Springer-Handbuch der Mathematik II Herausgeber und Autor: Prof.Dr.EberhardZeidler,Max-Planck-InstitutfürMathematikinden Naturwissen- schaften,Leipzig,Deutschland Springer-Handbuch der Mathematik II Begründet vonI.N.Bronstein undK.A.Semendjaew WeitergeführtvonG.Grosche,V.ZieglerundD.Ziegler Herausgegeben vonE.Zeidler Herausgeber Prof.Dr.EberhardZeidler Max-Planck-InstitutfürMathematikindenNaturwissenschaften Leipzig Deutschland ISBN978-3-658-00296-1 ISBN978-3-658-00297-8(eBook) DOI10.1007/978-3-658-00297-8 DieDeutscheNationalbibliothekverzeichnetdiesePublikationinderDeutschenNationalbi- bliografie;detailliertebibliografischeDatensindimInternetüberhttp://dnb.d-nb.deabrufbar. DerVerlagunddieAutorenhabenalleSorgfaltwaltenlassen,umvollständigeundakkurate InformationenindiesemBuchzupublizieren.DerVerlagübernimmtwederGarantienoch diejuristischeVerantwortungoderirgendeineHaftungfürdieNutzungdieserInformatio- nen,fürderenWirtschaftlichkeitoderfehlerfreieFunktionfüreinenbestimmtenZweck. SpringerSpektrum ©SpringerFachmedienWiesbaden 2013 DasWerkeinschließlichallerseinerTeileisturheberrechtlichgeschützt.JedeVerwertung, dienichtausdrücklichvomUrheberrechtsgesetzzugelassenist,bedarf dervorherigenZu- stimmungdesVerlags.DasgiltinsbesonderefürVervielfältigungen,Bearbeitungen,Über- setzungen,MikroverfilmungenunddieEinspeicherungundVerarbeitunginelektronischen Systemen. DieWiedergabevonGebrauchsnamen,Handelsnamen,Warenbezeichnungenusw.indiesem WerkberechtigtauchohnebesondereKennzeichnungnichtzuderAnnahme,dasssolche NamenimSinnederWarenzeichen-undMarkenschutz-Gesetzgebungalsfreizubetrachten wärenunddahervonjedermannbenutztwerdendürften. PlanungundLektorat:UlrikeSchmickler-Hirzebruch|BarbaraGerlach GedrucktaufsäurefreiemundchlorfreigebleichtemPapier SpringerSpektrumisteineMarkevonSpringerDE. SpringerDEistTeilderFachverlagsgruppeSpringerScience+BusinessMedia. www.springer-spektrum.de Vorwort Theoriacumpraxi GottfriedWilhelmLeibniz(1646–1716) DieMathematikspielteinewichtigeRolleinvielenBereichenunserermodernenGesellschaft. Sie ist eine Querschnittswissenschaft und zugleich eine Schlüsseltechnologie mit vielfältigen engen Verbindungen zu anderen Wissenschaften. Das betrifft die Naturwissenschaften, die Ingenieurwissenschaften, die Informatik und Informationstechnologie, die Wirtschafts- und Finanzwissenschaft,dieSozialwissenschaftensowiedieMedizin.Mathematikistabstraktund zugleichsehrpraktisch.Dasvorliegende SPRINGER-HANDBUCHDERMATHEMATIK, das sich um einen breit angelegten Brückenschlag zwischen der Mathematik und ihren An- wendungenbemüht,stellteinewesentlicheErweiterungdesSPRINGER-TASCHENBUCHES DERMATHEMATIKdar,das2012imVerlagSpringerSpektrumerschienenist.DasSpringer- HandbuchumfasstdiefolgendenvierTeile: – TEILI:Analysis. – TEILII:Algebra,Geometrie,GrundlagenderMathematik. – TEILIII:VariationsrechnungundPhysik,Wahrscheinlichkeitsrechnungundmathematische Statistik,NumerikundWissenschaftlichesRechnen,Wirtschafts-undFinanzmathematik, AlgorithmikundInformatik. – TEILIV:Funktionalanalysis,DynamischeSysteme,Mannigfaltigkeiten,Topologie,Mathe- matischePhysik. AlsmehrbändigesNachschlagewerkistdasSpringer-HandbuchinersterLiniefürwissenschaft- licheBibliothekengedacht,dieihrenLeserinnenundLesernparallelzumSpringer-Taschenbuch derMathematikdasumfangreichereMaterialdesSpringer-Handbuches(inelektronischerForm und Papierform) zur Verfügung stellen wollen. Für individuell interessierte Leserinnen und Leserseiauffolgendeshingewiesen.DieTeileIbisIIIdesSpringer-HandbuchesderMathematik enthaltendieentsprechendenKapiteldesSpringer-TaschenbuchesderMathematik,diedurch wichtigeszusätzlichesMaterialergänztwerden.DagegensinddieneunKapitelvonTeilIVnicht imSpringer-TaschenbuchderMathematikenthalten. TeilIenthältnebendemeinführendenKapitelunddemKapitel1desSpringer-Taschenbuches der Mathematik zusätzliches Material zur höheren komplexen Funktionentheorie und zur allgemeinenTheoriederpartiellenDifferentialgleichungen. TeilIIenthältnebendenKapiteln2–4desSpringer-TaschenbuchesderMathematikzusätz- lichesMaterialzufolgendenGebieten:multilineareAlgebra,höhereZahlentheorie,projektive Geometrie,algebraischeGeometrieundGeometriendermodernenPhysik. TeilIIIenthältnebendenKapiteln5–9desSpringer-TaschenbuchesderMathematikzusätzli- chesMaterialzustochastischenProzessen. vi Vorwort TeilIVenthältdiefolgendenZusatzkapitelzumSpringer-TaschenbuchderMathematik: – Kapitel10:HöhereAnalysis(TensoranalysisundspezielleRelativitätstheorie,Integralglei- chungen,DistributionenundlinearepartielleDifferentialgleichungendermathematischen Physik,moderneMaß-undIntegrationstheorie). – Kapitel11:LineareFunktionalanalysisundihreAnwendungen. – Kapitel12:NichtlineareFunktionalanalysisundihreAnwendungen. – Kapitel13:DynamischeSysteme–MathematikderZeit. – Kapitel14:NichtlinearepartielleDifferentialgleichungenindenNaturwissenschaften. – Kapitel15:Mannigfaltigkeiten. – Kapitel16:RiemannscheGeometrieundallgemeineRelativitätstheorie. – Kapitel17:Liegruppen,LiealgebrenundElementarteilchen-MathematikderSymmetrie. – Kapitel18:Topologie-MathematikdesqualitativenVerhaltens. – Kapitel19:Krümmung,TopologieundAnalysis(EichheorieinMathematikundPhysik). Hier werden im Rahmen der mathematischen Physik die Bedürfnisse der modernen Physik berücksichtigt. Am Ende von Teil IV findet man eine Tafel zur Geschichte der Mathematik. DiesorgfältigzusammengestelltenLiteraturangabenamEndejedesKapitelssollendemLeser helfen, bei auftretenden Fragen geeignete moderne Bücher zu konsultieren, wobei zwischen einführenderLiteraturundanspruchsvollenStandardwerkengewähltwerdenkann. DasvorliegendeSpringer-HandbuchderMathematikwendetsichan: – FortgeschritteneStudierendederMathematikundangrenzendernaturwissenschaftlicher, technischer,wirtschaftswissenschaftlicherFachrichtungen,Graduierte,Doktoranden – Mathematiker,Physiker,Ingenieure,Informatiker,WirtschaftsmathematikerinForschung, LehreundPraxis – wissenschaftlicheBibliotheken,akademischeInstitutionenundFirmen. DieBedürfnisseeinesderartbreitenLeserkreiseswerdenberücksichtigt,indemderBogenvon elementaren Kenntnissen bis hin zu anspruchsvollen mathematischen Resultaten sehr weit gespanntwirdunddasWerkeinbreitesSpektrummathematischerGebieteüberdeckt.Großer WertwirddabeiauffolgendeAspektegelegt: – ausführlicheMotivationundErläuterungderGrundideen, – leichteFasslichkeit,Anschaulichkeit,undÜbersichtlichkeit, – dieVerbindungzwischenreinerundangewandterMathematik, – vielseitigeAnwendungenderMathematikundPraxisnähe,sowie – dieDiskussiondeshistorischenHintergrunds. Es wird gezeigt, dass die Mathematik mehr ist als eine trockene Ansammlung von Formeln, Definitionen,TheoremenundRechenrezepten.SieisteinunverzichtbarerPartnerdermodernen Technik,undsiehilftwesentlichbeideroptimalenGestaltungvonIndustrie-undWirtschaftspro- zessen.GleichzeitigistdieMathematikeinwichtigerBestandteilunserermenschlichenKultur undeinwundervollesErkenntnisorgandesMenschen,dasihnetwainderHochtechnologie,der ElementarteilchenphysikundderKosmologieinBereichevorstoßenlässt,dieohneMathematik nichtzuverstehensind,weilsievonunserertäglichenErfahrungsweltextremweitentferntsind. Während das Springer-Taschenbuch der Mathematik den Anforderungen des Bachelor- Studiumsangepasstist,beziehtsichdasSpringer-HandbuchderMathematiksowohlaufdas Bachelor-StudiumalsauchaufdasweiterführendeMaster-Studium. Vorwort vii BeidenAnwendungenderMathematikspielenPhänomeneeinegroßeRolle,dieinNaturund Technikauftreten.DasmathematischeVerständnisdieserPhänomeneerleichtertdemAnwender indenNaturwissenschaftenundindenIngenieurwissenschaftendenÜberblicküberdieZusam- menhängezwischenunterschiedlichenmathematischenDisziplinen.Deshalbwirdindiesem Springer-HandbuchderMathematikdieSichtaufwichtigePhänomenebesondersbetont.Das betrifft: – MathematikderGrenzübergänge(AnalysisundFunktionalanalysis), – MathematikdesOptimalen(Variationsrechnung,optimaleSteuerung,lineareundnichtli- neareOptimierung), – MathematikdesZufalls(Wahrscheinlichkeitsrechnung,mathematischeStatistikundsto- chastischeProzesse), – MathematikderZeitunddesChaos(dynamischeSysteme), – MathematikderStabilitätvonGleichgewichtszuständeninNaturundTechnik,vonzeitab- hängigenProzessenundvonAlgorithmenaufComputern, – MathematikderKomplexitätvonAlgorithmenaufComputern, – MathematikderSymmetrie(Gruppentheorie), – MathematikderSystememitunendlichvielenFreiheitsgraden(Funktionalanalysis), – MathematikdesqualitativenVerhaltensvonGleichgewichtszuständenundzeitabhängigen ProzesseninNaturundTechnik(Topologie), – MathematikderWechselwirkungskräfteinderNatur(nichtlinearepartielleDifferential- gleichungenundnichtlineareFunktionalanalysis,DifferentialgeometriederFaserbündel undEichtheorie), – MathematikderStrukturen(Kategorientheorie). InteressantistdieTatsache,dassklassischeErgebnissederMathematikheutzutageimRahmen neuerTechnologienvölligneueAnwendungenerlauben.DasbetrifftetwadieZahlentheorie, dielangeZeitalseinreinesVergnügendesmenschlichenGeistesgalt.Beispielsweisewirddie berühmteRiemannscheZetafunktionderanalytischenZahlentheorie,dieinKapitel2betrachtet wird,indermodernenQuantenfeldtheoriezurBerechnungvonStreuprozessenvonElementar- teilchenimRahmenderRenormierungstheorieeingesetzt.DerklassischeSatzvonFermat–Euler überTeilbarkeitseigenschaftenvonZahlenwirdheutewesentlichbenutzt,umdieÜbermittlung vonNachrichteninraffinierterWeisezuverschlüsseln.DasfindetmanebenfallsinKapitel2. Das„Springer-HandbuchderMathematik“knüpftaneinelangeTraditionan.Das„Taschen- buchderMathematik“vonI.N.BronsteinundK.A.SemendjajewwurdevonDr.ViktorZiegler ausdemRussischeninsDeutscheübersetzt.Eserschien1958imVerlagB.G.TeubnerinLeipzig, undbiszumJahre1978lagenbereits18Auflagenvor.UnterderHerausgabevonDr.GünterGro- scheundDr.ViktorZieglerundunterwesentlicherredaktionellerMitarbeitvonFrauDorothea Zieglererschien1979dievölligüberarbeitete19.Auflage,anderWissenschaftlerderLeipziger UniversitätundandererHochschulendesmitteldeutschenRaumesmitwirkten.1 DieseNeubear- beitungwurdeinsRussischeübersetztunderschien1981imVerlagfürTechnisch-Theoretische LiteraturinMoskau.FernerwurdeneineenglischeundeinejapanischeÜbersetzungpubliziert. MotiviertdurchdiestürmischeEntwicklungderMathematikundihrerAnwendungenerschien in den Jahren 1995 und 1996 ein völlig neuverfasstes, zweibändiges „Teubner-Taschenbuch der Mathematik“ im Verlag B.G. Teubner, Stuttgart und Leipzig.2 Das daraus entstandene, vorliegende„Springer-HandbuchderMathematik“enthältzweivölligneugeschriebeneKapitel überWirtschafts-undFinanzmathematiksowieüberAlgorithmikundInformatik. 1Bis1995erschienensiebenweitereAuflagen. 2DieenglischeÜbersetzungdeserstenBandeserschien2003imVerlagOxfordUniversityPress,NewYork,als„Oxford Users’GuidetoMathematics“. viii Vorwort DiemoderneKonzeptionundKoordinationdesKapitels8überWirtschafts-undFinanzma- thematiklagindenerfahrenenHändenvonHerrnProf.Dr.BerndLuderer(TUChemnitz).In das von Herrn Prof. Dr. Juraj Hromkovicˇ (ETH Zürich) verfasste Kapitel 9 über Algorithmik undInformatikflossenseinereichenLehrerfahrungenein.ImMittelpunktstehtdaszentrale ProblemderKomplexitätvonAlgorithmen.Erinnertseidaran,dasseinesderberühmtensieben Milleniumsprobleme der Mathematik aus dem Jahre 2000 eine tiefe Frage der Komplexitäts- theoriebetrifft.DasKapitel7überNumerikundWissenschaftlichesRechnenwurdevonHerrn Prof.Dr.WolfgangHackbusch(Max-Planck-InstitutfürMathematikindenNaturwissenschaften, Leipzig)wesentlichüberarbeitet,unddieübrigenKapitelwurdenaktualisiert.DerHerausgeber möchtedenKollegenHackbusch,Hromkovicˇ undLuderersowieallenseinenKoautorenfürihre engagierteArbeitsehrherzlichdanken.Dasbetrifft: – Prof.Dr.Hans-Rudolf Schwarz(7.1–7.6)und Prof.Dr.WolfgangHackbusch(7.7), – Prof.Dr.BerndLuderer(8.1,8.13), Prof.Dr.JochenBlath(8.2,8.3), Prof.Dr.AlexanderSchied(8.4,8.5), Prof.Dr.StephanDempe(8.6–8.10)und Prof.Dr.GertWanka(8.11,8.12), – Prof.Dr.JurajHromkovicˇ (9.1–9.9)und Prof.Dr.SiegfriedGottwald(9.10). EinherzlichesDankeschöngehtauchanFrauMicaelaKrieger-HauwedefürdassorgfältigeAnfer- tigenvielerAbbildungenindenTeilenIbisIII,dasLesenderKorrekturenunddieeinfühlsame, ästhetischgelungeneTextgestaltung.FrauKerstinFöltingdankeichsehrherzlichfürdassorgfäl- tigeAnfertigenderAbbildungenundderLATEX-VersionvonTeilIVsowiefürzahlreicheHinweise zurVerbesserungderDarstellung.DenMitarbeiterndesLeipzigerMax-Planck-Institutesfür MathematikindenNaturwissenschaften,RegineLübke(Sekretariat),KatarzynaBaierundIn- goBrüggemann(Bibliothek),OliverHellerundRainerKleinrensing(EDV-Abteilung)seisehr herzlichfürdietechnischeUnterstützungbeiderFertigstellungdesSpringer-Handbuchesder Mathematikgedankt.FernerdankeichsehrherzlichFrauUlrikeSchmickler-Hirzebruchvom VerlagSpringerSpektrumfürdieKoordinationdesgesamtenProjektsundfürdiekompetente AktualisierungdesLiteraturverzeichnisses.SchließlichseiallenLeserinnenundLeserngedankt, dieinderVergangenheitdurchihreHinweisezurVerbesserungderDarstellungbeigetragen haben. AlleBeteiligtenhoffen,dassdiesesNachschlagewerkinallenPhasendesStudiumsunddanach imBerufslebeneinnützlicherBegleiterseinwird,derdieEinheitderMathematikbetont. Leipzig,imSommer2012 DerHerausgeber Inhaltsverzeichnis Vorwort v 2 Algebra 1 2.1 ElementareMethoden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 2.1.1 Kombinatorik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 2.1.2 Determinanten. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 2.1.3 Matrizen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 2.1.4 LineareGleichungssysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 2.1.5 DasRechnenmitPolynomen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2.1.6 DerFundamentalsatzderklassischenAlgebravonGauß . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2.1.7 Partialbruchzerlegung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2.2 Matrizenkalkül . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 2.2.1 DasSpektrumeinerMatrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 2.2.2 NormalformenvonMatrizen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 2.2.3 Matrizenfunktionen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 2.3 LineareAlgebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 2.3.1 Grundideen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 2.3.2 LineareRäume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 2.3.3 LineareOperatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 2.3.4 DasRechnenmitlinearenRäumen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 2.3.5 Dualität. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 2.4 MultilineareAlgebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 2.4.1 Algebren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 2.4.2 DasRechnenmitMultilinearformen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 2.4.3 UniverselleProdukte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 2.4.4 Liealgebren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 2.4.5 Superalgebren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 2.5 AlgebraischeStrukturen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 2.5.1 Gruppen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 2.5.2 Ringe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 2.5.3 Körper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 2.6 GaloistheorieundalgebraischeGleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 2.6.1 DiedreiberühmtenProblemederAntike . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 2.6.2 DerHauptsatzderGaloistheorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 2.6.3 DerverallgemeinerteFundamentalsatzderAlgebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 2.6.4 KlassifikationvonKörpererweiterungen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 2.6.5 DerHauptsatzüberGleichungen,diedurchRadikalelösbarsind . . . . . . . . . . . . . . . 83 2.6.6 KonstruktionenmitZirkelundLineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 2.7 Zahlentheorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 2.7.1 Grundideen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 2.7.2 DerEuklidischeAlgorithmus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 2.7.3 DieVerteilungderPrimzahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 2.7.4 AdditiveZerlegungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 2.7.5 DieApproximationirrationalerZahlendurchrationaleZahlenundKettenbrüche . . . . . 102 2.7.6 TranszendenteZahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108 x Inhaltsverzeichnis 2.7.7 AnwendungaufdieZahlπ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 2.7.8 GaußscheKongruenzen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116 2.7.9 MinkowskisGeometriederZahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119 2.7.10 DasfundamentaleLokal-Global-PrinzipderZahlentheorie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119 2.7.11 IdealeundhöhereTeilbarkeitslehre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121 2.7.12 AnwendungenaufquadratischeZahlkörper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123 2.7.13 DieanalytischeKlassenzahlformel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125 2.7.14 DieHilbertscheKlassenkörpertheoriefürallgemeineZahlkörper . . . . . . . . . . . . . . . 126 LiteraturzuKapitel2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127 3 Geometrie 129 3.1 DieGrundideederGeometrie(ErlangerProgramm). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129 3.2 ElementareGeometrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130 3.2.1 EbeneTrigonometrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131 3.2.2 AnwendungeninderGeodäsie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138 3.2.3 SphärischeTrigonometrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140 3.2.4 AnwendungenimSchiffs-undFlugverkehr. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146 3.2.5 DieHilbertschenAxiomederGeometrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147 3.2.6 DasParallelenaxiomdesEuklid. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151 3.2.7 DienichteuklidischeelliptischeGeometrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151 3.2.8 DienichteuklidischehyperbolischeGeometrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152 3.3 AnwendungenderVektoralgebrainderanalytischenGeometrie . . . . . . . . . . . . . . . 155 3.3.1 GeradeninderEbene . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155 3.3.2 GeradenundEbenenimRaum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157 3.3.3 Volumina . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159 3.4 EuklidischeGeometrie(GeometriederBewegungen) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159 3.4.1 DieeuklidischeBewegungsgruppe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159 3.4.2 Kegelschnitte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160 3.4.3 FlächenzweiterOrdnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163 3.5 ProjektiveGeometrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167 3.5.1 Grundideen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167 3.5.2 ProjektiveAbbildungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169 3.5.3 Dern-dimensionalereelleprojektiveRaum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170 3.5.4 Dern-dimensionalekomplexeprojektiveRaum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172 3.5.5 DieKlassifikationderebenenGeometrien. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173 3.6 Differentialgeometrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176 3.6.1 EbeneKurven . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177 3.6.2 Raumkurven . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183 3.6.3 DielokaleGaußscheFlächentheorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187 3.6.4 GlobaleGaußscheFlächentheorie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197 3.7 BeispielefürebeneKurven . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198 3.7.1 EinhüllendeundKaustik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198 3.7.2 Evoluten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198 3.7.3 Evolventen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199 3.7.4 DieTraktrixvonHuygensunddieKettenlinie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200 3.7.5 DieLemniskatevonJakobBernoulliunddieCassinischenKurven . . . . . . . . . . . . . . 201 3.7.6 DieLissajou-Kurven . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202 3.7.7 Spiralen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202 3.7.8 Strahlkurven(Konchoiden) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204 3.7.9 Radkurven . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205