Statistique La théorie et ses applications Deuxième édition avec exercices corrigés Springer Paris Berlin Heidelberg New York Hong Kong Londres Milan Tokyo Michel Lejeune Statistique La théorie et ses applications Deuxième édition avec exercices corrigés Michel Lejeune Professeur émérite Université de Grenoble 2 IUT 2 département statistique BP 47 38040 Grenoble cedex 9 ISBN :978-2-8178-0156-8 Springer Paris Berlin Heidelberg New York © Springer-Verlag France, Paris, 2010 Imprimé en France Springer-Verlag France est membre du groupe Springer Science + Business Media Cet ouvrage est soumis au copyright. Tous droits réservés,notamment la reproduction et la représentation, la traduction,la réimpression,l’exposé,la reproduction des illustrations et des tableaux,la transmission par voie d’enregistrement sonore ou visuel,la reproduction par microfilm ou tout autre moyen ainsi que la conservation des banques de données. La loi française sur le copyright du 9septembre 1965 dans la version en vigueur n’autorise une reproduction intégrale ou partielle que dans certains cas,et en principe moyennant le paiement de droits. Toute représentation,reproduction,contrefaçon ou conservation dans une banque de données par quelque procédé que ce soit est sanctionnée par la loi pénale sur le copyright. L’utilisation dans cet ouvrage de désignations, dénominations commerciales, marques de fabrique, etc. même sans spécification ne signifie pas que ces termes soient libres de la législation sur les marques de fabrique et la protection des marques et qu’ils puissent être utilisés par chacun. La maison d’édition décline toute responsabilité quant à l’exactitude des indications de dosage et des modes d’emploi. Dans chaque cas,il incombe à l’usager de vérifier les informations données par comparaison à la littérature existante. Maquette de couverture :Jean-François Montmarché c détail du tableau " Chrysler impressions " de Philippe Lejeune (1990) Collection Statistique et probabilités appliquées dirigée par Yadolah Dodge Professeur Honoraire Université de Neuchâtel Suisse [email protected] Comité éditorial : Christian Genest Stephan Morgenthaler Département de Mathématiques École Polytechnique Fédérale et de statistique de Lausanne Université Laval Département des Mathématiques Québec GIK7P4 1015 Lausanne Canada Suisse Marc Hallin Gilbert Saporta Université libre de Bruxelles Conservatoire national Campus de la Plaine CP210 des arts et métiers 1050 Bruxelles 292,rue Saint-Martin Belgique 75141 Paris Cedex 3 France Ludovic Lebart Aurore Delaigle Télécom-ParisTech Departement of Mathematics and statistics 46,rue Barrault Richard Berry Building 75634 Paris Cedex 13 The university of Melbourne France VIC, 3010 Australia Christian Mazza Louis-Paul Rivest Département de mathématiques Département de mathématiques et de statistique Université de Fribourg Université Laval Chemin du Musée 23 1045, rue de la Médecine CH-1700 Fribourg Québec G1V OA6 Suisse Canada Dans la même collection : – Statistique. La théorie et ses applications Michel Lejeune,avril 2004 – Optimisation appliquée Yadolah Dodge,octobre 2004 – Le choix bayésien.Principes et pratique Christian P.Robert,novembre 2005 – Maîtriser l’aléatoire.Exercices résolus de probabilités et statistique Eva Cantoni,Philippe Huber,Elvezio Ronchetti,novembre 2006 – Régression.Théorie et applications Pierre-André Cornillon,Éric Matzner-Løber,janvier 2007 – Le raisonnement bayésien.Modélisation et inférence Éric Parent,Jacques Bernier,juillet 2007 – Premiers pas en simulation Yadolah Dodge,Giuseppe Melfi,juin 2008 – Génétique statistique Stephan Morgenthaler,juillet 2008 – Pratique du calcul bayésien Jean-Jacques Boreux,Éric Parent,2009 – Maîtriser l'aléatoire Eva Cantoni, Philippe Huber, Elvezio Ronchetti, septembre 2009 À paraître : – Le logiciel R Pierre Lafaye de Micheaux, Rémi Drouilhet, Benoit Liquet, 2010 AVANT-PROPOS L’objectifdecetouvrageestderendreaccessibleslesfondementsth´eoriques de la statistique a` un public de niveau math´ematique moyen : ´etudiants du premier cycle des fili`eres scientifiques, ´el`eves ing´enieurs, chercheurs dans les domainesappliqu´es(´economie,gestion,biologie,m´edecine,g´eographie,sciences de la vie, psychologie... ) et, plus g´en´eralement, tous les chercheurs d´esireux d’approfondir leur compr´ehension des r´esultats utilis´es dans la pratique. Pour cesderniersunminimumdeconnaissancedel’arri`ere-planth´eoriqueapportera unevisionplusclaireetpluscritiquedesm´ethodesqu’ilsemploientetpermettra d’´eviter bien des ´ecueils. Les pr´erequis principaux sont la maˆıtrise de la d´erivation, de l’int´egration et de bases minimales du calcul des probabilit´es. Sur le plan purement math´e- matique, nous pensons que l’essentiel de l’expos´e est accessible `a quiconque auraitparfaitementassimil´eleprogrammed’unbacscientifique.Ilrestecepen- dant quelques notions qui ne sont abord´ees qu’en premier cycle sup´erieur, no- tammentlesapproximationspard´eveloppementdeTaylor,lesd´eveloppements en s´erie enti`ere, les fonctions de plusieurs variables (d´erivation et int´egration) et, tr`es marginalement, le calcul matriciel. Mais ces notions n’interviennent le plus souvent que dans les aspects techniques de d´emonstration, ce qui ne devrait pas nuire a` la compr´ehension des concepts. Pour satisfaire la curio- sit´e de math´ematiciens qui voudraient, par la lecture de cet ouvrage, s’initier sans peine `a la science statistique, mention sera faite ici ou la` de r´esultats ou d´emonstrations exigeant des connaissances plus approfondies d’analyse. Ces ´el´ements seront consign´es en petits caract`eres, g´en´eralement dans des «notes» d´etach´eesquel’onpourraignorertotalement.Quelquesexercicesplusdifficiles, rep´er´es par un ast´erisque, leur sont ´egalement propos´es. Notonsquelespremierschapitresconcernentlath´eoriedesprobabilit´esqui, toutefois,estabord´eenoncommeunefinensoimaisdefac¸onsimplifi´eedansla perspective de ce qui est n´ecessaire pour la th´eorie statistique de l’estimation et des tests. Pour atteindre l’objectif fix´e nous avons pris le parti de toujours privil´egier la facilit´e de compr´ehension au d´etriment ´eventuel de la puret´e formelle (si tant est qu’elle existe). Nous sommes d’avis que trop de formalisme nuit a` l’assimilation des concepts et qu’il faut s’efforcer sans cesse de s’en tenir `a un niveau compatible avec celui des connaissances du public vis´e. Ceci a ´et´e un souci constant dans la r´edaction. Cela ne signifie pas que nous ayons renonc´e `a la rigueur du propos, c’est-a`-dire a` la coh´erence des ´el´ements apport´es tout au long de l’ouvrage. Par ailleurs, nous faisons partie de ceux qui pensent que la statistique ne rel`eve pas uniquement de la math´ematique qui n’est qu’un instrument. Sa viii Statistique - La th´eorie et ses applications raison d’ˆetre consiste `a appr´ehender le monde r´eel `a partir des observations que l’on en fait. C’est pourquoi la discipline est rang´ee dans le domaine des math´ematiquesappliqu´ees,cetermenedevantpas,`anotresens,resterunvain mot. Fid`ele `a cette vision nous avons tent´e de commenter le plus largement possible les concepts et r´esultats de fac¸on concr`ete pour montrer leur utilit´e dansl’approchedur´eel.Dansleschapitresd´ebouchantimm´ediatementsurdes m´ethodes usuelles nous avons ´egalement introduit des exercices «appliqu´es» pour illustrer l’int´erˆet et la mise en oeuvre des principes th´eoriques. L’ouvrage n’est donc pas uniquement un trait´e math´ematique. Cela a motiv´e le choix de son sous-titre «La th´eorie et ses applications» pour marquer la distinction, mˆeme si son objectif premier reste l’expos´e de la th´eorie. L’essentiel de l’apport de cette nouvelle ´edition est constitu´e des corrig´es d´etaill´esdesexercicespropos´es.Cettedemandem’a´et´efaitedefa¸conr´ecurrente etilestvraiquecescorrig´esdoiventpermettred’am´eliorer nettementl’assimi- lation de la mati`ere. Je remercie mes coll`egues Alain Latour et Pierre Lafaye de Micheaux pour leur aide technique pr´ecieuse ainsi qu’Alain Catalano, Yves-Alain Gerber, J´eroˆme Hennet, Alexandre Junod, Julien Junod, Vincent Voirol et Mathieu Vuilleumier pour leurs appr´eciations. J’adressedesremerciementsparticuliers`aYadolahDodge,directeurdecette collection «Statistique et probabilit´es appliqu´ees», sans les encouragements duquel cet ouvrage n’aurait sans doute pas abouti. MichelLejeune Grenoble,juin2010 Table des mati`eres 1 Variables al´eatoires 1 1.1 Notion de variable al´eatoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.2 Fonction de r´epartition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.3 Cas des variables al´eatoires discr`etes . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.4 Cas des variables al´eatoires continues . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.5 Notion essentielle de quantile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.6 Fonction d’une variable al´eatoire . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.7 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 2 Esp´erance math´ematique et moments 15 2.1 Introduction et d´efinition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2.2 Esp´erance d’une fonction d’une variable al´eatoire . . . . . . . . 16 2.3 Lin´earit´e de l’op´erateur E(.), moments, variance . . . . . . . . 18 2.4 Tirage al´eatoire dans une population finie : distribution empi- rique et distribution probabiliste . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.5 Fonction g´en´eratrice des moments . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.6 Formulesd’approximationdel’esp´eranceetdelavarianced’une fonction d’une v.a. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 2.7 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 3 Couples et n-uplets de variables al´eatoires 27 3.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 3.2 Couples de v.a. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 3.3 Ind´ependance de deux variables al´eatoires . . . . . . . . . . . . 31 3.4 Esp´erance math´ematique, covariance, corr´elation . . . . . . . . 32 3.5 Somme de deux v.a. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 3.6 Les n-uplets de v.a.; somme de n v.a. . . . . . . . . . . . . . . 37 3.7 Sondage al´eatoire dans une population et v.a. i.i.d. . . . . . . . 38 3.8 Notation matricielle des vecteurs al´eatoires . . . . . . . . . . . 39 3.9 Loi de Gauss multivari´ee . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 3.10 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43