Werner Schiehlen Peter Eberhard Technische Dynamik 5. Auflage Technische Dynamik (cid:2) Werner Schiehlen Peter Eberhard Technische Dynamik 5., überarbeitete und aktualisierte Auflage WernerSchiehlen PeterEberhard InstitutfürTechnischeundNumerische InstitutfürTechnischeundNumerische Mechanik Mechanik UniversitätStuttgart UniversitätStuttgart Stuttgart,Deutschland Stuttgart,Deutschland ISBN978-3-658-18456-8 ISBN978-3-658-18457-5(eBook) DOI10.1007/978-3-658-18457-5 DieDeutscheNationalbibliothekverzeichnetdiesePublikationinderDeutschenNationalbibliografie;detaillier- tebibliografischeDatensindimInternetüberhttp://dnb.d-nb.deabrufbar. SpringerVieweg ©SpringerFachmedienWiesbadenGmbH1986,2004,2012,2014,2017 DasWerkeinschließlichallerseinerTeileisturheberrechtlichgeschützt.JedeVerwertung,dienichtausdrücklich vomUrheberrechtsgesetzzugelassenist,bedarfdervorherigenZustimmungdesVerlags.Dasgiltinsbesondere fürVervielfältigungen,Bearbeitungen,Übersetzungen,MikroverfilmungenunddieEinspeicherungundVerar- beitunginelektronischenSystemen. DieWiedergabevonGebrauchsnamen,Handelsnamen,Warenbezeichnungenusw.indiesemWerkberechtigt auchohnebesondereKennzeichnungnichtzuderAnnahme,dasssolcheNamenimSinnederWarenzeichen- undMarkenschutz-Gesetzgebungalsfreizubetrachtenwärenunddahervonjedermannbenutztwerdendürften. DerVerlag,dieAutorenunddieHerausgebergehendavonaus,dassdieAngabenundInformationenindiesem WerkzumZeitpunktderVeröffentlichungvollständigundkorrektsind.WederderVerlagnochdieAutorenoder dieHerausgeberübernehmen,ausdrücklichoderimplizit,GewährfürdenInhaltdesWerkes,etwaigeFehler oderÄußerungen.DerVerlagbleibtimHinblickaufgeografischeZuordnungenundGebietsbezeichnungenin veröffentlichtenKartenundInstitutionsadressenneutral. Lektorat:ThomasZipsner GedrucktaufsäurefreiemundchlorfreigebleichtemPapier. SpringerViewegistTeilvonSpringerNature DieeingetrageneGesellschaftistSpringerFachmedienWiesbadenGmbH DieAnschriftderGesellschaftist:Abraham-Lincoln-Str.46,65189Wiesbaden,Germany Vorwort zur fünften Auflage DieAnregungdesSpringerViewegVerlags,dievierteAuflageunseresBuchesTechnischeDy- namikzuüberarbeitenundzuaktualisieren,habenwirgerneaufgegriffen.Durchdenintensiven EinsatzdesLehrbuchsimakademischenUnterrichterhaltenwirimmerwiederAnregungenzur verbesserten Darstellung der verschiedenen Modellierungsmethoden, die wir zusammen mit ei- nigenFehlerkorrekturenindiefünfteAuflageaufgenommenhaben. Unverändertgilt,dassdieTechnischeDynamikindenletztenJahrenüberihreoriginärenAn- wendungen im Maschinenbau und im Fahrzeugbau hinaus Eingang in zahlreiche neue Gebiete gefunden hat. Die Modelle der Roboterdynamik werden erfolgreich in der Biomechanik einge- setzt, räumliche Drehgelenke dienen der Entwicklung von Mittelohrprothesen, die Kontaktmo- delle für wenige Körper werden auch bei Partikelsystemen mit sehr vielen Teilchen eingesetzt. Andererseits erfordert der modellgestützte Entwurf von Regelungseinrichtungen niedrigdimen- sionale Systeme wie sie die Mehrkörperdynamik liefert. Große Modelle mit finiten Elementen lassensichmitneuenMethodenderModellreduktionbeigegebenenFehlerschrankenabbilden. DarüberhinaussindeffizienteModellefürdiesichraschentwickelndeSimulationstechnologie unabdingbar. AlledieseHerausforderungenundVerfahrenerfordernumfangreicheKenntnissederGrundla- genderTechnischenDynamik,diefürdieakademischeAusbildungunverändertaktuellsind.Die VorlesungenandeneinzelnenHochschulenunddieSeminarevonWeiterbildungseinrichtungen derIndustrieaufdiesemGebiethabendiewesentlicheAufgabeeineraxiomatischen,rechnerge- stützten Modellbildung mechanischer Systeme, wodurch sich die Entwicklungszeit innovativer ProdukteverkürztunddieKostensinken.DerAufbauunddieGliederungdesBucheshabensich gutbewährt,sodasssieunverändertbeibehaltenwerden.DieGelegenheitwurdejedochgenutzt, umDruckfehlerzukorrigierenundvielekleinereundgrößereÄnderungenvorzunehmen.Auch dasLiteraturverzeichniswurdeaktualisiert. Die englische Übersetzung des Buches ist mit dem Titel ’Applied Dynamics’ 2014 erschie- nen und auch international auf großes Interesse gestoßen. Zur Zeit befindet sich eine russische ÜbersetzungkurzvorderFertigstellung. Vielen aufmerksamen Lesern, den Mitarbeiterinnen und Mitarbeitern des Institut für Tech- nische und Numerische Mechanik sowie allen Studierenden danken wir für Hinweise und An- fragen, die in das überarbeitete Manuskript eingeflossen sind ebenso wie bei der Mithilfe zur ErstellungeinigerüberarbeiteterZeichnungen.UnseremLektor,HerrnThomasZipsner,danken wirfürdiestetsfreundlicheZusammenarbeitunddieErmutigungzudieserneuenAuflage.Wir freuen uns weiterhin über die Mitteilung von Anmerkungen und eventuellen Fehlern, die sich auchbeisorgfältigerDurchsichtnievollständigvermeidenlassenunddiewiraufderWebseite desBucheswww.itm.uni-stuttgart.de/buch_technische_dynamikfortlaufend dokumentieren.Wirhoffen,dassdasBuchauchweiterhininderLehreundderpraktischenTätig- keitnützlichseinwirdundwünschendeninteressiertenLeserinnenundLesernvielErfolgund FreudebeiderBeschäftigungmitdiesemfürunssofaszinierendenStoff. Stuttgart,imApril2017 WernerSchiehlenundPeterEberhard VI Vorwort zur ersten Auflage DasvorliegendeBuchentstandaufdiedankenswerteAnregungmeinesverehrtenLehrers,Herrn Prof. Dr. Kurt Magnus. Es geht zurück auf Vorlesungen über Technische Dynamik und Ma- schinendynamik an der Technischen Universität München und der Universität Stuttgart, sowie aufArbeitenüberRoboterdynamikwährendeinesForschungssemestersimHauseM.A.N.Neue Technologie,München. Die Technische Dynamik, ein Teilgebiet der Technischen Mechanik, ist heute eine weit ver- zweigte Wissenschaft mit Anwendungen im Maschinen- und Fahrzeugbau, in der Raumfahrt undbishineinindieRegelungstechnik.IneinemeinführendenLehrbuchkönnendeshalbnurdie GrundlagenundeinzelneBeispieledargestelltwerden.EsistabereinAnliegendiesesinerster LiniefürIngenieuregeschriebenenBuches,dieheutegebräuchlichenBerechnungsmethodenauf einergemeinsamenBasisdarzustellen.ZudiesemZweckwirddieanalytischeMechanikheran- gezogen, wobei sich das d’Alembertsche Prinzip in der Lagrangeschen Fassung als besonders fruchtbarerweist.Soistesmöglich,dieMethodederMehrkörpersysteme,dieMethodederFini- tenElementeunddieMethodederkontinuierlichenSystemeineinheitlicherWeisezubehandeln. DadurchistesdemStudierendenmöglich,mitgeringeremAufwandeintieferesVerständniszu erreichen.DerIngenieurinderPraxiswirddarüberhinausindieLageversetzt,Berechnungser- gebnissebesserbeurteilenzukönnen. DasBuchgliedertsichinneunKapitel.InderEinleitungwirddasProblemderModellbildung angesprochen, das zweite Kapitel ist der Kinematik gewidmet. Die kinematischen Grundlagen sindsehrausführlichdargestellt,dasienichtnurinderKinetik,sondernauchfürdiePrinzipien deranalytischenMechanikbenötigtwerden.DiekinetischenGrundlagenwerdenfürdenMassen- punkt,denstarrenKörperunddasKontinuumimdrittenKapitelzusammengestellt.Dannfolgen im Kapitel 4 die Prinzipe der Mechanik, von denen aber nur die für technische Anwendungen wichtigen besprochen werden. Die Kapitel 5, 6 und 7 sind dann der Reihe nach den Mehrkör- persystemen,denFinite-Elemente-SystemenunddenkontinuierlichenSystemengewidmet.Die Bewegungsgleichungen werden im achten Kapitel in die für alle mechanischen Systeme ein- heitlichenZustandsgleichungenübergeführt.EinigeFragendernumerischenLösungsverfahren werdenimneuntenKapitelaufgezeigt. DieumfangreicheLiteraturistnurspärlichzitiert,wieeseinLehrbuchverlangt.Durchdieein- heitlicheDarstellungverschiedenerMethodenwaresnichtimmermöglich,diegebräuchlichen Formelzeichenzuverwenden.FürZweifelsfällestehteineListederFormelzeichenimAnhang zurVerfügung.InderSchreibweisewirdzwischenVektoren,MatrizenundTensorennichtunter- schieden,nachMöglichkeitwurdenfürVektorenkleineBuchstaben,fürMatrizenundTensoren großeBuchstabenbenutzt.ZurleichterenUnterscheidungsindVektoren,MatrizenundTensoren fettgedruckt. MeinenMitarbeitern,HerrnDr.-Ing.EdwinKreuzerundHerrnDipl.-Math.DieterSchramm dankeichfürdiesorgfältigeDurchsichtdesManuskripts.DieSchreibarbeitenhatFrauBrigitte Arnold auf dem von Herrn Dipl.-Ing. Jochen Rauh entwickelten Textsystem zu meiner vollen Zufriedenheit erledigt. Dem Verlag B.G. Teubner gebührt mein Dank für die Geduld und die stetsfreundlicheZusammenarbeit. Stuttgart,imHerbst1984 WernerSchiehlen Inhaltsverzeichnis 1 Einleitung 1 1.1 AufgabenderTechnischenDynamik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.2 BeiträgederanalytischenMechanik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.3 ModellbildungmechanischerSysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.3.1 Mehrkörpersysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.3.2 Finite-Elemente-Systeme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.3.3 KontinuierlicheSysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.3.4 FlexibleMehrkörpersysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.3.5 AuswahleinesmechanischenErsatzsystems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.3.6 ZahlderFreiheitsgrade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 2 KinematischeGrundlagen 11 2.1 FreieSysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 2.1.1 KinematikdesPunktes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 2.1.2 KinematikdesstarrenKörpers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.1.3 KinematikdesKontinuums. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 2.2 HolonomeSysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 2.2.1 Punktsysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 2.2.2 Mehrkörpersysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 2.2.3 Kontinuum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 2.3 NichtholonomeSysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 2.4 RelativbewegungdesKoordinatensystems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 2.4.1 BewegtesKoordinatensystem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 2.4.2 FreieundholonomeSysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 2.4.3 NichtholonomeSysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 2.5 LinearisierungderKinematik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 3 KinetischeGrundlagen 65 3.1 KinetikdesPunktes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 3.1.1 NewtonscheGleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 3.1.2 Kräftearten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 3.2 KinetikdesstarrenKörpers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 3.2.1 NewtonscheundEulerscheGleichungen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 3.2.2 MassengeometriedesstarrenKörpers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 3.2.3 RelativbewegungdesKoordinatensystems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 3.3 KinetikdesKontinuums . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 3.3.1 CauchyscheGleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 3.3.2 HookeschesMaterialgesetz. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 3.3.3 Reaktionsspannungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 VIII Inhaltsverzeichnis 4 PrinzipederMechanik 83 4.1 PrinzipdervirtuellenArbeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 4.2 Prinzipevond’Alembert,JourdainundGauß . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 4.3 PrinzipderminimalenpotentiellenEnergie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 4.4 HamiltonschesPrinzip . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 4.5 LagrangescheGleichungenersterArt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 4.6 LagrangescheGleichungenzweiterArt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 5 Mehrkörpersysteme 97 5.1 LokaleBewegungsgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 5.2 Newton-EulerscheGleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 5.3 BewegungsgleichungenidealerSysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 5.3.1 GewöhnlicheMehrkörpersysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 5.3.2 AllgemeineMehrkörpersysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 5.4 ReaktionsgleichungenidealerSysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118 5.4.1 BerechnungvonReaktionskräften . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118 5.4.2 Festigkeitsabschätzung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122 5.4.3 MassenausgleichinMehrkörpersystemen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124 5.5 Bewegungs-undReaktionsgleichungennichtidealerSysteme . . . . . . . . . . . . 127 5.6 KreiselgleichungenvonSatelliten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129 5.7 FormalismenfürMehrkörpersysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131 5.7.1 NichtrekursiveFormalismen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131 5.7.2 RekursiveFormalismen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137 6 Finite-Elemente-Systeme 143 6.1 LokaleBewegungsgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143 6.1.1 Tetraederelement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144 6.1.2 RäumlichesBalkenelement. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145 6.2 GlobaleBewegungsgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150 6.3 FlexibleMehrkörpersysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153 6.3.1 RelativeKnotenpunktkoordinatenimbewegtenBzugssystem . . . . . . . . . . 154 6.3.2 AbsoluteKnotenpunktskoordinatenimInertialsystem. . . . . . . . . . . . . . 156 6.3.3 EbeneBalkensysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157 6.4 Festigkeitsberechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163 7 KontinuierlicheSysteme 165 7.1 LokaleBewegungsgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165 7.2 EigenfunktionenvonStäben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167 7.3 GlobaleBewegungsgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170 8 ZustandsgleichungenmechanischerSysteme 175 8.1 NichtlineareZustandsgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175 8.2 LineareZustandsgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176 8.3 TransformationlinearerGleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176 8.4 Normalformen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179 Inhaltsverzeichnis IX 9 NumerischeVerfahren 183 9.1 IntegrationnichtlinearerDifferentialgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183 9.2 LineareAlgebrazeitinvarianterSysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185 9.3 VergleichdermechanischenModelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188 Anhang 193 A MathematischeHilfsmittel 195 A.1 DarstellungvonFunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195 A.2 Matrizenalgebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196 A.3 Matrizenanalysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199 A.4 ListewichtigerFormelzeichen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200 Literaturverzeichnis 205 Stichwortverzeichnis 209 1 Einleitung DieTechnischeDynamikbeschäftigtsichmitdemBewegungsverhaltenundderBeanspruchung mechanischerSysteme,siestütztsichdabeiaufdieKinematik,dieKinetikunddiePrinzipiender analytischenMechanik.DiemechanischenSystemesindinderRegelalstechnischeKonstruktio- nengegeben.ZuihrermathematischenUntersuchungistdieBeschreibungdurchErsatzsysteme oder Modelle erforderlich. Nach der Art der Modellbildung unterscheiden wir in diesem Buch Mehrkörpersysteme,Finite-Elemente-SystemeundkontinuierlicheSysteme.Allediesemechani- schenModelleführenüberihreBewegungsgleichungenaufZustandsgleichungen,diesichnach einheitlichenGesichtspunktennumerischlösenlassen. DieTechnischeDynamikhatsichausderklassischenMaschinendynamikderKraftmaschinen entwickelt. Sie umfasst heute aber auch die Biomechanik, die Baudynamik, die Fahrzeugdyna- mik,dieRoboterdynamik,dieRotordynamik,dieSatellitendynamikundgroßeTeilederSystem- dynamik. Eine gemeinsame Klammer all dieser eigenständigen Disziplinen stellen die mecha- nischenSystemedar,derenModellierungimmeramAnfangihrertechnisch-wissenschaftlichen Untersuchungsteht. 1.1 AufgabenderTechnischenDynamik FürdieAufgabenderTechnischenDynamikgiltauchheutenochunverändert,wasBiezenound Grammel[9]imJahre1939imVorwortihresgleichnamigenBuchesgeschriebenhaben ‘Bei der Gliederung und Behandlung des Stoffes haben wir uns stets vor Augen gehalten, dasseinProblemfürdieTechniknurdannlösenswertist,wenneseinepraktischeAnwen- dungsmöglichkeit hat, und dass eine technische Aufgabe erst dann als gelöst betrachtet werden kann, wenn die Lösung sich auch zahlenmäßig mit erträglichem Rechenaufwand bisinalleEinzelheitenauswertenlässt.’ In diesem Sinne stellt die Technische Dynamik ein wichtiges Teilgebiet der Mechanik dar, das heute ohne den Einsatz von Computern nicht mehr auskommt und somit auch zum Fachgebiet ’ComputationalMechanics’gehört. DieAufgabenderTechnischenDynamikergebensichunmittelbarausdeningenieurmäßigen Forderungen der Praxis. Ein mechanisches System soll oft Bewegungen ausführen, den Bean- spruchungenstandhaltenunddieUmweltnichtbelasten.AmBeispieleinesKolbenmotorssind möglicheAufgabeninBild1.1dargestellt. ZurLösungdieserAufgabenwerdenzunächstdieBewegungsgleichungenunddieReaktions- gleichungenmechanischerSystemebenötigt,diemitHilfederanalytischenMechanikgewonnen werdenkönnen. © Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH 2017 W. Schiehlen, P. Eberhard, Technische Dynamik, DOI 10.1007/978-3-658-18457-5_1