Giovanni Gallavotti STATISTICAL MECHANICS Short Treatise Roma (cid:1)(cid:2)(cid:2)(cid:2) (cid:1) Short treatise of Statistical Mechanics Giovanni Gallavotti Dipartimento di Fisica Universit(cid:1)a di Roma La Sapienza (cid:2)(cid:2)(cid:3)(cid:4)(cid:5) Roma Roma (cid:3)(cid:6)(cid:6)(cid:4) (cid:1) i A Daniela(cid:1) sempre Preface Thisbookistheendresultofalongstorythatstartedwithmyinvolvement as Coordinator of the Statistical Mechanics section of the Italian Encyclo(cid:2) pedia of Physics(cid:1) AnItalianeditioncollectingseveralpapersthatIwrotefortheEncyclope(cid:2) dia appeared in September (cid:3)(cid:4)(cid:4)(cid:5)(cid:6) with the permission of the Encyclopedia and the sponsorship of Consiglio Nazionale delle Ricerche (cid:7)CNR(cid:2)GNFM(cid:8)(cid:1) The present workis not a translation of the Italian versionbut it overlaps withit(cid:9) animportantpartofit(cid:7)Ch(cid:1)I(cid:6)II(cid:6)III(cid:6)VIII(cid:8) isstillbasedonthreearti(cid:2) cleswrittenasentriesforthe(cid:10)it EncicoplediadellaFisica(cid:7)namely(cid:9) (cid:11)Mec(cid:2) canica Statistica(cid:12)(cid:6) (cid:11)Teoria degli Insiemi(cid:12) and (cid:11)Moto Browniano(cid:12)(cid:8) which make up about (cid:13)(cid:4)(cid:14) of the present book and(cid:6) furthermore(cid:6) it still contains (cid:7)withlittleeditingandupdating(cid:8)myoldreviewarticleonphasetransitions (cid:7)Ch(cid:1)VI(cid:6) published in La Rivista del Nuovo Cimento(cid:8)(cid:1) In translating the ideas into English(cid:6) I introduced many revisions and changes of perspective as well as new material (cid:7)while also suppressing some other material(cid:8)(cid:1) The aim was to provide an analysis(cid:6) intentionally as nontechnical as I was able to make it(cid:6) of many fundamental questions of Statistical Mechanics(cid:6) about two centuries after its birth(cid:1) Only in a very few places have I en(cid:2) tered into really technical details(cid:6) mainly on subjects that I should know ratherwellorthatIconsiderparticularlyimportant(cid:7)theconvergenceofthe Kirkwood(cid:2)Salsburg equations(cid:6) the existence of the thermodynamic limit(cid:6) the exact soltution ofthe Isingmodel(cid:6) and in partthe exact solution of the six vertex models(cid:8)(cid:1) The points of view expressed here were presented in innumerable lectures and talks mostly to my students in Roma during the last(cid:13)(cid:5)years(cid:1) They arenot always(cid:11)mainstreamviews(cid:12)(cid:15) but Iamcon(cid:16)dent thattheyarenottoofarfromthe conventionallyaccepted(cid:11)truth(cid:12)andIdo not consider it appropriate to list the di(cid:17)erences from other treatments(cid:1) I shall consider this book a success if it prompts comments (cid:7)even if dictated by strong disagreement or dissatisfaction(cid:8) on the (cid:7)few(cid:8) points that might be controversial(cid:1) This would mean that the work has attained the goal of being noticed and of being worthy of criticism(cid:1) I hope that this work might be useful to students by bringing to their at(cid:2) tention problems which(cid:6) because of (cid:3)concreteness necessities(cid:4) (cid:7)i(cid:5)e(cid:5) because such matters seem useless(cid:6) or sometimes simply because of lack of time(cid:8)(cid:6) are usually neglected even in graduate courses(cid:1) ThisdoesnotmeanthatIintendtoencouragestudentstolookatquestions dealingwiththefoundationsofPhysics(cid:1) Iratherbelievethatyoungstudents shouldrefrainfromsuchactivities(cid:6)whichshould(cid:6)possibly(cid:6)becomeasubject ii of investigation after gaining an experience that only active and advanced research can provide (cid:7)or at least the attempt at pursuing it over many years(cid:8)(cid:1) AndinanyeventIhopethatthecontentsandtheargumentsIhave selected will convey my appreciation for studies on the foundations that keep a strong character of concreteness(cid:1) I hope(cid:6) in fact(cid:6) that this book will be considered concrete and far from speculative(cid:1) Notthat studentsshouldnot developtheir ownphilosophical beliefs about the problems of the area of Physics that interests them(cid:1) Although one shouldbeawarethatanyphilosophicalbelief on the foundationsofPhysics (cid:7)and Science(cid:8)(cid:6) no matter how clear and irrefutable it might appear to the personwhodeveloped it afterlong meditations and unending vigils(cid:6) isvery unlikely to look less than objectionable to any other person who is given a chance to think about it(cid:6) it is nevertheless necessary(cid:6) in order to grow original ideas or even to just perform work of good technical quality(cid:6) to possess precise philosophical convictions on the rerum natura(cid:1) Provided one is always willing to start afresh(cid:6) avoiding(cid:6) above all(cid:6) thinking one has (cid:16)nally reached the truth(cid:6) unique(cid:1) unchangeable and objective (cid:7)into whose existence only vain hope can be laid(cid:8)(cid:1) Iam gratefulto the Enciclopedia Italiana forhaving stimulatedthe begin(cid:2) ningandtherealizationofthiswork(cid:6)byassigningmethetaskofcoordinat(cid:2) ingtheStatisticalMechanicspapers(cid:1) Iwanttostressthatthe(cid:16)nancialand cultural support from the Enciclopedia have been of invaluable aid(cid:1) The atmosphere created by the Editors and by my colleagues in the few rooms of their facilities stimulated me deeply(cid:1) It is important to remark on the rather unusual editorial enterprise they led to(cid:9) it was not immediately an(cid:2) imated by the logic of pro(cid:16)t that moves the scienti(cid:16)c book industry which is very concerned(cid:6) at the same time(cid:6) to avoid possible costly risks(cid:1) IwanttothankG(cid:1)Alippi(cid:6)G(cid:1)Altarelli(cid:6)P(cid:1)DominiciandV(cid:1)Cappellettiwho madea(cid:16)rstversionin Italianpossible(cid:6) mainly containingtheEncyclopedia articles(cid:6)byallowingthecollectionandreproductionofthetextsofwhichthe Encyclopediaretainstherights(cid:1) IamindebtedtoV(cid:1)Cappellettiforgranting permissiontoincludeherethethreeentriesIwrotefortheEnciclopedia delle Scienze Fisiche (cid:7)which is now published(cid:8)(cid:1) I also thank the Nuovo Cimento for allowing the use of the (cid:3)(cid:4)(cid:18)(cid:13)review paper on the Ising model(cid:1) I am indebted for critical comments on the various drafts of the work(cid:6) in particular(cid:6) to G(cid:1) Gentile whose comments have been an essential con(cid:2) tribution to the revision of the manuscript(cid:15) I am also indebted to several colleagues(cid:9) P(cid:1) Carta(cid:6) E(cid:1) J(cid:19)arvenpa(cid:19)(cid:19)a(cid:6) N(cid:1) Nottingham and(cid:6) furthermore(cid:6) M(cid:1) Campanino(cid:6) V(cid:1) Mastropietro(cid:6) H(cid:1) Spohn whose invaluable comments made the book more readable than it would otherwise have been(cid:1) Giovanni Gallavotti Roma(cid:6) January (cid:3)(cid:4)(cid:4)(cid:4) iii Index I(cid:7) Classical Statistical Mechanics (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:2) (cid:2)(cid:1)(cid:2)Introduction (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:3) (cid:2)(cid:1)(cid:4)MicroscopicDynamics (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:5) (cid:2)(cid:1)(cid:3)TimeAveragesandtheErgodicHypothesis (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:2)(cid:4) (cid:2)(cid:1)(cid:5)RecurrenceTimesandMacroscopicObservables (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:2)(cid:6) (cid:2)(cid:1)(cid:7) Statistical Ensembles or (cid:8)Monodes(cid:9) and Models of Thermodynamics(cid:1) Thermody(cid:10) namicswithoutDynamics (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:2)(cid:11) (cid:2)(cid:1)(cid:6) Models of Thermodynamics(cid:1) Microcanonical and Canonical Ensembles and the Er(cid:10) godicHypothesis (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:4)(cid:4) (cid:2)(cid:1)(cid:12)CritiqueoftheErgodicHypothesis (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:4)(cid:7) (cid:2)(cid:1)(cid:11) Approach to Equilibriumand Boltzmann(cid:13)s Equation(cid:1) Ergodicity and Irreversibility (cid:4)(cid:11) (cid:2)(cid:1)(cid:14) A Historical Note(cid:1) The Etymology of the Word (cid:8)Ergodic(cid:9) and the Heat Theorems (cid:3)(cid:12) Appendix(cid:2)(cid:1)A(cid:2)(cid:1) MonocyclicSystems(cid:15)KeplerianMotionsand ErgodicHypothesis (cid:1) (cid:5)(cid:7) Appendix(cid:2)(cid:1)A(cid:4)(cid:1) Grad(cid:10)BoltzmannLimitandLorentz(cid:13)sGas (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:5)(cid:11) II(cid:1) Statistical Ensembles (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:7)(cid:12) (cid:4)(cid:1)(cid:2)StatisticalEnsemblesasModelsofThermodynamics(cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:7)(cid:14) (cid:4)(cid:1)(cid:4)CanonicalandMicrocanonicalEnsembles(cid:16) Orthodicity (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:6)(cid:4) (cid:4)(cid:1)(cid:3)Equivalencebetween CanonicalandMicrocanonicalEnsembles (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:6)(cid:14) (cid:4)(cid:1)(cid:5)(cid:1) NonEquivalenceoftheCanonicalandMicrocanonicalEnsembles(cid:1) PhaseTransitions(cid:1) Boltzmann(cid:13)sConstant (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:12)(cid:5) (cid:4)(cid:1)(cid:7)TheGrandCanonical EnsembleandOtherOrthodicEnsembles (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:12)(cid:12) (cid:4)(cid:1)(cid:6)SomeTechnicalAspects (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:11)(cid:7) iv III(cid:1) Equipartition and Critique (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:11)(cid:14) (cid:3)(cid:1)(cid:2)(cid:1) EquipartitionandOtherParadoxes andApplicationsofStatistical Mechanics (cid:14)(cid:2) (cid:3)(cid:1)(cid:4)ClassicalStatistical MechanicswhenCellSizesAreNotNegligible (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:14)(cid:6) (cid:3)(cid:1)(cid:3)Introduction toQuantumStatisticalMechanics (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:2)(cid:17)(cid:7) (cid:3)(cid:1)(cid:5)PhilosophicalOutlookontheFoundationsofStatistical Mechanics (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:2)(cid:17)(cid:11) IV(cid:1) Thermodynamic Limit and Stability (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:2)(cid:2)(cid:3) (cid:5)(cid:1)(cid:2)(cid:1) TheMeaningoftheStabilityConditions (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:2)(cid:2)(cid:7) (cid:5)(cid:1)(cid:4)(cid:1) StabilityCriteria (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:2)(cid:2)(cid:11) (cid:5)(cid:1)(cid:3)ThermodynamicLimit (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:2)(cid:4)(cid:2) V(cid:1) Phase Transitions (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:2)(cid:3)(cid:3) (cid:7)(cid:1)(cid:2)(cid:1) VirialTheorem(cid:15)VirialSeriesandvanderWaalsEquation (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:2)(cid:3)(cid:7) (cid:7)(cid:1)(cid:4)(cid:1) TheModernInterpretation ofvanderWaals(cid:13)Approximation (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:2)(cid:5)(cid:4) (cid:7)(cid:1)(cid:3)(cid:1) WhyaThermodynamicFormalism(cid:18) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:2)(cid:5)(cid:11) (cid:7)(cid:1)(cid:5)(cid:1) PhaseSpaceinIn(cid:19)niteVolumeandProbabilityDistributionsonit(cid:1) GibbsDistribu(cid:10) tions (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:2)(cid:7)(cid:17) (cid:7)(cid:1)(cid:7)(cid:1) VariationalCharacterization ofTranslationInvariant GibbsDistributions (cid:1) (cid:2)(cid:7)(cid:3) (cid:7)(cid:1)(cid:6)(cid:1) OtherCharacterizationsofGibbsDistributions(cid:1) TheDLREquations (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:2)(cid:7)(cid:11) (cid:7)(cid:1)(cid:12)(cid:1) GibbsDistributionsandStochasticProcesses (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:2)(cid:7)(cid:14) (cid:7)(cid:1)(cid:11)(cid:1) AbsenceofPhaseTransitions(cid:16) d(cid:20)(cid:2)(cid:1) Symmetries(cid:16) d(cid:20)(cid:4) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:2)(cid:6)(cid:4) (cid:7)(cid:1)(cid:14)(cid:1) AbsenceofPhaseTransitions(cid:16) HighTemperatureandtheKSEquations (cid:1) (cid:1) (cid:2)(cid:6)(cid:6) (cid:7)(cid:1)(cid:2)(cid:17)(cid:1) PhaseTransitionsandModels (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:2)(cid:12)(cid:4) Appendix(cid:7)(cid:1)A(cid:2)(cid:16) AbsenceofPhaseTransitioninnonNearestNeighborOne(cid:10)Dimensional Systems (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:2)(cid:12)(cid:6) VI(cid:1) Coexistence of Phases (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:2)(cid:12)(cid:14) (cid:6)(cid:1)(cid:2)(cid:1) TheIsingModel(cid:1) Inequivalence ofCanonicalandGrandCanonicalEnsembles (cid:2)(cid:11)(cid:2) (cid:6)(cid:1)(cid:4)(cid:1) TheModel(cid:1) GrandCanonicalandCanonicalEnsembles(cid:1) TheirInequivalence (cid:2)(cid:11)(cid:4) (cid:6)(cid:1)(cid:3)(cid:1) BoundaryConditions(cid:1) EquilibriumStates (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:2)(cid:11)(cid:5) (cid:6)(cid:1)(cid:5)(cid:1) TheIsingModelinOneandTwodimensionsandzero(cid:19)eld (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:2)(cid:11)(cid:6) (cid:6)(cid:1)(cid:7)PhaseTransitions(cid:1) De(cid:19)nitions (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:2)(cid:11)(cid:11) (cid:6)(cid:1)(cid:6)(cid:1) GeometricDescriptionoftheSpinCon(cid:19)gurations (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:2)(cid:14)(cid:17) (cid:6)(cid:1)(cid:12)(cid:1) PhaseTransitions(cid:1) Existence (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:2)(cid:14)(cid:5) (cid:6)(cid:1)(cid:11)(cid:1) MicroscopicDescriptionofthePurePhases (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:2)(cid:14)(cid:7) (cid:6)(cid:1)(cid:14)(cid:1) ResultsonPhaseTransitionsinaWiderRangeofTemperature (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:2)(cid:14)(cid:11) v (cid:6)(cid:1)(cid:2)(cid:17)(cid:1) SeparationandCoexistenceofPurePhases(cid:1) PhenomenologicalConsiderations(cid:4)(cid:17)(cid:2) (cid:6)(cid:1)(cid:2)(cid:2)(cid:1) SeparationandCoexistence ofPhases(cid:1) Results (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:4)(cid:17)(cid:3) (cid:6)(cid:1)(cid:2)(cid:4)(cid:1) Surface Tension in Two Dimensions(cid:1) Alternative Description of the Separation Phenomena (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:4)(cid:17)(cid:7) (cid:6)(cid:1)(cid:2)(cid:3)(cid:1) TheStructure oftheLineofSeparation(cid:1) WhataStraightLineReallyis (cid:1) (cid:4)(cid:17)(cid:6) (cid:6)(cid:1)(cid:2)(cid:5)(cid:1) PhaseSeparationPhenomenaandBoundaryConditions(cid:1) FurtherResults (cid:1) (cid:4)(cid:17)(cid:12) (cid:6)(cid:1)(cid:2)(cid:7)(cid:1) FurtherResults(cid:15)SomeCommentsandSomeOpenProblems (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:4)(cid:2)(cid:17) VII(cid:1) Exactly Soluble Models (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:4)(cid:2)(cid:7) (cid:12)(cid:1)(cid:2)(cid:1) TransferMatrixinthe IsingModel(cid:16) Resultsind(cid:20)(cid:2)(cid:2)(cid:4) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:4)(cid:2)(cid:12) (cid:12)(cid:1)(cid:4)(cid:1) MeaningofExactSolubilityandtheTwo(cid:10)DimensionalIsingModel (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:4)(cid:2)(cid:14) (cid:12)(cid:1)(cid:3)(cid:1) VertexModels (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:4)(cid:4)(cid:4) (cid:12)(cid:1)(cid:5)(cid:1) ANontrivialExampleofExactSolution(cid:16) theTwo(cid:10)DimensionalIsingModel (cid:4)(cid:4)(cid:14) (cid:12)(cid:1)(cid:7)(cid:1) TheSixVertexModelandBethe(cid:13)sAnsatz (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:4)(cid:3)(cid:5) VIII(cid:1) Brownian Motion (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:4)(cid:5)(cid:2) (cid:11)(cid:1)(cid:2)(cid:1) BrownianMotionandEinstein(cid:13)sTheory (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:4)(cid:5)(cid:3) (cid:11)(cid:1)(cid:4)(cid:1) Smoluchowski(cid:13)sTheory(cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:4)(cid:5)(cid:14) (cid:11)(cid:1)(cid:3)(cid:1) TheUhlenbeck(cid:21)Ornstein Theory (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:4)(cid:7)(cid:4) (cid:11)(cid:1)(cid:5)(cid:1) Wiener(cid:13)sTheory (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:4)(cid:7)(cid:7) IX(cid:1) Coarse Graining and Nonequilibrium (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:4)(cid:6)(cid:2) (cid:14)(cid:1)(cid:2)(cid:1) ErgodicHypothesisRevisited (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:4)(cid:6)(cid:3) (cid:14)(cid:1)(cid:4)(cid:1) TimedObservationsandDiscreteTime (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:4)(cid:6)(cid:12) (cid:14)(cid:1)(cid:3)(cid:1) ChaoticHypothesis(cid:1) AnosovSystems (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:4)(cid:6)(cid:14) (cid:14)(cid:1)(cid:5)(cid:1) KinematicsofChaoticMotions(cid:1) AnosovSystems (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:4)(cid:12)(cid:5) (cid:14)(cid:1)(cid:7)(cid:1) SymbolicDynamicsandChaos (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:4)(cid:11)(cid:17) (cid:14)(cid:1)(cid:6)(cid:1) StatisticsofChaoticAttractors(cid:1) SRBDistributions (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:4)(cid:11)(cid:12) (cid:14)(cid:1)(cid:12)(cid:1) Entropy Generation(cid:1) Time Reversibility and Fluctuation Theorem(cid:1) Experimental Testsofthe ChaoticHypothesis (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:4)(cid:14)(cid:17) (cid:14)(cid:1)(cid:11)(cid:1) FluctuationPatterns (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:4)(cid:14)(cid:6) (cid:14)(cid:1)(cid:14)(cid:1) (cid:8)ConditionalReversibility(cid:9)and(cid:8)FluctuationTheorems(cid:9) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:4)(cid:14)(cid:12) (cid:14)(cid:1)(cid:2)(cid:17)(cid:1) OnsagerReciprocityandGreen(cid:10)Kubo(cid:13)sFormula (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:3)(cid:17)(cid:2) (cid:14)(cid:1)(cid:2)(cid:2)(cid:1) ReversibleVersusIrreversibleDissipation(cid:1) NonequilibriumEnsembles(cid:18) (cid:1) (cid:1) (cid:3)(cid:17)(cid:3) Appendix(cid:14)(cid:1)A(cid:2)(cid:1) M(cid:22)ecaniquestatistiquehors(cid:22)equilibre(cid:16) l(cid:13)h(cid:22)eritagedeBoltzmann (cid:1) (cid:3)(cid:17)(cid:12) Appendix(cid:14)(cid:1)A(cid:4)(cid:16) HeuristicDerivationoftheSRBDistribution (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:3)(cid:2)(cid:6) vi Appendix (cid:14)(cid:1)A(cid:3)(cid:1) Aperiodic Motions Can be Begarded as Periodic with In(cid:19)nite Period(cid:23) (cid:3)(cid:2)(cid:11) Appendix(cid:14)(cid:1)A(cid:5)(cid:1) Gauss(cid:13)LeastConstraintPrinciple (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:3)(cid:4)(cid:17) Biblography (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:3)(cid:4)(cid:2) Namesindex (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:3)(cid:3)(cid:12) Analyticindex (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:3)(cid:3)(cid:11) Citationsindex (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:3)(cid:5)(cid:3)