Springer-Lehrbuch · Konstantin Meskouris Erwin Hake Statik der Stabtragwerke Einführung in die Tragwerkslehre Zweite Auflage 123 Prof.Dr.-Ing.KonstantinMeskouris Dr.-Ing.ErwinHake RWTHAachen Josef-Ponten-Straße71 LehrstuhlfürBaustatikundBaudynamik 52072Aachen Mies-van-der-Rohe-Straße1 Deutschland 52074Aachen Deutschland ISBN 978-3-540-88992-2 e-ISBN 978-3-540-88993-9 DOI 10.1007/978-3-540-88993-9 Springer-Lehrbuch ISSN 0937-7433 BibliografischeInformationderDeutschenNationalbibliothek DieDeutscheNationalbibliothek verzeichnet diesePublikation inderDeutschenNationalbibliografie; detailliertebibliografischeDatensindimInternetüberhttp://dnb.d-nb.deabrufbar. ©2009Springer-VerlagBerlinHeidelberg DiesesWerkisturheberrechtlichgeschützt.DiedadurchbegründetenRechte,insbesonderediederÜber- setzung,desNachdrucks,desVortrags,derEntnahmevonAbbildungenundTabellen,derFunksendung, derMikroverfilmungoderderVervielfältigung aufanderenWegenundderSpeicherung inDatenver- arbeitungsanlagen,bleiben,auchbeinurauszugsweiserVerwertung,vorbehalten.EineVervielfältigung diesesWerkesodervonTeilendiesesWerkesistauchimEinzelfallnurindenGrenzendergesetzlichen BestimmungendesUrheberrechtsgesetzes derBundesrepublikDeutschlandvom9.September1965in derjeweils geltenden Fassungzulässig. Sieistgrundsätzlich vergütungspflichtig. Zuwiderhandlungen unterliegendenStrafbestimmungendesUrheberrechtsgesetzes. DieWiedergabevonGebrauchsnamen,Handelsnamen,Warenbezeichnungen usw.indiesemWerkbe- rechtigtauchohnebesondereKennzeichnungnichtzuderAnnahme,dasssolcheNamenimSinneder Warenzeichen-undMarkenschutz-Gesetzgebungalsfreizubetrachtenwärenunddahervonjedermann benutztwerdendürften. SatzundHerstellung:le-texpublishingservicesoHG,Leipzig Einbandgestaltung:WMXDesignGmbH,Heidelberg GedrucktaufsäurefreiemPapier 987654321 springer.de Vorwort zur zweiten Auflage DasvorliegendeBuchist aufdie klassischeBaustatik ausgerichtetundbeschränkt sich auf Verfahren für die Handrechnung. Dies hat sich bei der ersten Auflage bewährt, so dass es nicht angezeigt erschien, in der zweiten Auflage wesentliche Änderungen vorzunehmen, zumal im Jahre 2005 ergänzend das Buch „Baustatik in Beispielen“ im Springer-Verlag erschienen ist. Dieses enthält eine größere An- zahl detailliertausgearbeiteterZahlenbeispieleaus der Stabstatik, die sowohl mit- telsHandrechnungalsauchanhandderaufeinerCD-ROMbeigefügtenRechenpro- grammeuntersuchtwerden.SowurdenindiesezweiteAuflagenureinigeAktuali- sierungenimHinblickaufgeänderteBaubestimmungeneingearbeitetundbekannt gewordeneDruckfehlerbeseitigt. DieAutorendankendemSpringer-VerlagfürdieguteZusammenarbeitunddie gediegeneAusstattung desBuches. Unser besondererDankgehtan Frau Ulke für die Umsetzung der Zeichnungen der ersten Auflage in die gewünschte digitale Form. Aachen,August2008 KonstantinMeskouris ErwinHake v Vorwort zur ersten Auflage DasvorliegendeLehrbuchistausdemManuskriptderLehrveranstaltungen„Bausta- tikI“anderRWTHAachenentstanden.EsbehandeltdieklassischeStabstatikund beschränkt sich dementsprechend auf Verfahren für die Handrechnung sowie auf geometrischundphysikalischlineareAufgaben. ZurDarstellungderstatischen ZusammenhängewirdunterVoraussetzungbau- mechanischerGrundkenntnissejeweilseinmöglichstanschaulicherundmathema- tischeinfacherZuganggewählt.DergesamteLehrstoffundsämtlichebehandelten Verfahren werden mit meist praxisbezogenenBeispielen belegt, übliche Idealisie- rungenundgebräuchlicheNäherungendeutlichhervorgehoben. AlsFolgeeinernotwendigenBeschränkungdesStoffesfandennurzweiMetho- denzurBerechnungstatischunbestimmterTragwerkeBerücksichtigung:dasKraft- größenverfahrenunddasDrehwinkelverfahren. DasBuchsollimHinblickaufelektronischeBerechnungenzumeinenalsGrund- lagefürdiematriziellenVerfahrendienen,dieindenLehrveranstaltungen„Bausta- tikII“ihrenPlatzhaben,undzumanderendasHandwerkszeugfürKontrollenvon ComputerergebnissenzurVerfügungstellen.BesondererWunschderVerfasserist, dassderLeseraußerdemeingesundesstatischesGefühlfürdieBeanspruchungen, dieLastabtragungunddenWirkungsmechanismusvonTragwerkenerwirbt. Die AutorendankenFrau AnkeMadejfürdie druckreifeErstellungdesManu- skriptsunddemVerlagfürdiegediegeneAusstattungdesBuches. Aachen,Mai1999 KonstantinMeskouris ErwinHake vii Inhaltsverzeichnis 1 EinführungindieStatikderTragwerke .......................... 1 1.1 Vorbemerkungen........................................... 1 1.1.1 DefinitionundAufgabederBaustatik ................... 1 1.1.2 TragwerksformenundderenIdealisierung ............... 2 1.1.2.1 DreidimensionaleTragelemente:Raumelemente .. 2 1.1.2.2 ZweidimensionaleTragelemente:Flächenträger .. 2 1.1.2.3 EindimensionaleTragelemente:Stäbe........... 3 1.1.2.4 BeispielzurModellfindung.................... 4 1.1.3 IdealisierungderAuflagerungenundderAnschlüsse ...... 6 1.1.4 GeometrischeIdealisierung............................ 8 1.2 Zustandsgrößen............................................ 9 1.2.1 Schnittprinzip,Vorzeichendefinition .................... 11 1.2.2 Lasten(äußereKraftgrößen)........................... 13 1.2.3 Verschiebungsgrößen(äußereWeggrößen) ............... 16 1.2.4 Schnittgrößen(innereKraftgrößen) ..................... 16 1.2.5 Verzerrungen(innereWeggrößen) ...................... 17 1.2.5.1 Längsdehnung(Axialdehnung)εinfolge N ...... 17 1.2.5.2 Schubverzerrung(Gleitung)γ infolge Q ........ 18 1.2.5.3 Verkrümmungκ infolgeM .................... 18 1.2.5.4 Verdrillungϑ(cid:2)infolgeM ..................... 19 T 1.2.5.5 VerzerrungeninfolgelastfreierEinwirkungen .... 20 1.2.6 ArbeitsanteileeinesdifferentiellenStabelementes ......... 20 1.3 Grundgleichungen.......................................... 21 1.3.1 Gleichgewicht....................................... 22 1.3.1.1 GleichgewichteinesgeradenStabesinderEbene 22 1.3.1.2 DasräumlicheGleichgewicht einesgeradenStabelements.................... 26 1.3.2 Kinematik .......................................... 28 1.3.2.1 KinematikeinesgeradenStabelementes inderEbene ................................ 28 ix x Inhaltsverzeichnis 1.3.2.2 Normalenhypothese(BERNOULLI) ............ 29 1.3.2.3 Starrkörperverschiebungen .................... 29 1.3.3 Materialgesetz....................................... 30 1.3.3.1 ReineDehnung.............................. 31 1.3.3.2 ReineSchubverzerrung ....................... 31 1.3.3.3 ReineBiegung .............................. 32 1.3.3.4 Verdrillung ................................. 32 1.3.3.5 ZusammenfassungdesElastizitätsgesetzes inMatrizenform ............................. 33 1.4 GrundbeziehungenebenerTragwerkemitgeradenStäben......... 34 1.4.1 GliederungderZustandsgrößen ........................ 34 1.4.2 VerknüpfungderZustandsgrößen....................... 34 1.4.3 Gesamtdifferentialgleichung........................... 35 2 Stabtragwerke................................................. 39 2.1 Konstruktionselemente...................................... 39 2.1.1 Stabelemente........................................ 40 2.1.2 StützungenundLager ................................ 40 2.1.3 KnotenpunkteundAnschlüsse ......................... 42 2.2 AufbauvonStabtragwerken.................................. 43 2.2.1 Abzählkriterien...................................... 45 2.2.1.1 AbzählkriterienfürFachwerke ................. 45 2.2.1.2 AbzählkriterienfürbiegesteifeStabwerke........ 47 2.2.2 Abbaukriterium...................................... 50 2.2.3 Aufbaukriterium..................................... 51 3 AllgemeineMethodenderKraftgrößenermittlung ................. 53 3.1 DieMethodederGleichgewichtsbedingungen................... 53 3.1.1 GleichgewichtamTeilsystem .......................... 53 3.1.2 GleichgewichtamTragwerksknoten .................... 55 3.2 KinematischeMethode...................................... 57 3.2.1 VirtuelleVerrückungen ............................... 58 3.2.2 GrundregelnderKinematik............................ 59 3.2.3 RegelnfürdieKonstruktiondesPolplans ................ 60 3.2.4 DerAusnahmefallderStatikundÜberprüfung derkinematischenUnverschieblichkeit .................. 62 3.2.5 KraftgrößenberechnungmitdemPrinzip dervirtuellenVerschiebungen.......................... 63 3.3 VerlaufderSchnittgrößen(Zustandslinien) ..................... 63 3.4 SchnittgrößeninfolgeVorspannung ........................... 65 4 GrundformenderTragwerke.................................... 67 4.1 StatischbestimmteebeneStabwerke........................... 69 4.1.1 Einfeldträger........................................ 69 4.1.2 Kragträger.......................................... 76 Inhaltsverzeichnis xi 4.1.3 EinfeldträgermitKragarm ............................ 76 4.1.4 GelenkträgerundGERBERträger ...................... 78 4.1.4.1 DasVerfahrenderGleichgewichts- undNebenbedingungen....................... 79 4.1.4.2 DasVerfahrenderGelenkkräfte ................ 80 4.1.5 RahmenundBögen .................................. 83 4.1.6 DreigelenkrahmenundDreigelenkbögen ................ 85 4.1.7 VerstärkteBalken .................................... 88 4.2 StatischbestimmteräumlicheSysteme......................... 89 4.2.1 LokaleKoordinaten .................................. 89 4.2.2 StatischbestimmterräumlicherRahmen(Beispiel) ........ 90 4.2.3 StatischbestimmterTrägerrost(Beispiel) ................ 93 4.3 Fachwerke ................................................ 94 4.3.1 EbeneFachwerke .................................... 95 4.3.1.1 EinteilungderFachwerke ..................... 95 4.3.1.2 SchnittgrößenundReaktionen statischbestimmterebenerFachwerke........... 96 4.3.2 RäumlicheFachwerke ................................101 4.4 AusnutzungvonSymmetrieundAntimetrie ....................106 5 VerformungenstatischbestimmterStabwerke.....................109 5.1 ElastischeundnichtelastischeVerzerrungen ....................109 5.1.1 ElastischeVerzerrungen...............................109 5.1.2 Temperaturwirkungen ................................110 5.1.3 Kriechen ...........................................111 5.1.4 Schwinden..........................................112 5.1.5 ZusammenfassungderVerzerrungen ....................112 5.2 Formänderungsarbeit .......................................113 5.2.1 Verschiebungsarbeit..................................114 5.2.2 Eigenarbeit .........................................116 5.2.3 Arbeitssatz..........................................117 5.3 PrinzipdervirtuellenArbeit..................................117 5.3.1 PrinzipdervirtuellenVerschiebungen ...................117 5.3.2 PrinzipdervirtuellenKräfte ...........................119 5.4 DieSätzevonBETTIundMAXWELL ........................120 5.4.1 DerSatzvonBETTI .................................120 5.4.2 DerSatzvonMAXWELL.............................120 5.5 VerformungeneinzelnerTragwerkspunkte......................122 5.5.1 Grundgleichungen ...................................122 5.5.2 Federungen .........................................123 5.5.2.1 Allgemeines ................................123 5.5.2.2 Dehnfedern .................................124 5.5.2.3 Drehfedern .................................126 5.5.2.4 Federarbeit .................................127 5.5.3 Baugrundbewegungen ................................127 xii Inhaltsverzeichnis 5.5.4 GesamtgleichungfürdieEinzelverformungen undbaupraktischeVereinfachungen.....................128 5.5.5 DiesechsGrundfällederVerformungsberechnung ........131 5.5.6 Anwendungder M -M -Tafeln.........................132 i k 5.5.6.1 Allgemeines ................................132 5.5.6.2 Beispiel:Knotenverschiebunginfolge äußererLasten ..............................133 5.5.6.3 Beispiel:Knotenverdrehunginfolge vonTemperaturänderungen....................134 5.5.6.4 Beispiel:Verformungeineshalbkreisförmigen Stabes .....................................136 5.5.7 NumerischeIntegrationnachSIMPSON.................137 5.5.7.1 DieSIMPSONscheRegel .....................137 5.5.7.2 Anwendungsbeispiel:Voutenträger .............137 5.5.8 GebräuchlicheFormelnfürEinzelverformungen vonKrag-undEinfeldträgern..........................139 6 Biegelinien ....................................................141 6.1 AllgemeinesundGrundgleichungen...........................141 6.2 AnalytischeIntegration......................................143 6.3 DasVerfahrenderω-Zahlen..................................145 6.4 DieMOHRscheAnalogie....................................149 7 Einflusslinien ..................................................153 7.1 Definition.................................................153 7.2 Auswertungsformeln........................................154 7.3 EinflusslinienfürKraftgrößen ................................155 7.3.1 Grundlagen .........................................155 7.3.2 AnalytischeMethodefürstatischbestimmteStabwerke ....158 7.3.3 KinematischeMethodefürstatischbestimmteStabwerke...161 7.4 EinflusslinienfürVerformungen ..............................164 7.4.1 Grundlagen .........................................164 7.4.2 EinflusslinienfürVerschiebungen ......................165 7.4.3 EinflusslinienfürVerdrehungen........................166 7.4.4 Zahlenbeispiel.......................................166 7.4.4.1 Einflusslinie„w “............................167 r 7.4.4.2 Einflusslinie„u “ ............................167 r 7.5 AuswertungvonEinflusslinien ...............................168 7.5.1 PolygonaleEinflusslinien .............................168 7.5.2 GekrümmteEinflusslinien.............................170 8 DasKraftgrößenverfahrenzurBerechnung statischunbestimmterStabwerke ................................173 8.1 AllgemeineSchreibweisefürebeneStabwerke..................173 8.2 BeispielmitBerechnungsablauf ..............................176 Inhaltsverzeichnis xiii 8.3 DasGleichungssystemdesKraftgrößenverfahrens undseineLösung...........................................178 8.4 AusnutzungvonSymmetrieundAntimetrie ....................180 8.5 DieBehandlungvonZwängungslastfällen......................186 8.5.1 Temperaturänderungen ...............................186 8.5.2 VorgegebeneLagerbewegungen........................188 8.6 GrundformenstatischunbestimmterTragwerke .................191 8.6.1 Durchlaufträger......................................191 8.6.1.1 AnsatzderstatischUnbestimmten ..............191 8.6.1.2 SchnittgrößenermittlungmitHilfe vonTabellenwerken..........................194 8.6.1.3 MaßgebendeLastkombinationen ...............194 8.6.1.4 Zahlenbeispiel:Dreifeldträger mitStützensenkungen ........................198 8.6.2 EbeneRahmen ......................................201 8.6.2.1 AllgemeineszurBerechnung ..................201 8.6.2.2 Beispiel:EinfacherRahmenmitZugband........201 8.6.2.3 EinfacheRahmenformeln .....................203 8.6.2.4 Bemessungsschnittgrößen.....................204 8.6.3 Trägerroste .........................................206 8.6.3.1 Grundlagen .................................206 8.6.3.2 Berechnungsbeispiel .........................207 8.6.4 RäumlicheRahmen ..................................209 8.6.4.1 Grundlagen .................................209 8.6.4.2 Berechnungsbeispiel .........................210 8.6.4.3 VerdrehteHauptquerschnittsachsen .............213 8.7 VerformungenstatischunbestimmterSysteme...................216 8.7.1 EinzelverformungenundReduktionssatz ................216 8.7.2 Formänderungsproben................................218 8.7.3 Biegelinien .........................................219 8.8 Einflusslinien..............................................219 8.8.1 EinflusslinienfürKraftgrößen..........................219 8.8.1.1 Benutzungeinesstatischbestimmten Grundsystems...............................220 8.8.1.2 Benutzung eines (n−1)fach statisch unbestimmtenSystems .......................221 8.8.1.3 VerwendungderEinflusslinien derstatischUnbestimmten ....................225 8.8.2 EinflusslinienfürVerformungen........................230 8.8.2.1 AllgemeinesVorgehen........................230 8.8.2.2 Beispiel:EinflussliniefüreineKnotenverdrehung 230 8.9 DasKraftgrößenverfahrenamstatischunbestimmtenGrundsystem 232 8.10 DerelastischeSchwerpunkt..................................234