y LEHMANN SOLUCIONARIO Por: R. FIGUEROA G. II l'RHIERA EOICION : Febrero 1983 SEGutH>A F.OICI OII : Oct ubre 1985 TERCERA F.OICION: .~bril 19&7 Relmpres1Ón de la TERCERA EDICION: Octub re 1990 El método de plantear y resol ver los problemas , a s ! como la diagr-ama ción y disposi ción del li- bro s on de propledad d·eJ • a utor. Todo~ l os DERECHOS RESERVADOS en c umpl i ~iento del Oeoreto-Ley Hº 194)7, queda .hecho e l depó- s.Lto, en la Biblioi e·ca Naci on1Jl, con el Nº 04!1, seg~n Ley tt 0 1 3714. 1 Se prohibe t~rminantemente la reproducción to- tal o pa l'cf al d~ la obra, s!n pel"srlsó e:,rpre.so del autor. P~OLO GO Al p;:hli::~-!· este JtO:ro, ha. f"in.: rn! ir:téneión, cont.r:.- buir Ft d~sp~r~a.r pl ! nts.rés y 1~ :.:1:·1 ; iin del oat.u¿i_i:!"".tt:; ~o-r al es~uiio de la :;f:;OJ:~ t?~{a .J...r..l:.J {t ... ::~. O~~o .aá.7a!--tlr d~ a,tii.,~~a::o q_ut? (13téJ ~r;ibJ'. jo no t:..cnt: }?i"a te!l~i6n. g.Jrn:::-'l dét ser un 1:.. h""o d~dá·:!~i co o tle ~.ns.-~fit-.;iz11 ts.órice.. Cc1Jt;;id~:-o q,.~ e] libro e!~ C!f.IT. L~:,.:i:ar.n as eait·.fntc- ill.én Ld ildácti_ ce, pcr el 1 a t.e p-e~:r.i ti ext.:.~!H:?r, eri c,..¿:'i a.~ pítttlo .. ~l "hH!l~:J ~c.:n .. 12....,!i.S_y delilos """~~rlo:;. r .. H3.ra des!n~Js r1 sol 11::,: !:::~ pr,:-Clenie3 d ~- catle gl"'t:po. ?&r t i~ula?"m~.._.,ta m~ L#: e ~-... Ol"Ze,.do ~ar~"l qH1:t -~" p;t<>.bleit:1.u 1~;.essn re:H•!!!l :.o.s -:1.r. foTDa : J a.l'a y ~r.n ci.~la 7 ds m.an-Qrs :¡ u;. !tO ee .:1n <Jst.01·hadt)!. por c.par~cio:ic:;. l:+T'1. t;;;.tioa.o e-ngc•r-r,:; L~ :J. Al ,fi:ic.l de e<,é.[,. c" i:,ítiü.o '.lni:'luyri pi·obl e=.a s re31Jel,;os 1 :1,~·-los propuestos €t?'! el te:<to da lvs !"1e1·n.a.I!C1P De La Bc!'"- bol ' a, por f"on s id9l'"ai-1os, da JlH\;to:r grado dz rfi ( i cul t-a.d 4' lü~'> Oe lehme.nn. Es .lndudábl.e qye ·,s to p~roit irá ¡J es-:u- di."J."ltl' adqui.rtr -ri-ayo;r dest~a~~ para. reeo::-,ar ot.roa 'tip~~ de. p.:-.:~le::.::u-:- que s o µ~.¡-die--ran praaer, LE..:r en el den~'--rolltJ del cu~so d: ~oom~ tr.!a Ar-Afí t ics. F-in~wen:ic . Jti !lgradaci.)üect~ !I to:Í!l.s I os µi:,r,mr ;¡s, q 1 nen ana •;aliona s a11gBr e u cÜ-1 s hi~1.itrcr:. 1)0Si óle 1.u. ~~f:11 iz1- 1 • r - ~ión de esta ºf~n. n~ aep,~~a.1,a ~~ joven ee~udiant e , a t u de:1eo cls ad~t:iri:r .~ayor d<>;¡¡~Fº en s! tnna y a la ac.F.>J tación :i::q de t.u :urrt.g ~a:e,g.,0al es°í1e n o-de,:;;to ttaba .. jo. El &.utor PROBLEMAS y EJERCICIOS de GEOMETRIA ANALITICA Sol ucionario del Texto de: CHARLES H. LEHMANN Incluye un.a Seleccion d~ Problemas. Resueltos del Texto ele F.J.Oe La Borbolla K TERCERA E01 C I ON ' R. FIGU EROA G. I'I QuUn. e<1tá d ¿,./:uP-dO a ,:.,e ali.za" rtf.vo, Aal(.,:v, .. á ic4 r.,edl<,A. Ouiln n.o t~n.ga gana~ d~ AaeP--<-~, encon :tAa.-,& '-= d ¿.;c1d.pa<1, \ \ \ 1 NOIC:E GENER AL 1. Sistema11 de Coordenadas 1.1 Segme~to ~octiJ{r,eo Di~i&ido 1,2 S18tcoa Coorden.ado Lineal 1.3 S.t:,itt,mas de Coordem,das ,;n el plano PKOBLEH/\5 t!ESUi:I. TOS. Cz,upo l. 1. 1 Di&tll!lc ia !!ntre dos puntos 1.5 División de un .;¡eg::;en;.o en una :>azón dadu. PROBLEHAS RESUELTOS. Crupo 2 . 1. 6 Pencli ente de una recta. 1.7 Ar.g"1a POtre dos rectas. PROBLEM:\S RESUELTOS, Crup o 3. 1.8 Demostracjones de teorema s geométricos por el ti~todo analítico, PROBLEHAS ijESUELTOS. Cr upo 4. 2. Gráfi c a de una Ecua ció n 2, 1 Gráfica ele \!na i,.c,uación. I:-rcerceptos EY.ton,;ión • Asíntotas. 2. 7 PSlOOLEMM 1RESUEl TOS, rupo ó, Ecuacion'.?9 ra.ct<:>rillab ea PROBLE14AS )RESUELTOS, Cru,¡,o 7, 2.6 Ecullción ae un Lugar Goom/trico . PR08L(KAS RESUELTOS, Crup¡ 8, 3. L s Lí n e a Recta 3, 1 Formas de la ecuaci6n de una 1Ínc~ recta. PR-OBL[IIAS SlfSUfLTOS. GrUP¡O ?. J . 2 Forma Generrtl de l/l ocuao.i6n óc Unll racta. ). 3 Posicione~ relativas de ctroa rectas. Pll 08l Et:AS RESUELTOS. Gr~o 10 , 3. 4 Forma Normlll de l a e cuac¡6n de una T'tlct.a.. V 3 4 5 6 12 13 23 23 25 32 40 L6 57 60 67 68 76 76 ?? 87 '.l. 5 R>JCIUeci:fo a la foz·:i:a Normal PHO!l.LE~~S RESUELTOS. Crupo 11. 3.é Aplica.clon'e!l· ..:e la forn:r:. :,oroal. Pll06LENAS 11!:SUH rOS. Grup<> 12, 3. 7 :_rea de un t'rihl:.r:ul~ .. J.e ,ami11& de r~ctac. PROBLEM,s RE~UElTOS. Crupo 13 Pf<'H1LfHAS fltSUl:i ros. Crupo H f'ilOfllEWIS AOlCIONALU ( r .. xta: F. lh, :;,;;. .E.:rt>-.>llnl ' d • 4 . .L• Circ1r-nfere~da 4• 1 Def1nic_lón y Ecuaci~'lC ~ •. P?09t-E1t.,s R[StlE:l TOS. C.:rupo 15. 4.2 Fo.r:n1i General de l&. ecuación d~ una Cir.:n;lll,~Tencia PROBLEMAS RESUELTOS. Crupo 16, 4~4 Fasllia d~ Cira~nferenaiaa .;;,.$ Eje 'ª U.cal. PIWlllEHAS R(SUEL TOS, Grupo 17 L. 6 Ta11~ent,, a Jllf. Circunférenc:ta, l'ROBLtM\S E!CSL"tl r,·s. Crupo !S ! .• 7 Teor9mnG 'i Pro bleTa.S C.i:: •11 gert:~ ge!>rr:St.t!~vs ~el~tivos a la c_rsu~ ~lt,nc~3. :·. ; ºROBlEK~S RfSUELTOS. Cr~pv 19 nROSLEMAS AOlCIONALCS, (l,,xto: r. Oc• la Sorh,>1!,) 1 5. Transformaelón de Coorden•das :'-r~!:la.c1lt ·l~ Ej<. r-: Cc .... r-d-.:. .. -dc3. PROBL.ttAS RESUFL10S. C~'fº 20, t:-i't.c.cié~ tl~ i.;e:1: Coc1·de.r.c..'J!>f;. 1 sci- s9 <}J 95 105 1C6 107 i 1~ 130 1.;< 1 131! 1,:19 152 , é? 1f:7 17J Co11t en. ¿do PílOOIHIAS RCSUELIOS. Crupo Zl S./. Si!T';)l.l.f;..canión de una e~u,;.ción po::- trens!orrao.- ción :::e coo1•den .. uas. PROBLEHAS RSUEL TOS . Grupo U 6. la Parábola 6. 1 O,;finiclón 6.~! Ec;.i.;~d., f.e lu pa.ábol:1 con v"rtice l''.'.l el -:-r5.een PRC!3LEll~S HESU[LíCIS, Crupo ?J 6.) E~t.6.CiÓ:, éc la p;;:.:-áool ~ con ,1ér,. :.ca "n {h, :.,:) .. 6. 4 3c ,acién Ger.~ral do i..t111 Pa1·!bolo.. PHORLEil~S PFSUEL TOS. Cro¡,o 2'+ 6. ~ Ec·H,~:é n de l ll. tang':>nt.c a en,. ¡,a.:-á~lc PRDULEMAS RESUELTOS. Crupo 25 PllODI.EMAS ADICIGllALES (fnxto, F, De LA Aocboll~) 1. La Elipse ·7. 1 Ditfi11ició:i > ? • 2 EcunniÓ.n do la Alip ~c. P,<OULFll1\S RESl.lEL TOS. Crupo 27 7.) 3:-c·.ieaión de l" él lp3J con véi·tic" c:i (b, Id . 7.~ 3~~ación r,en~ral, dJ ~~ elirne P:rn·\LEHi\S P.CSUfl ros. Gru~o 28 7,:, r:eu.1ci6'1 de le t1m1;,rnte 1 una ffl ip11c. :,. 1 P?D'LE~AS RFSUELTOS. Grduo ¿9 f.>:10:JLEi•W, llllICIO/lALES, 1 (TPxto: F. Oe La k~rbu ll~J J 8. La Hipérbola Jal .. niciér.. El e111en':-c s ¡¡., wi:, 1-,i¡,trbol ,:. PROaLEHAS RFSUELTOS. c~~po JO 188 196 197 214 215 21~ 2::;.1 22) 247 249 25i 259 1 279 287 2'!8 2 Conicn idc H.,( A a!,,tota;; deo u:,;a hir,ér bo 111 .:,.. 5 E ... pé:~:. tt 1; ... t.~~·!-.-nr!"', 8.,6 H!.;Jér:x>;.e.s eor.j:.>t:P-daz PROSLWAS rESUEETUS. Crupo 31 s. 7 S&~1md~ t::'!Ouaci&:n o.t"dlnar ia :;.e U!l .... h!pérO:... .. e. 'RU~!..EIMS RESUELTOS. l,rupo 32 f,9 i:;C':U'd)i Ón ,., :.;i. t.o.rHTi:?t:t~ a 1.HHI bip~.rlio1 J,t. P~()13LEMAS RE%U H)S , ".;,:upe H PA03l~M~S AO!CIO~!lfS (Te~to : F, o~ La B~rbolla) 9 .. 1 Intr"-d!l:.:ciÓt!. 4. 2 Zr-c.~afo t-~~cién _pcr 5Q~O:l6n. 9.3 Tlpos de C6n.ie~~. 9.4 Inv~riant~u. PROOU:'.tlo\S RESUELTOS. Crupo }4 9, 5 Oefir.:lc i ÓL zn,e1<al. de la cónic a. PROCIL EMAS RfSUEl TOS. Cr· upo 35 9. 6· 1an~en~ a la cónica g en~ra! . PRO~LEHAS RESUELTOS. Gr upo 36 1 O. 1 .5i i,t e:nn. de c::>ordena::.11 s p e J. :iy: s . :-1. 2 Pa.r~Ja de ~co.,.de!ladat pan: ..in p ".lD~.,;, . .; ?~, ~e coo~cezadas po2~res r. ~e~tar~rtü.are~ ~ ·, l~ •1ers e.. 1~ . ... Pfl{18l. Ei'<AS ll~Sl/!:1. ros. 1 Grl,upo 37 7~a~ito de ccrv~~ en zo=r~ ~~añ~s pcl*re s PROBLEMAS ~ESU8..TOS. crtp~ 35 1 10 . 5 l:, ~ercccc _one~ d6 e~.L:va.2 ffr~ ao:,r i~?l.?.d1 a poltt.res . .. ~. 6 r,( 3:t?:t.n::ia --ir.~l"e d.oa ¡,1.a:to PílOJI E~ AS MCSUlL TOS, Grupo 3 ~ ·; "'. '"! E=~nc::,.6n d~ u.:aa :oc~s er: co~r ~en ado.~ pclar~'-4 10.'.:: - •uav.:1!l ."~ :ir.i !x:-·.1~::c~e:1cis s-~ t:cer -;.. ;ol.1.::~s ~). 9· r:r.~ .10.r:ién ge'1~I'"cl e.le la=- cén .i ,~as en noor d .. ·.,ol er?.s ríi0!3LfHAS AHUELHJS. Gr upo 40 295 296 ;¡_9'¡ 304 Jft; :n.?. } 13 :,u 3~7 na 32'1 3/,0 31.1 347 3¡7 ')5 7 '.; 57 358 .359 366 379 3S7 38~ 389 39~ ) [ \ 1 3 1 Sistemas de Coordenadas l. l SECIIEllTO RECT ! lltlEO DIRICIOO ?-:,:· la g¡¡ome Lr ía elemental sabell!os que ls. porción de una 1 1~~~ r ect a coopre~di d~ e~tre dos pu~tos A y E se l ls.as ~ ~g- Q~nio. Per o e~ ella nos~ hacía la distinci6n en~rc los &cg- ce::tos }3 y BA, porque noa inte::-aa<ibo. solamente la longitud a~: ae~ ~cto . E.~ e: est~:iio de la Geo~etrí~ klal!tica es nec! s~:-io ::,-;ntllderar ~a!lto la longitud co:co el :,é ;o:°tido. Cua:nc:o ;,os :·e.f'iraa:os a J.a longitud de un segmento, l o con3icieraremos cono une eAntidac ~clatlua . Cuanjo n~a ::-efirazos tAnto e la :.ct.¿¡:_:;u:i co=o el :;ct.tido ,ie u~ ·segao~to de. ra~-:a, l e ll=ere- mo,1 ¿"?'"ento Cltú.n.iad.o. Entonc~s. entend(!)mOG por n gsento o- r ientado s:¡uel c·:;;o sell.~ido po3it1vo 21e . sido &legido. In eer,- tid~ pos'tivo se lnd!ca u3ual ~ente colocando ~na flooh~ en :.J g:'.~ l ugar d&l seg:i en.to . Figura 1 .S.:i!. la r ec ~ L ~3t' orisntad:. c:nao l o i cdics. 1;:. !lecl:c • lo· cual significa q~o cual1uie::- longi tui oedidn de izquierSa a de re cha s::>b!'e 111 re ut a se consid.¡¡re. en ~ent1do pos1 t i ve. D<&o; ~os entcr.ce~ q~~ al segag~to I'§' as positivo, en t~~to ~ua si E••fe::to Jrr es 1. -;1g11 t ivc. :n con~ido de un sog:ia:1to aer~ indl - calc por el orden sn q ue oo escriben l.:is· oxtreno-s del s~g:n,¡11- t o. Por tnnto, ten$~Os la relación: n = -3.t 4 Consld~re=o& la poeictón ac un tercer pu..~to C, eobro el ec3- nento orlent,•do, cor. relnción !l. loe pun.toi.: A y B. A .e !"igure D& lo figuro. 2, Do la. :figure 3~ De la fieura 4: H e A B ~- ------ ?. Figi.::ra J tsne;c;oa: J!. = AC + CB AB· = ~c-..e +· ci + ~=Tc+c'B Ail. ·= Tc; ~ :§e + Afi'. = Tc. + 'BB A 3 L+ .... o ' I'igur ,. ~ (1) P,n tanto, p1u•a lais trea, pooicionet1 ilu~traduo, es v,l.lida. la xis~a roleci6n Gntre loo see~entos. Esta relaci6n puede escrt bi '!'se on la torua, a4s conveniente: Xc'+ci3+Bi,:o · l, 2 SISTEMA COllROENAOO LHIEAL COb3idereQOS ur.a rcc~a !'X c~ya d.ireec1Ón positiva 68 ie 1zquie~d!l ~ ücreeh~, y se~· O un p~t.o !ijo ~obre ~sta línon, Pa o ¡¡ Pi p X' --- -x Í 1'2) (O} ('T) (x,) ü:) Jieurs. 5 Si f, es w, ¡,unto ñe ,;•x rdt1.a<lo a lr, d&reeh~ de o. ls lone1. tud OA pue.ic ccnoid;,1·=00 c,.,no u:iirl'-d de :.ougi tud En .. onee:i t•l r,u.1-to P, situo.;lo um1h1á., n· la dc~·ed1:i. ha O, contiHe -.. ve .. et>~ la :.u1id.a ::dop-ti1ó:"! !l- l .. :,g:.Lttd .Y ó.'t'¿¡~,~n nite c1 p·.'i...nto •. c.c:~.1t.t:.1>.t:.·•Vuie l 1u'{noro p::r."'tJ.v~ Y'. }41:álog:.ui<!n;;b r.1 P~ e~ ~1 •;U!!to ;:•tt.~do -r,. la i:1..:,u •. :>rda ao O, eni.r>!'ce:r, dl.I'<,moll que 1,l ,=t"-;o F~ e,· ,~.,;,t.r..r.t.:. ~ .D1-~ (1. 12.-.."a.t-ü.~ ;¡;_¡_. !.., ~ú <:1,-t , b1-1.:10~ .t.nn~t,.11:!.dc il-1\ ·t;c,!t:.cr;a pcr m~d..l.'o del cucl ~6 ,)8 l:.. d!t'I ·;ui, d(l2,"",l¡lO.OJt1J<CÍl1 c,l\;.r:ÍVO<)tl enf,,,3 ¡,1i11'1,v~ do UJ.ll.i 5 recta y los ndmeros reales, Tal esque11a ,;e llaoa un ¿,:-ó~a eoo,,d¿¡-¡ado ·l.úu.af:. Coc refsreceta a la figura 5. la recta l'X r,~ ll¡¡,¡¡¡a ~;e y sl ·punto ·o es el Mlg= dol sist!)ma coordenado lilleal. U .PUllto P con su coordenada. (x) es la ~cpre~enteci6n geométrice o gr~fics. del DÚll~ro real JC, y la coordenada (x) es la 11..t,,,.ic• h&niaci6n anclltica del punto P. Juntos se es~ribe: P(x). foorema 1. En un s:it1te!lla coordenado lir.cal, 1s. longitud del oea~ento diri~ido que une dos puntos dadcs ae cb- tieno, en ~ag:útud y signo, restando la eoordenada del ori• ¡¡on de la coordenada d-sl éxtre110. Dcn:ostruci611: En efoc~o, sea la rec.a orientada l'X O P1 l'2 X' ~~~~~-..~~~~~o-~~~~-a--~~~~-4,,,¡ (O) Según la relac1.6n ( ·¡) d,;l ar.tí culo 1 .1, tenelllo&: OP1 .. l5"iP2 = éW2 + X1 +'Í>1P~ X2 de dunde: F;F;, = X.a - x 1 En a~bos ea.sos, la longitud del segaento óirigido se ob.le• ne reatando la coordenada. del punoo il:J.icial de le coordeoaóc del pun.~ Cinal. S1 1·9pre~er,tamou por d la d1.otanci..t ,to ai.,d gida entre P, y Pa. &acribiremos: o bien: 1,3 SISTEHA COOROENAOO EH EL PLANO La estructuro del siste~a de coordenc.daa an el plano consiste en un par dA rectas orientadas porpendicularea, 11! ma.do 19 ejes coord11nado1I. La 1·ecta hol:'1:i:on~al es el eje X, la 6 vertioal el eje T, y :'>U 1nteraccci6o ol OA.i.f!M }'..as cu11t¡•o partea en que el plano qucd~ diviciido por lo~ ejoD ooor- y deaados 60 llaoan ,~~ Y se II(-,t) I(+, t} doeig~an p~r I. lI, III y IV ~n se~tido contr=io 111 de las 11ane- cilles del reloj. (Figura 6) ll --- - -,- P(x,y) Un p"!lllto 3e indica dnndo au senti- do y diotencia re3pecto a los ejes uoordenadoa. El ner~ento orientado oi~ru> se ropr~s~nta por x y oc 11~ na at4ci4a del p~nto P. ll segnen- to orientado OB•ii:P se reprooenta por~ y se llama o~denada de P. i~ III(-,-) !V(+,-) Fi¡ura 6 t1s dos c~ntidadee ae deno~!3an cooA.dc.n.ada~ del punto P y se repre&ente por {x,y). Si un punto est, a la derecha del eje Y, su 11bsciea es posi- tin,, si est.t a lit izquierd11. o.el eje !, st: nbscise. es nee;att v~. Si el p~~~o est, arriba del eje X, au ordene.da e, posit1 va, si está ab~jo dol eje X, su orden~de es negativa. [.EJERCICIOS. Crupo l 9. ~allar la tliG~~ncia entre los puntoo cuy&u coordonade.e son, (-5) y (6); (3) y (-?); 1-8) y (-12). Scl,,ci6n, Por el teore11a 1 se tie:ne: Pa.-ra loe puntos ?1(-5) y P1(6): rl(Pi,P:)=lx1-xd.,l6-(-5)le11 Si P1(3) y Pa(-7) d(F1,!'2)=lx1-x:l=l(-7)-JI- -101=10 P1(-8) y ?~(-12) .,. d(Pi.P2)=lxz-x1 '=I (-12)-(-8)1=1-41-( 5. Le dlstanci~ ontre doo pw,tos 8$ 9. Si uno de los punto~ ea (-2), hallar ~l o,ro punto. (Do~ casos.) Soluc.:611. Suponecmon quo P 1 (-2l y P 2 (x1 ) Fntonces, !IÍ d(P 1,P3 )=9 - 1Xz-(-:t} f•9 S ú,J "'"'~ d.c Coo~denacia 1 ~ lx1+2l=9 .... x,T2=9 6 X2T2;- 9 ..-.. x,~7 6 Xz•-11 7 Por tonto, los p•ir,tos buscedcs son: P,(7) ó Pi(-11) 6. En ur: s.!.st.ua eoo:rier • .:d= 11:teal, ?i(xi) '/ .? 2 (x 2 ) son los p1.!11 tos oxtl'ono.s do.dos de un gcgnento dirigido. Demo3trar que la eCOl'dtto3da {x) ie un pa:-ito P qu• di vio.e a J- 1p2 en :!.a raz6r. r- (P,?):(Pl',); u: x _ x, + rx, 4 • - 1+r , rr-1 Dc1>.o.ái.r.ar:i.ór.. Er, efecto, por el teor~;a. se tie:.e: ?1P • x-x, :, PP, = x~-x • Lu!lgo, oi r ; hl + r,, x-x, :'~2 X2•X de dond<i: X _ x 1 + rx, 4 1 1+r ' xr- 7. Lll.Cieodo r~1 eJ lo f6 ·•41.a obtanida e, e: cjerciclo 6, d~ 11:os~!'a.r qu~ la coor-it<nll.da del punto ned.!.o de un aag1e;to r•ctilír,~o 03 h. t>c<l.io e ri. tmé t:I ca de ::.ae coordenad:,! de lon p~~.os cx;r~==3. tJcMOdi.1t,,ci6n.. En efo1cto , si r.rl, en la fór:iiula ant1Jrior se t.iena: X = x1n1 "'x¡;.x! Halla~ les pun~cs de trisección y el FU~to ~edio del seg 1:11J11t,o dirigido cJyoa extrexoo son loo )>1,t.tos (-?) y (-19). Sotucl/.o, Se~n P:(-7) , P,(-19) y los pur.tos de Lri$ecciún ?(x,) 'I Q(x,) (-7) ? H ( l( ') Si ? r Q <i!.,:.con al sei;,iento P 1P 0 '.!n -:.reo pu·tea i¡ulllei, =- t.or,o,,s , P!:' • l - x,-(- 7 ) - 1 d d d r,-z 2 -1':/-:<J ;¡ , e e:: e: x,•-11 , e:; pJ:1to c~d.io Ue Wi ... x,;: -1ltl-19) ~ -15 :-1 IIP p:n:.c - -Jlo de ¡-;p; x ~ - 7219 -1J ?o 1' lo t,.n to: ~ ( -11 ) , Q ( - 1 5) y M ( -1J) 8 '.:l. 1/n extremo il:' 1m s-egnento diri¡;ido ::.s el pu:,to (-8) ,' su pu:i.t,:i medio .,,., (3) . Hall.ar la coorclenatl.a af:11 otro ,01<treu.o $i>luc-Ur. . Sei,n P1(-8) , M(}) ;¡ Pz('X"~) Según la ~órmula del ejoreici~ 7: J ; -82Xg de dor,de: :. ?,(1.i) 10. Los ertre~os de un segmento dirig~do son l os ptllltos P1(4} y P~ (-2). Hallar la r.ni6u (.P"';F): (PP i) en que "'1 punto ?(7) divide ¿ esté oegmento. Sotuci&n, entonoas por el teorema 1: re~, de donde: r~-3 ll. Un cuadrado , tle l _ado igual a 2a, tiene su centro ~n el o- rigen y sus l ados .son paralelos a los ejes coordenado$ , ITalla,r l as cot>:rdenada.s de aus cuatro .v,htic,e,s. Sotui;Un, E'r, la interpre tt<oi6n grái'ica dol p-i•ob:l.e,aa pode- mos o-hs-erv,u, quo~ Alil lifcl leje Y. luego, J,n abecis-a de A y J es a, (derecha del eje Y) y la de E y O e~ -a (iÑqui e rda ciel eje Y) ~ I IBDI [eje X, luego, li;. orcl-enacla de A y a es a (ci,bre el ej& .X:) ,¡ la de C y D es -n (d.,btijo del eje X) . Por tanto, las coordenadas de lo$ 4 -v-&r,ices del ci:Rdrado son: y !! -~ ó e A(a,a) , B(-a,a) , C(-a.,-a) y D(a,-a) A /! D 12. Tre<: V'ár-':.ice$ de- un re-ctángulo son l()s puntos (2, -1 }, (7,-1) Y (7,3). ~allar el cuarto vértice y ou nrea, foluci.6n, S-ee.n A(2, - 1), B(?,-1), C(7,J) y D(x,y) Por el Teorema AB ~ 7-2 = 5 5c = 7-x 5=7-x , d.t donde,: x=2 - X Análogamente: §e = 3-(-1) = 4 y Ali D e e y-(-1) ; y+1 ···r---- Si iñ=BO ... 4=yt-1 . de donde: ;;r~3 1 Por lo que: D(.2, .3) 1 a.{AJ3CD) [ÁBJxfBcf X = " 51e4 ;- 20 u 2 A 13 .,r 13. Los vórtices de un triángulo rectángulo son A(l,-2) , B{l,-2) Y C(4,2). Determinar les longitudes de los cate- tos, el área del~ y la longitud de la hipotenusa. S.olu.ci&tr.., Por el 'l'eore.1n:t 1, se tiene: lilif ; lxa- • x_~ 1 14-1 I y "' 3 9 IJ:fül - l;1c - .Yal 12-(-2)1 ; 4 ------ .. Entonc~s~ a(AABC) = iJABjxjr,cJ 6 u..2 o X Por Fit6.~orae; IA'cl 1=liaJ 2 +1ac1 2= 9+1b 11.°"'cl : 5 A B 14. Bn el triáng\llo rectángulo del ejercicio 13, déterminar primero los puntos medios de ios catetos y, después, al punto rned.io de la hip.otenusa •• S. o l.u.c i.611, Si M(x,y) es punto m~dio de AB ; j( 1+4) : -i = i<-2-2) ~-2 _ {x~-2 1(4+4) 4 N(x,y) es punto medio de Be+ 1, ) y ; 2 '?-2 o P(x,y) es punto nedio de AC • 2 2 { x = 1(H4) : 2 y = Í(-2+2) ; O Por lo tanto: M(i,O) , N(4,0} y P(1,D) 15. Ballar la distancia del origen al So~uciéq, En la figura se tiene: OA abscisa de P = a AP ordenada de P = b punto P(a, b) . yt--·_7: P(a,b) ~ X 9 Kn ln .Cigurn •1e:moe que ; OA = abscina de~~ & OE : or denada ~e a = 1-BI = S Por Pitá go':'a.s : 1.Gf'= lfü¡ªJ. Jo§/2 ~ (6F"- ra>2=100 ; . !!(.!i.,31=10 17. Lo¡¡ v.Sr tic<>a de un cuadriláter o 3(7. 3), C(9, 8J y D{J,8). A(6, 0} y .&(0.. - 8). Como CM 1 1 eje Y, la. abscisa. de C y- e• es xc:1. tiil(.,(J-(-1) 1=4 + (Aii-j:2 Si el A!BC es equiJ.átero, entonces: IACl=(Afijc4 En el AAMC: IA"c:J 2 =liMJ 2+(MCl 2 + (4) 2c(2) 2+(icJ 2 +JMCl .. (MC'le2,/J iuego, la.e ordenadas de los vért1C$8 e y o• son: 1+2,IJ y 1-2/3 • :. 0(1,1+2,IJ) y c•(1.1-21J) 11 C' lj. De~ostrar que los punt os A(-5.0), B{0,2) y C(0,-2) son los vét"t.ices do un tJl.i~!o is6$cel,e.s y ea}.c111ar su -'rea ,....e .. • : ~ ... JI51 .. (9-(-5) J=5 , (oBJ=(2-0(c2 y!ocl=lo-(-2)J .. 2 En el AAOB: IIBlª=JKóJ 2t(o'Bl 2 =(5) 2t(2)~=29 + IAB)s~ Rn e1. AAOC: IAC p ..