,NROKSEIRB E. Math. Annalen 166, 76--102 (1966) Ober die Aufl6sung gewisser Singularit/iten von holomorphen Abbildungen Herrn Professor RELLEK HCIRNIEHoTTO zum 60. Geburtstag gewidmet EGBERT BRIESKORN * gnutielniE Eine Aufl6sung yon Singularit~iten holomorpher Abbildungen ist bisher nur in wenigen Spezialf~illen ausgeffihrt worden. Ein Beispie! hierffir ist der in [10] beschriebene Aufl6sungsprozel3, ein anderes die Aufl6sung gew6hn- licher Doppelpunkte in Familien komplexer Fl~ichen in einer Arbeit yon M. F. ATIVAn. Die vorliegende Ver6ffentlichung ist ein weiterer Beitrag zu diesem Fragenkreis. Sie behandelt das folgende Problem, das sich in natfir- licher Weise aus der Arbeit von ATIYAH ergibt. f:X-~Y sei eine holomorphe Abbildung eines 3-dimensionalen nor- malen komplexen Raumes X auf eine 1-dimensionale Mannigfaltigkeit .Y Die im folgenden definierte Singularit~itenmenge yon f bestehe nur aus endlich vielen Punkten yon X. Fiir eine solche Abbildung wird eine Definition des Begriffs ,,Aufl6sung der Singularit~iten von f" gegeben, die man in An- betracht der Ergebnisse yon ATIYAH als naheliegend ansehen kann. Das Problem besteht dann darin, Bedingungen for die Existenz solcher Aufl6- sungen anzugeben. f :X-~ Y sei eine holomorphe Abbildung des komplexen Raumes X mit der Strukturgarbe 9( x auf den komplexen Raum Y mit der Strukturgarbe .ygC teY (Zum folgenden vgl. §2 in [15].) Ffir sei s m die Idealgarbe der in t ver- otm f {gof]g~mt} schwindenden Funktionskeime und die von erzeugte koh~irente Idealgarbe in 0 x. Die Faser von f fiber t ist der nicht notwendig otm/xgC f~ reduzierte komplexe Raum X t= f-1(0 mit der Strukturgarbe )~t:X f heiBt regul~ir in x ¢ X, wenn in x nichtsingul~ir ist und wenn f platt ,,,x@(~x",r~roT )),(:m/oo:,r@ in x ist, d.h. wenn verschwindet. Dies bedeutet, dab f in der Umgebung yon x wie eine Projektion in einem cartesischen egnemnetdtiralugniS Produkt mit singularit~itenfreien Fasern aussieht. Die S(f) von fist die Menge der Punkte von X, in denen f nicht regul~ir ist. * niE ist Arbeit dieser Teit groBer dnerht~w eines setlahtnefuA am nehcsitamehtaM Institut der t~tisrevinU Mitteln aus der entstanden, Leiden sed prijs Shell Koninklijke vor ednuksiw 3691 fmanziert .edruw treten Arbeit nur in dieser R~ume Nicht 1 reduzierte sla Abbil- yon holomorphen Fasern auf. dungen In ist mit anderen F~llen einem allen nelanoisnemid-k komplexen Raum nie rein relanoisnemid-k komplexer Raum mi Sinne nov E.VRnS .tniemeg gnus6lfuA nov netatiratugniS 77 Ist S(f) leer, so heiBt f reguldr. Ist Y eine komplexe Mannigfaltigkeit, so besteht S(f) aus allen singularen Punkten yon X sowie aus denjenigen nichtsingul~iren Punkten, in denen der Rang der Funktionalmatrix von f kleiner als die Dimension von Y ist. Definition: f Y X--+ : sei eine holomorphe Abbildung des 3-dimensionalen normalen komplexen Raumes X auf die 1-dimensionale Mannigfaltigkeit .Y Die Singularit~itenmenge von f sei endlich. Eine Aufl6sung von fist ein Tripel von holomorphen Abbildungen (f', )p~ ,~q mit folgenden Eigenschaften : i) f':X'--, Y' ist eine regulare Abbildung einer 3-dimensionalen Mannig- faltigkeit X' auf eine 1-dimensionale Mannigfaltigkeit .'Y ii) Die Abbildungen ~q : Y'~ Y und p~ :X'~X sind eigentlich und surjektiv. iii) Das folgende Diagramm ist kommutativ X'2-~X :'I :i y'-~y iv) Ffir jedes e s Y' gilt fiir die Beschr~inkung % von p~ auf die Faser ,~'X dab ~(o~X~s'X:~p~ ) eine Aufl6sung der SingularitMen des 2-dimensionalen reduzierten komplexen Raumes Xo(s) ist 2 In 2 § werden Bedingungen fiir die Existenz einer Aufl6sung angegeben. Eine notwendige Bedingung ist Satz 2. f : X~ Y sei eine holomorphe Abbildung des 3-dimensionalen normalen komplexen Raumes X auf die 1-dimensionale Mannigfaltigkeit Y. S(f) sei endlich. Die Fasern yon f seien normal. Es existiere eine Aufl6sun9 yon f. Dann sind die Singularitiiten der Fasern rational 2 Aus Satz 2 ergibt sich als Spezialfall Satz 3. f : X--+ Y sei eine holomorphe Abbildun9 der 3-dimensionalen Mannigfaltigkeit X auf die l-dimensionale Mannigfaltigkeit Y. S(f) sei endtich. Es existiere eine Aufl6sung yon f. Dann sind die Singutaritiiten der Fasern yon f rationale Doppelpunkte .2 Ober die Definition und die Eigenschaften der rationalen Singularit/iten wird im Anschlug an eine Arbeit yon M. ARTIN in § 8.1 berichtet. Fiir die rationalen Doppelpunkte beweisen wir Satz 1. Ein isolierter singuliirer Punkt eines 2-dimensionalen komplexen Raumes ist genau dann ein rationater Doppelpunkt, wenn er ein absolut isotierter Doppelpunkt ist .2 Ffir die absolut isolierten Doppelpunkte hat D. KmBY eine vollst~indige Klassifikation angegeben: Es gibt den gew6hnlichen Doppelpunkt A ,1 die biplanaren Doppelpunkte ,kA > k ,2 die uniplanaren Doppelpunkte ,kD > k ,4 und die drei exzeptionellen uniplanaren Doppelpunkte E ,6 ,7E E .8 Das Hauptresultat der Arbeit ist die folgende hinreichende Bedingung ffir die Existenz einer Aufl6sung: Satz 4. f : X~ Y sei eine holomorphe Abbildung einer 3-dimensionalen Mannigfaltigkeit X auf eine 1-dimensionale Mannigfaltigkeit Y. S(f) sei ruZ noitinifeD .lgv § .1 78 E. :NROKSmRB endlich. Die Singularitdten der Fasern yon f seien yon s E verschiedene rationale Doppelpunkte. Dann existiert eine Aufl6sung yon f. Satz 4 ist eine teitweise Umkehrung yon Satz .3 Ob die genaue Umkehrung gilt, d.h. ob auch s E aufl6sbar ist, und ob darfiber hinaus auch Satz 2 um- kehrbar ist, ist ein offenes Problem. Ein Spezialfall yon Satz 4 wurde yon ATIVAH in [5] bewiesen, n~imlich der Fall, bei dem die Singularitiiten der Fasern nur gew6hnliche Doppel- punkteA 1 sind. Ffir beliebige rationale Doppelpunkte 4:E s erfolgt der Beweis durch eine explizite und elementare Konstruktion der Aufl6sung ffir jeden einzelnen Singularitiitentyp. Diese Konstruktion nimmt den gr6Bten Teil von §2.ein. 3 § enthiilt eine Anwendung yon Satz 4 auf K3-Fllichen sowie Ergiinzungen und Verallgemeinerungen. vide Fiir negnugernA danke hci .M ARTIN, .P Du ,LAV F. ,HCURBEZRIH D. YBRIK und .A NAV ED .NEV § 1. Rationale Doppelpunkte 1.1. Wir erinnern zun~ichst an einige bekannte Tatsachen, die mit der Aufl6sung yon Singularitiiten zusammenh~ingen. Definition: X sei ein komplexer Raum im Sinne yon .EGRES Eine Auf- 16sung der Singularitdten yon X ist eine holomorphe eigemliche Abbildung f:J(--,X eines singularit~itenfreien komplexen Raumes X auf X, so dab gilt: Fiir die Menge r X der regul~iren Punkte von X ist f-l(Xr) dicht in )( und f induziert eine biholomorphe Abbildung f-a(X,)--, X,. Eine Aufl6sung f:X-~X ist dann eine stetige eigentliche Modifikations- abbildung im Sinne yon TREMMER [ .] 11 X sei jetzt ein 2-dimensionaler okomplexer Raum. Satz: Die Singularitdten eines 2-dimensionalen komplexen Raumes lassen sich aufl6sen. Ffir normale komplexe R~iume wurde dies in [19] bewiesen 3 1.2. Es sei p e X ein normaler isolierter singul~irer Punkt und f :)(--* X eine Aufl6sung. Dann besteht f-i(p) (als Menge) aus endlich vielen ir- k reduziblen Kurven 1 C .... k , C auf der Mannigfaltigkeit .?A f-1(p)= U Ci i=1 ist zusammenh~ingend. Es lassen sich Schnittzahlen Cio Cj definieren, [21], § .5 Das System von Kurven ~C ..... k C ist exzeptionell im Sinne yon [14], d.h. im wesentlichen: Es kann zu einem normalen Punkt ,,zusammen- geblasen" werden. TREUARG hat in [14], 8e bewiesen: Satz: Ein System yon irreduziblen Kurven C1, ..., k C auf einer 2-dimen- sionalen komplexen Mannigfaltigkeit ist genau dann exzeptioneII, wenn die Schnittmatrix (Ci o C) negativ definit ist. DaB die negative Definitheit im Fall der Aufl6sung algebraischer Fl/ichen notwendig ist, wurde yon Du LAV bewiesen, [8] §4 (vgl. auch [30]). Dieser Satz kann zur Klassifikation solcher exzeptionellen Systeme yon Kurven ,~C ...,C k benutzt werden, ffir deren Selbstschnittzahl C~oC~=-2 ffir * BaD eid ni [19] netlednaheb nexelpmok emui~R gerade eid nelanoisnemid-2 nelamron nexelpmok Satz zeigt sind, Rliume 13 in .]21[ gnus6lfuA nov netiitiralugniS 97 i= 1 .... k , gilt. Denn zuniichst folgt fiir ein solches System aus der negativen Definitheit sofort: )1( Ftir i4:j gilt Cio Cj=0 oder Cio C j= ,1 d.h. zwei Kurven schneiden sich entweder gar nicht oder transversal in genau einem Punkt. )2( Es gehen keine drei Kurven durch einen Punkt. Die Schnittmatrix eines Kurvensystems mit den Eigenschaften )1( und )2( kann man auch be- schreiben durch einen zusammenhiingenden ,,bewerteten" Graphen (vgl. [21] §4), dessen Punkte den Kurven Ci entsprechen, und zwar so, dab die i C und ~C entsprechenden Punkte genau dann durch eine Strecke verbunden werden, wenn o~C Cj = 1 gilt. Der i C entsprechende Punkt wird mit o~C ~C bewertet. Es ist klar, wie umgekehrt einem bewerteten Graphen eine Matrix zuzuordnen ist. Wir interessieren uns fiir die zusammenhiingenden bewerteten Graphen, deren s~imtliche Punkte mit -2 bewertet sind und deren zuge- ordnete Matrizen negativ definit sind. Wie z.B. in [31] II §6 gezeigt wird, ergibt sich die Klassifikation dieser Graphen aus der Klassifikation der ent- sprechenden Dynkinschemata, die bei der Beschreibung der einfachen Lie- schen Algebren auftreten. Man hat also (vgl. auch [7], Teil I): Lemma: Die folgenden Bfiume sind die einzigen zusammenhtingenden Graphen, j~r die bei Bewertung aller Punkte mit -2 die zugeordnete Matrix negativ definit wird. k A k Punkte, > k 1 k D .~ . . . . k Punkte, k >-_ 4 6E 1 7::1 1 8E I Nun gibt es Singularitiiten, die sich aufl6sen lassen in Systeme von rationalen singularitiitenfreien Kurven mit Selbstschnitt -2 und mit den B~iumen A ,k D ,k E .k Dies sind die absolut isolierten Doppelpunkte, mit denen wir uns im folgenden besch~iftigen woUen. 1.3. Wir betrachten jetzt 2-dimensionale isolierte Singularit~iten mit minimaler Einbettungsdimension ,3 d.h. solche isolierte Singularitiiten eines 2-dimensionalen komplexen Raumes X, die eine Umgebung in X besitzen, welche sich als analytische Teilmenge in ein Gebiet des 3 C einbetten liiBt. Diese Einbettung ist dann im wesentlichen lokal eindeutig bestimmt, [14] p. 333. Solche Singularit~iten sind nach einem Lemma von AKO normal, [I ,] 12.3. Aus einem yon ~rNAMLHUK [29] und HmONAKA [17] bewiesenen komplex-analytischen Analogon des Satzes von LEvr-ZARISKI folgt als Spezialfalt: Satz: Eine in eine 3-dimensionale Mannigfaltigkeit eingebettete 2-dimen- sionale isolierte Singularit~it kann aufgeli~st werden dutch eine endliche Folge 80 E. "NROKSEIRB yon monoidalen Modifikationen in der umgebenden 3-dimensionalen Mannig- faltigkeit mit Punkten oder mit singularitdtenfrei eingebetteten mehrfachen Kurven als Basis. Monoidale Modifikationen werden auch als a-Prozesse bezeichnet (vgl. z.B. [28]), wenn ihre Basis singularit~itenfrei eingebettet ist. 1.4. Im AnschluB an KIRBY [22] definieren wir Definition: Eine absolut isolierte Singularitdt ist eine 2-dimensionale isolierte Singularit~it mit minimaler Einbettungsdimension ,3 die sich dutch eine Folge von a-Prozessen mit Punkten als Basis aufl6sen .tBi~l Eine absolut isolierte Singularit~it hat also als singul/ire unendlich be- nachbarte Punkte h6chstens isolierte Singularit~iten. Ein absolut isotierter Doppelpunkt ist natfirlich eine absolut isolierte Singularit~it, deren lokaler Ring die Multiplizit~it 2 hat. Fiir eine rein k-dimensionale analytische Menge c A C k+l kann die Multiplizit~it auch folgendermaBen beschrieben werden. Sei A, z ~ sei (cid:127)z C ~ck. z,~ das Hauptideal der auf A verschwindenden holo- morphen Funktionskeime in z und f~ Jz ein erzeugendes Element. Dann ist die Multiplizitat von A in z gleich der Ordnung des Verschwindens von f in .z Ein Doppelpunkt mit Einbettungsdimension 3 kann natiirlich durch eine Gleichung 2 z =g(x,y) beschrieben werden. Durch Untersuchung des Zu- sammenhangs zwischen der Aufl6sung der Singularit~iten der Verzweigungs- kurve g(x, y) = 0 und dem Aufl6sungsprozeB von IKSIRAZ-IvEL hat KIRBY in ], [22 2.6, 2.7 gezeigt: . Satz: Zu jedem yon den bewerteten Graphen ,kA , 6,EkD ,7E 8 E gibt es genau einen absolut isolierten Doppelpunkt, der aufliisbar ein ist in System yon ratio- naten singularitiitenfreien Kurven, welches die diesem Graphen entsprechende Schnittmatrix hat. Diese Singutaritdten sind die einzigen absolut isolierten Doppelpunkte. Sie kb'nnen dutch folgende Gleichungen beschrieben werden: Ak 2 Z __ X2 + yk l + =0 Dk 2 Z __ y(x2 __ yk- 2) = 0 ::i 6 Z2 _1.. 3 _ X y4 = 0 [7 Z2 -- X(X2 -- y3) ---- 0 aE 2 z +x 3_ys =0. Diese Singularit~iten sind seit langem bekannt und sind mehrfach untersucht worden, .z B. in [3], [7],' [16], [21]. Zur Geschichte vgl. die Einleitung yon [9 .] In [2 ], 2.3.7 werden diese Singularit~iten auch negligible singularities genannt. Einige von diesen G1eichungen finden sich bereits in XILEF KLEtNs Voflesungen fiber das Ikosaeder, Kap. III,§ .1 Die durch die obigen Gleichun- gen gegebenen analytischen Teilmengen yon a C kann man nach [9], § 39 auffassen als die Quotientenraume C2/G, wo G eine endliche Untergruppe der multiplikativen Gruppe der Quaternionen vom Betrag 1 ist. (G operiert durch Linksmultiplikation auf dem 2-dimensionalen komplexen Vektorraum der Quaternionen.) nov gnus6lfuA netatiralugniS 18 1.5. Wir werden beweisen, dab dies die einzigen normalen Singularit/iten sind, die sich in ein System von rationalen singularitiitenfreien Kurven mit Selbstschnitt -2 aufl6sen lassen .4 Fragen ~ihnlicher Art sind, abgesehen yon den prinzipiellen Resultaten in [14], ], [18 m. W. bisher nur in wenigen FNlen untersucht worden, ~z B. in [14 ], 8b, wo fiir eine exzeptionelle singularitaten- freie rationale Kurve gezeigt wird, dab die komplexe Struktur der Umgebung durch die Selbstschnittzahl eindeutig bestimmt ist. Daher hat der im folgenden bewiesene Satz 1 auch unabhiingig von seiner Anwendung in 2 § ein gewisses Interesse. Zur Vorbereitung des Beweises von Satz 1 erinnern wir an einige be- kannte Tatsachen. 1.6. X sei ein komplexer Raum. Eine Aufl6sung der Singularitiiten f: )(~X heiBt minimal, wenn es ffir jede weitere Aufl6sung f':X'-,X eine eindeutig bestimmte holomorphe Abbildung g : X' ~ )( gibt, so dal3f' =fog gilt. Lemma: Fiir jeden 2-dimensionalen normalen komplexen Raum X existiert , eine 0 eindeuti bestimmte minimale Aufldsung der Singularitdten f: X~X. Sie ist dadurch charakterisiert, J~r daft jeden singuldren Punkt X p ~ f- l(p) keine exzeptionelle Kurve erster Art enthdlt .s Beweis: Die Eindeutigkeit ist trivial. Die Existenz kann man etwa fol- gendermal3en beweisen : O.b.d.A. sei X p E der einzige singuliire Punkt von X. Ausgehend von einer beliebigen Aufl6sungv on X erh~ilt man durch successives Niederblasen aller singularit~itenfreien rationalen Kurven fiber p mit Selbst- schnitt - 1 eine Aufl6sungf: X--, X, in der fiber p keine exzeptionellen Kurven erster Art liegen. Diese ist minimal. Denn sei f':X'---,X eine weitere Auf- 16sung. Die Komposition der meromorphen Abbildungen f' und f-1 ist eine wohldefinierte meromorphe Abbildung f-lof' im Sinne von [32]. G CX'x.g sei der Graph von f-~of' (dann ist G auch der Graph von f'- 1of), ferner seien rq : G~X' und ~2 : G--,X die Projektionen und ~ : t~--, G eine Aufl6sung der Singularitiiten von G. Dann sind cpl=zqotp und qh = ~2°~ eigentliche Modifikationsabbildungen der kom~exen Mannig- faltigkeit G auf die komplexen Mannigfaltigkeiten X' bzw. X, und die Ent- artungsmengen von q~ und 2P~ sind kompakt. Daher sind nach dem Satz yon HOPF (vgl. [28]) lP~ und pc 2 iterierte a-Modifikationsabbildungen, die h6chstens fiber Punkten vop f'-l(p) bzw. f-l(p) entarten. Wegen der Vor- aussetzungen fiber Jf folgt aus dem Verhalten der Selbstschnittzahlen beim a-Prozel3, dab in G die einzigen exzeptionellen Kurven erster Art fiber f-~(p) die bei dem iterierten a-Prozel3 2pc zuletzt eingesetzten Kurven sind. Wenn man daher durch Niederblasen exzeptioneller Kurven erster Art yon zu X' fibergeht, so macht man offenbar lediglich einige der a-Prozesse von pc 2 r~ckgiingig (vgl. das Argument in [19] p. 19). Das heil3t aber, dab X' aus X durch iterierte a-Prozesse entsteht, q.e.d. 4 eiD ist Normalitiit hciltnesew rOf ned .ztasstiekgituedniE sE gibt nicht lokal normale, ,elbizuderri Singuladt/iten, isolierte eid in sich nie yon rationalen System neierfnet~iralugnis nevruK mit ttinhestsbleS --2 aufl6sen .nessal 5 slA ellenoitpezxe Kurven erster Art nenhciezeb riw eid neierfnetlitiralugnis rationalen nevruK tim ttinhestsbleS -1. Math. Ann, 166 6 82 E. BR~SKORN: 1.7. Im Beweis yon Satz 1 und in 2 § ben6tigen wir drei bekannte Formeln ffir die kanonischen Geradenbfindel komplexer Mannigfaltigkeiten: Die Adjunktionsformel, eine verallgemeinerte Hurwitzformel und die verall- gemeinerte Plfickerformel. (a) Adjunktionsformel: V sei eine komplexe Mannigfaltigkeit, W eine 1-codimensionale komplexe Untermannigfaltigkeit, i: W~ V die Inklusion, v K bzw. w K die kanonischen Geradenbfindel yon V bzw. .W Dann gilt die leicht zu beweisende Formel K w=i*(Kv® [W]). Dabei wird ftir einen Divisor D auf V mit [D ] das D zugeordnete holomorphe G-eradenbtindel bezeichnet (vgl. .z B, ] [23 p. 111). (b),Hurwitzformet: ¢p:V-~ U sei eine holomorphe Abbildung gleich- dimensionaler komplexer Mannigfaltigkeiten mit nicht identisch verschwin- dender Funktionaldeterminante. E~ sei der dutch das Verschwinden der Funktionaldeterminante definierte Entartungsdivisor yon .p( Durch leichte Rechnung mit lokalen Koordinaten beweist man ffir die kanonischen Bfindel v K = q)*Kv® [E~ ]. )¢( Pliickerformel: Es sei C eine irreduzible Kurve auf der 2-dimensionalen komplexen Mannigfaltigkeit ,W (~--,C alas singularit~itenfreie Modell und n(C) sein Geschlecht. Man definiert das virtuelle Geschlecht von C dutch n'(C) = 2 (C o C + o w K C) + .1 Dabei muB man ftir ein komplexes Geraden- biindel F fiber W die Schnittzahl F C o geeignet definieren, .z .B wie in § 5 ] [21 oder auch ~iquivalent dazu ats F C = o c(Fe) ,)~(( d. .h als Wert tier charakte- ristischen Klasse c(F 0 des auf ~( gelifteten Bfindels F~ auf dem fundamentalen 2-Zykel yon .~( Dann gilt ([20], 2.5 oder [23] 2.3) Z = + --1 2 c~p % mit %= ~vl(v i- ,)1 wobei zu summieren ist fiber die Multiplizit~iten i v yon f C in p und in den unendlich benachbarten Punkten yon .p Man folgert )c( aus (a) und (b), indem man die Singularit~iten yon C durch Anwendung eines iterierten o'-Prozesses auf W aufl6st. Offenbar gilt n'(C)> ,0 und ferner n'(C) = 0 genau dann, wenn C rational und singularit~itenfrei ist. 1.8. Rationale Singularitdten. Definition: Ein normater Punkt x eines 2-dimensionalen komplexen Raumes X heigt eine rationale Singularitdt, wenn ffir eine Aufl6sung n : 3~-, X das erste direkte Bild 1 n 7~9( der Strukturgarbe 9( 2 yon Jf in einer Umgebung yon x verschwindet. Ist der normale komplexe Raum X kompakt, so folgt aus der Lerayschen Spektralsequenz der Abbildung n, dab ffir die arithmetischen Geschlechter 2 2 z(,Y)= ~ (-1)' dimcHq)?,(gt) bzw. Z(X)= ~ (-1) ~ dimcH~(X,(gx) gilt: i=0 i=0 = Z(-~) z(X) genau dann, wenn alle Singularit~iten von X rational sind. Aufl6sung von Singularit[iten 83 Nach ARTIN [4] k6nnen die rationalen Singularit~iten folgendermal3en charakterisiert werden : Ein normaler Punkt x werde in ein System yon Kurven 1 C ..... k C aufgel6st. Wir betrachten die Menge ~ von positiven Zykeln k Z = ~ r~(Z)C i ffir deren Schnittzahlen Z o ~C < 0 fiir i= 1,..., k gilt. Lr ist i=1 nicht leer. Der Fundamentalzykel yon }~C{ ist der wieder zu ~( geh6rende Zykel Zo= Z mzinri(Z)C ,. In [4] wird bewiesen: Satz: )i( Der normale Punkt x ist eine rationale Sinoularitdt genau dann, wenn das virtueIle Geschleeht des Fundamentalzykels Z o verschwindet. (ii) Ist x eine rationale Singularitdt, so ist die Muttiplizitiit des Iokalen Ringes yon x gleich -Z o Z o o und die minimale Einbettungsdimension gleich -Zoo Z + o .1 Hieraus folgt insbesondere Korollar: Eine rationale Singularitiit hat minimale Einbettungsdimension 3 genau dann, wenn sie ein Doppelpunkt ist. Ein normaler Punkt ist ein rationaler Doppelpunkt genau dann, wenn er sich in ein System yon singulariffitenfreien rationalen Kurven mit Selbstschnitt -2 aufl6sen liifit. 1.9. Die oben erw~hnten Resultate yon M. AwrIN und D. KIRBY ergeben zusammen mit dem folgenden Satz die vollstfindige Klassifikation der rationalen Doppelpunkte* Satz 1: Eine isolierte Singularitdt eines 2-dimensionalen komplexen Raumes ist genau dann ein absolut isolierter Doppelpunkt, wenn sie ein rationaler Doppelpunkt ist, d. h. normal ist und sieh in ein System yon singularitdtenfreien rationalen Kurven mit Selbstschnittzahl -2 aufl6sen Idflt. Beweis: DaB absolut isolierte Doppelpunkte in dieser Weise aufl6sbar sind, ist ein Teil des Satzes yon KIRBY. Die Idee des Beweises ffir die andere Implikation des Satzes besteht darin, die Aufl6sung der Singularit~it durch Kurven mit Selbstschnitt -2 zu vergleichen mit einer Aufl6sung durch o-Prozesse im umgebenden 3-dimensionalen Raum, wie man sie nach dem Satz yon LEvI-ZARISKI erhalt. )i( Sei p X ~ o.b.d.A, der einzige singulare Punkt yon X. )( sei eine kom- plexe Mannigfaltigkeit, die aus X durch Aufl6sen yon p in ein System yon singularit~,tenfreien rationalen Kurven mit Selbstschnitt -2 entsteht. X ist dann die minimale Aufl6sung yon X.lst nun X in eine 3-dimensionate Mannig- faltigkeit U eingebettet und X' eine Aufl6sung yon X nach dem Satz yon LEvI-ZARISKI, OS hat man eine Modifikationsabbildung o:X'~)~, die h6chstens in Punkten von f'-1 )p( entartet. Also entsteht X' aus )~ nach dem Satz yon HoFF dutch mehrfache Anwendung des a-Prozesses in Punkten iiberf- 1 .)p( (ii) Es sei V die bei Anwendung des Prozesses von LEvI-ZARISrd aus U entstehende Mannigfaltigkeit [vgL ], (i) ~q : V~ U die entsprechende iterierte a-Modifikationsabbildung und i: X'-~V die Inklusion. ~Z ..... X,, seien die irreduziblen Komponenten des Entartungsdivisors E~, C~, ..., k C die irredu- * eheiS Zusatz ma BulhcS der .tiebrA *6 84 E. : BRmSKORN ziblen Kurven von X', in die die Singularit~it aufgel6st wird. Es gilt k i* [z,]= lq [cj] j=l mit gewissen ganzen Zahlen aij > ,O ferner = lq [z,] 'v i=1 mit gewissen positiven Zahlen ~v und IX = ] [x'] ® [z, ]', j=l mit gewissen positiven Zahlen r,. Also folgt mit 1.7 (a) und 1.7 (b) Kx' = i*(Kv® [X'])= *i ( *gq Kv® [E~]®tp* [X ]® =,if I [E']-r') =(q~oi)*(Kv® [X])®i* [E,l'~'-"'=(69oi)*(Kv® [X])® #jC , /=1 j= wobei die Zahlen/~j durch die folgende Gleichung definiert sind. (I) ~t/ = ~ v(~ia i -ri). i=1 Da bei Beschr~inkung auf eine geeignete Umgebung von p in U das Btindel k Kv® [X] trivial ist, gilt fiir eine geeignete Umgebung X" yon [,J i C in X' i=1 Da X' aus J( durch iterierten a-Prozel3 entsteht, sind alte ~C singularit~iten- frei und rational und nach 1.7 (c) gilt also = ~'(C~) 0, d. h. aber mit obigem Kx,, k (II) ~ C, o Cj#j = - (2 + C, o C,) = i 1 .... , k. j=l Da die Schnittmatrix (C,o Cj) nichtsinguliir ist, k6nnen nach (II) die /,j eindeutig aus der Schnittmatrix berechnet werden. Andererseits sind sie durch (I) definiert, und die Zahlen v,, r, hiingen vom Aufl6sungsprozeB und den Multiplizifiiten der Singularitiiten ab. Der Beweis unseres Satzes wird sich durch Vergleich yon Folgerungen aus (I) und (II} ergeben. (iii) Durch (II) werden jedem exzeptionellen System von Kurven ,1C ..., t C rationale Zahlen #x ..... #k zugeordnet. Man entnimmt aus (II) sofort, dab sich diese bei ~-Prozessen wie folgt verhalten. Durch a-ProzeB werde im Punkt q des Kurvensystems eine neue Kurve +kC 1 eingesetzt und #~, ..., +,~# seien die zu dem neuen Kurvensystem berechneten Zahlen. Lag q nur auf einer nicht-singul~iren Kurve C,, so gilt .~# = gj fiirj = ,1 ..., k und/~+ = ~ t + .~tk Lag q auf zwei sich transversal in einem Punkt schneidenden Kurven C,, Aufl6sung von Singularifiiten 85 und ,2~C so gilt ~p =/~j ffirj =1 .... k , und/t~+ = 1 1 +#~, +/~. Nun entsteht X' dutch tr-Prozesse aus X. Fiir das exzeptionelle Kurvensystem von X sind die j~/ = 0, weil alle Kurven die Selbstschnittzaht - 2 haben. Also gilt f'tir das in (ii) betrachtet exzeptionelle Kurvensystem 1C .... , k C von X' itj>0 fiir j=l,...,k. (iv) Die #j waren dutch (I) mit Hilfe der Zahlen ~v und i r definiert. Wir untersuchen das Verhalten der ~v und r, bei tr-Prozessen. Wir betrachten ein bestimmtes .~Z Fall : 1 Z, entsteht dutch tr-ProzeB in einem Punkt q. Fall : 2 ~Z entsteht dutch tr-ProzeB l~ings einer Kurve C. Es seien ~iZ , ..., ,~Z die- jenigen bei vorhergehenden tr-Prozessen eingesetzten Fl~ichen, welche q bzw. C enthalten. Fiir die eigentliche Transformierte von X beziiglich der vorausgehenden a-Prozesse sei q ein Punkt mit Multiplizit~it >--,0 2 bzw. C eine Qi-fache Kurve, > 0i Z Dann gilt i r = ri~ d- "'" + ri~ q- Qi" Da ferner ein a-Prozel3 in einem Punkt bzw. langs einer Kurve bezfiglich geeigneter Koordinaten durch die Abbildung (x ,1 x ,2 xa) ~(x ,1 xlx2, xlx3) bzw. (xl, x2, xa)~(xl, xlx2, x3) beschreibbar ist, und die Funktionaldeter- minante dieser Abbildungen 2 x bzw. 1 x ist, erh~ilt man = i + vii v "" + ~iv + 2 im Fall 1 = i v vii +'" + miv + 1 im Fall 2. Also gilt v i-r i= ~, (viz-r~)+2-Qi imFalll ,~=1 i V -- i r = ~ (vi~ -- fix ) q- 1 - 0i im Fall 2. 2=1 Hieraus folgt: Fiir k Z gilt - k k r v _>_ 0 genau dann, wenn X in p die Multiplizit~it 2 hat und alle vor k Z eingesetzten Zj einschlieBlich k Z dutch punktale tr- Prozesse entstanden sind. W~iren ff~ ein k 2, diese Bedingungen nicht erfiillt, ware also p kein absolut isolierter DoppelpunkL so giibe es ein i Z mit ~v - ~r < 0 und ~ii > 0 fiir mindestens ein Indexpaar (i,j), und daher wfirde wegen (I) mindestens ein/~j negativ im Widerspruch zu (iii). q.e.d. § 2. Bedingungen flit die Aufliisbarkeit 2.1. Wit beweisen zun~ichst die in der Einleitung angekiindigten not- wendigen Bedingungen fiir die Existenz von Aufl/Ssungen. Satz 2. f: X~ Y sei eine holomorphe Abbildung des 3-dimensionalen normalen komplexen Raumes X auf die eindimensionale Mannigfaltigkeit Y. Die Singularitiitenmenge yon f sei endlich, und die Fasern yon f seien normal. Es existiere eine Aufl6sung yon f. Dann sind die Singularit?iten der Fasern rational. Beweis: Zun~ichst einige Bezeichnungen: (f', ,~q )pl sei eine Aufl6sung yon f. Es sei q~*X der dutch q~*X= {(y',x)e Y' x X[q~(y')=f(x)} definierte