Neuerscheinung Vorlesungen über Differential- und Integralrechnung Zum Gebrauch bei akademischen Vorträgen sowie zum Selbststudium Erster Band: Funktionen einer Variablen Von A. 0 STROW SKI o. Professor an der Universität Basel Dieses Werk ist eine Niederschrift der Vorlesungen über Infinitesi malrechnung, die der Verfasser seit nunmehr siebzehn Jahren an der Universität Basel regelmäßig hält. Um den historischen und logischen Zusammenhang zu wahren und straffer zu gestalten, wurde der Integralbegriff an die Spitze gestellt. Dies machte es notwendig, dem Buche zahlreiche Aufgaben bei zugeben. Auf leichte Verständlichkeit wurde besonderer Wert gelegt. Inhalt Kapitel I: Einleitung Kapitel II: Grenzwerte Kapitel III: Stetige Funktionen einer Variablen und bestimmte Integrale Kapitel IV: Der Begriff der Ableitung und die Fundamentalsätze der Infinitesimalrechnung Kapitel V: Die Technik des Differenzierens Kapitel VI: Die Technik des Integrierens Kapitel VII: Erste Anwendungen der Differentialrechnung auf die Funktionen-Diskussion 373 Seiten mit 42 Figuren In Ganzleinenband Fr. 47.50 · Broschiert Fr. 43.50 Zu beziehen durch die Buchhandlzmgen SPRINGER BASEL AG ISBN 978-3-7643-0507-9 ISBN 978-3-0348-6977-5 (eBook) DOI 10.1007/978-3-0348-6977-5 BEIHEFTE ZUR ZEITSCHRIFT • ELEMENTE DER MATHEMATIK • REDAKTION: L. LOCHER·ERNST Beiheft Nr. 1 - Februar 1947- Springer BaselAG Spannung und Spannungstensor I In seinem bekannten Werke : • Raum - Zeit - Materie • sagt H. We yl in einem abschließenden Bericht über die Entwicklung der Relativitätstheorie1): •Immer klarer tritt zutage, daß die Physik eine Wissenschaft von genau dem gleichen Gepräge ist, wie es die Geometrie war, die jetzt von ihr aufgesogen wird. • Dieser enge Zusammen· hang von Geometrie und Physik tritt im Unterricht wenig hervor, weil sich die elemen tare Geometrie in der Regel nicht eingehend mit der Untersuchung eines Axiom systems, sondern beinahe ausschließlich mit deduktiven Entwicklungen befaßt, während in der elementaren Physik umgekehrt die Erarbeitung der Grundbegriffe die wich tigste Aufgabe darstellt, der gegenüber deduktive Entwicklungen zurücktreten. Daß aber beide Wissenschaften ihre Erkenntnisse auf gleiche Art aufbauen, wird auch auf elementarem Gebiete ersichtlich, sobald man auf die Frage eh:tgeht, wie die Grund begriffe eingeführt werden. Grundbegriffe lassen sich nicht definieren. So beginnt Hilbert seine Ausführungen über ein Axiomsystem der Geometrie ohne jede Definition der Grundbegriffe Punkt, Gerade, Ebene mit den Worten 2): • Wir denken drei verschiedene Systeme von Dingen: die Dinge des ersten Systems nennen wir Punkte . . . die Dinge des zweiten Systems nennen wir Gerade . . . die Dinge des dritten Systems nennen wir Ebenen . . . • • Grundbegriffe entstammen der Anschauung • 3). Aufbauend auf diesen Grund begriffen wird die Geometrie nach einer Formulierung von Gonseth und Marti4) zu einem • Schema von gedachten Dingen, einem Gedankenschema, das den physischen Raum und die Möglichkeiten der Lage in diesem Raum zum Gegenstand hat. Die geometrischen Begriffe und Beziehungen entsprechen dabei gewissen Gegenständen und Phänomenen dieses Raumes. • Die Hauptmerkmale eines solchen Schemas sind5): • a) Gewisse Zeichen oder Symbole werden an Stelle von Gegenständen eingeführt. b) Gewisse Beziehungen der Symbole entsprechen eindeutig gewissen Beziehungen 1) Hermann Weyl. Raum - Zeit - Materie. 1918. Seite 227. 2) D. Hilbert. Grundlagen der Geometrie. 2. Auflage, 1903. Seite 2. 3) Hilbert. Vgl. 2) Motto der Einleitung, Seite 1. 4) Gonoetb und Marti. Planimetrie. Leitfaden. 2. Teil. Zürich 1936. Seite 126. •) Gonoetb und Marti. Vgl. 4) Seiten 121/22. 2 H. SCHÜEPP: Spannung und Spannungstensor zwischen den symbolisch dargestellten Gegenständen. c) Schlüsse, die auf Grund des Schemas gezogen werden, sind nur dann zulässig, wenn jeder dabei vorkommende Schritt in die Wirklichkeit übersetzt werden kann. . . . Bemerkung : Ein Schema ist nicht notwendig endgültig. Es kann unter Umständen noch vervollständigt werden.• Ganz ähnlich spricht sich Hertz über das Wesen physikalischer Erkenntnisse aus.1) •Es ist die nächste und in gewissem Sinne wichtigste Aufgabe unserer bewußten Natur· erkenntnis, daß sie uns befähige, zukünftige Erfahrungen vorauszusehen, um nach dieser Voraussicht unser gegenwärtiges Handeln einrichten zu können. Als Grundlage für die Lösung jener Aufgabe der Erkenntnis benutzen wir unter allen Umständen vorange gangene Erfahrungen, gewonnen durch zufällige Beobachtungen oder durch absichtlichen Versuch. Das Verfahren aber, dessen wir uns zur Ableitung des Zukünftigen aus dem. Ve rgangenen und damit zur Erlangung der erstrebten Voraussicht stets bedienen, ist dieses : Wir machen uns innere Scheinbilder oder Symbole der äußeren Gegenstände, und zwar machen wir sie von solcher Art, daß die denknotwendigen Folgen der Bilder stets wieder die Bilder seien von den naturnotwendigen Folgen der abgebildeten Gegen· stände. Damit diese Forderung überhaupt erfüllbar sei, müssen gewisse Übereinstim mungen vorhanden sein zwischen der Natur und unserm Geiste. Die Erfahrung lehrt uns, daß die Forderung erfüllbar ist und daß also solche Übereinstimmungen in der Tat bestehen.• Hertz führt weiter aus, daß die Bilder durch diese Forderungen nicht eindeutig bestimmt werden, daß verschiedene Bilder derselben Gegenstände möglich sind, daß ein Bild in dem Sinne zweckmäßiger sein kann als ein anderes, daß es mehr wesentliche Beziehungen der Gegenstände wiederspiegelt als das andere. Von der wissenschaftlichen Darlegung der Bilder verlangt Hertz vor allem Klarheit. In seltenen Fällen findet ein Bild, eine Theorie, schon bei ihrer ersten Einführung diese klare Darstellung. Als Beispiel sei die klassische Arbeit von A. Einstein über die spe zielle Relativitätstheorie erwähnt2). In der Regel aber ist die Arbeit von Jahrzehnten oder - man denke an das Axiomsystem der Geometrie - von Jahrhunderten zur Er reichung dieses Zieles erforderlich. Ist aber ein klares Bild gewonnen, dann darf man von der Lehrbuchliteratur eine klare Darstellung verlangen. Daß diese Forderung spe ziell auf dem Gebiete der Mechanik häufig nicht erfüllt wird, hat Prof. Meißner in einem Vortrag eindringlich dargelegt3). Er beschäftigte sich in demselben vor allem mit denjenigen Gebieten, in welchen die Wirkungen der Körper auf einander durch Kräfte mit Angriffspunkten dargestellt werden können. Im Gebiete der elastischen festen Kör per, der Flüssigkeiten und der Gase ist dies nicht mehr möglich. Wir müssen den Be griff der Spannung einführen. Es ist ein in der Lehrbuchliteratur weit verbreiteter Fehler, daß man über diesen Punkt möglichst unvermerkt hinweggleitet, statt im Gegenteil im Sinne der Hertz'schen Forderung nachdrücklich hervorzuheben, daß ein neues Bild, 1) H. Hertz. Prinzipien der Mechanik. 189~. Einleitung. Seite I. 2) Zur Elektrodynamik bewegter Körper. Annalen der Physik. 17. 190ö. 3) E. MeiJiner. Zum Mechanikunterricht an der Mittelschule. 54. Jahrbuch des Vereins Schweizerischer Gymnasial· Iehrer. Versammlung in Baden 1925. Aarau 1926. Seite 101. H. SCHÜEPP: Spannung und Spannungstensor 3 ein neues Schema an Stelle der in Punkten angreifenden Kräfte zu treten hat. Das Postulat der stetigen Erfüllung des Raumes durch die Körper, das wir dabei einführen, zeigt übrigens sofort, daß auch das neue Bild nicht alle Erscheinungen wird umfassen können. Es wird versagen, wo bei Vorgängen die atomistische Struktur der Körper sich geltend macht, aher1) •man würde bei der Untersuchung der Grundgesetze der Schallwellen oder der Flüssigkeitsströmungen ungeschickt verfahren, wenn man gleich von vornherein auf Molekeln oder gar auf die unveränderlichen Atome der betreffenden Körper zurückgehen wollte, zumal auch die letzteren wiederum nur eine ideale Ab straktion darstellen. Absolut läßt sich die Natur eben überhaupt nicht in menschlichen Gedanken erschöpfen. • II Das neue Schema zur Beschreibung der Wirkungen von Körpern aufeinander ist das folgende: Wir führen unter der Bezeichnung Spannung einen Vektor ein, der längs der Ober fläche eines Körpers oder Körperteiles stetig veränderlich sei. Wir nennen speziell Spannungen, die normal zu einer Fläche vom Körper weg gerichtet sind, Zugspannungen, normal gegen den Körper gerichtete Spannungen Druckspannungen und tangential zu einer Fläche gerichtete Spannungen Schuhspannungen. Schief zu einer Fläche gerichtete Spannungen werden wir häufig in eine Zugspannung und eine Schuhspannung, bezie hungsweise in eine Druckspannung und eine Schuhspannung zerlegen. f sei ein kleines Flächenelement an einer Stelle A, a die Spannung an dieser Stelle. Dann ordnen wir dem Flächenelement im Punkte A eine Kraft zu in der Richtung a mit dem Betrage K = f a. 2) Wir nehmen an, daß zwischen diesen Kräften K und den Bewegungen der Körper, beziehungsweise Körperteile die gleichen Zusammenhänge bestehen wie bei Kräften mit Angriffspunkten. Wir nehmen ferner an, daß auch für die Spannungen der Satz von Aktion und Reaktion gelte. Unser Schema legt nicht fest, längs welcher Flächen und in welcher Verteilung bei den Körpern Spannungen zur Erklärung des Gleichgewichtes und der Bewegungen an genommen werden sollen. Einen greifbaren Inhalt erhält der Begriff Spannung erst durch nähere Angaben, wie das Schema bei verschiedenen Körpern und den bei ihnen möglichen Bewegungen anzuwenden sei. Nur die Erfahrung kann zeigen, ob es zur Dar stellung der Erscheinungen in der Mechanik der Kontinua geeignet sei oder nicht. Eine Einführung in die Mechanik der Kontinua verlangt also die Behandlung von Beispielen, welche mit dem Begriff Spannung Zusammenhänge überblicken lassen, die in anderer Weise nicht erfaßt werden können. Auch größere Lehrbücher der Experimentalphysik begnügen sich mit der Behandlung eines extremen Spezialfalles, der Druckspannungen an den Grenzflächen der Flüssigkeiten und Gase. Viel aufschlußreicher und damit für 1) M. Planck. Einführung in die theoretische Physik. Mechanik der deformierharen Körper. 1931. Seite 1. 2) Eine schärfere Formulierung würde Vertrautheit mit der Infinitesimalrechnung voraussetzen. Bei der Bildung der Kräfte zu gegebenen Spannungen handelt es sich streng genommen um die Bestimmung von Fliehen· integralen. 4 H. SCHÜEPP: Spannung und Spannungstensor die Klärung des Begriffes Spannung wertvoller ist die Betrachtung der Spannungen im Ionern von festen Körpern. Schon die Behandlung einfacher Beispiele wird den Wert der Einführung des Spannungsbegriffes, seine Eignung für die Behandlung von Pro blemen der Festigkeitslehre zeigen. c L-1A 8 I_____! f~ 8' Figur 1 Wir untersuchen einen durch zwei Kräfte K (Figur 1) auf Zug beanspruchten Stab vom Normalschnitt f Auf das Stück A B des Stabes wirken die Kraft K und Spannuli· genlängs des Normalschnittes B B'. Wir werden annehmen dürfen, daß diese Spannun gen für die ganze Fläche B B' gleiche Größe und Richtung besitzen. Die Spannungen für den ganzen Querschnitt müssen (wir sehen von der Berücksichtigung des Eigenge· wichtes ab) mit der Kraft K Gleichgewicht ergeben. Die Spannung a muß also eine Zug· spannung sein, derart daß a=yK - f·a=K, L-1A ,;..-____ __,8 a, a~-d s• Figur 2 Wir legen nunmehr in Gedanken die Trennungsfläche B B" unter dem Winkel a ge· gen den Normalschnitt geneigt. Es ist BB''=_j_· cosa ' also, da wieder das Zusammenwirken von K mit den Spannungen längs B B'' Gleich gewicht ergeben mu.B : Kcosa ---=-=-- = (J ! Die Spannung ist in diesem Fall kleiner als im Normalschnitt und unter dem Winkel a gegen die Flächennormale geneigt. Sie nimmt ab mit wachsendem a und wird im Längsschnitt (a = 90°) gleich 0. Die schief zur Fläche B B'' gerichtete Spannung kön nen wir in eine Zug- und eine Schubkomponente zerlegen: a1 = a cos a = -K-- c-1o,s,.1- -a-- , at = a sin a = -K- si-n1a--= c-:o....s::a...- - K si2n f ( 2a) H. SCHÜEPP: Spannung und Spannungstensor 5 Die Zugkomponente nimmt mit wachsendem a beständig ab. Di:e fS chubkomponente ist im Normalschnitt 0, erreicht für a = 45 ° den Maximalwert und sinkt nachher wieder auf den Wert 0 im Längsschnitt. Der Maximalwert der Schubspannung ist halb so groß wie der im Normalschnitt auftretende Maximalwert der Gesamtspannung. Die berechneten Spannungen beschreiben die Beanspruchung des Materials im lnnern eines gezogenen Stabes; sie geben an, welche Wirkungen die Teile des Körpers längs belie· biger Flächen aufeinander ausüben müssen, wenn der Stab im Gleichgewicht bleiben soll. Die Größe der Zugkraft K mag nun so weit gesteigert werden, daß der Stab zerreißt. Die Trennung erfolgt nicht längs einer Fläche mit maximaler Spannung, nicht längs eines Normalschnittes. Die Rißfläche setzt sich zusammen aus Teilflächen, welche gegen ° die Längsachse annähernd unter 45 geneigt sind, also aus Flächen mit großer Schub· beanspruchung. Sehr deutlich zeigt sich die Erscheinung bei Stäben von größerem Querschnitt, wie sie bei Zerreißproben in Materialprüfungsanstalten benutzt werden . .o ~H E Figur 3 Figur 4 Für einen Demonstrationsversuch stelle man sich auf der Drehbank kleine Versuchs· körper von der Form ABC (Figur 3) her. Dieselben werden bei C zwischen den Backen eines Schraubstockes festgeklemmt. Mit dem Hebel H (Figur. 3 und 4) und der auf den Schraubstock gelegten Walze W wird der Versuchskörper zerrissen. Dadurch, daß der Kopf A B desselben längs eines Durchmessers auf der Kante D E des Hebels aufliegt, wird ein Biegen des Stäbchens vermieden. Figur 5 Die gleichen Erscheinungen zeigen sich auch bei auf Längsdruck beanspruchten Säulen. Die Spannungen für die in verschiedenen Richtungen durch einen Punkt geleg· ten Flächen - wir wollen für die Gesamtheit dieser Spannungen zur Abkürzung die Bezeichnung Spannungstensor gebrauchen - sind gleichartig denjenigen beim gezoge· nen Stab; nur treten an Stelle der Zugspannungen Druckspannungen. Auch hier erfolgt 6 H. SCHÜEPP: Spannung und Spannungstensor der Bruch annähernd längs Flächen maximalen Schubes. Eine Demonstration ist leicht möglich mit einer hydraulischen Presse und kleinen Zementsäulchen aus einem • Anker Steinbaukasten • als Ve rsuchskörpern. Durch den Bruch entstehen keilförmige Stücke AB (Figur 5), durch welche Teile des Körpers bei C und D seitlich abgedrängt werden. A~~B ~~ Figur 6 Diese Erscheinung spielt im Bergbau eine Rolle. Nach dem Ausbruch eines Stollens sind die Seitenwände bei A und B (Figur 6) ähnlich beansprucht wie unsere Säulen. Es kann zu • Bergschlägen • kommen, bei welchen abgesprengte Stücke seitwärts in den Stollen hineingeschleudert werden. Pm- ' Figur 7 Die für die Technik wichtige Erfahrung aus den geschilderten Versuchen läßt sich mit unserem Schema in einfacher Form aussprechen: Baumaterialien sind empfindlich gegenüber Schubbeanspruchungen. Diese Erfahrung benutzt die Technik, wenn sie Ma terial längs bestimmten Flächen trennen will; sie sorgt für große Schubspannungen längs dieser Flächen. Wir spannen beispielsweise die Platte P (Figur 7) zwischen je zwei Backen A1 A2, beziehungsweise B1 B2 und schieben B1 B2 in der Pfeilrichtung an A1 A2 vorbei. In der Fläche f der Platte entsteht starker Schub, welcher bis zur Tren nung der Platte gesteigert werden kann. Wir können die Backen A B auch weglassen 2 1 I I~ (Figur 8) und erhalten dann die normale Schere. Unsere Betrachtung läßt sofort erken· nen, dal3 für die Wirksamkeit derselben wohl scharfkantige, nicht aber messerartig zu- H. SCHÜEPP: Spannung und Spannungstensor 7 geschärfte Schneiden wesentlich sind. In gleicher Weise wirken ferner Stanzen bei Blechplatten, aber auch bei Karton oder Papier, zum Beispiel beim Entwerten von Fahr· karten. Ebenfalls nach dem gleichen Schema wird bei einer zwischen den Backen S (Figur 9) Figur 9 eines Schraubstockes eingespannten Platte P durch Schläge gegen den Meißel M der obere Teil längs der Ebene A B vom untern abgeschert. Analoge Vorgänge haben wir auch beim Abheben von Spänen an der Drehbank, beim Hobeln, beim Bohren mit dem Spiralbohrer. Die Stelle des Schraubstockes übernimmt bei diesen Vorgängen das Werk· stück selbst. Weitere Einblicke in das Verhalten fester Körper erhalten wir, wenn wir den Zu sammenhang zwischen den Spannungen und Formveränderungen untersuchen. Bei einem auf Zug beanspruchten Stab nehmen die Längen mit wachsender Zugspannung zu, während die Querschnitte kleiner werden. Für manche Materialien sind anfangs Spannung und Dehnung proportional (Hooke'sches Gesetz). Bei weiter wachsender Spannung wächst aber die Dehnung rascher an, und beim Überschreiten der • Fließgrenze • nimmt die Dehnung bei wenig wachsender Spannung sehr stark zu, bis schließlich der Stab zerreißt. Bei Entlastung nach einer Beanspruchung innerhalb der Proportionalitäts· grenze nimmt der Stab wieder die ursprüngliche Form an. Liegt aber eine Beanspru· chung bis über die Fließgrenze vor, so bleibt nach der Entlastung eine Verlängerung des Stabes übrig. Wird die Oberfläche eines so behandelten Stabes poliert und geätzt, so lassen die Ätzfiguren Veränderungen des Gefüges längs Flächen erkennen, die gegen ° die Stabachse um ungefähr 45 geneigt sind, die also mit Flächen großer Schubspannung Figur 10 zusammenfallen. Will man also bei Verarbeitung von Werkstücken bleibende Form· veränderungen erzielen, so muß man das Material bis über die Fließgrenze hinaus be· anspruchen und dazu in geeigneten Flächen hohe Schubspannungen erzeugen.