Dtto Mildenberger System- und Signaltheorie Literatur für das _____________.. ..... Grundstudium Mathematik für Ingenieure und Naturwissenschaftler von L. Papula, 3 Bände Mathematik für Ingenieure und Naturwissenschaftler Übungen von L. Papula Mathematische Formelsammlung für Ingenieure und Naturwissenschaftler von L. Papula Physik von J. Eichler Lehr- und Übungsbuch der Technischen Mechanik von H. H. Gloistehn, 3 Bände Elektrotechnik für Ingenieure von W. Weißgerber, 3 Bände Elemente der angewandten Elektronik von E. Böhmer Rechenübungen zur angewandten Elektronik von E. Böhmer Elektronik von B. Morgenstern, 3 Bände Simulieren mit PSPICE von D. Ehrhardt und J. Schulte Arbeitshllfen und Formeln für das technische Studium Band 4: Elektrotechnik, Elektronik, Digitaltechnik von W. Böge Elektrische Meßtechnik von K. Bergmann Werkstotlkunde für die Elektrotechnik von P. Guillery, R. Hezel und B. Reppich ________________________________ ~eweg ~ atto Mildenberger System-und Signaltheorie Grundlagen für das informationstechnische Studium 3., überarbeitete und erweiterte Auflage Mit 166 Bildern aI Vleweg CIP-Codierung angefordert 1. Auflage 1988 2., verbesserte Auflage 1989 3., überarbeitete und erweiterte Auflage 1995 Alle Rechte vorbehalten © Springer Fachmedien Wiesbaden 1995 Ursprünglich erschienen bei Friedr. Vieweg & Sohn Verlagsgesellschaft mbH, Braunschweig/Wiesbaden 1995 Das Werk einschließlich aller seiner Teile ist urheberrechtlich geschützt. Jede Verwertung außerhalb der engen Grenzen des Urheberrechtsgesetzes ist ohne Zustimmung des Verlages unzulässig und strafbar. Das gilt ins besondere für Vervielfältigungen, Übersetzungen, Mikroverfilmungen und die Einspeicherung und Verarbeitung in elektronischen Systemen. Umschlaggestaltung: Klaus Birk, Wiesbaden Gedruckt auf säurefreiem Papier ISBN 978-3-528-23039-5 ISBN 978-3-663-11579-3 (eBook) DOI 10.1007/978-3-663-11579-3 Vorwort Die Systemtheorie ist eine grundlegende Theorie zur Beschreibung von Signalen und Systemen der Informationstechnik. Systemtheoretische Verfahren spielen auch in der Meß- und Regelungstechnik eine wichtige Rolle. Ihre Bedeutung wird durch Anwendungen im mehr dimensionalen Bereich (Bildverarbeitung, optische Systeme) in Zukunft noch weiter zunehmen. Das vorliegende Buch soll eine erste Einführung in die Grundlagen der Signal- und Systemtheorie vermitteln. Es ist als Begleitbuch zu Vorlesungen und besonders auch zum Selbststudium konzipiert. Eine Einführung in die Systemtheorie ist ohne einen gewissen mathematischen Aufwand nicht möglich, es wurde aber versucht, mit möglichst geringen mathematischen Voraussetzungen auszukommen. Häufig enthält das Buch ausführlichere Erklärungen zu Ableitungen, wie dies bei Büchern über dieses Thema sonst üblich ist. Andererseits wird oft auf eine mathematisch strenge Beweisführung zugunsten von Plausibilitätserklärungen verzichtet. Zum guten Verständnis des Stoffes sollen auch die zahlreichen voll durchgerechneten Beispiele beitragen. Eine große Zahl weiterer Übungsbeispie1e findet der Leser darüber hinaus noch in der Aufgabensammlung zu diesem Buch (siehe Literaturverzeichnis [16]). Das Buch gliedert sich in acht Abschnitte. Nach einer Einleitung wird im 2. Abschnitt zuerst der Dirac-Impuls eingeführt. Nach einer Einführung der Begriffe Übertragungsfunktion und Impulsantwort wird die Berechnung von Systemreaktionen mit dem Faltungsintegral behandelt. Im 3. Abschnitt wird die Fourier-Transformation eingeführt, sie wird zur Beschreibung von Signalen und bei der Berechnung von Systemreaktionen angewandt. Die Fourier-Trans formation ist auch ein wichtiges Hilfsmittel zur Beschreibung idealisierter Übertragungs systeme, denen der 4. Abschnitt gewidmet ist. Der 5. Abschnitt befaßt sich in kurzer Form mit der Laplace-Transformation und ihren Anwendungen in der Systemtheorie. Die immer wichtiger werdenden zeitdiskreten Signale und Systeme werden im Abschnitt 6 behandelt, dabei kann auf Ergebnisse der früheren Abschnitte zurückgegriffen werden. Die Abschnitte 7 und 8 befassen sich mit Zufallssignalen, deren Beschreibung im Zeit- und Frequenzbereich sowie Systemreaktionen auf zufällige Eingangssignale. Im Anhang A sind wichtige Ergebnisse aus der Wahrscheinlichkeitsrechnung zusammengestellt. VI Vorwort Im Anhang B wird das Programm SIGNAL beschrieben, das zusätzlich zu diesem Buch erhältlich ist. Das Programm ist als Lernprogramm konzipiert und soll den Leser bei der Durcharbeitung des Stoffes und der Lösung der Übungsaufgaben zusätzlich unterstützen. Die erste und zweite Auflage dieses Buches erschienen 1987 und 1989. Die vorliegende dritte Auflage wurde vollständig neu gestaltet und an zahlreichen Stellen erweitert. Besonderen Dank schulde ich meiner Frau, die den größten Teil der mühsamen Schreibarbeit übernommen hat. Dem Verlag danke ich für die angenehme Zusammenarbeit. Mainz, im Februar 1995 Otto Mildenberger Inhaltsverzeichnis 1 Einleitung ................................................................................................................. . 1.1 Aufgaben der Systemtheorie ........................................................................... . 1.2 Die Signale ............................. .... .................. ................. ..................... ........... ... 2 1.3 Normierung ....................................................................................................... 3 2 Die wichtigsten Grundlagen aus der Signal-und Systemtheorie .............................. 5 2.1 Die Impulsfunktion oder der Dirac-Impuls ..................................................... 5 2.1.1 Eine wichtige Eigenschaft der Impulsfunktion .. ........................ .............. 8 2.1.2 Die Sprungfunktion und ihr Zusammenhang zum Dirac-Impuls ............ 10 2.1.3 Die Ausblendeigenschaft der Impulsfunktion ................. ............... ......... 14 2.1.4 Zusätzliche Beispiele .............. ...................... ........................................... 16 2.2 Systemeigenschaften .......... ............................ ...................... ............................ 16 2.2.1 Linearität .................................. ....................... .......... ............................... 17 2.2.2 Zeitinvarianz ... ......................... ....................... ......................................... 20 2.2.3 Stabilität ................................................................................................... 21 2.2.4 Kausalität .............................. ..................... ................................... ........... 21 2.3 Das Faltungsintegral ......................................................................................... 22 2.3.1 Die Sprungantwort und die Impulsantwort .............................................. 22 2.3.2 Eine Ableitung des Faltungsintegrals ...................................................... 25 2.3.3 Beispiele zur Auswertung des Faltungsintegrals ..................................... 27 2.3.4 Ein Stabilitätskriterium ............................................................................ 35 2.3.5 Ein Kriterium für die Kausalität von Systemen ....................................... 36 2.4 Die Übertragungsfunktion .................. ..................... ......................................... 36 2.4.1 Eine Definition der Übertragungsfunktion ..... ................................ ......... 36 2.4.2 Der Zusammenhang zur komplexen Rechnung ....................................... 38 2.4.3 Der Zusammenhang zur Differentialgleichung und Beispiele ................. 39 2.5 Zusätzliche Beispiele ... ...... ............................. ........................... ....................... 41 3 Die Fourier-Transformation und Anwendungen ..... .................................................. 45 3.1 Periodische Funktionen .................................................................................... 45 3.2 Die Grundgleichungen der Fourier-Transformation ......................................... 49 3.3 Zusammenstellung von Eigenschaften der Fourier-Transformation ................ 50 3.3.1 Die Existenz von Fourier-Transformierten .............................................. 50 3.3.2 Darstellungsarten für FUro) ..................................................................... 51 3.3.3 Zusammenstellung weiterer Eigenschaften ............................................. 52 3.4 Grundlegende Beispiele und Folgerungen aus der Fourier-Transformation .... 55 3.4.1 Die Fourier-Transformierte von Ö(t) ........................................................ 55 3.4.2 Die Fourier-Transformierten der Signum-und der Sprungfunktion ........ 57 3.4.3 Fourier-Transformierte von periodischen Funktionen ............................. 61 3.4.4 Impulsbreite und Bandbreite .................................................................... 64 3.4.5 Die Fourier-Transformierte von f(t) = s(t)e -at ...•••................................... 67 vm Inhaltsverzeichnis 3.5 Die Berechnung von Systemreaktionen mit der Fourier-Transformation ........ 68 3.5.1 Systernreaktionen von Systemen mit einem Energiespeicher ................. 70 3.5.2 Systeme mit zwei Energiespeichern ........................................................ 76 3.5.3 Weitere Beispiele ..................................................................................... 80 3.6 Das Abtasttheorem ........................................................................................... 82 3.7 Bemerkungen zur diskreten Fourier-Transformation ....................................... 86 4 Ideale Übertragungssysteme ..... ......................... ...................... .................. ............... 89 4.1 Dämpfung und Phase ........................................................................................ 89 4.2 Die verzerrungsfreie Übertragung .................................................................... 91 4.3 Der ideale Tiefpaß ............................................................................................ 93 4.3.1 Die Übertragungsfunktion ....................................................................... 93 4.3.2 Impuls-und Sprungantwort ..................................................................... 95 4.3.3 Ergänzungen ............................................................................................ 98 4.3.4 Beispiele ................................................................................................... 101 4.4 Der ideale Hochpaß .......................................................................................... 105 4.5 Der ideale Bandpaß .......................................................................................... 107 4.5.1 Übertragungsfunktion und Impulsantwort ............................................... 107 4.5.2 Die Reaktion eines Bandpasses auf amplitudenmodulierte Signale ........ 108 4.6 Die ideale Bandsperre ....................................................................................... 112 5 Die Laplace-Transformation und einige Anwendungen in der Systemtheorie ......... 113 5.1 Die Grundgleichungen und einführende Beispiele ........................................... 113 5.1.1 Die Grundgleichungen .... >• ••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••• 113 5.1.2 Einführende Beispiele, der Konvergenzbereich ...................................... 115 5.1.3 Zusammenhang zwischen Fourier-und Laplace-Transformation ........... 118 5.2 Zusammenstellung von Eigenschaften der Laplace-Transformation ............... 120 5.3 Rationale Laplace-Transformierte .................................................................... 121 5.3.1 Das Pol-Nullstellenschema ...................................................................... 121 5.3.2 Die Rücktransformation bei einfachen Polstellen .................................... 123 5.3.3 Die Rücktransformation bei mehrfachen Polen ....................................... 127 5.4 Berechnung von Systernreaktionen mit der Laplace-Transformation .............. 129 5.4.1 Voraussetzungen und die Methode .......................................................... 129 5.4.2 Beispiele ................................................................................................... 131 5.5 Die Berechnung von Netzwerkreaktionen bei gegebenen Anfangsbedingungen ........................................................................................ 135 5.5.1 Differentiation im Zeitbereich ................................................................. 135 5.5.2 Die Problemstellung ................................................................................. 138 5.5.3 Berechnung am Beispiel von Netzwerken mit zwei Energiespeichern ... 141 6 Zeitdiskrete Signale und Systeme ............................................................................. 145 6.1 Einleitung .......................................................................................................... 145 6.1.1 Das Prinzip der zeitdiskreten und digitalen Signalverarbeitung .............. 145 6.1.2 Einige Grundlagen ................................................................................... 146 6.2 Die Faltungssumme .......................................................................................... 148 6.3 Die Übertragungsfunktion ................................................................................ 153 Inhaltsverzeichnis IX 6.4 Die z-Transformation ...................................................................................... . 156 6.4.1 Die Grundgleichungen und einführende Beispiele ................................ .. 156 6.4.2 Die z-Transformierte der Impulsantwort und der Zusammenhang zur Übertragungsfunktion ............................................................................. . 158 6.4.3 Zusammenstellung wichtiger Eigenschaften der z-Transformation ...... .. 160 6.4.4 Rationale z-Transformierte .................................................................... . 161 6.4.5 Die Berechnung von Systemreaktionen mit der z-Transformation ........ . 165 6.5 Die Beschreibung zeitdiskreter Systeme durch Differenzengleichungen ...... .. 168 6.5.1 Differenzengleichungen 1. und 2. Ordnung ............................................ . 168 6.5.2 Der allgemeine Fall ................................................................................. . 171 6.6 Der Ersatz kontinuierlicher durch zeitdiskrete Systeme .................................. . 172 6.6.1 Der Ersatz für bestimmte Eingangssignale ............................................ .. 172 6.6.2 Die Bilinear-Transformation ................................................................... . 174 7 Stochastische Signale .............................................................................................. .. 177 7.1 Die Beschreibung von zufälligen Signalen .................................................... .. 177 7.1.1 Ein einfaches Beispiel für ein Zufallssignal .......................................... .. 178 7.1.2 Stationäre und ergodische Zufallsprozesse ............................................ .. 180 7.1.2.1 Stationarität ................................................................................... .. 180 7.1.2.2 Ergodische Zufallssignale .. ...................................... ....................... 182 7.2 Korrelationsfunktionen ..................................................................................... 184 7.2.1 Eigenschaften von Autokorrelationsfunktionen ...................................... 184 7.2.2 Beispiele ................................................................................................... 187 7.2.3 Kreuzkorrelationsfunktionen ................................................................... 189 7.2.4 Korrelationsfunktionen zeitdiskreter Signale .......................................... 192 7.2.5 Bemerkungen zur Messung von Korrelationsfunktionen ........................ 193 7.3 Korrelationsfunktionen periodischer Signale ................................................... 193 7.4 Das Erkennen stark gestörter periodischer Signale .......................................... 196 7.4.1 Die Meßmethode zur Ermittlung der Periode .......................................... 196 7.4.2 Die Meßmethode zur Ermittlung der Signalform .................................... 200 7.5 Die Beschreibung von Zufallssignalen im Frequenzbereich ............................ 203 7.5.1 Die spektrale Leistungsdichte .... ........ ................................................ ...... 203 7.5.2 Die spektrale Leistungsdichte als Zeitmittelwert ..................................... 205 7.5.3 Zusammenstellung von Eigenschaften der spektralen Leistungsdichte ... 209 7.5.4 Weißes Rauschen ..................................................................................... 210 7.5.5 Beispiele und Anwendungen ................................................................... 212 7.5.6 Das Kreuzleistungsspektrum ................................................................... 217 7.5.7 Bemerkungen zur Beschreibung zeitdiskreter Signale im Frequenz- bereich ...................................................................................................... 217 8. Lineare Systeme mit zufälligen Eingangssignalen ................................................... 220 8.1 Vorbemerkungen und Voraussetzungen ........................................................... 220 8.2 Systemreaktionen bei zufälligen Eingangssignalen ......................................... 221 8.2.1 Mittelwert und Autokorrelationsfunktion ................................................ 221 8.2.2 Die spektrale Leistungsdichte der Systemreaktion .................................. 223 8.2.3 Beispiele ................................................................................................... 225