Lehrbuch der Technischen Physik von Dr. Dr.-Ing. Hans Lorenz o. Profe~~or an der TechniHchen Hoch~whnlp Danzig Geheimer RegiernngHrat Zweite, neubearbeitete Auflage Erster Band 'l'echnische Mechanik starrer Gebild~ Berlin Verlag von Julius Springer 1924 Technische Mechanik starrer Gebilde von Zweite, vollstandig neubearbeitete Auflage der Techn. Mechanik starrer Systeme Erster Teil lUechanik ebenel' Gebilde Mit 29;, Textabbildung~n Berlin Verlag von Julius Springer 1924 ISBN 978-3-642-98431-0 ISBN 978-3-642-99245-2 (eBook) DOl 10.1007/978-3-642-99245-2 AIle Rechte, insbesondere das der Dbersetzung in fremde Sprachen, vorbehalten. Copyright 1924 by .lulius Springer in Berlin. Softcover reprint of the hardcover 2nd edition 1924 Vorwort. Die erste Auflage der "Technischen Mechanik starrer Systeme" , welche den ersten Band meines Lehrbuches der Technischen Physik bildet, ist im Jahre 1902 erschienen und mit dem 1904 folgenden zweiten Bande, der "Technischen Warmelehre", schon seit mehreren Jahren vergriffen. lch habe zunachst versucht, auf Grund meiner 20 jahrigen Lehrtatigkeit durch zahlreiche Zusatze und Abanderungen das Werk der Neuzeit anzupassen, muBte aber nach langerer Arbeit feststellen, daB dadurch die Einheitlichkeit der Darstellung verloren geht, so daB ich mich schlieBlich fiir eine vollig neue Niederschrift aus einem Gusse entschied. Das hat naturgemaB eine starke Ver zogerung des Erscheinens der Neubearbeitung zur Folge gehabt. Dazu kam, daB ich vor der Drucklegung einige .groBere Abschnitte in ihrer neuen Fassung in meinen Vo rlesungen fiir Anfanger und reifere Studierende, sowie im Seminar fiir angewandte Mechanik an der Technischen Hochschule Danzig erproben wollte. Zur Trennung in die Mechanik ebener und raumlicher Gebilde habe ich mich auf Grund meiner Lehrerfahrungen entschlossen. Die Mechanik in der Ebene ist nicht nur viel einfacher als die im Raume und darum dem Anfanger leichter zuganglich, sie umfaBt auch die wei taus meisten praktisch wichtigen Probleme, zu deren selbstandiger Behandlung das Buch den Leser an Hand von Beispielen fiihren will. 1st er mit diesem Stoffe vertraut, so bietet die raumliche Mechanik, insbesondere unter Zuhilfenahme der Vektorrechnung, die in der Ebene keine nennenswerte Rolle spielt, als Erweiterung nicht so viele Schwierigkeiten mehr wie bei ihrer SteHung an die Spitze. Aber auch innerhalb der beiden Teile, von denen der erste hier vor liegt, wahrend der zweite in Jahresfrist folgen solI, habe ich auf einen iibersichtlichen Aufbau des Stoffes groBen Wert gelegt und den Zerfall des Werkes in eine Reihe kaum noch zusammenhangen der Abhandlungen vermieden. Die groBeren Abschnitte sind dabei so abgefaBt, daB sie von einem mit den Grundbegriffen bekannten Leser ohne fortwahrende Riickverweisungen fiir sich verstandlich sind. Im einzelnen bemerke ich noch, daB in del' Statik neben den analytischen auch die graphischen Methoden zu ihrem Rechte kommen, und daB ich sowohl hier als auch in der Dynamik des Punktes und der starren Scheibe auf die Widerstande, vor allem die Gleitreibung, angesichts ihrer groBen Wichtigkeit etwas ausfiihrlicher eingegangen bin, als dies in andel'll Schriften iiblich ist. DaB ich auch sonst in der Stoffauswahl, Anordnung und DarsteHung eigene Wege gegangen bin, wird der kundige Leser bemerken, auch wird man mir wohl die gelegentliche Aufnahme eigener Forschungsergebnisse zubilligen. Quellenangaben finden sich nur im Verein mit Hinweisen auf weiter- \'I Vorwort. gehende Ausfiihrungen. Mit Riicksicht auf die Raumersparnis sind aIle Wiederholungen und jede unnotige Breite vermieden. Das Buch erfordert demnach, selbst auf angestrengter Arbeit beruhend, ein ernstes Studium und bietet dafiir Studierenden del' Mathematik, Physik und aller Zweige del' Technik mannigfache Aufschliisse, sowohl im Text als auch in den zahlreichen Beispielen. Del' Raumersparnis dient auch die sehr allgemeine Verwendung del' Newtonschen Abkiirzung fUr die zeitIichen Ableitungen durch Punkte iiber del' Veranderlichen, sowie die Benutzung moglichst kurzer W orte ohne grundsatzliche Vermeidung hierfiir gebrauchlicher langerer mit gleicher Bedeutung. Hier'von sei u. a. angefiihrt: Geschwindigkeit = Lauf Beschleunigung = Anlauf Verzogerung = Ablauf Winkelgeschwindigkeit = Drehwert Winkelbeschleunigung = Andrehwert Umfangsgeschwindigkeit = Umlauf Radialgeschwindigkeit = Strahllauf Halbmesser, Radius = Arm Radiusvektor = Strahl Tragheitsmoment = Schwungmoment Tragheitshalbmesser = Schwungarm Zentrifugalmoment = Schleudermoment Komponente = Teil, Anteil Impuls, Antrieb = Prall Impulsmoment = Drall kinetische Energie =Wucht potentielle Energie c=Drang Gesamtenergie = Macht Zentrifugalkraft = Fliehkraft mathem. Pend el = Fadenpendel physisches odeI' materielles Pend el = Scheibenpendel materieller Punkt = Massenpunkt Koeffizient = Beiwert Konstante = Festwert universelle Konstante = Weltwert Die Zeichnung del' gegeniiber del' ersten Auflage stark ver mehrten und fast durchweg neuen Abbildungen haben meine Assi stenten Dr. Falkenhagen, Dipl.-Ing. Beckmann und cando mach. Oestert durchgefiihrt, die beiden letzteren mich auch bei del' Kor rektur wirksam unterstiitzt, wofiir ich ihnen allen an diesel' Stelle ebenso danke wie dem riihrigen Verlage fUr sein Entgegenkommen in del' wiirdigen Ausstattung des Buches. Danzig-Langfuhr, im April 192-1. H. Lorenz. Inhaltsverzeichnis. Erstes Buch: Kinematik ebener Gebilde. ,,",eitt-' I. Geometrische Bewegungslehre ..... . ~ l. Verschiebung und Drehung cbener Uebilde 1 ~ 2. Die Hiillkurven bewegter Scheiben 5 ~ 3. Theorie del' Planimeter . . . . II. Zeitliche Bewegungsiinderungen 11 ~ 4. Einfiihrung del' Zeit. . . . . . 11 ~ i). Geschwindigkeit oder Lauf. . . 15 ~ 6. Winkelgeschwindigkeit oder Drehwert 19 ~ 7. Be~chleulligung odeI' Anlauf . 22 ~ :-:. Bahnanlauf und Normalanlauf 2. ~ 9. Strahlanlauf und Drehanlauf . :30 ~ 10. Die Zentralbewcgung :)3 III. Einfache und zusammengesctzte S('hwingungen 38 ~ II. Die einfache geradlinige Schwingung . . . . . . :1:< ~ 12. Zusamml'nsetzung cinfachel' Schwingungen auf einer Geraden 43 ~ 13. Grundschwingungen und Oberschwingungen . . . . 46 ~ 14. Die harmonische Analyse . . . . . . . . . . . . 49 § 15. Zusammensetzung gcgeneinander geneigter Schwingungen ;,5 IV. Gezwungene und Relativhewegung 5!1 ~ 16. Die gezwungene Hewegung. . . . . . . r,!J ~ 1.. Das Fadenpendel . . . . • . . . . . . 64 ~ 18. Die freie Relativbewegung obne Drchung 6H ~ 19. Die freie Relativbewegung mit Drehung . 7.5 § 20. Die gezwungene Rclativbewogung ohne Drehung . 78 ~ 21. Die gezwungene Relativbewegung mit Drehung ."i0 Zweites Buch: Dynamik lIes Massenpunktes. V. Grundlag end er D~' nam ik des M assenpn nk tes :-:4 ~ 22. Masse und Kraft :-:4- § 23. Krafte mit gemeins<lmem Angri/tspunkt . . . 87 ~ 24. Wecbselwirkung, Prall und HewegungsgroBe . 90 ~ 25. Die Arbeit . . . . . . . . . . . . . . . . \15 § 26. Die Arbeit del' Wef'hselwirkung zweier .\lassenpunkte 99 VI. Di e allge me iue Se b Wefe . . . . . . . . 108 ~ 27. Das Schwerefeld pines .l\lassellpunktes . 10:, S 28. Das Schwerefeld kugelformiger lVIassen 107 § 29. Storung des Schwerefelde~ einer Kugel durch cine zweite 11:) VII. Widerstandskraft e llf< § 30. Die Gleitreibung 118 § 31, Die Dampfung . 124- ~ 32. Del' q uadratische Widerstancl 128 VITI. Dynamik ebener SclnYingungf'n 133 § 33. Frcie Reibungsschwingungen . . 13il § 34. Freie gedampfte Schwingungen . IRS § 35. Schwingungen mit quadratischem Widerstand 144 ~ 36. Erzwungene ungedampfte Schwingungen 147 ~ 37. Erzwungene Schwingungen mit Dampfung. . 152 § :18. Zusammengesetzte erzwungene Schwingungen 161 VIII Inhaltsverzeichnis. Drittes Bucb: Statik ebener Gebilde. Seite IX. Analytische Statik ....... . 165 § 39. Eigenschaften der starren Gebilde 165 § 40. Krafte an der starren Scheibe 169 § 41. Parallele Krafte. . . . . . . . . 172 § 42. Kraftepaare ......... . 176 § 43. Das Gleichgewicht starrer ebener Gebilde 179 § 44. Theorie des ebenen statisch bestimmten Fachwerkes 185 § 45. Das Stiitzeck und Seileck 191 § 46. Die Seil- und Stiitzkurve " . . . . . . . . . . 197 X. Graphische Statik ............... . 206 § 47. Zusammensetzung und Zerlegung von Kraften und Krattepaaren. 206 § 48. Das Krafteck und Seileck . . . . . . . 211 § 49. ParalleIkratte und stetige Belastung 216 § 50. Der Kriifteplan des eben en Fachwerkes 219 XI. Das Reibungsgleichgewicht . 222 § 51. Die doppelt gestiitzte Scheibe . . . 222 § 52. Die Seil- und Hautreibung. . . . . 229 § 53. Die Steifigkeit der Ketten und Seile 232 § 54. Das Gleichgewicht Iockerer Massen . . 236 § 55. Die Standfestigkeit der Futter- und Staumauern . 242 § 56. Das Gleichgewicht feuchter Erde. . . . . . . . 247 Viertes Bucb: Dynamik starrer Gebilde. XII. Grundlagen del' Dynamik starrer Gebilde . 253 § 57. Der Satz von D'Alembert und die Bewegung einer zusammen- hangenden Massengruppe . . . . . .. . 253 § 58. Die Arbeitsgleichung starrer Scheiben. . . . . . . . . . 256 § 59. Karper mit veranderlicher Masse . . . . . . . . . . . . 262 § 60. Schwungmomente und Schleudermomente starrer Scheib en 268 XIII. Reibungsfreie Bewegung starrer Scheib en 274 § 61. Allgemeine Theorie der Scheibenbewegung. . . . . . . . 274 § 62. Kritische Drehwerte rotierender Wellen ........ . 279 § 63. Wirkung eines periodischen Momentes auf die Schwungmasse 286 § 64. Das Scheibenpendel . . . . . 292 § 65. Das Doppelpendel. . . . . . 296 § 60. Theorie del' Hebelwagen . . . 301 § 67. Der federnd gelagerte Stab . 306 § 68. Der zwanglaufig bewegte Stab 310 § 69. Das Kraftespiel im Kurbeltrieb 315 § 70. Das Walzpendel. . . . . . . . 321 XIV. Scheibenbewegung mit Widerstanden 327 § 71. Die Scheibe auf fester Fiihrungsbahn . . . . . . 327 § 72. Die Bewegung zweier sich beriihrender Scheiben . 332 § 73. Der Rollwiderstand . . • . . 337 § 74. Die Bewegung der Fuhrwerke 342 XV. Der StoB fester Scheiben 348 § 75. Der StoB freier Scheiben 348 § 76. Der ZentralstoB freier Scheiben . 354 § 77. Der StoB festgehaltener Scheib en . 359 XVI. Die Seilbewegung ....... . 365 § 78. Die Bewegungsgleichungen eines Seiles 365 § 79. Der Seiltrieb • . . . . . . . . . • . 370 § 80. Schwingungen eines gespannten Seiles 375 Namenverzeichnis ............ . 382 Sachverzeichnis ............. . 382 Erstes Buch. Kinematik ebener Gebilde. I. Geometrische Bewegungslehre. § 1. Verschiebung und Drehung ebener GebiMe. Beobachten wir die uns umgebenden Gegenstande, so zeigt sich, daB einzelne von ihnen, z. B. die Gebaude, ihre gegenseitige Lage beibehalten, andere dagegen, wie Fuhrwerke, Tiere und wir selbst, ihre Lage gegeniiber den ersteren, sowie untereinander verandern. Die ersteren Korper befinden sich dann nach unserer Ausdrucksweise im Zu stande del' Ruhe (gegeneinander), die letzteren im Zustande del' Bewegung (gegeniiber den erstel'en sowie untereinander), wobei wir die in Klammern gesetzten naheren Bezeichnungen gewohnlich untel' driicken. Bei naherem Zusehen erweist sich nun die Ortsveranderung eines beliebigen Korpers als ein auBerst verwickelter V organg, wes halb wir uns zunachst auf die Verfolgung eines einzelnen Korper punktes beschranken. Die aufeinanderfolgenden Lagen eines solchen Punktes bezeichnen wir dann als seine Bahn, die im allgemeinen eine Raumkurve sein und von den Bahnen anderer Korperpunkte verschieden sein wird. 1m einfachsten Fall kann diese Bahn eine Gerade sein, vielfach werden wir es auch mit gekriimmten, abel' ebenen Bahnen zu tun haben. . Verlaufen nun die Bahnen aIler Korperpunkte in parallelen Ebenen, so sprechen wir die ganze Er scheinung als eine ebene Bewegung an. Mit diesel' wollen wir uns vorlaufig allein beschaftigen und uns weiter auf Karpel' be schranken, deren einzelne Punkte wahrend del' Bewegung ihre gegen seitige Lage nicht andern. Solche vollkommen starre Karpel' gibt es in Wirklichkeit nicht, indessen kommen ihnen Gegenstande aus Metallen, natiirlichen odeI' kiinstlichen Steinen, sowie aus Holz an gefertigte Dinge vermoge del' nul' auBel'ordentlich kleinen Verschie bungen ihrer Teile gegeneinander hinreichend nahe, um diese Verein fachung wenigstens fiir den Gesamtvorgang zu rechtfertigen. 1st ein derartiger Korper senkrecht zu den parallelen Bewegungsebenen seiner Einzelpunkte nul' wenig ausgedehnt, so sprechen wir wohl auch von I .. orPTlz, Tf'chn. PhYRik 1, 1. ~. Allfl. 1 2 Geometrische Bewegungslehre. einer starren Scheibe. Andert diese ohne jeden Zusammenhang mit andern gleichartigen Scheib en ihre Lage, so vollzieht sie eine freie Bewegung, ist sie aber dabei mit anderen Korpern irgendwie verbunden, so haben wir eine unfreie odeI' gezwungene Bewegung vor uns. Die Gesamtheit der miteinander verbundenen Scheib en, die sich in ihren Bewegungen gegenseitig bedingen, heiBt dann eine kinematische Kette (griechisch ~[Y1J,ua=Bewegung). Die ein fachsten Beispiele solcher Ketten bilden die G lei t s t ii c k e auf einer geraden odeI' krummen Fiihrungsschiene und der Zapfen mit Lager, wobei aIle Punkte der mit dem beweglichen Teile verbundenen Schei.be konzentrische Kreise beschreiben. Da nun die Lage eines Punktes in der Ebene durch seine Ab stande von zwei festen Punkten eindeutig gegeben ist, so brauchen wir auch nur die Bewegung zweier Punkte einer Scheibe zu ver folgen, womit diese Bewegung auf die der geraden Verbindungslinie beider Punkte, die im iibrigen willkiirlich gewahlt werden konnen, zuriickgefilhrt ist. Denken wir uns in Abb. 1 eine Gerade A B in die neue Lage A' B' ver schoben, die mit der urspriing lichen den Winkel gl bildet, so schneiden sich die Mittellote der Verbindungslinien A A' und B B' der Endpunkte beider Lagen in P so zwar, daB AP= A' P, BP= B' P, also wegen der Gleichheit der beiden Strecken A B und A' B' auch 6 A B P "-'. A' B' P. Dann also ist auch 1:: P A B = 1:: P A' B', sowie 1:: P B A = 1:: P B' A', und wegen der Neigung cp' von A'B' gegen AB wird <j.:APA'=l::BPB'=cp'. Die ebene Bewegung einer mit der betrachteten Strecke fest verbundenen starren Scheibe kann daher durch die Drehung urn einen Pol P ersetzt werden. Bringen wir dann die Strecke A' B' in die dritte Lage A" B" II A B , so ist auch diese Verlagerung gleichwertig del' Riickdrehung um einen zweiten Pol P' mit demsetben, abel' entgegengesetzten Dreh winkel-cp'. Zwei gleiche, aber entgegengesetzte Drehungen einer Scheibe ergeben daher eine Parallelverschiebung odeI' umgekehrt: die Parallelverschiebung einer starren Scheibe kann auch durch zwei entgegengesetzt gleiche Drehungen um verschiedene Pole hervorgerufen werden. 1st die dritte Lage A" B" der Strecke nicht parallel del' ersten, sondern urn den beliebigen Winkel cp" gegen die zweite Lage A' B' geneigt, so konnen wir sie au+ch unmittelbar aus der ersten durch eine Drehung vom Betrage cp' cp" erhalten usw., so daB sich auf einanderfolgende Drehungen einfach algebraisch addieren. Wir haben hisher nur die Endlagen der einzelnen Ortsveran derungen diesel' mit del' starren Scheibe verbundenen Geraden A B Vc rschiebung und Drehung ebener Gebilde. 3 ins Auge gefant, liber die Zwischenlagen der beiden Punkte A und B, d. h. liber ihre wahren Bahnen dagegen nichts ausgesagt. Sind beide Bahnen bekannt, bzw. durch Flihrungs- oder Leitkurven festgelegt, so diirfen wir das vorstehende Verfahren der Polbestimmung auf je zwei benachbarte Lagen del' Strecke AB anwenden. Die zugeharigen Mittellote fallen dann mit den N ormalen del' Bahnen in A und B zusammen und schneiden sich im Pole P, der allerdings bei del' Ortsveranderung del' Geraden ebenfalls war.dert und eine in der Bewegunsgebene feste Polbahn beschreibt. Betrachten wir nun mehr in Abb. 2 drei aufeinanderfolgende unendlich nahe Lagen del' Strecke A B mit den zugehOrigen Polen Pl P2 P3, so wird bei del' Drehung urn P del' erste mit AB fest verbundene Pol P nach PI' 2 l und bei weiterer Drehung urn P der erste Pol nach P/', der zweite 3 nach P/' gelangt sein, wobei wegen der Drehung urn unendlich kleine Winkel, P2 Pl = P2 P/ = P2" Pt, P3 P2 == P3 P2" ist und die Strecken Pl Pl in Pl' P2 Pt in Po Eenkrecht auf del' festen Pol- / b~hn P P P stehen. Damus folgt, 1", l 2 3 daB die mit A B fest verbunden " "\ '" '- ge d ac h ten auf em· an d erf 0 Ig end en ~ 1.1£ ',\', ',~' ,- Pole Pt" P2" P3 eine als beweg- Ii / \" ~\ "''- liche Polbahn bezeichneteKurve /fj ~~:, '\ '-\"" bilden, die ersichtlich auf der " '" \ , ", ,,'-\ \ festen Polbahn abrollt, ohne zu ", "", \ gleiten, wobei immer del' Be- '" \" riihrungspunkt beider Pol- " bahnen den augenblicklichen ,.q'£f-----"1B. Pol, den sog. Momentanpol Abb.2. bildet. Wir diirfen demnach die beliebige ebene Bewegung einer starren Scheibe durch das Abrollen einer mit ihr starr verbundenen Kurve, del' bewegIichen Polbahn, auf einer in del' Ebene festliegenden Kurve, del' festen Polbahn, ersetzen, welche dabei die beweg liche Polbahn in allen ihren Lagen umhiillt. Durch diese Rollbewegung sind dann umgekehrt die Bahnen del' beiden Punkte A und B und mit ihnen alIe Punktbahnen del' bewegten Scheibe als Rollkurven be stimmt, wovon man in del' Technik der Fortbewegung durch Rollen umfassenden Gebrauch macht, indem man die feste wie bewegliche Polbahn unmittelbar zur Begrenzung del' gegeneinander bewegten Karpel' benutzt. Sie kannen offenbar miteinander vertauscht werden, wodurch neue Rollkurven del' vorher festen Scheibe entstehen, die sich in den Beriihrungspunkten stetig an die vorher betrachteten anschlie13en. 1. Bei!!piel. RoUt z. B. ein Kreis auf einer festen Geraden, Abb. 3, so beschreibf>n seine Umfangspunkte gemeine Zykloiden, die innerhalb und aul3erhalb des Umfanges gelegenen Punkte dagegen Trochoiden, deren Normalen stets durch den als Momentanpol wirkenden Beriihrungspunkt des Rollkreisumfangs mit del' Fiihrungsgeraden hindurchgehen. Rollt ein Kreis auf einem festen andern Kreise, Abb. 4, dem sog. Grundkreis, so erhalten wir 1*