Singularités des courbes planes, module des dérivations et schéma des arcs Kodjo Egadédé Kpognon To cite this version: Kodjo Egadédé Kpognon. Singularités des courbes planes, module des dérivations et schéma des arcs. Géométrie algébrique [math.AG]. Université Rennes 1, 2014. Français. ￿NNT: 2014REN1S111￿. ￿tel-01138088￿ HAL Id: tel-01138088 https://theses.hal.science/tel-01138088 Submitted on 1 Apr 2015 HAL is a multi-disciplinary open access L’archive ouverte pluridisciplinaire HAL, est archive for the deposit and dissemination of sci- destinée au dépôt et à la diffusion de documents entific research documents, whether they are pub- scientifiques de niveau recherche, publiés ou non, lished or not. The documents may come from émanant des établissements d’enseignement et de teaching and research institutions in France or recherche français ou étrangers, des laboratoires abroad, or from public or private research centers. publics ou privés. ANNÉE 2014 THÈSE / UNIVERSITÉ DE RENNES 1 sous le sceau de l’Université Européenne de Bretagne pour le grade de DOCTEUR DE L’UNIVERSITÉ DE RENNES 1 Mention : Mathématiques et applications Ecole doctorale Matisse présentée par KPOGNON Kodjo Egadédé préparée à l’UMR 6625 CNRS-IRMAR Institut de recherche Mathématique de Rennes U.F.R. de Mathématiques Thèse soutenue à Rennes Singularités des courbes le 12 Décembre 2014 devant le jury composé de : planes, module des Alain HÉNAUT Professeur Émérite, Université de Bordeaux 1/ dérivations et Rapporteur Ana J. REGUERA schéma des arcs Professeur, Université de Valladolid (Espagne)/ Rapporteur Sylvain DUQUESNE Professeur, Université de Rennes 1 / Examina- teur Tony EZOME Maître-assistant, USTM (Gabon)/Examinateur Julien SEBAG Professeur, Université de Rennes 1 / Directeur de thèse À mon Père Chaque matin Un gamin s’envole Pour l’école Par le même chemin. Journée après journée D’année en année Le chemin fleurit Le gamin grandit. La fleur oubliée À chaque détour Est une peine liée. À chaque jour. Pour son devenir Sans relâche L’espoir marche Vers l’avenir. Pascal NDOUNA-DEPENAUD REMERCIEMENTS Au terme de ces années de thèse, je tiens à exprimer ma reconnaissance à tous ceux qui m’ont entouré, accompagné, tous ceux qui, de près ou de loin, ont contribué à l’aboutisse- ment de ce travail. Mes remerciements vont spécialement à mon directeur de thèse, Julien SEBAG, pour les nombreusesdiscussionsquenousavonseuesetquiontaboutiàcetravail.Mercipourvotre soutien et pour vos encouragements dans les jours faciles comme dans les jours difficiles. Vous avez compris mes erreurs et sans relâche vous m’avez aidé à les corriger. Vous m’avez initié à l’algèbre différentielle, à l’étude du schéma des arcs tracés sur une variété et à l’intégration motivique. J’ai bénéficié auprès de vous d’une oreille attentive et d’un regard pointilleux. J’ai beaucoup appris à vos côtés et cette formation me sera utile. Je remercie Ana J. Reguera et Alain Hénaut d’avoir accepté d’être les rapporteurs de cette thèse. Le travail que vous avez accompli a permis d’améliorer la qualité du travail proposé. Je remercie Tony Ezome et Sylvain Duquesne pour l’honneur qu’ils m’ont fait d’accepter de participer à mon jury de thèse. Mes remerciements vont aussi à l’ensemble du personnel de l’UFR de mathématiques et de l’IRMAR, pour sa disponibilité, sa gentillesse et son efficacité. Marie-Aude, Patrick, Olivier, Chantal, Hélène et Nelly, merci pour votre accueil et pour tous les services que vous m’avez rendus. Je tiens à remercier tous ceux qui m’ont accueilli au bureau 434, Nirmal, Richoux, Nicolas, Anjara, Damien. Vous m’avez tout de suite intégré à l’équipe du bureau 434 et je m’y suis tellement bien senti que je n’ai plus jamais rejoins mon bureau officiel au sixième. La nouvelle équipe du bureau 434 est, à sa manière, toujours aussi chaleureuse. Je remercie Elise, Romain, Julie, Christophe, Nirina et Alexandre avec qui j’ai essayé de garder l’héritage de la pause café «pas vraiment reposante» comme l’écrivait Nicolas dans ses remerciements. Jeremerciel’églisequim’aaccueillietsoutenudanscepayslointain.Avecvous,lesamis, je me suis toujours senti en famille et entouré. J’ai toujours su que je pouvais compter sur vous. Merci pour vos encouragements et pour vos prières quotidiennes. Je fais le choix ici denepasciterdenomparcequevousm’avez,chacunàvotrefaçon,apportéquelquechose, ici à Rennes comme à Bordeaux. Je tiens à remercier ma famille qui a toujours été présente malgré la distance. Je me souviens du dernier coup de fil de mon père, de ses encouragements et de la confiance qu’il avait dans l’aboutissement de cette thèse. Ma mère et ma sœur m’ont appris la persévé- rance et le sérieux dans le travail. Mon grand frère, Koffi fut mon premier répétiteur de mathématiques. Merci pour tout ce que vous avez fait et continuez à faire pour moi. Enfin, à toi... à toi que je n’ai pas besoin de nommer. Toi dont la présence cette dernière année m’a fait tellement du bien. Merci pour tout ce que tu es pour moi. II TABLE DES MATIÈRES Remerciements .................................................................. I Introduction ...................................................................... 1 1. Théorème d’irréductibilité de Kolchin différentiel et une généralisation du théorème de Ritt-Raudenbush .......................................... 7 1.1. Notations et conventions .................................................... 7 1.2. Classement .................................................................. 8 1.3. Ordre ........................................................................ 8 1.4. Terme dominant, initial et séparant .......................................... 9 1.5. Comparaison des polynômes différentiels : rang .............................. 10 1.6. Ensemble auto-réduit ........................................................ 10 1.7. Algorithme de réduction de Ritt .............................................. 12 1.8. Comparaison d’ensembles auto-réduits ...................................... 14 1.9. Ensemble caractéristique .................................................... 14 1.10. Théorème d’irréductibilité de Kolchin ...................................... 19 1.11. Quelques compléments ...................................................... 27 1.12. Une généralisation du théorème de Ritt-Raudenbush ........................ 28 2. Module des dérivations sur une courbe .................................... 31 2.1. Bases de Gröbner ............................................................ 31 2.2. Théorème de Buchsbaum-Eisenbud .......................................... 35 2.3. Rang du module de dérivation ................................................ 38 2.4. Module des dérivations d’une courbe algébrique affine ........................ 39 2.5. Dérivation résultante et système de générateurs du module des dérivations .. 50 3. Interlude textile .............................................................. 65 3.1. Tissus : généralités et définitions ............................................ 65 3.2. Quelques exemples de tissus plans ............................................ 66 3.3. Linéarisation d’un tissu ...................................................... 67 3.4. Linéarisation des tissus quasi-homogènes incomplets .......................... 70 4. Nilpotents du schéma des arcs tracés sur une courbe affine plane .. .. .. 73 4.1. Conventions et notations .................................................... 74 4.2. S-algorithme ................................................................ 75 4.3. La filtration par le type ...................................................... 83 4.4. Dérivations et filtration par le type .......................................... 90 4.5. Etude de l’idéal N (f) ...................................................... 91 1,1 4.6. Changement de base et type .................................................. 96