Martin Werner Signale und Systeme Martin Werner Signale und Systeme Lehr- und Arbeitsbuch mit MATLAB®-Übungen und Lösungen 3., vollständig überarbeitete und erweiterte Auflage Mit 256 Abbildungen, 48 Tabellen und zahlreichen Beispielen, sowie integriertem Online-Übungsteil mit 118 gelösten Aufgaben und MATLAB®-Übungen STUDIUM Bibliografische Information der Deutschen Nationalbibliothek Die Deutsche Nationalbibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internet über <http://dnb.d-nb.de> abrufbar. 1. Auflage 2000 2.,vollständig überarbeitete und ergänzte Auflage 2005 3.,vollständig überarbeitete und erweiterte Auflage 2008 Alle Rechte vorbehalten © Vieweg+Teubner|GWV Fachverlage GmbH, Wiesbaden 2008 Lektorat: Reinhard Dapper Vieweg+Teubner ist Teil der Fachverlagsgruppe Springer Science+Business Media. www.viewegteubner.de Das Werk einschließlich aller seiner Teile ist urheberrechtlich geschützt. Jede Verwertung außerhalb der engen Grenzen des Urheberrechtsgesetzes ist ohne Zustimmung des Verlags unzulässig und strafbar. Das gilt insbesondere für Vervielfältigungen, Übersetzungen, Mikroverfilmungen und die Einspeicherung und Verarbeitung in elektronischen Systemen. Die Wiedergabe von Gebrauchsnamen, Handelsnamen, Warenbezeichnungen usw. in diesem Werk berechtigt auch ohne besondere Kennzeichnung nicht zu der Annahme, dass solche Namen im Sinne der Warenzeichen- und Markenschutz-Gesetzgebung als frei zu betrachten wären und daher von jedermann benutzt werden dürften. Umschlaggestaltung:KünkelLopka Medienentwicklung, Heidelberg Druck und buchbinderische Verarbeitung: MercedesDruck, Berlin Gedruckt auf säurefreiem und chlorfrei gebleichtem Papier. Printed in Germany ISBN 978-3-8348-0233-0 V Vorwort „Signale und Systeme“ ist als Lehr- und Arbeitsbuch für Studierende der Informationstechnik, Nachrichtentechnik, der Informatik und verwandter Fächer gedacht. Da es den Lehrstoff an- hand praxisnaher Aufgaben mit ausführlichen Lösungswegen entwickelt, ist es auch für Inge- nieure und Informatiker in der beruflichen Praxis zum Selbststudium geeignet. Die Grundlagen werden in kompakter Form vorgestellt. Durch die Gegenüberstellung von zeitkontinuierlichen und zeitdiskreten Signalen und Systemen wird das gemeinsame Konzept deutlich hervorge- hoben und eine Synergie des Lernens möglich. Wegen der Zusammenstellungen der wichtigs- ten Formeln in Tabellen und der vielen gelösten Aufgaben eignet es sich auch als Nachschlage- werk. Die rasante Entwicklung der Informationstechnik hat in den Anwendungen der Signal- und Systemtheorie zu einer Verschiebung des Schwerpunkts geführt: von der klassischen Theorie der Filter, Netzwerke und Leitungen hin zu komplexen Algorithmen der digitalen Signal- verarbeitung. Das vorliegende Buch trägt dieser Entwicklung Rechnung, indem es die klas- sischen Methoden straff behandelt und der digitalen Signalverarbeitung sowie den stochasti- schen Signalen in der Informationstechnik breiteren Raum gibt. Zur 3. Auflage Die Neuauflage des Buches bot Gelegenheit, das Konzept konsequent auf die seit einigen Jahren beobachteten Veränderungen anzupassen. Viele Studierende sind heute mit dem Programmieren und Anwenden von Computern mehr vertraut als mit den physikalischen Grundlagen der Informationstechnik. In der 3. Auflage werden deshalb die Themen zunächst an zeitdiskreten Beispielen eingeführt und dann auf den zeitkontinuierlichen Fall übertragen: Die Differenzen- gleichung ist der Differenzialgleichung und die z-Transformation der Laplace-Transformation vorangestellt. Dadurch wird es möglich, zunächst mit relativ einfachen Beispielen am PC die Zusammenhänge zu veranschaulichen. Dementsprechend wurde der Übungsteil vollständig überarbeitet, erweitert und mit zahlreichen MATLAB®-Beispielen1 ergänzt. Um den studentenfreundlichen Preis zu halten, wird der umfangreiche Übungsteil als Online- Ressource zur Verfügung gestellt. Wie die zum Buch erstellten MATLAB-Programme und Lösungen ist er kostenlos über den Vieweg+Teubner Verlag erhältlich unter www. viewegteubner.de. Außerdem wurden zahlreiche Verbesserungen und Ergänzungen vorgenommen. Die Lösung von Differenzengleichungen wird ausführlicher behandelt. Die in der Audio- und Bild- codierung wichtige diskrete Kosinus-Transformation rundet nun den Abschnitt zur diskreten Fourier-Transformation ab. Fulda, Mai 2008 Martin Werner 1 MATLAB® ist ein eingetragenes Warenzeichen der Firma The MathWorks, Inc., U.S.A. MATLAB ist auch in einer Studentenversion verfügbar und wird mit einer ausführlichen Online-Hilfe sowie Online-Einführungskursen ausgeliefert. Für mehr Informationen siehe www.mathworks.com oder www.mathworks.de. Inhaltsverzeichnis VII Inhaltsverzeichnis 1 Einführung ............................................................................................................ 1 2 Grundbegriffe der Signal- und Systemtheorie.............................................. 3 2.1 Klassifizierung von Signalen ............................................................................... 3 2.2 Standardsignale ...................................................................................................... 10 2.2.1 Exponentielle Signale ......................................................................................... 10 2.2.2 Sprungfunktion und Rechteckimpuls ................................................................. 11 2.2.3 Impulsfunktion ................................................................................................... 12 2.3 Klassifizierung von Systemen ............................................................................. 16 2.3.1 Systembegriff ..................................................................................................... 16 2.3.2 Systemeinteilung nach Signalklassen ................................................................. 16 2.3.3 Systeme mit und ohne Gedächtnis ...................................................................... 17 2.3.4 Kausale Systeme ................................................................................................. 17 2.3.5 Lineare und zeitinvariante Systeme .................................................................... 18 2.3.6 Stabile Systeme .................................................................................................. 19 2.3.7 Beispiele ............................................................................................................. 19 2.3.7.1 Gleitender Mittelwert .................................................................................... 19 2.3.7.2 Medianfilter .................................................................................................. 21 2.3.7.3 Gleitender Mittelwert und Median in der Bildverarbeitung .......................... 22 3 Lineare zeitinvariante Systeme ........................................................................ 25 3.1 Zeitdiskrete LTI-Systeme ..................................................................................... 25 3.1.1 Impulsantwort ..................................................................................................... 25 3.1.2 Sprungantwort .................................................................................................... 29 3.1.3 Kausalität ............................................................................................................ 29 3.1.4 Stabilität .............................................................................................................. 29 3.1.5 Eigenfunktion ..................................................................................................... 30 3.1.6 Beispiel: Barker-Code ........................................................................................ 31 3.2 Zeitkontinuierliche LTI-Systeme ........................................................................ 32 3.2.1 Impulsantwort ..................................................................................................... 33 3.2.2 Sprungantwort .................................................................................................... 35 3.2.3 Kausalität ............................................................................................................ 36 3.2.4 Stabilität .............................................................................................................. 36 3.2.5 Eigenfunktion ..................................................................................................... 36 3.2.6 Beispiel: RC-Glied ............................................................................................. 38 3.3 Gegenüberstellung I: zeitkontinuierliche und zeitdiskrete LTI-Systeme ...... 39 4 Systeme mit linearen Differenzengleichungen ............................................. 41 4.1 Einführung .............................................................................................................. 41 4.2 Signalflussgraph .................................................................................................... 42 4.3 Übertragungsfunktion ........................................................................................... 45 4.4 Eigenschwingungen .............................................................................................. 46 VIII Inhaltsverzeichnis 4.5 Ein- und Ausschwingen, Transienten ................................................................. 48 4.5.1 Homogene Lösung der DGL 1. Ordnung ........................................................... 48 4.5.2 Partikuläre Lösung der DGL 1. Ordnung ........................................................... 49 4.5.3 Transiente, stationärer Anteil, Ein- und Ausschwinganteil ................................ 50 4.6 Linearität, Zeitinvarianz und Kausalität ............................................................. 52 4.7 Systemfunktionen für ein rekursives System 1. Ordnung ............................... 52 4.7.1 Impulsantwort ..................................................................................................... 52 4.7.2 Sprungantwort .................................................................................................... 53 4.7.3 Übertragungsfunktion ......................................................................................... 54 4.7.4 Lösungen für rekursive Systeme 1. Ordnung ...................................................... 54 4.8 Rekursive Systeme 2. Ordnung .................................................................... 55 4.8.1 Lösungen der homogenen DGL 2. Ordnung ....................................................... 55 4.8.2 Stabilität .............................................................................................................. 56 4.8.3 Lösung der DGL 2. Ordnung für exponentielle Erregungen .............................. 57 4.8.4 Systemfunktionen für ein rekursives System 2. Ordnung ................................... 60 4.9 Beispiele zu DGL und Systemen mit DGL ....................................................... 63 4.9.1 Widerstandsnetzwerk .......................................................................................... 63 4.9.2 Zinsformel .......................................................................................................... 65 4.9.3 System 2. Ordnung ............................................................................................. 67 4.9.4 Zeitdiskretes Analogon zum Schwingkreis ........................................................ 68 5 Systeme mit linearen Differenzialgleichungen ............................................. 70 5.1 Einführung .............................................................................................................. 70 5.2 Lineare DGL N-ter Ordnung ................................................................................ 70 5.3 Signalflussgraph .................................................................................................... 74 5.4 Übertragungsfunktion ........................................................................................... 75 5.5 Ein- und Ausschwingen, Transiente ................................................................... 76 5.5.1 Homogene Lösung der DGL ............................................................................... 76 5.5.2 Partikuläre Lösung der DGL ............................................................................... 77 5.5.3 Lösung der DGL mit Anfangsbedingungen ........................................................ 78 5.5.4 Ein- und Ausschwingen ...................................................................................... 78 5.6 Linearität, Zeitinvarianz und Kausalität ............................................................. 80 5.7 Impulsantwort und Übertragungsfunktion ......................................................... 80 5.8 Beispiele mit RLC-Netzwerken .......................................................................... 83 5.8.1 System 1. Ordnung ............................................................................................. 83 5.8.2 Reihenschwingkreis ............................................................................................ 84 5.9 Gegenüberstellung II: zeitkontinuierliche und zeitdiskrete LTI-Systeme ..... 86 6 z-Transformation und LTI-Systeme ............................................................... 88 6.1 Einführung .............................................................................................................. 88 6.2 Die z-Transformation ............................................................................................ 89 6.2.1 Definition ............................................................................................................ 89 6.2.2 Existenz .............................................................................................................. 90 6.2.3 Eigenschaften ...................................................................................................... 92 6.2.4 z-Transformierte von Standardsignalen .............................................................. 93 Inhaltsverzeichnis IX 6.3 Anwendung der z-Transformation bei LTI-Systemen ..................................... 95 6.3.1 Übertragungsfunktion ......................................................................................... 95 6.3.2 BIBO-Stabilität ................................................................................................... 98 6.3.3 Impulsantwort und Sprungantwort ..................................................................... 98 6.3.4 Eingangs-Ausgangsgleichung im Bildbereich .................................................... 98 6.4 Inverse z-Transformation ..................................................................................... 99 6.4.1 Komplexe Umkehrformel ................................................................................... 99 6.4.2 Inverse z-Transformation rationaler Funktionen ................................................ 99 6.4.3 Rücktransformation durch Partialbruchzerlegung .............................................. 101 6.4.4 Beispiel: Konvergenzgebiete und inverse z-Transformation .............................. 104 6.4.5 Inverse z-Transformation mit der Potenzreihenentwicklung .............................. 105 6.4.6 Beispiel: System 3. Ordnung .............................................................................. 106 6.5 Einseitige z-Transformation und ihre Anwendung ........................................... 110 7 Laplace-Transformation und LTI-Systeme .................................................. 114 7.1 Einführung .............................................................................................................. 114 7.2 Die Laplace-Transformation ................................................................................ 114 7.2.1 Definition ............................................................................................................ 114 7.2.2 Existenz .............................................................................................................. 115 7.2.3 Eigenschaften ..................................................................................................... 117 7.2.4 Laplace-Transformierte von Standardsignalen ................................................... 118 7.3 Anwendung der Laplace-Transformation bei LTI-Systemen ......................... 120 7.3.1 Übertragungsfunktion ......................................................................................... 120 7.3.2 BIBO-Stabilität ................................................................................................... 122 7.3.3 Impulsantwort und Sprungantwort ..................................................................... 123 7.3.4 Eingangs-Ausgangsgleichung im Bildbereich .................................................... 123 7.4 Inverse Laplace-Transformation ......................................................................... 125 7.4.1 Komplexe Umkehrformel ................................................................................... 125 7.4.2 Inverse Laplace-Transformation rationaler Funktionen ..................................... 125 7.4.3 Rücktransformation durch Partialbruchzerlegung .............................................. 126 7.4.4 Beispiel: T-Glied ................................................................................................ 128 7.5 Einseitige Laplace-Transformation und ihre Anwendung ............................. 130 7.5.1 Differenziationssatz der einseitigen Laplace-Transformation ............................ 130 7.5.2 Ersatzschaltbild für Laplace-Transformierte ...................................................... 132 7.6 Gegenüberstellung III: zeitkontinuierliche und zeitdiskrete LTI-Systeme ... 137 8 Fourier-Transformation für zeitkontinuierliche Signale .......................... 139 8.1 Fourier-Reihen ....................................................................................................... 139 8.1.1 Trigonometrische Form ...................................................................................... 140 8.1.2 Harmonische Form ............................................................................................. 140 8.1.3 Komplexe Form .................................................................................................. 141 8.1.4 Parsevalsche Gleichung ...................................................................................... 143 8.2 Periodische Quellen in RLC-Netzwerken .......................................................... 144 8.3 Spektrum periodischer Signale und Frequenzgang von LTI-Systemen ........ 147 X Inhaltsverzeichnis 8.4 Die Fourier-Transformation ................................................................................. 151 8.4.1 Übergang von der Fourier-Reihe zur Fourier-Transformation ........................... 152 8.4.2 Definition der Fourier-Transformation ............................................................... 153 8.4.3 Existenz .............................................................................................................. 154 8.4.4 Zusammenhang mit der Laplace-Transformation ............................................... 155 8.4.5 Eigenschaften der Fourier-Transformation ......................................................... 156 8.4.6 Fourier-Transformierte von Standardsignalen .................................................... 157 8.4.7 Bandbreite ........................................................................................................... 161 8.4.8 Zeitdauer-Bandbreite-Produkt ............................................................................ 163 8.5 Anwendung der Fourier-Transformation bei zeitkontinuierlichen LTI-Systemen ........................................................................................................ 165 8.5.1 Frequenzgang ...................................................................................................... 165 8.5.2 Lineare Verzerrungen und verzerrungsfreie Übertragung .................................. 167 8.5.3 Lineare Filterung ................................................................................................ 169 8.6 Übungsbeispiele zur Fourier-Transformation ................................................... 173 9 Fourier-Transformation für zeitdiskrete Signale ........................................ 186 9.1 Einführung .............................................................................................................. 186 9.2 Definition der Fourier-Transformation für zeitdiskrete Signale ..................... 186 9.3 Eigenschaften der Fourier-Transformation für zeitdiskrete Signale .............. 189 9.4 Fourier-Transformierte von Standardsignalen .................................................. 191 9.5 Bandbreite .............................................................................................................. 194 9.6 Anwendung der Fourier-Transformation bei zeitdiskreten LTI-Systemen ... 195 9.6.1 Frequenzgang ...................................................................................................... 195 9.6.2 Lineare Filterung ................................................................................................ 196 9.7 Vergleich zeitkontinuierlicher und zeitdiskreter LTI-Systeme im Frequenzbereich ............................................................................................... 201 9.8 Übungsbeispiele zur Anwendung der Fourier-Transformation auf zeitdiskrete Signale ......................................................................................... 201 10 Diskrete Fourier-Transformation (DFT) ...................................................... 208 10.1 Definition und Eigenschaften der DFT .............................................................. 208 10.2 Zyklische Verschiebung, aperiodische und zyklische Faltung ....................... 214 10.2.1 Zyklische Faltung ............................................................................................... 215 10.2.2 Schnelle Faltung ................................................................................................. 218 10.3 Schnelle Fourier-Transformation (FFT) ............................................................. 222 10.3.1 Einführung .......................................................................................................... 223 10.3.2 Radix-2-FFT-Algorithmus .................................................................................. 224 10.3.3 Beispiel: Tiefpassfilterung eines Bildsignals mit der FFT .................................. 228 10.4 Orthogonale Transformation ................................................................................ 230 10.5 Diskrete Kosinus-Transformation (DCT) .......................................................... 233 10.5.1 Von der DFT zur DCT ........................................................................................ 233 10.5.2 DCT als orthogonale Transformation ................................................................. 237 10.5.3 Beispiel: Anwendung der DCT auf ein Bildsignal ............................................. 239 Inhaltsverzeichnis XI 11 Digitale Verarbeitung analoger Signale ......................................................... 242 11.1 Einführung .............................................................................................................. 242 11.2 Abtastung von Signalen ........................................................................................ 243 11.2.1 Ideale Abtastung ................................................................................................. 243 11.2.2 Abtasttheorem und Spektren abgetasteter Signale .............................................. 245 11.2.3 A/D- und D/A-Umsetzung .................................................................................. 250 11.3 Zeitdiskrete Simulation analoger Systeme ........................................................ 252 11.3.1 Impulsinvariante Transformation ....................................................................... 252 11.3.2 Bilineare Transformation .................................................................................... 254 11.3.3 Beispiel: Butterworth-Tiefpass ........................................................................... 256 11.3.3.1 Analoger Butterworth-Tiefpass ..................................................................... 256 11.3.3.2 Beispiel: Impulsinvariante Transformation ................................................... 258 11.3.3.3 Beispiel: Bilineare Transformation ............................................................... 259 11.4 Anpassung der Abtastrate .................................................................................... 261 11.4.1 Unterabtastung .................................................................................................... 262 11.4.2 Interpolation ....................................................................................................... 264 11.4.3 Beispiel: Interpolation für die D/A-Umsetzung .................................................. 266 11.4 Übungsbeispiele zur digitalen Verarbeitung analoger Signale ....................... 270 12 Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung ...................................... 274 12.1 Einführung .............................................................................................................. 274 12.2 Zufallsexperimente und stochastische Variablen .............................................. 275 12.3 Charakterisierung stochastischer Variablen ...................................................... 277 12.4 Mehrere stochastische Variablen ........................................................................ 285 12.5 Übungsbeispiele zu stochastischen Variablen ................................................... 292 13 Stochastische Signale und LTI-Systeme ........................................................ 297 13.1 Stochastische Prozesse ......................................................................................... 297 13.1.1 Einführung .......................................................................................................... 297 13.1.2 Definition stochastischer Prozesse ..................................................................... 298 13.1.3 Kenngrößen reellwertiger und ergodischer stochastischer Prozesse .................. 299 13.1.4 Beispiele für Korrelationsfunktionen und Leistungsdichtespektren ................... 304 13.1.5 Weißes Rauschen ................................................................................................ 308 13.2 Reaktion von LTI-Systemen auf stochastische Signale ................................... 310 13.2.1 Zeitdiskrete stochastische Prozesse und LTI-Systeme ....................................... 310 13.2.2 Zeitkontinuierliche stochastische Prozesse und LTI-Systeme ............................ 316 13.3 Thermisches Rauschen ......................................................................................... 317 13.4 Detektion und Matched-Filter-Empfänger ......................................................... 320 13.4.1 Detektion ............................................................................................................ 320 13.4.2 Optimales Suchfilter – Matched Filter ............................................................... 324 13.4.3 Beispiel: Mehrkanal-Tokographie ...................................................................... 331 13.4.4 Beispiel: Chirp-Signal ........................................................................................ 333 13.5 Übungsbeispiele zu stochastischen Prozessen .................................................. 339 XII Inhaltsverzeichnis 14 Zustandsraumdarstellung ................................................................................. 354 14.1 Einführung .............................................................................................................. 354 14.2 Zustandsgrößen und Zustandsraumdarstellung ................................................. 354 14.2.1 Systeme 2. Ordnung ............................................................................................ 354 14.2.2 Systeme höherer Ordnung .................................................................................. 357 14.2.3 Allgemeine Struktur ............................................................................................ 359 14.2.4 Übertragungsfunktion und Impulsantwort .......................................................... 360 14.3 Charakteristische Gleichung, Diagonalform und Ähnlichkeitstransformation .................................................................................. 362 14.3.1 Charakteristische Gleichung und Eigenwerte ..................................................... 362 14.3.2 Modalmatrix und Diagonalform ......................................................................... 363 14.3.3 Ähnlichkeitstransformation und Normalform ..................................................... 366 14.4 Zusammenfassung ................................................................................................. 372 Anhang A.1 Formelzeichen .......................................................................................................... 373 A.2 Abkürzungen ............................................................................................................ 376 A.3 Tabellenverzeichnis .................................................................................................. 377 Literaturverzeichnis ....................................................................................................... 378 Sachwortverzeichnis ...................................................................................................... 382