Springer-Handbuch der Mathematik IV Herausgeber und Autor: Prof.Dr.EberhardZeidler,Max-Planck-InstitutfürMathematikinden Naturwissen- schaften,Leipzig,Deutschland Springer-Handbuch der Mathematik IV Begründet vonI.N.Bronstein undK.A.Semendjaew WeitergeführtvonG.Grosche,V.ZieglerundD.Ziegler Herausgegeben vonE.Zeidler Herausgeber Prof.Dr.EberhardZeidler Max-Planck-InstitutfürMathematikindenNaturwissenschaften Leipzig Deutschland ISBN978-3-658-00288-6 ISBN978-3-658-00289-3(eBook) DOI10.1007/978-3-658-00289-3 DieDeutscheNationalbibliothekverzeichnetdiesePublikationinderDeutschenNationalbi- bliografie;detailliertebibliografischeDatensindimInternetüberhttp://dnb.d-nb.deabrufbar. DerVerlagunddieAutorenhabenalleSorgfaltwaltenlassen,umvollständigeundakkurate InformationenindiesemBuchzupublizieren.DerVerlagübernimmtwederGarantienoch diejuristischeVerantwortungoderirgendeineHaftungfürdieNutzungdieserInformatio- nen,fürderenWirtschaftlichkeitoderfehlerfreieFunktionfüreinenbestimmtenZweck. SpringerSpektrum ©SpringerFachmedienWiesbaden 2013 DasWerkeinschließlichallerseinerTeileisturheberrechtlichgeschützt.JedeVerwertung, dienichtausdrücklichvomUrheberrechtsgesetzzugelassenist,bedarf dervorherigenZu- stimmungdesVerlags.DasgiltinsbesonderefürVervielfältigungen,Bearbeitungen,Über- setzungen,MikroverfilmungenunddieEinspeicherungundVerarbeitunginelektronischen Systemen. DieWiedergabevonGebrauchsnamen,Handelsnamen,Warenbezeichnungenusw.indiesem WerkberechtigtauchohnebesondereKennzeichnungnichtzuderAnnahme,dasssolche NamenimSinnederWarenzeichen-undMarkenschutz-Gesetzgebungalsfreizubetrachten wärenunddahervonjedermannbenutztwerdendürften. PlanungundLektorat:UlrikeSchmickler-Hirzebruch|BarbaraGerlach GedrucktaufsäurefreiemundchlorfreigebleichtemPapier SpringerSpektrumisteineMarkevonSpringerDE. SpringerDEistTeilderFachverlagsgruppeSpringerScience+BusinessMedia. www.springer-spektrum.de Vorwort Theoriacumpraxi GottfriedWilhelmLeibniz(1646–1716) DieMathematikspielteinewichtigeRolleinvielenBereichenunserermodernenGesellschaft. Sie ist eine Querschnittswissenschaft und zugleich eine Schlüsseltechnologie mit vielfältigen engen Verbindungen zu anderen Wissenschaften. Das betrifft die Naturwissenschaften, die Ingenieurwissenschaften, die Informatik und Informationstechnologie, die Wirtschafts- und Finanzwissenschaft,dieSozialwissenschaftensowiedieMedizin.Mathematikistabstraktund zugleichsehrpraktisch.Dasvorliegende SPRINGER-HANDBUCHDERMATHEMATIK, das sich um einen breit angelegten Brückenschlag zwischen der Mathematik und ihren An- wendungenbemüht,stellteinewesentlicheErweiterungdesSPRINGER-TASCHENBUCHES DERMATHEMATIKdar,das2012imVerlagSpringerSpektrumerschienenist.DasSpringer- HandbuchumfasstdiefolgendenvierTeile: – TEILI:Analysis. – TEILII:Algebra,Geometrie,GrundlagenderMathematik. – TEILIII:VariationsrechnungundPhysik,Wahrscheinlichkeitsrechnungundmathematische Statistik,NumerikundWissenschaftlichesRechnen,Wirtschafts-undFinanzmathematik, AlgorithmikundInformatik. – TEILIV:Funktionalanalysis,DynamischeSysteme,Mannigfaltigkeiten,Topologie,Mathe- matischePhysik. AlsmehrbändigesNachschlagewerkistdasSpringer-HandbuchinersterLiniefürwissenschaft- licheBibliothekengedacht,dieihrenLeserinnenundLesernparallelzumSpringer-Taschenbuch derMathematikdasumfangreichereMaterialdesSpringer-Handbuches(inelektronischerForm und Papierform) zur Verfügung stellen wollen. Für individuell interessierte Leserinnen und Leserseiauffolgendeshingewiesen.DieTeileIbisIIIdesSpringer-HandbuchesderMathematik enthaltendieentsprechendenKapiteldesSpringer-TaschenbuchesderMathematik,diedurch wichtigeszusätzlichesMaterialergänztwerden.DagegensinddieneunKapitelvonTeilIVnicht imSpringer-TaschenbuchderMathematikenthalten. TeilIenthältnebendemeinführendenKapitelunddemKapitel1desSpringer-Taschenbuches der Mathematik zusätzliches Material zur höheren komplexen Funktionentheorie und zur allgemeinenTheoriederpartiellenDifferentialgleichungen. TeilIIenthältnebendenKapiteln2–4desSpringer-TaschenbuchesderMathematikzusätz- lichesMaterialzufolgendenGebieten:multilineareAlgebra,höhereZahlentheorie,projektive Geometrie,algebraischeGeometrieundGeometriendermodernenPhysik. TeilIIIenthältnebendenKapiteln5–9desSpringer-TaschenbuchesderMathematikzusätzli- chesMaterialzustochastischenProzessen. vi Vorwort TeilIVenthältdiefolgendenZusatzkapitelzumSpringer-TaschenbuchderMathematik: – Kapitel10:HöhereAnalysis(TensoranalysisundspezielleRelativitätstheorie,Integralglei- chungen,DistributionenundlinearepartielleDifferentialgleichungendermathematischen Physik,moderneMaß-undIntegrationstheorie). – Kapitel11:LineareFunktionalanalysisundihreAnwendungen. – Kapitel12:NichtlineareFunktionalanalysisundihreAnwendungen. – Kapitel13:DynamischeSysteme–MathematikderZeit. – Kapitel14:NichtlinearepartielleDifferentialgleichungenindenNaturwissenschaften. – Kapitel15:Mannigfaltigkeiten. – Kapitel16:RiemannscheGeometrieundallgemeineRelativitätstheorie. – Kapitel17:Liegruppen,LiealgebrenundElementarteilchen-MathematikderSymmetrie. – Kapitel18:Topologie-MathematikdesqualitativenVerhaltens. – Kapitel19:Krümmung,TopologieundAnalysis(EichheorieinMathematikundPhysik). Hier werden im Rahmen der mathematischen Physik die Bedürfnisse der modernen Physik berücksichtigt. Am Ende von Teil IV findet man eine Tafel zur Geschichte der Mathematik. DiesorgfältigzusammengestelltenLiteraturangabenamEndejedesKapitelssollendemLeser helfen, bei auftretenden Fragen geeignete moderne Bücher zu konsultieren, wobei zwischen einführenderLiteraturundanspruchsvollenStandardwerkengewähltwerdenkann. DasvorliegendeSpringer-HandbuchderMathematikwendetsichan: – FortgeschritteneStudierendederMathematikundangrenzendernaturwissenschaftlicher, technischer,wirtschaftswissenschaftlicherFachrichtungen,Graduierte,Doktoranden – Mathematiker,Physiker,Ingenieure,Informatiker,WirtschaftsmathematikerinForschung, LehreundPraxis – wissenschaftlicheBibliotheken,akademischeInstitutionenundFirmen. DieBedürfnisseeinesderartbreitenLeserkreiseswerdenberücksichtigt,indemderBogenvon elementaren Kenntnissen bis hin zu anspruchsvollen mathematischen Resultaten sehr weit gespanntwirdunddasWerkeinbreitesSpektrummathematischerGebieteüberdeckt.Großer WertwirddabeiauffolgendeAspektegelegt: – ausführlicheMotivationundErläuterungderGrundideen, – leichteFasslichkeit,Anschaulichkeit,undÜbersichtlichkeit, – dieVerbindungzwischenreinerundangewandterMathematik, – vielseitigeAnwendungenderMathematikundPraxisnähe,sowie – dieDiskussiondeshistorischenHintergrunds. Es wird gezeigt, dass die Mathematik mehr ist als eine trockene Ansammlung von Formeln, Definitionen,TheoremenundRechenrezepten.SieisteinunverzichtbarerPartnerdermodernen Technik,undsiehilftwesentlichbeideroptimalenGestaltungvonIndustrie-undWirtschaftspro- zessen.GleichzeitigistdieMathematikeinwichtigerBestandteilunserermenschlichenKultur undeinwundervollesErkenntnisorgandesMenschen,dasihnetwainderHochtechnologie,der ElementarteilchenphysikundderKosmologieinBereichevorstoßenlässt,dieohneMathematik nichtzuverstehensind,weilsievonunserertäglichenErfahrungsweltextremweitentferntsind. Während das Springer-Taschenbuch der Mathematik den Anforderungen des Bachelor- Studiumsangepasstist,beziehtsichdasSpringer-HandbuchderMathematiksowohlaufdas Bachelor-StudiumalsauchaufdasweiterführendeMaster-Studium. Vorwort vii BeidenAnwendungenderMathematikspielenPhänomeneeinegroßeRolle,dieinNaturund Technikauftreten.DasmathematischeVerständnisdieserPhänomeneerleichtertdemAnwender indenNaturwissenschaftenundindenIngenieurwissenschaftendenÜberblicküberdieZusam- menhängezwischenunterschiedlichenmathematischenDisziplinen.Deshalbwirdindiesem Springer-HandbuchderMathematikdieSichtaufwichtigePhänomenebesondersbetont.Das betrifft: – MathematikderGrenzübergänge(AnalysisundFunktionalanalysis), – MathematikdesOptimalen(Variationsrechnung,optimaleSteuerung,lineareundnichtli- neareOptimierung), – MathematikdesZufalls(Wahrscheinlichkeitsrechnung,mathematischeStatistikundsto- chastischeProzesse), – MathematikderZeitunddesChaos(dynamischeSysteme), – MathematikderStabilitätvonGleichgewichtszuständeninNaturundTechnik,vonzeitab- hängigenProzessenundvonAlgorithmenaufComputern, – MathematikderKomplexitätvonAlgorithmenaufComputern, – MathematikderSymmetrie(Gruppentheorie), – MathematikderSystememitunendlichvielenFreiheitsgraden(Funktionalanalysis), – MathematikdesqualitativenVerhaltensvonGleichgewichtszuständenundzeitabhängigen ProzesseninNaturundTechnik(Topologie), – MathematikderWechselwirkungskräfteinderNatur(nichtlinearepartielleDifferential- gleichungenundnichtlineareFunktionalanalysis,DifferentialgeometriederFaserbündel undEichtheorie), – MathematikderStrukturen(Kategorientheorie). InteressantistdieTatsache,dassklassischeErgebnissederMathematikheutzutageimRahmen neuerTechnologienvölligneueAnwendungenerlauben.DasbetrifftetwadieZahlentheorie, dielangeZeitalseinreinesVergnügendesmenschlichenGeistesgalt.Beispielsweisewirddie berühmteRiemannscheZetafunktionderanalytischenZahlentheorie,dieinKapitel2betrachtet wird,indermodernenQuantenfeldtheoriezurBerechnungvonStreuprozessenvonElementar- teilchenimRahmenderRenormierungstheorieeingesetzt.DerklassischeSatzvonFermat–Euler überTeilbarkeitseigenschaftenvonZahlenwirdheutewesentlichbenutzt,umdieÜbermittlung vonNachrichteninraffinierterWeisezuverschlüsseln.DasfindetmanebenfallsinKapitel2. Das„Springer-HandbuchderMathematik“knüpftaneinelangeTraditionan.Das„Taschen- buchderMathematik“vonI.N.BronsteinundK.A.SemendjajewwurdevonDr.ViktorZiegler ausdemRussischeninsDeutscheübersetzt.Eserschien1958imVerlagB.G.TeubnerinLeipzig, undbiszumJahre1978lagenbereits18Auflagenvor.UnterderHerausgabevonDr.GünterGro- scheundDr.ViktorZieglerundunterwesentlicherredaktionellerMitarbeitvonFrauDorothea Zieglererschien1979dievölligüberarbeitete19.Auflage,anderWissenschaftlerderLeipziger UniversitätundandererHochschulendesmitteldeutschenRaumesmitwirkten.1 DieseNeubear- beitungwurdeinsRussischeübersetztunderschien1981imVerlagfürTechnisch-Theoretische LiteraturinMoskau.FernerwurdeneineenglischeundeinejapanischeÜbersetzungpubliziert. MotiviertdurchdiestürmischeEntwicklungderMathematikundihrerAnwendungenerschien in den Jahren 1995 und 1996 ein völlig neuverfasstes, zweibändiges „Teubner-Taschenbuch der Mathematik“ im Verlag B.G. Teubner, Stuttgart und Leipzig.2 Das daraus entstandene, vorliegende„Springer-HandbuchderMathematik“enthältzweivölligneugeschriebeneKapitel überWirtschafts-undFinanzmathematiksowieüberAlgorithmikundInformatik. 1Bis1995erschienensiebenweitereAuflagen. 2DieenglischeÜbersetzungdeserstenBandeserschien2003imVerlagOxfordUniversityPress,NewYork,als„Oxford Users’GuidetoMathematics“. viii Vorwort DiemoderneKonzeptionundKoordinationdesKapitels8überWirtschafts-undFinanzma- thematiklagindenerfahrenenHändenvonHerrnProf.Dr.BerndLuderer(TUChemnitz).In das von Herrn Prof. Dr. Juraj Hromkovicˇ (ETH Zürich) verfasste Kapitel 9 über Algorithmik undInformatikflossenseinereichenLehrerfahrungenein.ImMittelpunktstehtdaszentrale ProblemderKomplexitätvonAlgorithmen.Erinnertseidaran,dasseinesderberühmtensieben Milleniumsprobleme der Mathematik aus dem Jahre 2000 eine tiefe Frage der Komplexitäts- theoriebetrifft.DasKapitel7überNumerikundWissenschaftlichesRechnenwurdevonHerrn Prof.Dr.WolfgangHackbusch(Max-Planck-InstitutfürMathematikindenNaturwissenschaften, Leipzig)wesentlichüberarbeitet,unddieübrigenKapitelwurdenaktualisiert.DerHerausgeber möchtedenKollegenHackbusch,HromkovicˇundLuderersowieallenseinenKoautorenfürihre engagierteArbeitsehrherzlichdanken.Dasbetrifft: – Prof.Dr.Hans-Rudolf Schwarz(7.1–7.6)und Prof.Dr.WolfgangHackbusch(7.7), – Prof.Dr.BerndLuderer(8.1,8.13), Prof.Dr.JochenBlath(8.2,8.3), Prof.Dr.AlexanderSchied(8.4,8.5), Prof.Dr.StephanDempe(8.6–8.10)und Prof.Dr.GertWanka(8.11,8.12), – Prof.Dr.JurajHromkovicˇ (9.1–9.9)und Prof.Dr.SiegfriedGottwald(9.10). EinherzlichesDankeschöngehtauchanFrauMicaelaKrieger-HauwedefürdassorgfältigeAnfer- tigenvielerAbbildungenindenTeilenIbisIII,dasLesenderKorrekturenunddieeinfühlsame, ästhetischgelungeneTextgestaltung.FrauKerstinFöltingdankeichsehrherzlichfürdassorgfäl- tigeAnfertigenderAbbildungenundderLATEX-VersionvonTeilIVsowiefürzahlreicheHinweise zurVerbesserungderDarstellung.DenMitarbeiterndesLeipzigerMax-Planck-Institutesfür MathematikindenNaturwissenschaften,RegineLübke(Sekretariat),KatarzynaBaierundIn- goBrüggemann(Bibliothek),OliverHellerundRainerKleinrensing(EDV-Abteilung)seisehr herzlichfürdietechnischeUnterstützungbeiderFertigstellungdesSpringer-Handbuchesder Mathematikgedankt.FernerdankeichsehrherzlichFrauUlrikeSchmickler-Hirzebruchvom VerlagSpringerSpektrumfürdieKoordinationdesgesamtenProjektsundfürdiekompetente AktualisierungdesLiteraturverzeichnisses.SchließlichseiallenLeserinnenundLeserngedankt, dieinderVergangenheitdurchihreHinweisezurVerbesserungderDarstellungbeigetragen haben. AlleBeteiligtenhoffen,dassdiesesNachschlagewerkinallenPhasendesStudiumsunddanach imBerufslebeneinnützlicherBegleiterseinwird,derdieEinheitderMathematikbetont. Leipzig,imSommer2012 DerHerausgeber Inhaltsverzeichnis Vorwort v 10 HöhereAnalysis 1 10.1 DieGrundideendermodernenAnalysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 10.1.1 DieGrundstrukturdermathematischenFormulierungphysikalischerTheorien . . . . . . 3 10.1.2 DreitiefeSätzederAnalysis. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 10.1.3 Glattheit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 10.2 Tensoranalysis,DifferentialformenundmehrfacheIntegrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 10.2.1 Tensordefinition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 10.2.2 BeispielefürTensoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 10.2.3 BeispielefürPseudotensoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 10.2.4 Tensoralgebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 10.2.5 Tensoranalysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 10.2.6 TensorgleichungenunddasIndexprinzipdermathematischenPhysik . . . . . . . . . . . . 25 10.2.7 DerCartanscheKalkülderalternierendenDifferentialformen . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 10.2.8 AnwendungeninderspeziellenRelativitätstheorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 10.2.9 AnwendungeninderElektrodynamik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 10.2.10 DiegeometrischeInterpretationdeselektromagnetischenFeldesalsKrümmungeinesHaupt- faserbündels(Eichfeldtheorie). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 10.3 Integralgleichungen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 10.3.1 AllgemeineBegriffe. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 10.3.2 EinfacheIntegralgleichungen,diedurchDifferentiationaufgewöhnlicheDifferentialgleichun- genzurückgeführtwerdenkönnen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 10.3.3 Integralgleichungen,diedurchDifferentiationgelöstwerdenkönnen. . . . . . . . . . . . . 56 10.3.4 DieAbelscheIntegralgleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 10.3.5 VolterrascheIntegralgleichungenzweiterArt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 10.3.6 FredholmscheIntegralgleichungenzweiterArtunddieFredholmscheAlternative . . . . . 61 10.3.7 Integralgleichungen zweiter Art mit Produktkernen und ihre Zurückführung auf lineare Gleichungssysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 10.3.8 FredholmscheIntegralgleichungenzweiterArtmitsymmetrischenKernen(Hilbert–Schmidt- Theorie). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 10.3.9 AnwendungaufRandwertaufgaben,FourierreihenunddieschwingendeSaite;dieMethode derGreenschenFunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 10.3.10 IntegralgleichungenundklassischePotentialtheorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 10.3.11 SinguläreIntegralgleichungenunddasRiemann–Hilbert-Problem . . . . . . . . . . . . . . 78 10.3.12 Wiener–Hopf-Integralgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 10.3.13 Näherungsverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 10.4 DistributionenundlinearepartielleDifferentialgleichungendermath.Physik . . . . . . . 83 10.4.1 DefinitionvonDistributionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 10.4.2 DasRechnenmitDistributionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 10.4.3 DieGrundlösunglinearerpartiellerDifferentialgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 10.4.4 AnwendungaufRandwertprobleme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 10.4.5 AnwendungaufAnfangswertprobleme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 10.4.6 DieFouriertransformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 10.4.7 Pseudodifferentialoperatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96 10.4.8 Fourierintegraloperatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98