Springer. . Lehrbuch Walter Schnell· Dietmar Grass· Werner Hauger Technische Mechanik Band 2: Elastostatik Vierte Auflage Mit 137 Abbildungen Springer-Verlag Berlin Heidelberg GmbH Prof. Dr. Walter Schnell Prof. Dr. Oietmar Gross Prof. Dr. Wemer Ha uger Institut ftir Mechanik, TH Darmstadt HochschulstraBe 1, D-6100 Darmstadt Die 2. Auflage erschien 1989 in der Reihe "HeidelbergerTaschenbiicher" als Band 216 ISBN 978-3-540-55289-5 ISBN 978-3-662-10246-6 (eBook) DOI 10.1007/978-3-662-10246-6 D1e Deutsche B1bhothek-CIP-Emheitsaufnahme Schnell, Walter. Techmsche Mechamk 1 Walter Schnell , D1etmar Gross , Wemer Hauger.-Berhn , He1delberg , New York , London , Pans ; Tokyo , Hong Kong , Barcelona , Budapest Sprmger (Spnnger-Lehrbuch) Bd.l u. d T. Gross, D1etmar Techmsche Mechamk Bd. 3 u. d T. Hauger, Wemer Techmsche Mechamk NE Gross,D1etmar, Hauger,Werner Bd. 2 Elastostatlk -4. Aufl -1992 D1eses Werk 1st urheberrechthch geschutzt. D1e dadurch begri.mdeten Rechte, msbeson dere d1e der Ubersetzung, des Nachdrucks, de• Vortrags, der Entnahme von Abb1ldungen und Tabellen, der Funksendung, der M1kroverfilmung oder der Verv~elfalhgung auf anderen Wegen und derSpe1cherungm Datenverarbeltungsanlagen,blelben,auch be1 nur auszugswe1ser Verwertung, vorbehalten. Eme Verv1elfalhgung d1eses Werkes oder von Te1len d1eses Werkes 1st auch 1m Emzelfall nur m den Grenzen der gesetzhchen Beshm mungen des Urheberrechtsgesetzes der Bundesrepubhk Deutschland vom 9 September 1965 m der )ewe1ls geltenden Fassung zulass1g © Springer-Ver1ag Berlin Heide1berg 1985, 1987, 1989, 1990 and 1992 Ursprüng1ich erschienen bei Springer-Verlag Berlin Heide1berg New York 1992 D1e Wiedergabe von Gebrauchsnamen, Handelsnamen, Warenbeze1chnungen usw m diesem Werk berechtigtauch ohne besondere Kennze1chnung mcht zu der Annahme,daB solche Namen 1m Smne derWarenze1chen-und Markenschutz-Gesetzgebung als fre1 zu betrachten waren und daher von Jedermann benutzt werden durften Sollte m d1esem Werk d1rekt odermd1rekt aufGesetze, Vorschnften oderR1chthmen (z B DIN, VOI, VDE) Bezug genommen oderaus 1hnen z1t1ert worden sem,so kann derVerlag keme Gewahr fur R!chllgkelt, Vollstand1gke1t oder Aktuahtat ubernehmen Es empfiehlt s1ch, gegebenenfalls fur d1e e1genen Arbe1ten d1e vollstand1gen Vorschnften oder R!chthmen m der )ewells gulllgen Fassung hinzuzuz1ehen. Satz K. Tnltsch, Wurzburg, 2160/3020 - 5 4 3 2 1 O-Gedruckt auf saurefre1em Pap1er Vorwort Die Elastostatik setzt den ersten Band des dreibändigen Lehrbuches der Technischen Mechanik fort. Sie beschäftigt sich mit den Bean spruchungen und den Verformungen elastischer Körper. Das Buch ist aus Lehrveranstaltungen hervorgegangen, die von den Autoren flir Studenten aller Ingenieurfachrichtungen gehalten wurden. Der dargestellte Stoff orientiert sich im Inhalt an den Me chanikkursen, wie sie an deutschsprachigen Hochschulen abgehal ten werden. Dabei wurde zugunsten einer ausfUhrliehen Darstellung der Grundlagen auf die Behandlung mancher spezieller Probleme verzichtet. Auch dieser Band erfordert aktive Mitarbeit des Lesers, da die Mechanik nicht durch reines Literaturstudium zu erlernen ist. Eine sachgerechte Anwendung der wenigen Gesetzmäßigkeilen setzt nicht nur die Kenntnis der Theorie voraus, sondern erfordert auch Übung. Letztere ist nur durch selbständiges Bearbeiten von Aufga ben zu erwerben. Die Beispiele am Schluß jedes Kapitels sollen hierflir eine Anleitung geben. Wir danken herzliehst Frau I. Melzer, Frau G. Otto und Frau I. Schmidt, die mit viel Geduld, Sorgfalt und Liebe das Manuskript angefertigt haben. Dem Springer-Verlag danken wir für das Eingehen auf unsere Wünsche und für die ansprechende Ausstattung des Buches. Darmstadt, im Juli 1992 W. Schnell D. Gross W. Hauger Inhaltsverzeichnis Einführung . . . . . . . 1 Zug und Druck in Stäben 4 1.1 Spannung . 4 1.2 Dehnung . . . . . 10 1.3 Stoffgesetz . . . . . 11 1.4 Einzelstab . . . . . 14 1.5 Statisch bestimmte Stabsysteme 24 1.6 Statisch unbestimmte Stabsysteme 28 2 Spannungszustand . . . . . . . . . 34 2.1 Spannungsvektor und Spannungstensor 34 2.2 Ebener Spannungszustand .... 37 2.2.1 Koordinatentransformation . 38 2.2.2 Rauptspannungen . . . . 41 2.2.3 Mohrscher Spannungskreis 46 2.2.4 Dünnwandiger Kessel . . 51 2.3 Gleichgewichtsbedingungen . . 53 3 Verzerrungszustand, Elastizitätsgesetz . 56 3.1 Verzerrungszustand . . 56 3.2 Elastizitätsgesetz . . . 60 3.3 Festigkeitshypothesen . 67 4 Balkenbiegung. . . . . . 69 4.1 Einführung . . . . . 69 4.2 Flächenträgheitsmomente 71 4.2.1 Definition . . . . 71 4.2.2 Parallelverschiebung der Bezugsachsen 77 4.2.3 Drehung des Bezugssystems, Hauptträgheitsmomente . . . . 80 4.3 Grundgleichungen der geraden Biegung 86 4.4 Normalspannungen ........ . 90 4.5 Biegelinie . . . . . . . . . . . . . 93 4.5.1 Differentialgleichung der Biegelinie 93 VIII Inhaltsverzeichnis 4.5.2 Einfeldbalken . . . . . . . 97 4.5.3 Balken mit mehreren Feldern 106 4.5.4 Superposition . . . . . . . 110 4.6 Einfluß des Schubes . . . . . . 120 4.6.1 Schubspannungen . . . . . 120 4.6.2 Durchbiegung infolge Schub 129 4.7 Schiefe Biegung . . . . 131 4.8 Biegung und Längskraft 139 4.9 Temperaturbelastung . . 142 5 Torsion ......... . 146 5.1 Die kreiszylindrische Welle 147 5.2 Dünnwandige geschlossene Profile 156 5.3 Dünnwandige offene Profile . . . 165 6 Der Arbeitsbegriff in der Elastostatik 173 6.1 Arbeitssatz und Formänderungsenergie 174 6.2 Das Prinzip der virtuellen Kräfte 183 6.3 Einflußzahlen und Vertauschungssätze 198 6.4 Anwendung des Arbeitssatzes aufstatisch unbestimmte Systeme . . . . . . . . . . . . . . 20 I 7 Knickung . . . . . . . . . . . . . . . 217 7.1 Verzweigung einer Gleichgewichtslage 217 7.2 Der Euler-Stab. 220 Sachverzeichnis . . . 229 Einführung Im ersten Band (Statik) wurde gezeigt, wie man allein mit Hilfe der Gleichgewichtsbedingungen das Kräftespiel an Tragwerken untersu chen kann. Dabei wurde der reale Körper durch den starren Körper angenähert. Diese Idealisierung ist jedoch zur Beschreibung des me chanischen Verhaltens von Bauteilen oder Konstruktionen meist nicht hinreichend. Bei vielen Ingenieurproblemen sind auch die De formationen der Körper vorherzubestimmen, zum Beispiel um un zulässig große Verformungen auszuschließen. Der Körper muß dann als deformierbar angesehen werden. Um die Deformationen zu beschreiben, ist es erforderlich, geeig nete geometrische Größen zu definieren; dies sind Verschiebungen und Verzerrungen. Durch kinematische Beziehungen, welche die Verschiebungen und die Verzerrungen verknüpfen, wird die Geo metrie der Verformung festgelegt. Neben den Verformungen sind die Beanspruchungen von Bau teilen von großer praktischer Bedeutung. In der Statik haben wir bisher nur Schnittkräfte ermittelt. Sie allein lassen keine Aussage über die Belastbarkeit von Tragwerken zu (ein dünner bzw. ein dik ker Stab aus gleichem Material werden bei unterschiedlichen Kräf ten versagen). Als geeignetes Maß für die Beanspruchung wird da her der Begriff der Spannung eingefuhrt. Durch Vergleich einer rechnerisch ermittelten Spannung mit einer auf Experimenten ba sierenden •zulässigen Spannung kann man die Tragfähigkeit von Bauteilen beurteilen. Die Verzerrungen (Deformationen) sind mit den Spannungen (Belastungen) verknüpft. Die physikalische Beziehung zwischen bei den Größen heißt Stoffgesetz. Es ist abhängig vom Werkstoff, aus dem ein Bauteil besteht, und kann nur mit Hilfe von Experimenten gewonnen werden. Die technisch wichtigsten metallischen und nichtmetallischen Materialien zeigen bei nicht zu großen Beanspru chungen einen linearen Zusammenhang von Spannung und Verzer rung. Er wurde schon von R. Hooke (1635-1703) in der damaligen Sprache der Wissenschaft mit "ut tensio sie vis" formuliert. Ein Werkstoff, der dem Hookeschen Gesetz genügt, heißt linear-ela stisch; wir wollen ihn kurz elastisch nennen. 2 Einführung Im vorliegenden Band werden wir uns auf die Statik solcher ela stisch deformierbarer Körper beschränken. Dabei setzen wir stets voraus, daß die Verformungen und damit auch die Verzerrungen sehr klein sind. Dies trifft in sehr vielen technisch wichtigen Fällen tatsächlich zu. Daneben bringt es den großen Vorteil mit sich, daß die Gleichgewichtsbedingungen mit guter Näherung am unverform ten System aufgestellt werden können; auch die kinematischen Be ziehungen sind dann einfach. Nur bei Stabilitätsuntersuchungen, wie zum Beispiel beim Knicken (Kapitel 7), muß man die Gleichge wichtsbedingungen am verformten System formulieren. Bei allen Problemen der Elastostatik muß man auf drei - ihrem Herkommen nach recht unterschiedliche- Arten von Gleichungen zurückgreifen: a) Gleichgewichtsbedingungen, b) kinematische Be ziehungen, c) Elastizitätsgesetz. Bei statisch bestimmten Systemen können die Schnittgrößen und damit die Spannungen aus den Gleichgewichtsbedingungen direkt ermittelt werden. Die Verzer rungen und die Verformungen folgen dann mit Hilfe des Elastizi tätsgesetzes und der kinematischen Beziehungen in getrennten Schritten. Die Berücksichtigung von Deformationen macht es nun aber auch möglich, die Kräfte und die Verformungen statisch unbestimm ter Systeme zu analysieren. In diesem Fall sind die Gleichgewichts bedingungen, die kinematischen Beziehungen und das Elastizitäts gesetz gekoppelt und können nur gemeinsam gelöst werden. Wir werden uns in der Elastostatik nur mit einfachen Beanspru chungszuständen befassen und uns auf die in der Praxis wichtigen Fälle von Stäben unter Zug bzw. Torsion und von Balken unter Bie gung konzentrieren. Bei der Aufstellung der zugehörigen Gleichun gen bedienen wir uns häufig bestimmter Annahmen über die Verfor mung oder die Verteilung der Spannungen. Diese Annahmen gehen auf experimentelle Untersuchungen zurück und gestatten es dann, das vorliegende Problem mit einer technisch ausreichenden Genau igkeit zu beschreiben. Eine besondere Bedeutung kommt bei elastischen Körpern dem Arbeitsbegriff und den Energieaussagen zu. So lassen sich verschie dene Probleme besonders zweckmäßig mit Hilfe von Energieprinzi pien lösen. Ihrer Formulierung und Anwendung ist Kapitel6 gewid met. Das Verhalten deformierbarer Körper wurde seit Beginn der Neu zeit untersucht. So haben schon Leonardo da Vinci (1452-1519) und G. Galilei (1564-1642) Theorien aufgestellt, um die unter schiedliche Tragfähigkeit von Stäben und Balken zu erklären. Auf J. Bernoulli (1654-1705) und L. Euler (1707-1783) gehen die ersten Einftihrung 3 systematischen Untersuchungen zum Verformungsverhalten von Balken zurück. Von Euler wurde in diesem Zusammenhang auch die Theorie des Knickens von Stäben entwickelt; die große techni sche Bedeutung dieser Überlegungen wurde erst viel später erkannt. Den Grundstein für eine in sich geschlossene Elastizitätstheorie legte A. L. Cauchy (1789-1857); von ihm stammen die Begriffe Span nungszustand und Verzerrungszustand. Seitdem wurden sowohl die Elastizitätstheorie als auch die Näherungstheorien, welche in der Technik bei speziellen Tragwerken zur Anwendung gelangen, durch Beiträge von Ingenieuren, Physikern und Mathematikern ausgebaut - eine Entwicklung, die auch heute noch anhält. Daneben wurden und werden immer noch Theorien aufgestellt, die das Verhalten von Körpern aus Dichtelastischen Materialien (zum Beispiel aus plasti schen Materialien) beschreiben. Hiermit werden wir uns jedoch im Rahmen dieses Buches nicht beschäftigen.