily download.

Preview The Theory of Matrices

DDiiee ""EErrggeebbnniissssee ddeerr MMaatthheemmaattiikk"" eerrsscchheeiinneenn iinn eeiinnzzeellnneenn HHeefftteenn vvoonn 55 bbiiss 77 BBooggeenn UUmmffaanngg.. JJee 55 HHeeffttee bbiillddeenn iinn ddeerr RReeiihheennffoollggee iihhrreess EErrsscchheeiinneennss eeiinneenn BBaanndd.. DDiiee aauuff ddeerr IInnnneennsseeiittee ddeerr SSeeiitteennuubbeerrsscchhrriifftteenn aannggeebbrraacchhtteenn kkuurrssiivveenn ZZaahhlleenn [[55JJ ssiinndd ddiiee SSeeiitteennzzaahhlleenn ddeess BBaann ddeess.. JJeeddeess HHeefftt ddeerr ""EErrggeebbnniissssee"" iisstt eeiinnzzeellnn kkiiiiuufflliicchh.. BBeeii VVeerrppfflliicchhttuunngg zzuumm BBeezzuugg eeiinneess vvoollllssttiiiinnddiiggeenn BBaannddeess ttrriitttt eeiinnee 1100 %% iiggee PPrreeiisseerrmmiiiiBBiigguunngg eeiinn.. DDiiee BBeezziieehheerr ddeess ""ZZeennttrraallbbllaatttt ffuurr MMaatthheemmaattiikk"" eerrhhaalltteenn,, ssooffeerrnn ssiiee ssiicchh zzuumm BBeezzuugg eeiinneess ggaannzzeenn BBaannddeess vveerrppfflliicchhtteenn,, aauuff ddeenn eerrmmiiiiJJ33iiggtteenn BBaannddpprreeiiss eeiinneenn wweeiitteerreenn NN aacchhllaaBB vvoonn 2200 %%.. VVeerrllaaggssbbuucchhhhaannddlluunngg JJuulliiuuss SSpprriinnggeerr.. EERRGGEEBBNNIISSSSEE DDEERR MMAATTHHEEMMAATTIIKK UUNNDD IIHHRREERR GGRREENNZZGGEEBBIIEETTEE HHEERRAAUUSSGGEEGGEEBBEENN VVOONN DDEERR SSCCHHRRIIFFTTLLEEIITTUUNNGG DDEESS ""ZZEENNTTRRAALLBBLLAATT TT FFOORR MMAATTHHEEMMAATTIIKK"" ZZWWEEIITTEERR BBAANNDD --------------------------------55-------------------------------- TTHHEE TTHHEEOORRYY OOFF MMAATTRRIICCEESS BByy CC.. CC.. MMAACC DDUUFFFFEEEE BBEERRLLIINN VVEERRLLAAGG VVOONN JJUULLIIUUSS SSPPRRIINNGGEERR 11993333 IISSBBNN --1133 ::997788--33--664422--9988442211--11 ee--IISSBBNN--1133::997788--33--664422--9999223344--66 DDOOll:: 1100..11000077//997788--33--664422--9999223344--66 AALLLLEE RREECCHHTTEE,, IINNSSBBEESSOONNDDEERREE DDAASS DDEERR uuBBEERRSSEETTZZUUNNGG IINN FFRREEMMDDEE SSPPRRAACCHHEENN,, VVOORRBBEEHHAALLTTEENN.. EERRGGEEBBNNIISSSSEE DDEERR MMAATTHHEEMMAATTIIKK UUNNOO IIHHRREERR GGRREENNZZGGEEBBIIEETTEE HHEERRAAUUSSGGEEGGEEBBEENN VVOONN DDEERR SSCCHHRRIIFFTTLLEEIITTUUNNGG DDEESS ""ZZEENNTTRRAALLBBLLAATTTT FFOORR MMAATTHHEEMMAATTIIKK"" ZZWWEEIITTEERR BBAANNDD MMIITT 44 FFIIGGUURREENN BBEERRLLIINN VVEERRLLAAGG VVOONN JJUULLIIUUSS SSPPRRIINNGGEERR 11993333 AALLLLEE RREECCHHTTEE,, IINNSSBBEESSOONNDDEERREE DDAASS DDkkRR OOBBEERRSSEETTZZUUNNGG IINN FFRREEMMDDEE SSPPRRAACCHHEENN,, VVOORRBBEEHHAALLTTEENN.. IInnhhaallttssvveerrzzeeiicchhnniiss.. HHeefftt II SSeeiittee PPrroojjeekkttiivvee RReellaattiivviittaattsstthheeoorriiee.. VVoonn PPrrooffeessssoorr DDrr.. OO.. VVEEBBLLEENN,, PPrriinncceettoonn ((UU..SS..AA..)).. ((MMiitt 33 FFiigguurreenn)) 11 HHeefftt 22 OOnn tthhee pprroobblleemm ooff PPllaatteeaauu.. VVoonn PPrrooffeessssoorr DDrr.. TTIIBBOORR RRAAnnGG,, CCoolluummbbuuss ((OOhhiioo)).. ((WWiitthh II FFiigguurree)) 8877 HHeefftt 33 GGrruunnccllbbeeggrriiffffee cclleerr WWaahhrrsscchheeiinnlliicchhkkeeiittssrreecchhnnuunngg.. VVoonn PPrrooffeessssoorr DDrr.. AA.. KKOOLLMMOOGGOORROOFFFF,, MMoosskkaallll .. .. .... 119955 HHeefftt 44 AAssyymmppttoottiisscchhee GGeesseettzzee cclleerr WWaahhrrsscchheeiinnlliicchhkkeeiittssrreecchhnnuunngg.. VVoonn PPrrooffeessssoorr DDrr.. AA.. KKHHIINNTTCCHHllNNEE,, MMoosskkaauu ............ .. .. ...... 226633 HHeefftt 55 TThhee tthheeoorryy ooff mmaattrriicceess.. VVoonn PPrrooffeessssoorr DDrr.. CC.. CC.. MMAACCDDuuFFFFEEEE,, CCoolluummbbuuss ((OOhhiioo)) ''"" ...... 334477 PPrreeffaaccee.. MMaattrriicc aallggeebbrraa iiss aa mmaatthheemmaattiiccaall aabbssttrraaccttiioonn uunnddeerrllyyiinngg mmaannyy sseeeemmiinnggllyy ddiivveerrssee tthheeoorriieess.. TThhuuss bbiilliinneeaarr aanndd qquuaaddrraattiicc ffoorrmmss,, lliinneeaarr aassssoocciiaattiivvee aallggeebbrraa ((hhyyppeerrccoommpplleexx ssyysstteemmss)),, lliinneeaarr hhoommooggeenneeoouuss ttrraannss ffoorrmmaattiioonnss aanndd lliinneeaarr vveeccttoorr ffuunnccttiioonnss aarree vvaarriioouuss mmaanniiffeessttaattiioonnss ooff mmaattrriicc aallggeebbrraa.. OOtthheerr bbrraanncchheess ooff mmaatthheemmaattiiccss aass nnuummbbeerr tthheeoorryy,, ddiiffffeerreennttiiaall aanndd iinntteeggrraall eeqquuaattiioonnss,, ccoonnttiinnuueedd ffrraaccttiioonnss,, pprroojjeeccttiivvee ggeeoommeettrryy eettcc.. mmaakkee uussee ooff cceerrttaaiinn ppoorrttiioonnss ooff tthhiiss ssuubbjjeecctt.. IInnddeeeedd,, mmaannyy ooff tthhee ffuunnddaammeennttaall pprrooppeerrttiieess ooff mmaattrriicceess wweerree ffiirrsstt ddiissccoovveerreedd iinn tthhee nnoottaattiioonn ooff aa ppaarrttiiccuullaarr aapppplliiccaattiioonn,, aanndd nnoott uunnttiill mmuucchh llaatteerr rree ccooggnniizzeedd iinn tthheeiirr ggeenneerraalliittyy.. IItt wwaass nnoott ppoossssiibbllee wwiitthhiinn tthhee ssccooppee ooff tthhiiss bbooookk ttoo ggiivvee aa ccoommpplleetteellyy ddeettaaiilleedd aaccccoouunntt ooff mmaattrriicc tthheeoorryy,, nnoorr iiss iitt iinntteennddeedd ttoo mmaakkee iitt aann aauutthhoorriittaattiivvee hhiissttoorryy ooff tthhee ssuubbjjeecctt.. IItt hhaass bbeeeenn tthhee ddeessiirree ooff tthhee wwrriitteerr ttoo ppooiinntt oouutt tthhee vvaarriioouuss ddiirreeccttiioonnss iinn wwhhiicchh tthhee tthheeoorryy lleeaaddss ssoo tthhaatt tthhee rreeaaddeerr mmaayy iinn aa ggeenneerraall wwaayy sseeee iittss eexxtteenntt.. WWhhiillee ssoommee aatttteemmpptt hhaass bbeeeenn mmaaddee ttoo uunniiffyy cceerrttaaiinn ppaarrttss ooff tthhee tthheeoorryy,, iinn ggeenneerraall tthhee mmaatteerriiaall hhaass bbeeeenn ttaakkeenn aass iitt wwaass ffoouunndd iinn tthhee lliitteerraattuurree,, tthhee ttooppiiccss ddiissccuusssseedd iinn ddeettaaiill bbeeiinngg tthhoossee iinn wwhhiicchh eexxtteennssiivvee rreesseeaarrcchh hhaass ttaakkeenn ppllaaccee.. FFoorr mmoosstt ooff tthhee iimmppoorrttaanntt tthheeoorreemmss aa bbrriieeff aanndd eelleeggaanntt pprrooooff hhaass ssoooonneerr oorr llaatteerr bbeeeenn ffoouunndd.. IItt iiss hhooppeedd tthhaatt mmoosstt ooff tthheessee hhaavvee bbeeeenn iinnccoorrppoorraatteedd iinn tthhee tteexxtt,, aanndd tthhaatt tthhee rreeaaddeerr wwiillll ddeerriivvee aass mmuucchh pplleeaa ssuurree ffrroomm rreeaaddiinngg tthheemm aass ddiidd tthhee wwrriitteerr.. AAcckknnoowwlleeddggmmeenntt iiss dduuee DDrr.. LLAAUURREENNSS EEAARRLLEE BBUUSSHH ffoorr aa ccrriittiiccaall rreeaaddiinngg ooff tthhee mmaannuussccrriipptt.. CCYYRRUUSS CCOOLLTTOONN MMAACCDDuuFFFFEEEE.. CCoonntteennttss.. ppaaggee II.. MMaattrriicceess,, AArrrraayyss aanndd DDeetteerrmmiinnaannttss .. 11.. LLiinneeaarr aallggeebbrraa .............. .. 22.. RReepprreesseennttaattiioonn bbyy oorrddeerreedd sseettss 11 33.. TToottaall mmaattrriicc aallggeebbrraa .. .. .. .. .. 22 44.. DDiiaaggoonnaall aanndd ssccaallaarr mmaattrriicceess 55 55.. TTrraannssppoossee.. SSyymmmmeettrriicc aanndd sskkeeww mmaattrriicceess.. 55 66.. DDeetteerrmmiinnaannttss .... ''.. ........ 66 77.. PPrrooppeerrttiieess ooff ddeetteerrmmiinnaannttss 88 88.. RRaannkk aanndd nnuulllliittyy.. .. .. .. 1100 99.. IIddeennttiittiieess aammoonngg mmiinnoorrss 1122 1100.. RReedduucciibbiilliittyy .. .. .. .. .. .. 1144 1111.. AArrrraayyss aanndd ddeetteerrmmiinnaannttss 66ff hhiigghheerr ddiimmeennssiioonn .. 1155 1122.. MMaattrriicceess iinn nnoonn--ccoommmmuuttaattiivvee ssyysstteemmss.. 1166 IIII.. TThhee cchhaarraacctteerriissttiicc eeqquuaattiioonn.. .. .. 1177 1133.. TThhee mmiinniimmuumm eeqquuaattiioonn .... 1177 1144.. TThhee cchhaarraacctteerriissttiicc eeqquuaattiioonn 1177 1155.. DDeetteerrmmiinnaattiioonn ooff tthhee mmiinniimmuumm eeqquuaattiioonn 2200 1166.. CChhaarraacctteerriissttiicc rroooottss .. .. .. .. .. .. .. 2222 1177.. CCoonnjjuuggaattee sseettss ...................... .. 2244 1188.. LLiimmiittss ffoorr tthhee cchhaarraacctteerriissttiicc rroooottss .. .. .. 2255 1199.. CChhaarraacctteerriissttiicc rroooottss ooff uunniittaarryy mmaattrriicceess.. 2288 IIIIII.. AAssssoocciiaatteedd IInntteeggrraall MMaattrriicceess .. .. .. .. .. .. .. .. 2299 2200.. MMaattrriicceess wwiitthh eelleemmeennttss iinn aa pprriinncciippaall iiddeeaall rriinngg.. 2299 2211.. CCoonnssttrruuccttiioonn ooff uunniimmoodduullaarr mmaattrriicceess 3311 2222.. AAssssoocciiaatteedd mmaattrriicceess.. .. .. 3311 2233.. GGrreeaatteesstt ccoommmmoonn ddiivviissoorrss 3355 2244.. LLiinneeaarr ffoorrmm mmoodduullss 3377 2255.. IIddeeaallss.. 3388 IIVV.. EEqquuiivvaalleennccee 4400 2266.. EEqquuiivvaalleenntt mmaattrriicceess 4400 2277.. IInnvvaarriiaanntt ffaaccttoorrss aanndd eelleemmeennttaarryy ddiivviissoorrss.. 4433 2288.. FFaaccttoorriizzaattiioonn ooff aa mmaattrriixx .. .. 4444 2299.. PPoollyynnoommiiaall ddoommaaiinnss.. .. .. .. .. 4455 3300.. EEqquuiivvaalleenntt ppaaiirrss ooff mmaattrriicceess.. 4488 3311.. AAuuttoommoorrpphhiicc ttrraannssffoorrmmaattiioonnss 5500 VV.. CCoonnggrruueennccee.. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 5511 3322.. MMaattrriicceess wwiitthh eelleemmeennttss iinn aa pprriinncciippaall iiddeeaall rriinngg.. 5511 3333.. MMaattrriicceess wwiitthh rraattiioonnaall iinntteeggrraall eelleemmeennttss 5544 3344.. MMaattrriicceess wwiitthh eelleemmeennttss iinn aa ffiieelldd 5566 3355.. MMaattrriicceess iinn aann aallggeebbrraaiiccaallllyy cclloosseedd ffiieelldd.. 6600 3366.. HHeerrmmiittiiaann mmaattrriicceess 6622 3377.. AAuuttoommoorrpphhss .................. .. 6655 ,,JJ..nn}} CCoonntteennttss.. vv ppaaggee VVII.. SSiimmiillaarriittyy 6688 3388.. SSiimmiillaarr mmaattrriicceess 6688 3399.. MMaattrriicceess wwiitthh eelleemmeennttss 1111ll aa ffiieelldd 6699 4400.. \\VVEEYYRR''SS cchhaarraacctteerriissttiicc.. .. 7733 4411.. ll''nniittaarryy aanndd oorrtthhooggoonnaall eeqquuiivvaalleennccee 7755 4422.. TThhee ssttrruuccttuurree ooff uunniittaarryy aanndd oorrtthhooggoonnaall mmaattrriicceess 7788 VVIIII.. CCoommppoossiittiioonn ooff mmaattrriicceess 8811 4433.. DDiirreecctt ssuumm aanndd ddiirreecctt pprroodduucctt 8811 4444.. PPrroodduucctt--mmaattrriicceess aanndd ppoowweerr--mmaattrriicceess 8855 4455.. AAddjjuuggaatteess .. 8866 VVIIIIII.. MMaattrriicc eeqquuaattiioonnss 8899 4466.. TThhee ggeenneerraall lliinneeaarr eeqquuaattiioonn 8899 4477.. SSccaallaarr eeqquuaattiioonnss .. .. .. 9944 4488.. TThhee uunniillaatteerraall eeqquuaattiioonn 9955 IIXX.. FFuunnccttiioonnss ooff MMaattrriicceess.. .. .. 9977 4499.. PPoowweerr sseerriieess iinn mmaattrriicceess.. 9977 5500.. FFuunnccttiioonnss ooff mmaattrriicceess.. .. 9999 5511.. JJ''iillaattrriicceess wwhhoossee cclleemmeennttss aarree ffuunnccttiioonnss ooff ccoommpplleexx vvaarriiaabblleess 110011 5522.. DDeerriivvaattiivveess aanndd iinntteeggrraallss ooff mmaattrriicceess.. 110022 XX.. MMaattrriicceess ooff iinnffiinniittee oorrddeerr.. 110044 5533.. IInnffiinniittee ddeetteerrmmiinnaannttss 110044 5544.. IInnffiinniittee mmaattrriicceess .. .. 110066 5555.. AA mmaattrriicc aallggeebbrraa ooff iinnffiinniittee oorrddeerr 110066 5566.. BBoouunnddeedd mmaattrriicceess.. .. .. .. .. 110088 5577.. ;;vvllaattrriicceess wwiitthh aa nnoonn--ddeennuummeerraabbllee nnuummbbeerr ooff rroowwss aanndd ccoolluummss 111100 II.. MMaattrriicceess,, AArrrraayyss aanndd DDeetteerrmmiinnaannttss.. 11.. LLiinneeaarr aallggeebbrraa.. AA lliinneeaarr aallggeebbrraa 22{{ ooff oorrddeerr nn oovveerr aa ffiieelldd ~~ iiss ccoommppoosseedd ooff ttwwoo oorr mmoorree nnuummbbeerrss 00..;;,, {{JJ,, yy,, .. .... aanndd tthhrreeee ooppeerraattiioonnss,, aaddddiittiioonn ((++)),, mmuullttiipplliiccaattiioonn ((..)) aanndd ssccaallaarr mmuullttiipplliiccaattiioonn ssuucchh tthhaatt ++ 00..;; {{JJ,, 00..;;.. {{JJ,, 00..;; aa ,, aaoo..;; aarree uunniiqquueellyy ddeeffiinneedd nnuummbbeerrss ooff 22{{,, wwhheerree aa iiss iinn bb--.. IItt iiss ffuurrtthheerr aassssuummeedd tthhaatt aaddddiittiioonn iiss ccoommmmuuttaattiivvee aanndd aassssoo cciiaattiivvee,, aanndd tthhaatt mmuullttiipplliiccaattiioonn iiss ddiissttrriibbuuttiivvee wwiitthh rreessppeecctt ttoo aaddddii ttiioonn.. IIff aa aanndd bb aarree iinn bb-- iitt iiss aassssuummeedd tthhaatt aaoo..;; == aa ,, aa((bboo..;;)) == ((aabb)) ((aaoo..;;)) ((bb{{JJ)) == ((aabb)) ((00..;;{{JJ)) .. 00..;; 00..;;,, ++ ++ ++ ++ ((aa bb)) 00..;; == aaiiXX bboo..;; ,, aa((iiXX {{JJ)) == aaoo..;; aa{{JJ.. FFiinnaallllyy iitt iiss aassssuummeedd tthhaatt 22{{ ccoonnttaaiinnss aa ffiinniittee nnuummbbeerr ooff nnuummbbeerrss 8811,,8822,, ...... ,, 88nn ssuucchh tthhaatt eevveerryy nnuummbbeerr ooff 22{{ iiss ooff tthhee ffoorrmm ++ ++ ...... ++ aa1188ll aa228822 aann 88nn ,, wwhheerree tthhee aa''ss aarree iinn bb--ll .. 22.. RReepprreesseennttaattiioonn bbyy oorrddeerreedd sseettss.. IIff ++ ++ ...... ++ iiXX == aa1188ll aa228822 aann 88nn iiss aa nnuummbbeerr ooff 22{{,, aanndd iiff tthhee oorrddeerreedd sseett [[aaII'' aa22,, •••••• ,, aann]] ooff nnuummbbeerrss ooff bb-- bbee mmaaddee ttoo ccoorrrreessppoonndd ttoo aaddddiittiioonn,, mmuullttiipplliiccaattiioonn 00..;;,, aanndd ssccaallaarr mmuullttiipplliiccaattiioonn ffoorr ssuucchh sseettss ccaann bbee ssoo ddeeffiinneedd tthhaatt tthheeyy ggiivvee aa rreepprreesseennttaattiioonn ooff 22{{.. TThhuuss iiff 00..;; <<XXll [[aaII'' aa22,, •••••• ,, aann]],, {{JJ <<XXll [[bbll,, bb22,, •••••• ,, bb,,,,]].. tthheenn bbyy ddeeffiinniittiioonn ++ ++ ++ ++ 00..;; {{JJ <<XXll [[aall bbll,, aa22 bb22,, •••••• ,, aann bbnn]],, aaoo..;; <<XXll [[aaaall,, aaaa22,, •••• "" aaaa,,,,]].. IIff tthheenn iiXX'' {{JJ == ~~ aaii88ii'' ~~ bbjj88jj == ~~ ((aaiibbjj)) •• ((ee..jj88jj)) == ~~ aaii bbjj CCiijjII'' 1133kk ssoo tthhaatt ccxx....{{JJ<<XXll[[~~aaiibbjjCCiijjll'' ~~aaiibbjjCCiijj~~'' ...... ,, ~~aaiibbjjCCiijjnn]]'' FFoorr eevveerryy cchhooiiccee ooff tthhee nn33 nnuummbbeerrss CCiijjkk ooff bb-- aann aallggeebbrraa oovveerr bb-- iiss oobb ttaaiinneedd22•• 11 DDIICCKKSSOONN,, LL.. EE..:: AAllggeebbrreenn uunndd iihhrree ZZaahhlleenntthheeoorriiee,, pp..2233.. ZZiiiirriicchh 11992277.. 22 HHAAMMIILLTTOONN,, WW.. RR..:: EElleemmeennttss ooff QQuuaatteerrnniioonnss..

See more

The list of books you might like

Most books are stored in the elastic cloud where traffic is expensive. For this reason, we have a limit on daily download.