Lecture Notes in Mathematics Edited by A. Dold and B. Eckmann 919 S6minaire Pierre Lelong - Henri Skoda (Analyse) Annees 1980/81 et Colloque de Wimereux, Mai 1981 "Les fonctions plurisousharmoniques en dimension finie ou infinie", organis6 en I'honneur de Pierre Lelong Edit6 par Pierre Lelong et Henri Skoda Springer-Verlag Berlin Heidelberg New York 198 2 E d i t e u r s Pierre Lelong Henri Skoda Universit6 de Paris Vl, Mathematiques Tour 4 5 - 4 6 -5eme 6tage, 4 Place Jussieu, 75005 Paris, France AMS Subject Classifications(1980): 32-XX ISBN 3-540-11482-3 Springer-Verlag Berlin Heidelberg New York ISBN 0-387-11482-3 Springer-Verlag New York Heidelberg Berlin CIP-Kurztitelaufnahmed er Deutschen Bibliothek Seminaire Pierre Lelong, Henri Skoda (Analyse): Seminaire Pierre Lelong, Henri Skoda (Analyse): annees ... - Berlin; Heidelberg; New York: Springer 1980/81 .... Et Colloque de Wimereux, Mai 1981, ,,Les Fonctions Plurisousharmoniques en Dimension Finie ou Infinie": organise en I'honneur de Pierre Lelong. - 1982. (Lecture notes in mathematics;V ol. 9t9) ISBN 3-540-11482-3 (Berlin, Heidelberg, New York) ISBN 0-387-11482-3 (New York, Heidelberg, Berlin) �9 NE: Colloque Les Fonctions Plurisousharmoniquese n Dimension Finie ou Infinie <1981, Wimereux>; GT This work is subject to copyright. All rights are reserved, whether the whole or part of the material is concerned, specifically those of translation, reprinting, re-use of illustrations, broadcasting, reproduction by photocopying machine or similar means, and storage in data banks. Under w 54 of the German Copyright Law where copies are made for other than private use, a fee is payable to "Verwertungsgesellschaft Wort", Munich. @) by Springer-Verlag Berlin Heidelberg 1982 Printed in Germany Printing and binding: Beltz Offsetdruck, Hemsbach/Bergstr. 2141/3140-543210 Introduction au S~minaire P.LELONG,H.SKODA ;980-1981. Ce volume est divis~ en deux parties. La premiere partie se compose des exposes faits au s~minaire P.Lelong,H.Skoda durant les annEes 1980 et 1981, qui n'ont pas d~jg ~tE publiEs ailleurs. La deuxi~me partie reprend certains des exposes du Colloque de Wimereux , de Mai 1981, sous le titre : "Les fonctions plurisousharmoniques en dimension finie ou infinie", organisE en l'honneur de Pierre Lelong. On a reproduit ici parmi les allocutions prononcEes ~ cette occasion celle de G.Coeur~ et la r~ponse de P.Lelong. Indiquons bri~vement les sujets trait~s dans les exposes des deux parties en les regroupant suivant leurs th~mes scientifiques. Ii s'agit toujours de tra- vaux apportant des r~sultats nouveaux dans le domaine de l'Analyse complexe, domaine qui continue g se dEvelopper rapidement. On retrouve dans ce volume des th~mes classiques qui sont d~j~ apparus plusieurs fois dans ce sEminaire. I/ En premier lieu apparaissent les notions capacltaires et la th~orie des fonc- tions plur~sousharmoniques. L'expos~ de R.E.Molzon et B.Shiffman introduit des notions de capacitY, de diam~tre transfini et de constante de Tchebycheff sur ~n-I en liaison avec la th~orie quantitative des ensembles analytiques dans ~n et apporte des rEsultats de comparaison entre ces diff~rentes notions. E.Bedford Etend aux espaces analytiques complexes sa ~hEorie de llopErateur de Mong~-Ampgre (ddC) n et la notion de capacit~ associ~e. Comme application, il ~tend le th~or~me de Josephson sur les ensembles localement pluripolaires certains espaces analytiques (~ventuellement sans fonctions holomorphes). IV B.Gaveau et J.Lawrynowicz d~finissent ~ l'aide de la th~orie des jeux de Von Neumann une int~grale de Dirichlet puis des notions capacitaires invariantes par isomorphisme analytique. Leur approche semble assez diff~rente de celle qui utili- se l'~quation de Monge-Amp~re complexe, lls donnent une application ~ la physique th~orique des particules ~l~mentaires. 2/ C.O.Kiselman ~tudie le nombre de Lelong de la restriction d'une fonction pluri- sousharmonique aux diff~rents germes de sous-vari~t~s analytiques passant par l'ori- gine. Ii montre que ce nombre est ind~pendant de la sous-vari~t~ sauf pour des sous- vari~t~s appartenant ~ un ensemble exceptionnel. L'ensemble des germes de sous- vari~t~ ~tant de dimension infinie, l'~tude des fonctions plurisousharmoniques sur des espaces de dimension infinie apparalt ici comme particuligrement naturelle. Une question posse g cette occasion ~ Wimereux par C.O.Kiselman a suscitg une r~- ponse de P.Lelong qui donne un nouveau moyen de calculer ce nombre et en d~duit un lemme de Schwarz en dimension infinie. M.Blel approfondit dans son article les propri~t~s de sommabilit~ locale de exp(-V) oh V est le potentiel canonique plurisousharmonique associ~ par H.Skoda gun ensemble analytique X . Par une s~rie de contre-exemples, il montre qu'il n'y a pas de liaison simple entre les propri~t~s alg~briques des singularit~s de l'ensemble X (par exemple ~tre une intersection compl~te) et les singularit~s du potentiel V . V~ utilise la complexification et la notion de cellule d'harmoni- cit~? introduite pour la premiere fois par Aronszajn et P.Lelong, pour l'~tude des fonctions harmoniques d'ordre infini et donne des r~sultats sur celles d'entre elles qui sont arithm~tiques, c'est-g-dire telles que f(~n) C~ . 3/ Un autre th~me classique du s~minaire est celui de l'analyse harmonique et de la synth~se spectrale . Ii est bien eonnu depuis les travaux d'Ehrenpreis, B.Malgrange et V.P.Palamodov, que ces questions se ram~nent ~ l'~tude des varifies d'interpolationp c'est-~-dire au probl~me de l'extension d'une fonction holomorphe V avec croissance ~ partir d'une sous-vari~t~ V de ~n . C.A.Berenstein et B.A.Taylor d'une part, J~ d'autre part montrent que si les mineurs de la matrice jacobienne de l'application holomorphe d~finissant V , ne d~crois- sent pas trop vite, alors V est d'interpolation. En fait, ils construisent une bonne r~traction holomorphe sur V dans un voisinage de V , permettant d'utili- ser ensuite les m~thodes semi-globales pour l'op~rateur ~ . Plus g~n~ralement, J.-P.Demailly s'int~resse au probl~me du scindage holomorphe avec croissance d'une suite exacte de fibres holomorphes au-dessus d'une vari~t~ de Stein . Le probl~me precedent correspond au cas de la suite exacte d~finissant le fibr~ normal ~ V . Ii obtient des r~sultats ~ peu pros optimaux, dans le m~me esprit que ceux obtenus par H.Skoda dans les precedents s~minaires pour les mor- phismes de fibres vectoriels semi-positifs. -Dans un article de la m~me veine, il introduit une troisi~me notion de positivi- t~ pour les fibres vectoriels holomorphes, la positivit~ forte, compl~tant les no- tions de positivit~ au sens de P.A.Griffiths et S.Nakano. Ii compare ces diff~rentes notions et transpose les r~sultats obtenus ~ la positi- vit~ des courants. II obtient ainsi d'int~ressantes relations entre les positivi- t~s faibles et fortes des courants. 4/ L'article de B.Barlet concerne les op~rateurs diff~rentiels et l'~tude des sin- gularit~s. II observe que l'int~gration d'une forme diffgrentielle C ~ g support compact sur les fibres d'une application holomorphe d'un espace analytique X valeurs dans ~ ne fournit pas en g~n~ral une fonction C ~ . Ii d~crit les sin- gularit~s de cette derni~re fonction ~ l'aide d'un d~veloppement asymptotique dont les coefficients sont des courants sur X . De plus, les nombres rationnels qui interviennent dans ce d~veloppement sont reli~s ~ la r~solution des singularit~s de X et aux racines du polynSme de Bernstein-Sato. 5/ Le th~me de la th~orie fine des fonctions holomorphes est repr~sent~ dans ce volume par les articles de B.Gaveau et M.Range. B.Gaveau d~crit des conditions n~cessaires quantitatives v~rifi~es par la courbure scalaire des diviseurs d'une fonction holomorphe dans une r de Hardy VI de la boule de ~n . Des conditions de ce type, distinctes de la condition de Blaschke et de celle de P~ sont en effet activement recherch~es. Un r~sultat similaire est obtenu pour les diviseums dans ~n o M. Range, dans un article de synth~se, fait le point sur la th~orie des esti- mations hSlderiennes pour ~ dans un domaine pseudoconvexe. Cette th~orie n'est encore satisfaisante que dans le cas strictement pseudoconvexe et dans le cas d'un ouvert convexe de ~2 ~ fronti~re analytique r~elle. Ii ~tudie ~galement la r~gu larit~ hSld~rienne des d~rivges d'ordre k des solutions explicites pour ~ en bidegr~ (p,q) avec q ~ i . Le rgsultat nouveau, correspondant g q >1 , est obtenu par une modification convenable de la solution de Henkin~ 6/ Le thgme des applications ~ la Physique thgorique, quelque peu oubli~ dans le precedent s~minaire, r~appparait ici. V.S.Vladimirov pr~sente dans son article un panorama actuel des liens entre la Physique Th~orique et les fonctions holomorphes de plusieurs variables. Ii mon- tre tour ~ tour le rSle jou~ en Physique Th~orique par le th~or~me du "edge of the wedge" , le thgor~me de l'enveloppe C-convexe, le th~or~me de covariance finie et l'~tude des fonctions holomorphes de partie r~elle> O d~finies dans un tube. B.Gaveau et G.Laville montrent le lien entre les fonctions propres d'un cer- tain hamiltonien et les fonctions holomorphes v~rifiant les ~quations de Cauchy- Riemann tangentielles sur le groupe de Heisenberg. Ce lien est ~tablit par l'in- term~diaire d'une transform~e de Fourier partielle sur le groupe de Heisenberg. B.Gaveau et J.Lawrynowicz dans leur travail d~j~ cit~ donnent ~galement une application g la Physique Th~orique. Nous remercions les auteurs qui nous ont confi~ leurs textes , Madame Orion qui a pr~par~ de nombreux manuscrits et la librairie Springer qui gdite ce s~mi- naire et qui contribue ainsi ~ la diffusion rapide de r~sultats nouveaux. Pierre LELONG - Henri SKODA T A B L E DES M A T I E R E S / I SEMINAIRE d'ANALYSE (PARIS) . I BERENSTEIN (C.A.) et TAYLOR (B.A.). -On the geometry of interpolating varieties .......................................... I 2 BLF~ (M.). - Fonctions plurisousharmoniques et ideal d~finissant un ensemble analytique ................................ 26 3 DEMAILLY (J.-p.). - Relations entre les diff~rentes notions de fibres et de courants positifs ............................ 56 4 " - Scindage holomorphe d'un morphisme de fibres vecto- riels semi-positifs avec estimations L 2 ........... 77 5 GAVEAU (B.). - Int~grales de courbure et potentiels sur les hypersur- faces analytiques de C n ........................... 108 6 GAVEAU (B.) et LAVILLE (G.). - Fonctions holomorphes et particule charg~e dans un champ magn~tique uniforme .......... 123 7 GAVEAU (B.) et ~AWRYNOWICZ (J.). - Int~grale de Dirichlet sur une va- ri~t~ complexe I ................................... 131 8 LELONG (P.)~ - Calcul du nombre densit~ 9(x,f) et lemme de Schwarz pour les fonctions plurisousharmoniques dans un 167 espace vectoriel topologique ....................... RANGE (M.). - Boundary regularity for the Cauchy-Riemann complex .... 9 177 Ill COLLOQUE de WIMEREUX , Mai 198| . Allocution prononcge par G. COEUR~ en l'honneur du Professeur P.LELONG. 187 R~ponse de P.LELONG ....................................... 190 AVANISSIAN (V.). - Sur les fonctions harmoniques d'ordre quelconque et leur prolongement analytique dans ~n .............. 192 BARLET (D.). - D~veloppements asymptotiques des fonctions obtenues par integration sur les fibres ........................ 282 BEDFORD (E.). - "The operator (ddC) n on complex spaces ............ 294 KISELMAN (Ch.O.). - Stabilit~ du nombre de LELONG par restriction une sous-vari~t~ ................................... 324 MOLZON (R.E.) et SHIFFMAN (B.). - Capacity , Tehebycheff constant , and transfinite hyperdiameter on complex projective space .............................................. 337 VLADIMIROV (V.S.). - Several complex variables in Mathematical physics ............................................ 358 Exposes faits ~ WIMEREUX dont les r~sultats paraltront ailleurs : DIEDERICH (K.) , DINEEN (S.) , GRAUERT (H.) , HARVEY (R.) , NACHBIN (L.) , SIMONY (N.) , SICIAK (J.) , SIU (Y.T.) , STOLL (W.) . S~minaire P.LELONG,H. SKODA (Analyse) 20e et 21e annie, |980-1985. ON THE GEOMETRY OF INTERPOLATING VARIETIES Carlos A. Berenstein and B. A. Taylor i. The problem we want to consider here is the following. Let V be an analytic variety in C n and p a plurisubharmonie weight func- tion. What are the necessary and sufficient conditions on V such that every analytic function ~ on V satisfying an estimate of the form (i) ~(z) I <_ A exp(Bp(z)) , for all z 6 V, has an extension to an entire function �9 satisfying the same kind of estimate for all z ( {n, namely (2) %(z) I _< A' exp(B'p(z) ) . We will then say that V is an interpolating variety (for the weight p). Actually one has to impose some minimal conditions on V and p in order that the problem does not become trivial (e.g., no functions on V satisfy (i) except for the constants), and in applications to harmonic analysis one also needs to consider the problem of multiplici- ties. Rather than burden the reader with unnecessary details we refer to our paper 5, where essentially the opposite problem is considered, i.e. given V find the necessary and sufficient conditions on ~ such that it has an extension 9 satisfying (2). We also refer to 4 and 5 for an explanation of the relevance of this kind of questions to mean-periodicity and related subjects in harmonic analysis. To simplify the exposition we will assume throughout that p(z) = z and point out whether the results below hold for more general weight functions. Hence, A := {9 entire functions in C n satisfying (2)} = P space of functions of exponential type, which is a space of considerable interest by itself i0, 4. We remind the reader though, that even simple looking variations of this weight z I like p(z) = IIm z I + log(l+Iz ) often lead to considerable extra difficulties. In this se- cond example, A = 6' (JR n) = space of Fourier transforms of distribu- P tions in IR n with compact support. Consider first in more detail the case n = 1 where the above problem is settled (at least for p(z) = Izl) . If v = v(f) := {z ( c : f(z) = o} (counted with multiplicities) for some f ( A , then P V = { (zk,mk) : Zk zero of f of multiplicity mk} ' any analytic func- tion on V is just a doubly indexed sequence {akj } (0 ~ j < m k) and we have a restriction map p : A(C) ~ A(V) from the space of entire functions to the analytic functions on V, given by (3) P(m) = v (j)j !( Zk) 1 i In this case p(Ap) E Ap(V) :: {{akj : akj i ~ A exp(BZki) }. And the interpolation problem is simply put: Is the map p : A ~ A (V) P P onto? In 3 we showed that the necessary and sufficient condition for V to be interpolating (for the weight izl) is (m k ) f (z k ) (4) m k l ~ e x p ( - C l Z k l ) for some s, C > 0. In particular', if all the points z k in V are simple, this condition reduces to (5) If' (Zk) I > s exp(-ClZkl) , a result due to A. F. Leont'ev. (Similar statements hold for arbitrary weights p, see 3.) Recall that the function f defining V in the case V = V(f) is unique up to an exponential factor and hence (4) is really a condi- tion on V. More generally, one assumes only that V ~ V(f), f ( A . P As it is well known 19, this condition V ~ V(f) is equivalent to the geometric condition (6) n(r) :: ~ m k : O(r) as r ~ ~, Zkl~r which measures the (0-dimensional) area of V 0B(0,r), B(a,r) := {z ( C : Iz-al ~ r}. (Similarly one can describe geometrically the statement V = V(f), f E A , p(z) = z I , see i0 .) Under this weaker P ~ssumption (6) one can describe V as the set of common zeroes of sev- eral functions in A and correspondingly a statement similar to (4) P holds, see 3, Theorem 4. This analytic condition (4) has been trans- lated into geometric terms by W. A. Squires 26. He shows that V is an interpolating variety (for p(z) : Izl) if and only if for some fixed constants A,B > 0 one has (7) Izkl n(zk,t)--d~ t < Ai z k ' + B for every z k ( V, J0 where (8) n(zk,r ) = ~ m. 0<izj_zkl~ r 3 is the "area" of V n (B(zk,r)\{Zk}) . It was shown by Gelfond that every exponential-polynomial satisfies (7) (see e.g. 30 where sharp estimates for the constants A and B are given). Let us also point out that the corresponding geometric characterization for p(z) = lira zl + ieg(l+Izl) is not known although (4) still holds when V = V(f), f slowly decreasing, see 3. While the technical condition of f being slowly decreasing is a generic condition for this weight, 26 shows that some interpolating varieties cannot be defined by slowly de- creasing f. We discuss also other natural definitions of interpolating vari- eties in 3, 5. In fact, there is a whole scale of such interpolat- ing problems and the corresponsing geometric characterizations are not always completely known. In relation to this let us finish this secion by pointing out a small misprint in formula (23), 3, p. 121, it should read m k- 1 lakr$1r ~ < i exp(BP(Zk;r)) , k ~ lr ~Of . . . . $:0 2, In the case of several variables we can give sufficient condi- tions for interpolation when V is a smooth manifold of codimension k, say (9) V : V(f I, .... fN ) : {z ( {n : f!(z) ..... fN(z) = 0}, fl ..... fN ( Ap, and ~fk (i0) at each point z ( V, the rank of the jacobian matrix Df = is k. Skoda has shown in 23 that if V is a subvariety of C n of pure dimension n -k, then (for p(z) : Izl) (9) is a consequence of the area condition