Rick Voßwinkel Systematische Analyse und Entwurf von Regelungseinrichtungen auf Basis von Lyapunov’s direkter Methode Systematische Analyse und Entwurf von Regelungseinrichtungen auf Basis von Lyapunov's direkter Methode Rick Voßwinkel Systematische Analyse und Entwurf von Regelungseinrichtungen auf Basis von Lyapunov's direkter Methode Rick Voßwinkel Leipzig, Deutschland Die Promotion wurde durch die Studienstiftung des deutschen Volkes gefördert. Die vorliegende Arbeit wurde unter dem Titel „Systematische Analyse und Ent- wurf von Regelungseinrichtungen auf Basis von Lyapunov’s direkter Methode“ am 12.07.2019 als Dissertation zur Erlangung des akademischen Grades Doktoringenieur (Dr.-Ing.) an der Fakultät Elektrotechnik und Informationstechnik der Technischen Universität Dresden verteidigt. Vorsitzender: Univ.-Prof. Dr. techn. Klaus Janschek (TU Dresden) Gutachter: Prof. Dr.-Ing. habil. Dipl.-Math. Klaus Röbenack (TU Dresden) Gutachter: Prof. Dr.-Ing. Hendrik Richter (HTWK Leipzig) Tag der Einreichung: 27.02.2019 Tag der Verteidigung: 12.07.2019 ISBN 978-3-658-28060-4 ISBN 978-3-658-28061-1 (eBook) https://doi.org/10.1007/978-3-658-28061-1 Die Deutsche Nationalbibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen National- bibliografie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internet über http://dnb.d-nb.de abrufbar. Springer Vieweg © Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH, ein Teil von Springer Nature 2019 Das Werk einschließlich aller seiner Teile ist urheberrechtlich geschützt. Jede Verwertung, die nicht ausdrücklich vom Urheberrechtsgesetz zugelassen ist, bedarf der vorherigen Zustimmung des Verlags. Das gilt insbesondere für Vervielfältigungen, Bearbeitungen, Übersetzungen, Mikroverfilmungen und die Einspeicherung und Verarbeitung in elektronischen Systemen. Die Wiedergabe von allgemein beschreibenden Bezeichnungen, Marken, Unternehmensnamen etc. in diesem Werk bedeutet nicht, dass diese frei durch jedermann benutzt werden dürfen. Die Berechtigung zur Benutzung unterliegt, auch ohne gesonderten Hinweis hierzu, den Regeln des Markenrechts. Die Rechte des jeweiligen Zeicheninhabers sind zu beachten. Der Verlag, die Autoren und die Herausgeber gehen davon aus, dass die Angaben und Informa- tionen in diesem Werk zum Zeitpunkt der Veröffentlichung vollständig und korrekt sind. Weder der Verlag, noch die Autoren oder die Herausgeber übernehmen, ausdrücklich oder implizit, Gewähr für den Inhalt des Werkes, etwaige Fehler oder Äußerungen. Der Verlag bleibt im Hinblick auf geografische Zuordnungen und Gebietsbezeichnungen in veröffentlichten Karten und Institutionsadressen neutral. Springer Vieweg ist ein Imprint der eingetragenen Gesellschaft Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH und ist ein Teil von Springer Nature. Die Anschrift der Gesellschaft ist: Abraham-Lincoln-Str. 46, 65189 Wiesbaden, Germany V Vorwort DievorliegendeDissertationsschriftbesch¨aftigtsichmitdersystematischenAnaly- se dynamischer Systeme und dem konstruktiven Regelungsentwurf auf Basis von Lyapunov-Methoden. Sie entstand im Rahmen eines kooperativen Promotionsver- fahrens der Technischen Universit¨at Dresden, sowie der Hochschule fu¨r Technik, WirtschaftundKulturLeipzigundwurdedurcheinPromotionsstipendiumderStu- dienstiftungdesdeutschenVolkesgef¨ordert. Mein besonderer Dank gilt meinen beiden Betreuern Herrn Prof. Dr.-Ing. habil. Dipl.-Math.KlausR¨obenackundProf.Dr.-Ing.HendrikRichterfu¨rdiezahlreichen Gespr¨ache,HinweiseundAnregungenw¨ahrenddergesamtenBearbeitungszeit.Ohne ihrevielf¨altigenUnterstu¨tzungenw¨aredieseArbeitnichtm¨oglichgewesen.Außerdem m¨ochte ich mich bei Herrn Dr.-Ing. Frank Schr¨odel, Herrn Dr.-Ing. Lorenz Pyta, Herrn Dr. I˙lhan Mutlu, Herrn Prof. Dr.-Ing. Naim Bajcinca und Herrn Dipl.-Ing. Dinu Mihailescu-Stoica fu¨r die wertvollen Diskussionen im Rahmen gemeinsamer Ver¨offentlichungenbedanken. MeinDankgiltweiterhinmeinenKollegenamInstitutfu¨rRegelungs-undSteuer- ungstheoriederTechnischenUniversit¨atDresdenundderFakult¨atElektrotechnik undInformationstechnikderHochschulefu¨rTechnik,WirtschaftundKulturLeipzig fu¨reineVielzahlvoninspirierendenGespr¨achen. NichtzuletztdankeichmeinerFrauYvonneundmeinenKindernThor,Ole,Lina undIdafu¨rihreendloseUnterstu¨tzung,GeduldundVerst¨andnis.Siesindeinest¨andige InspirationundichverdankeihnenmehralsichinderLagebinauszudru¨cken. Leipzig,August2019 RickVoßwinkel VII Inhaltsverzeichnis 1 Einleitung 1 1.1 Problemstellung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.2 Beitr¨ageundAufbauderArbeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 2 Begriffe und Ans¨atze zur Lyapunov-basierten Stabilit¨atsanalyse 7 2.1 NichtlineareSystemeundStabilit¨at . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 2.2 DirekteMethodevonLyapunov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 2.3 Lyapunov-Methodenfu¨rlineareSystemeinZustandsraumdarstellung 13 2.4 Lyapunov-Methodenfu¨rlineareDeskriptorsysteme . . . . . . . . . . 16 2.5 Eingangs-Zustands-Stabilit¨at. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2.6 InkrementelleStabilit¨atundinkrementelleEingangs-Zustands-Stabilit¨at 23 3 Quadratsummenzerlegung zur numerischen Stabilit¨atsanalyse 29 3.1 PolynomeundQuadratsummen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 3.1.1 PolynomeundsemidefiniteProgrammierung . . . . . . . . . . 29 3.1.2 Positivstellensatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 3.2 RationaleUmformungnicht-polynomialerVektorfelder . . . . . . . . 35 3.3 Stabilit¨atsanalysedesumgeformtenSystems . . . . . . . . . . . . . . 39 3.4 Eingangs-Zustands-Stabilit¨atdesumgeformtenSystems . . . . . . . . 47 3.5 InkrementelleEingangs-Zustands-Stabilit¨atdesumgeformtenSystems 52 4 Stabilit¨atsuntersuchung mit Quantorenelimination 57 4.1 Quantoreneliminationaufreell-abgeschlossenenZahlenk¨orpern . . . . 58 4.2 Stabilit¨atsanalysemittelsQuantorenelimination . . . . . . . . . . . . 61 4.2.1 Stabilit¨atsuntersuchunglinearerSystemeimZustandsraum . . 61 4.2.2 Stabilit¨atsuntersuchunglinearerDeskriptorsysteme . . . . . . 64 4.2.3 Stabilit¨atsuntersuchungnichtlinearerSysteme . . . . . . . . . 66 4.2.4 NichtpolynomialeSysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 4.3 Eingangs-Zustands-Stabilit¨at . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 5 Parameterraum-Methoden zur Stabilit¨atsanalyse linearer Systeme 79 VIII Inhaltsverzeichnis 5.1 Parameterraum-Ansatzfu¨rZustandsraumsysteme . . . . . . . . . . . 80 5.2 Parameterraum-Ansatzfu¨rDeskriptorsysteme . . . . . . . . . . . . . 84 6 Reglerentwurf 89 6.1 Regelungs-Lyapunov-Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 6.1.1 Regelungs-Lyapunov-Funktionenfu¨rpolynomialeSysteme . . 89 6.1.2 Regelungs-Lyapunov-Funktionenfu¨rnicht-polynomialeSysteme 95 6.1.3 ISS-Regelungs-Lyapunov-Funktionen . . . . . . . . . . . . . . 96 6.2 Gu¨teanforderungenanlineareZustandsraumsysteme . . . . . . . . . 101 6.2.1 Grundidee . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 6.2.2 Einstellzeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 6.2.3 D¨ampfung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 6.2.4 FrequenzbasierendeKriterien . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108 6.2.5 Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109 6.2.6 DiskreteSysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112 7 Zusammenfassung und Ausblick 121 7.1 Zusammenfassung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121 7.2 Ausblick . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124 Anhang 125 A Rationale Umformung eines Laufkatzen-Modells 127 B Rationale Umformung eines Bru¨ckenkran-Modells 129 Literaturverzeichnis 133 IX Abbildungsverzeichnis 1 Einleitung 1 1 AufbauderArbeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 2 Begriffe und Ans¨atze zur Lyapunov-basierten Stabilit¨atsanalyse 7 2 Stabilit¨atimSinnevonLyapunovundasymptotischeStabilit¨at . . . 10 3 ZustandsdiagrammdesSystemsvonVinograd . . . . . . . . . . . . . 11 4 Vergleichsfunktionenfu¨rpos.DefinitheitundradialeUnbeschr¨anktheit 12 5 VeranschaulichungderEingangs-Zustands-Stabilit¨at . . . . . . . . . . 21 6 KaskadierteKopplung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 7 VeranschaulichungderinkrementellenglobalenasymptotischenStabilit¨at 24 8 VeranschaulichungderinkrementellenEingangs-Zustands-Stabilit¨at . 26 9 ZusammenhangzwischenδISS,ISS,δGAS,GAS . . . . . . . . . . . . 26 3 Quadratsummenzerlegung zur numerischen Stabilit¨atsanalyse 29 10 ZusammenhangzwischendemSOS-Programm,demsemidefinitenPro- grammundSOSTOOLS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 11 FurutaPendel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 12 ZustandsdiagrammdesFurutaPendels . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 13 Beh¨altersystem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 14 TaylorapproximationderDurchflussgeschwindigkeit . . . . . . . . . . 55 4 Stabilit¨atsuntersuchung mit Quantorenelimination 57 15 MengederstabilisierendenParametervonBeispiel4.2. . . . . . . . . 65 16 ZustandsdiagrammedesBeispiels4.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 17 VergleichderFunktionenα=x2,α=x4 undα= 14|x|1+|x1| . . . . . . 75 18 KaskadierteDarstellungdesBeispiels4.8 . . . . . . . . . . . . . . . . 77 5 Parameterraum-Methoden zur Stabilit¨atsanalyse linearer Systeme 79 19 MengeallerstabilisierendenParameterdesSystems5.1 . . . . . . . . 83 20 Chua-Schaltung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 21 KennliniederChua-Diode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 X Abbildungsverzeichnis 22 Stabilit¨atsgrenzenderChua-Schaltung . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 6 Reglerentwurf 89 23 VerlaufderZust¨andedesgeregeltenBeispiels6.1. . . . . . . . . . . . 93 24 VerlaufderZust¨andedesgeregeltenFurutaPendels . . . . . . . . . . 96 25 L¨osungsgebietderquantorenfreienAussage(6.37) . . . . . . . . . . . 99 26 VerhaltendesBeispiels6.3beiunterschiedlichenEingangsst¨orungen . 100 27 Gu¨tegebieteinderkomplexenEbene . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 28 EigenwertederErsatzmatrixfu¨rdenD¨ampfungsfall . . . . . . . . . . 105 29 PID-geregeltesFahrzeug:Gu¨tegrenzenderEinschwingzeitfu¨rKP . . 110 30 PID-geregeltesFahrzeug:Gu¨tegrenzenderEinschwingzeitfu¨rKIundKD111 31 PID-geregeltesFahrzeug:Gu¨tegrenzenderD¨ampfungfu¨rKI undKD 111 32 PID-geregeltesFahrzeug:Gu¨tegrenzenderEigenkreisfrequenzfu¨rKI undKD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112 33 PID-geregeltesFahrzeug:Gu¨tegrenzenderKennkreisfrequenzfu¨rKI undKD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113 34 PID-geregeltesFahrzeug:Gu¨tegrenzendiverserKriterienfu¨rKP undKD113 35 DiskreteGu¨tegebieteinderkomplexenEbene . . . . . . . . . . . . . 115 36 ErsatzschaltbildeinesGleichstrommotors . . . . . . . . . . . . . . . 117 37 Gleichstrommotor:Gu¨tegrenzenderEinschwingzeitfu¨rk1 undk2 . . 118 38 Gleichstrommotor:Gu¨tegrenzenderD¨ampfungfu¨rk1 undk2 . . . . . 118 39 Gleichstrommotor:Gu¨tegrenzenderD¨ampfungfu¨rLundR . . . . . 119 7 Zusammenfassung und Ausblick 121 A Rationale Umformung eines Laufkatzen-Modells 127 40 Laufkatze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128 B Rationale Umformung eines Bru¨ckenkran-Modells 129 XI Symbolverzeichnis N0,N Mengedernatu¨rlichenZahlenab0bzw.1 Z MengederganzenZahlen R,C K¨orperderreellenbzw.komplexenZahlen R+ Mengedernicht-negativenreellenZahlen ⊆,⊂ Teilmenge,echteTeilmenge Kn n-dimensionalerVektorraumu¨berdenK¨orperK Kn×m Vektorraumder(n×m)-Matrizenu¨berdenK¨orperK ⊕ direkteSumme MT,M∗ Transponiertebzw.AdjungiertezurMatrixM M−1,M† Inversebzw.Moore-Penrose-InversezurMatrixM det(·) DeterminantederMatrix rang(·) RangderMatrix M (cid:5)0,M (cid:6)0 positivdefinitebzw.positivsemidefiniteMatrixM I Einheitsmatrix ⊗ Kronecker-Produkt ∃,∀ Existenzquantor,Allquantor ∧,∨,¬ logischesUnd,Oder,Nicht =⇒, ⇐⇒ Implikationbzw.A¨quivalenz f(cid:3)(x),f(cid:3)(cid:3)(x),f(i) erste,zweite,i-teAbleitungvonf bzgl.x x˙,x¨,x(i) erste,zweite,i-tezeitlicheAbleitungvonx |·| BetragdesObjektes· Ck Mengederk-malstetigdifferenzierbarenFunktionen deg(·) OrdnungdesPolynoms (a,b),[a,b),[a,b] offenes,halboffenes,geschlossenesIntervall ∅ leereMenge ∈ Elementvon L V(x) Lie-AbleitungdesSkalarfeldesV entlangdesVektorfeldesf. f span{v1,...,vr} lineareHu¨llederVektorenv1,...,vr ∂ partielleAbleitungnachx ∂x ||·|| P-Norm P ||·||∞ Supremumsnorm