Christian Spura Technische Mechanik 2. Elastostatik Nach fest kommt ab Technische Mechanik 2. Elastostatik Christian Spura Technische Mechanik 2. Elastostatik Nach fest kommt ab Christian Spura Hochschule Hamm-Lippstadt Hamm, Deutschland Ergänzendes Material zu diesem Buch finden Sie unter http://www.springer.com. ISBN 978-3-658-19978-4 ISBN 978-3-658-19979-1 (eBook) https://doi.org/10.1007/978-3-658-19979-1 Die Deutsche Nationalbibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie; detail- lierte bibliografische Daten sind im Internet über http://dnb.d-nb.de abrufbar. Springer Vieweg © Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH, ein Teil von Springer Nature 2019 Das Werk einschließlich aller seiner Teile ist urheberrechtlich geschützt. Jede Verwertung, die nicht ausdrücklich vom Urheberrechtsgesetz zugelassen ist, bedarf der vorherigen Zustimmung des Verlags. Das gilt insbesondere für Vervielfältigungen, Bearbeitungen, Übersetzungen, Mikroverfilmungen und die Einspeicherung und Verarbeitung in elektronischen Systemen. Die Wiedergabe von Gebrauchsnamen, Handelsnamen, Warenbezeichnungen usw. in diesem Werk berechtigt auch ohne besondere Kennzeichnung nicht zu der Annahme, dass solche Namen im Sinne der Warenzeichen- und Markenschutz-Gesetzgebung als frei zu betrachten wären und daher von jedermann benutzt werden dürften. Der Verlag, die Autoren und die Herausgeber gehen davon aus, dass die Angaben und Informationen in diesem Werk zum Zeitpunkt der Veröffentlichung vollständig und korrekt sind. Weder der Verlag, noch die Autoren oder die Herausgeber übernehmen, ausdrücklich oder implizit, Gewähr für den Inhalt des Werkes, etwaige Fehler oder Äußerungen. Der Verlag bleibt im Hinblick auf geografische Zuordnungen und Gebietsbezeichnungen in veröffentlichten Karten und Institutionsadressen neutral. Lektorat: Thomas Zipsner Springer Vieweg ist ein Imprint der eingetragenen Gesellschaft Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH und ist ein Teil von Springer Nature Die Anschrift der Gesellschaft ist: Abraham-Lincoln-Str. 46, 65189 Wiesbaden, Germany Vorwort Nachdem nun die Stereostatik hinter uns liegt und hoffentlich verstanden wurde, ist es an der Zeit einen Schritt weiter zu gehen und in die Elastostatik einzutauchen. Wir sind dabei immer noch im Bereich der Statik, also dem Gleichgewicht von Körpern unter- wegs. Lediglich die Vorstellung von einem unendlich starren Körper werden wir verlas- sen und nun von elastischen, also verformbaren, Körpern ausgehen. Ansonsten gelten alle Zusammenhänge, welche wir in der Stereostatik bereits kennengelernt haben. Der Umfang der Elastostatik ist dabei offensichtlich größer, da wir neben dem Gleichgewicht von Kräften nun auch noch die elastischen Verformungen betrachten werden. Klingt eigentlich alles recht einfach. Leider ist es aber oft so, dass sich die Kräfte und Momente mit den entsprechenden Verformungen gegenseitig beeinflussen. Dies macht das Ganze dann schon wieder etwas schwieriger und führt wieder zu so mancher Verzweifelung im Studentenleben. Nach der Stereostatik sollten Sie aber mittlerweile etwas resistenter gegen diese Verzweifelung geworden sein (Kopfschmerztabletten und Koffein sind auf Dauer keine gute Lösung) und festgestellt haben, dass am Ende des Tages das Alles eigentlich gar nicht so schwer war, wie es sich am Anfang darstellte. Bei der Elasostatik gilt auch wieder das gleiche wie bei der Stereostatik: jeder hat zu Beginn mit den gleichen Problemen, Verständnisschwierigkeiten und Fehlern zu kämp- fen. Daher finden Sie in diesem Lehrbuch die identische Aufarbeitung des Lehrstoffes wieder, wie Sie ihn aus der Stereostatik kennen. Viele Erklärungen zu Zusammenhän- gen, Hinweise in der Außenspalte zu den nebenstehenden Abschnitten, durchgerechne- te Beispiele zum einfacheren nachvollziehen, aufgeführte Vorgehensweisen als Schritt- für-Schritt-Anleitungen zum Lösen von Aufgaben, animierte Grafiken (über QR-Code abrufbar) für ein besseres Verständnis und am Ende das Repetitorum als kompakte Zusammenfassung aller Kapitel für ein schnelles Nachschlagen bzw. als Klausurvorbe- reitung mit den wichtigsten Zusammenhängen. Und natürlich gilt für die Elastostatik auch, dass Sie wieder Stift und Papier zur Hand nehmen müssen, um Herleitungen nochmals aufzuschreiben und Übungsaufgaben händisch zu berechnen. Es geht halt nichts über die praktische Anwendung der Berech- nungen, um eine Routine beim Lösen von Übungsaufgaben und damit eine gewisse Selbstsicherheit zu erlangen und das Schema F zu erkennen. Zudem sollten Sie auch immer wieder die gleichen Zusammenhänge in anderen Lehrbüchern nachlesen, um unterschiedliche Darstellungen und Erklärungen der gleichen Sachverhalte zu bekom- men. Auch für diesen zweiten Band möchte ich mich beim Springer Verlag und insbesonde- re bei Herrn Thomas Zipsner für die hervorragende Zusammenarbeit, das Engagement und die vielen Freiheiten zur Ausgestaltung dieses Lehrbuchs ganz herzlich bedanken. Und nun wünsche ich Ihnen viel Erfolg und noch mehr Spaß beim Durcharbeiten die- ses Lehrbuchs  Christian Spura So wie das Eisen außer Gebrauch rostet und das stillstehende Wasser verdirbt oder bei Kälte gefriert, so verkommt der Geist ohne Übung. Leonardo DA VINCI 1452–1519 Navigation Thematische Einleitung mit Seitenzahlen und Kapitelnummern Kurzinhalten des Kapitels für die schnelle Orientierung 224 Kapitel 10 ∙ TIMOSHENKO-Balkentheorie (schubweicher Balken) Bei der TIMOSHENKO-Balkentheorie handelt es sich um ei- Grafiken stehen direkt ne Erweiterung der EULER-BERNOULLI-Balkentheorie. In der neben dem zugehörigen TIMOSHENKO-Balkentheorie werden Schubverformungen zuge- Abschnitt und sind im lassen, wodurch es zu zusätzlichen Deformationen kommt und die Steifigkeit des Balkens geringer wird. Zudem kommt Text hervorgehoben es infolge der Schubverformungen zu einer veränderlichen Gleitung entlang der Balkenhöhe. Damit verbunden ergibt sich eine Verwölbung der Querschnittsfläche. Eine Biegung tritt immer dann auf, wenn im Inneren eines Mb Mb Bauteils ein Biegemoment M (Schnittgröße) wirkt. Im Allge- meinen ist dies der Fall, wenn äußere Kräfte (oder auch Streckenlasten) senkrecht zur Balkenachse und/oder äußere Momente wirken, siehe  Abb. 2.5. Der Balken erfährt durch QR-Codes führen zu F das wirkende Biegemoment eine Krümmung. animierten Grafiken für Die Biegung für sich genommen kann in zwei Kategorien ein besseres Verständnis eingeteilt werden: Abb. 2.5  Gerade Biegung (einachsige Biegung): tritt auf, wenn der Balken um ausschließlich eine Koordinatenachse gebogen wird.  Schiefe Biegung (zweiachsige Biegung): hierbei wird der Balken um mindestens zwei Koordinatenachsen gebogen. Zusammenfassung 5.1 Spannungs-Dehnungs-Diagramm des nebenstehenden Um die Eigenschaften eines Materials zu erhalten, gibt es Abschnitts aus der Werkstoffprüfung den genormten Zugversuch. Das HOOKE'sche Gesetz ist der Da nicht nur linear-elastische Verzerrungen auftreten, linearer Sonderfall bei den existiert eine Vielzahl an Elastizitätsgesetzen für nicht-lineare Elastizitätsgesetzen. wie auch für elastisch-plastische und rein plastische Verzer- Wichtige Zusam- rungen. Dementsprechend ist das HOOKE'sche Gesetz ein linearer Sonderfall bei den Elastizitätsgesetzen. menhänge für das ► Zugfestigkeit Rm: größte Zugfestigkeit Rm: Die Zugfestigkeit ist im Zugversuch die Lösen von Aufgaben vom Werkstoff ertragbare höchste auftretende Spannung im Werkstoff, die vom Werk- (unbedingt beachten!) Spannung ohne Bruch bzw. stoff noch ertragen werden kann, ohne dass es zu einem Rissbildung Bruch/Riss kommt. Vor gehensweise Vorgehensweise Schritt für Schritt Anlei- tung zur Lösung von  Berechnung der Stabkräfte Si mittels Gleichge- wichtsbedingungen bzw. Knotenpunktverfahren. konkreten Aufgaben  Bestimmung der Längenänderungen Δli mittels FLEA-Gleichung ggf. mit Temperatureinfluss: ∆(cid:1864)(cid:3036)(cid:3404)(cid:1831)(cid:1845)(cid:3036)(cid:3036)∙∙(cid:1827)(cid:1864)(cid:3036)(cid:3036)(cid:3397)(cid:2009)(cid:3021)∙∆(cid:1846)∙(cid:1864)(cid:3036) Farblich hervorgehobene Beispiele mit Musterlösung 10.6 ∙ TIMOSHENKO-Balkentheorie 259 Formelzeichen haben in den Grafiken und im Text die gleiche Schriftart Beispiel 10.8 Ein rechteckiger Balken (b = 40 mm, h = 60 mm, l = 1 m, κ = 5/6) aus Stahl (E = 210.000 N/mm2,  = 0,3) wird durch eine konstante Streckenlast q q 0 = 5 kN/m belastet. A 0 y S h z Berechnen Sie die Durchbiegungen infolge Biegung l und Schub am freien Ende. x b Lösung Bei dieser Aufgabe ist nur einen Bereich vorhanden und wir können direkt die viermalige In- tegration der Biegelinie der reinen Biegung durchführen: (cid:1831)∙(cid:1835)(cid:3052)∙(cid:1875)(cid:3029)(cid:4593)(cid:4593)(cid:4666)(cid:4593)(cid:3051)(cid:4593)(cid:4667)(cid:3404)(cid:1869)(cid:4666)(cid:3051)(cid:4667)(cid:3404)(cid:1869)(cid:2868) (cid:1831)∙(cid:1835)(cid:3052)∙(cid:1875)(cid:3029)(cid:4593)(cid:4593)(cid:4666)(cid:4593)(cid:3051)(cid:4667)(cid:3404)(cid:3398)(cid:1843)(cid:4666)(cid:3051)(cid:4667)(cid:3404)(cid:1869)(cid:2868)∙(cid:1876)(cid:3397)(cid:1829)(cid:2869) (1) (cid:1831)∙(cid:1835)(cid:3052)∙(cid:1875)(cid:3029)(cid:4593)(cid:4593)(cid:4666)(cid:3051)(cid:4667)(cid:3404)(cid:3398)(cid:1839)(cid:4666)(cid:3051)(cid:4667)(cid:3404)12∙(cid:1869)(cid:2868)∙(cid:1876)(cid:2870)(cid:3397)(cid:1829)(cid:2869)∙(cid:1876)(cid:3397)(cid:1829)(cid:2870) (2) Navigation 1 1 (cid:1831)∙(cid:1835)(cid:3052)∙(cid:1875)(cid:3029)(cid:4593)(cid:4666)(cid:3051)(cid:4667)(cid:3404)6∙(cid:1869)(cid:2868)∙(cid:1876)(cid:2871)(cid:3397)2∙(cid:1829)(cid:2869)∙(cid:1876)(cid:2870)(cid:3397)(cid:1829)(cid:2870)∙(cid:1876)(cid:3397)(cid:1829)(cid:2871) (3) Kapitelnummern für die schnelle Orientierung 1 1 1 (cid:1831)∙(cid:1835)(cid:3052)∙(cid:1875)(cid:3029)(cid:4666)(cid:3051)(cid:4667)(cid:3404)24∙(cid:1869)(cid:2868)∙(cid:1876)(cid:2872)(cid:3397)6∙(cid:1829)(cid:2869)∙(cid:1876)(cid:2871)(cid:3397)2∙(cid:1829)(cid:2870)∙(cid:1876)(cid:2870)(cid:3397)(cid:1829)(cid:2871)∙(cid:1876)(cid:3397)(cid:1829)(cid:2872) (4) Die Integrationskonstanten lösen wir mithilfe der Rand- und Übergangsbedingungen und setzen die Ergebnis- se wieder in unsere Ausgangsgleichungen (1) bis (4) ein: 9 In Kürze In Kürze: fasst ein Kapi- Ein Bauteil kann den folgenden fünf Grundbe- Schub (Schubspannung) tel bzw. Unterkapitel lastungsarten ausgesetzt sein:  Eine Schubbeanspruchung tritt immer strukturiert zusammen Zug (Normalspannung) dann auf, wenn Querkräfte wirken.  Reiner Zug tritt bei einer ziehenden  Typische Bauteile sind z. B. Nieten, Belastung in Längsrichtung auf. Typische Bolzen, Passschrauben sowie Kleb- und Bauteile sind z. B. Schrauben oder Seile. Schweißverbindungen.  Die im Bauteil wirkende Zugspannung σ(x)  Wird die von außen angreifende Querkraft in x-Richtung aufgrund einer äußeren an- F auf die Querschnittsfläche bezogen, greifenden Kraft F: ergibt dies die mittlere Schubspannung τm: (cid:1832) (cid:1832) (cid:2026)(cid:4666)(cid:3051)(cid:4667)(cid:3404)(cid:1827) (cid:2028)(cid:3040)(cid:3404)(cid:1827) Druck (Normalspannung)  Die reale Schubspannungsverteilung τ(z)  Reiner Druck tritt bei einer drückenden ist dagegen quadratisch entlang der Quer- Belastung in Längsrichtung auf. Typische schnitthöhenkoordinate z verteilt: Bnuanugtesimleo tsoirnedn , zK.o Blb. enPsletaunegl enin inV Heyrbdrreanu-- (cid:2028)(cid:4666)(cid:3053)(cid:4667)(cid:3404)(cid:1835)(cid:3052)(cid:1843)∙(cid:1854)(cid:3053)(cid:4666)(cid:3053)(cid:4667)∙(cid:1845)(cid:3052)(cid:4666)(cid:3053)(cid:4667) likzylindern oder Stützen. Inhaltsverzeichnis 1  Einführung in die Elastostatik............................................................ 1  1.1  Einteilung der Technischen Mechanik ................................................... 2  1.2  Die Elastostatik ...................................................................................... 2  1.3  Die Aufgaben der Elastostatik ................................................................ 5  1.4  Die Modellannahmen der Elastostatik .................................................... 6  1.5  Die Themengebiete der Elastostatik ...................................................... 8  2  Belastungs- und Spannungsarten ................................................... 11  2.1  Zug ....................................................................................................... 12  2.2  Druck ................................................................................................... 13  2.3  Biegung ................................................................................................ 14  2.4  Schub (Scherung) ................................................................................ 17  2.5  Torsion ................................................................................................. 18  3  Spannungszustand ........................................................................... 21  3.1  Allgemeine Definition ........................................................................... 22  3.2  Satz der zugeordneten Schubspannungen .......................................... 24  3.3  Eindimensionaler Spannungszustand .................................................. 25  3.4  Ebener Spannungszustand .................................................................. 28  3.4.1  Transformationsbeziehungen ................................................. 28  3.4.2  Hauptnormalspannungen ....................................................... 30  3.4.3  Hauptschubspannungen ......................................................... 33  3.4.4  MOHR'scher Spannungskreis .................................................. 34  3.4.5  Sonderfälle des MOHR'schen Spannungskreises .................... 40  3.4.6  Belastungen und Spannungszustände ................................... 41  3.5  Räumlicher Spannungszustand ........................................................... 44  3.6  Aufgaben zu Kapitel 3 .......................................................................... 46  4  Verzerrungszustand .......................................................................... 47  4.1  Dehnung infolge einer Kraft ................................................................. 49  4.2  Dehnung infolge Temperaturänderung ................................................ 51  4.3  Gleitung................................................................................................ 51  4.4  Eindimensionaler Verzerrungszustand ................................................ 54  4.5  Ebener Verzerrungszustand ................................................................ 55  4.5.1  Transformationsbeziehungen ................................................. 56  4.5.2  Hauptdehnungen .................................................................... 57  4.5.3  Hauptgleitungen ..................................................................... 58  4.5.4  MOHR'scher Verzerrungskreis ................................................. 58  4.6  Räumlicher Verzerrungszustand .......................................................... 64  4.7  Aufgaben zu Kapitel 4 .......................................................................... 66 XII Inhalt 5  Elastizitätsgesetz .............................................................................. 67  5.1  Spannungs-Dehnungs-Diagramm ........................................................ 69  5.2  HOOKE'sches Gesetz ............................................................................ 72  5.2.1  Eindimensionaler Spannungszustand .................................... 72  5.2.2  Ebener Spannungszustand .................................................... 74  5.2.3  Ebener Verzerrungszustand ................................................... 75  5.2.4  Räumlicher Spannungszustand .............................................. 76  5.3  Elastizität und Plastizität ...................................................................... 84  5.4  Praktische Anwendung des HOOKE'schen Gesetzes bei DMS ............. 85  5.5  Aufgaben zu Kapitel 5 .......................................................................... 92  6  Festigkeitshypothesen ..................................................................... 93  6.1  Festigkeitsnachweis ............................................................................. 95  6.2  Versagensarten .................................................................................... 96  6.3  Festigkeitshypothesen ......................................................................... 97  6.4  Normalspannungshypothese (NH) ....................................................... 98  6.5  Schubspannungshypothese (SH) ........................................................ 99  6.5.1  Herleitung der SH ................................................................. 100  6.5.2  Anwendung der SH .............................................................. 101  6.6  Gestaltänderungsenergiehypothese (GEH) ....................................... 102  6.6.1  Herleitung der GEH .............................................................. 102  6.6.2  Anwendung der GEH ............................................................ 104  6.7  Vergleich der Festigkeitshypothesen ................................................. 105  6.8  Dimensionierung ................................................................................ 106  6.9  Aufgaben zu Kapitel 6 ........................................................................ 112  7  Stäbe und Stabsysteme .................................................................. 113  7.1  Modellannahmen für Stäbe ................................................................ 115  7.2  Der homogene Stab ........................................................................... 115  7.2.1  Elastizitätsgesetz für den Stab ............................................. 116  7.2.2  Allgemeine Stabverlängerung .............................................. 117  7.2.3  Sonderfälle der Stabverlängerung ........................................ 117  7.3  Der inhomogene Stab ........................................................................ 120  7.3.1  Gleichgewichtsbedingung ..................................................... 121  7.3.2  Differenzialgleichung für den Stab ........................................ 121  7.3.3  Integrationsmethode für den Stab ........................................ 122  7.4  Wärmedehnungen und -spannungen ................................................. 129  7.5  Beispiele für Stabprobleme ................................................................ 131  7.5.1  Stab mit konstantem Querschnitt und konstanter Kraft ........ 131  7.5.2  Stab mit veränderlichem Querschnitt und konstanter Kraft .. 131  7.5.3  Mehrfeldstab mit konstanter Kraft ......................................... 131  7.6  Stabsysteme ...................................................................................... 132  7.7  Aufgaben zu Kapitel 7 ........................................................................ 137