Collection Σ Statistique etprobabilités appliquées Valentin Rousson Statistique appliquée aux sciences de la vie Springer Statistique appliquée aux sciences de la vie Springer Paris Berlin Heidelberg New York Hong Kong Londres Milan Tokyo Valentin Rousson Statistique appliquée aux sciences de la vie Springer Valentin Rousson Institut Universitaire de Médecine Sociale et Préventive (IUMSP) Centre Hospitalier Universitaire Vaudois et Université de Lausanne Route de la Corniche 10 1010 Lausanne Suisse (cid:44)SBN 978-2-8178-0393-7 Springer Paris Berlin Heidelberg New York © Springer-Verlag France, 2013 Springer-Verlag France est membre du groupe Springer Science + Business Media Cet ouvrage est soumis au copyright. Tous droits réservés, notamment la reproduction et la représentation, la traduction, la réimpression, l’exposé, la reproduction des illustrations et des tableaux, la transmission par voie d’enregistrement sonore ou visuel, la reproduction par microfilm ou tout autre moyen ainsi que la conservation des banques de données. La loi française sur le copyright du 9 septembre 1965 dans la version en vigueur n’autorise une reproduction intégrale ou partielle que dans certains cas, et en principe moyennant les paiements des droits. Toute représentation, reproduction, contrefaçon ou conservation dans une banque de données par quelque procédé que ce soit est sanctionnée par la loi pénale sur le copyright. L’utilisation dans cet ouvrage de désignations, dénominations commerciales, marques de fabrique, etc., même sans spécification ne signifie pas que ces termes soient libres de la législation sur les marques de fabrique et la protection des marques et qu’ils puissent être utilisés par chacun. La maison d’édition décline toute responsabilité quant à l’exactitude des indications de dosage et des modes d’emplois. Dans chaque cas il incombe à l’usager de vérifier les informations données par comparaison à la littérature existante. DANGER Maquette de couverture : Jean-François Montmarché PHOTOCLOEPILLAGE TUE LE LIVRE Collection Statistique et probabilités appliquées dirigée par Yadolah Dodge Professeur Honoraire Université de Neuchâtel Suisse [email protected] Comité éditorial : Aurore Delaigle Christian Mazza Département de mathématiques Département de mathématiques et de statistique Université de Fribourg Université de Melbourne Chemin du Musée 23 Victoria 3010 CH-1700 Fribourg Australie Suisse Christian Genest Stephan Morgenthaler Département de mathématiques École Polytechnique Fédérale et de statistique de Lausanne Université McGill Département de Mathématiques Montréal H3A 2K6 1015 Lausanne Canada Suisse Marc Hallin Louis-Paul Rivest Université libre de Bruxelles Département de mathématiques Campus de la Plaine et de statistique CP 210 Université Laval 1050 Bruxelles Québec G1V (cid:50)(cid:36)(cid:25) Belgique Canada Ludovic Lebart Gilbert Saporta Télécom-ParisTech Conservatoire national 46, rue Barrault des arts et métiers 75634 Paris Cedex 13 292, rue Saint-Martin France 75141 Paris Cedex 3 France Dans la même collection : – Statistique. La théorie et ses applications Michel Lejeune, avril 2004 – Optimisation appliquée Yadolah Dodge, octobre 2004 – Le choix bayésien. Principes et pratique Christian P. Robert, novembre 2005 – Régression. Théorie et applications Pierre-André Cornillon, Éric Matzner-Løber, janvier 2007 – Le raisonnement bayésien. Modélisation et inférence Éric Parent, Jacques Bernier, juillet 2007 – Premiers pas en simulation Yadolah Dodge, Giuseppe Melfi, juin 2008 – Génétique statistique Stephan Morgenthaler, juillet 2008 – Maîtriser l’aléatoire. Exercices résolus de probabilités et statistique, 2e édition Eva Cantoni, Philippe Huber, Elvezio Ronchetti, septembre 2009 – Pratique du calcul bayésien Jean-Jacques Boreux, Éric Parent, décembre 2009 – Statistique. La théorie et ses applications, 2e édition Michel Lejeune, septembre 2010 – Le logiciel R Pierre Lafaye de Micheaux, Rémy Drouilhet, Benoît Liquet, novembre 2010 – Probabilités et processus stochastiques Yves Caumel, avril 2011 – Analyse statistique des risques agro-environnementaux David Makowski, Hervé Monod, septembre 2011 Préface Ce texte d’introduction à la statistique a été initialement écrit en tant que support d’un cours intitulé « Statistique pour biologistes » dispensé aux étu- diants de deuxième année du Bachelor ès Sciences en biologie à l’Université de Lausanne (UNIL). Comme les méthodes et la philosophie de la statistique ne diffèrent pas vraiment d’un domaine d’application à un autre, nous avons l’intention de réutiliser tout ou partie de ce support pour d’autres cours d’in- troduction à la statistique destinés à des étudiants en médecine, pharmacie, neuroscience ou méthodologie clinique. C’est pourquoi ce texte est intitulé « Statistique appliquée aux sciences de la vie ». Nousavonsessayéd’écrireuntextequisoitlepluspossibleautonomeetqui ne repose pas sur une littérature statistique abondante. Nous ne faisons égale- ment que peu de référence à l’utilisation d’un logiciel statistique. Les quelques foisoùnousl’avonsfait,ils’agitdulogicielgratuitR(www.r-project.org).Il nes’agitdoncpasd’unmanueld’utilisationdelastatistique,maisd’unouvrage qui doit nous aider à comprendre les principes importants de la statistique. Les exemples présentés proviennent de différents domaines des sciences de la vie. Certaines des données utilisées sont des données réelles (dont la source est alors indiquée dans le texte), d’autres sont des données fictives. Précisons toutefoisquelaplupartdesanalysesprésentéessontengrandepartiesortiesde leurcontexte,desortequelesrésultatsquiendécoulentn’onticiaucunevaleur scientifique sérieuse. Ces exemples servent avant tout à illustrer l’application des méthodes statistiques. Les étudiants des diverses sciences de la vie ont au moins deux points en commun.Lepremierestquelessciencesqu’ilsétudientsontloind’êtreexactes et les méthodes élémentaires de la statistique leur sont particulièrement utiles. Le second est qu’ils sont peu habitués au formalisme mathématique, très pré- sentdanslasciencestatistiqueetquiamalheureusementmauvaiseréputation. Cecinepeutêtrecependantqu’unmalentenducarleformalismemathématique nedevraitpasvenircompliquerunexposé,maislepréciseretleclarifier.Aussi, bien que nous sommes restés un peu informels sur certains points, notamment en ce qui concerne la définition des variables aléatoires, et plus généralement sur les concepts de probabilités, nous n’avons pas renoncé aux formules ma- thématiques, notre devise étant qu’« une belle formule vaut mieux que mille mots ». De nombreuses notes de bas de page contiennent des développements vii viii et commentaires qui intéresseront peut-être les statisticiens plus expérimen- tés et qui permettront de faire le lien avec d’autres ouvrages plus avancés ou mathématiquement plus rigoureux. Que ce soit avec des mots ou avec des formules, notre but principal est resté toutefois de motiver au mieux l’introduction de chaque nouveau concept statistique, de discuter en détail de son interprétation, de son utilité, de sa valeur ajoutée et de sa relation avec les autres concepts. Nous pensons que la clédelacompréhensiondelastatistiquesetrouvedanscequenousavonsappelé le«paradigmedelastatistique»,àsavoirlefaitqu’unestimateurpeutêtrevu commeunevariable,cequipermetdefairelelienentrelastatistiquedescriptive et la statistique inférentielle et de donner ainsi à un cours de statistique une certaine unité de doctrine. JetiensàremercierYadolahDodgequim’aencouragéàécrirecetouvrage, AlfioMarazziquim’aaidéàsimplifiercertainspassages(dontletitredulivre), Patrick Taffé qui m’a suggéré de nombreuses lectures statistiques intéressantes dont quelques-unes sont citées ici, ainsi que Philippe Vuistiner qui a relu et commentédifférentesversionsdecetexte.JeremercieégalementDieterHäring, OskarJenni,RemoLargoetPeterVollenweiderquim’ontmisàdispositiondes ensembles de données utilisés dans cet ouvrage. Valentin Rousson Décembre 2012 Sommaire Préface vii Table des matières ix 1 Premiers concepts 1 1.1 Population, variable et échantillon . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.2 Échantillonnage et indépendance . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.3 Principaux types de variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 2 Distribution d’une variable 7 2.1 Distribution d’une variable qualitative . . . . . . . . . . . . . . 7 2.2 Distribution d’une variable continue . . . . . . . . . . . . . . . 9 2.3 Densité de probabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 2.4 Boxplot et quantiles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 2.5 Mesures de tendance centrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2.6 Mesures de variabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2.7 Changement d’unités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2.8 Distribution normale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2.9 Distribution normale standardisée . . . . . . . . . . . . . . . . 26 2.10 Variable standardisée et qq-plot . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 2.11 Mesures de non-normalité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 2.12 Transformation logarithmique . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 2.13 Distribution d’une variable binaire . . . . . . . . . . . . . . . . 35 3 Estimation 37 3.1 Distribution d’un estimateur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 3.2 Variable aléatoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 3.3 Distribution de la moyenne d’un échantillon . . . . . . . . . . 40 3.4 Distribution de la variance d’un échantillon . . . . . . . . . . . 44 3.5 Distribution d’une proportion calculée dans un échantillon . . 46 3.6 Distribution exacte d’une proportion calculée dans un échantillon 47