Lecture Notes ni Mathematics Edited by .A Dold and .B Eckmann 694 Seminaire Pierre Lelong Henri Skoda )esylanA( Annee 1976/77 Edite par Pierre Lelong et Henri Skoda galreV-regnirpS Berlin Heidelberg New kroY 8791 Editeurs Pierre Lelong Henri Skoda Universite Paris Vl Mathematiques 4, Place Jussieu F-75005 Paris AMS Subject Classifications (1970): 32-XX ISBN 3-540-09101-7 Springer-Verlag Berlin Heidelberg New York ISBN 0-387-09101-7 Springer-Verlag NewYork Heidelberg Berlin This work is subject to copyright. All rights are reserved, whether the whole or part of the material is concerned, specifically those of translation, reprinting, re-use of illustrations, broadcasting, reproduction by photocopying machine or similar means, and storage in data banks. Under § 54 of the German Copyright Law where copies are made for other than private use, a fee is payable to the publisher, the amount of the fee to be determined by agreement with the publisher. © by Springer-Verlag Berlin Heidelberg 1978 Printed in Germany Printing and binding: Beltz Offsetdruck, Hemsbach/Bergstr. 2141/3140-543210 AVANT- PROP O S Le present volume du S~minaire |976-1977 continue la s~rie des volumes pre- cedents publi~s aux Lecture-Notes : 17 (|968), 116 (969), 205 (1970), 275 (|971), 2~__33 (J972), 0O___14 (973), 474 (1974), 524 (|975), 578 (976). Certains exposes ont ~t~ r~dig~s, nous devons le dire, avec un certain retard et en fait plusieurs n'ont eu leur r~daction d~finitive qu'au d~but 1978. L'objet du sgminaire que nous dirigeons conjointement est toujours l'Analyse complexe en dimension finie ou infinie. Certains exposes prolongent des r~sultats pr~ sent~s l'ann~e pr~c~dente : tel celui de P.RABOIN sur la r~solution du ~ dans un espace de Hilbert ; de m~me l'expos~ qu'on trouvera ici de P.LELONG rel~ve d'une m~- thode donn~e dans le S~minaire l'an dernier. On trouvera aussi dans l'expos~ de Fr.GRAMAIN donn~ dans ce volume le souci d'utiliser les propri~t~s des fonctions de plusieurs variables en vue de la th~orie des hombres. Nous sommes heureux d'adresser nos remerciements ~ la Librairie Springer qui ~dite ce S~minaire dans sa collection des Lecture-Notes. Nous espgrons que ce volume du S~minaire contribuera comme les precedents g diffuser des m~thodes et des r~sultats nouveaux. Pierre L E L O N G - Henri S K O D A TABLE DES MATIERES 1. BOCHNAK (J.) - Sur le d7@me probl@me de Hilbert pour les fonctions de Nash .......... 1 2. DEMAILLY (J.-P.) - Diff@rents exemples de fibr@s holo- morphes non de Stein ................ d5 5- DLOUSSKY (G.) Prolon~ements d'applications ana- - lytiques ............................ 42 a. FISCHER (G.) Quelques remarques sur les fonctions - m@romorphes ......................... *) 5. GRAMAIN (Ft.) - Fonctions enti@res arithm@tiques .... 96 6. JENNANE (B.) - Extension d'une fonction d@finie sur une sous-vari@t& avec contr81e de la croissance ........................... 126 7- KREE (P.) M@thodes fonctorielles en Analyse de - dimension infinie et holomorphie anticommutative ..................... 154 8. LELONG (P.) Un th@or@me de fonctions inverses dans - les espaces vectoriels topologiques complexes et ses applications ~ des probl@mes de croissance en analyse complexe ............................ 172 9. NAC~BIN (L.) Sur la densit@ des sous-alg@bres poly- - nomiales d'applications continGment diff@rentiables ..................... 196 10. NOVERRAZ (Ph.) Sur la mesure gaussienne des ensembles - polaires en dimension infinie ....... 205 11. RABOIN (P.) Le probl@me du ~ sur un espace de - Hilbert ............................. 214 12. RAMIS (J.-P.) - G@om@trie analytique et g@om@trie alg@brique (variations sur le th@me "gaga") ............................. 228 15. SKODA (H.) - Morphismes surjectifs et fibr@s semi-positifs ....................... 290 14. YAMAGUCHI (H.) Fonctions enti@res paraboliques darts - 2 ................................... 525 *) Les r@sultats seront publi@s dans les "Mathematische Annalen" Exposes faits au S~minaire d'Analyse dont les r~sultats paraitront ailleurs~ LAVILLE (14 D~cembre 1976) "Formules non lin~aires et valeur au bord des fonctions holomorphes" Bull. Sc.Math., 2e s~rie, I00, 1976, p.201-208 1977, p. 71-79 - 101, DUFRESNOY (26 Octobre 1976) "R~sultats de d"-cohomologie, applications aux syst~mes diffgrentiels g coefficients cons- tants" Ann. Institut Fourier, Tome XXVII, Fasc.2,1976. SICIAK (26 Avril 1977) "Fonctions plurisousharmoniques extrgmales dans C ''n "Proceedings of the First Finnish-Polish Summer School on Complex Analysis at Podlesice" Edited by J.LAWRYNOWICZ (Lodz) and O.LEHTO (Helsinski), Lodz, 1977, pp. 115-152. DLOUSSKY (Ier Mars 1977) "Enveloppes d'holomorphie et prolongements d'hypersurfaces" Journ~es de fonctions analytiques, Toulouse, 5-8 Mai, 1976,Sgm. P.Lelong (Analyse) 1975-1976, Lecture Notes in Mathematics, n ° 578,Springer. Th~se de 3e Cycle, Nice CHOLLET (Ier F~vr.77) "Z~ros g la fronti~re de fonctions analytiques dans un domaine strictement pseudo-convexe" Ann. Institut Fourier, Tome XXVI,Fasc. I,1976 l VIGUE (18 Janvier 1977)-"Les domaines born~s sym~triques d'un espace de Banach complexe et les syst~mes triples de Jordan", Math. Ann., t. 229, p. 223-231, 1977. -"Automorphismes analytiques des produits con- tinus de domaines born~s", Ann. Sc.Ec.Norm. Sup., 1978. S~minalre P.LELONG,H.SKODA (Analyse) 41 Juin 1977 |7e annie, 1976/77. \ SUR LE 7~me PROBLEME DE HILBERT POUR LES FONCTIONS DE NASH par Jacek B 0 C H N A K ABSTRACT. The purpose of this note is to give a more refined version of a theorem of Efroymson : If U c R n is defined by polynomial inequalities of the form fi > O, i=I, ..., p, and if g is a positive definite Nash function on U, then g is a finite sum of squares of Nash meromorphe functions on U. AMS 1970 subject classification. Primary 12D15, 14E99, 32C05. Key words and phrases. 17th Hilbert problem, Nash functions, Tarski principle, semi-algebralc sets, real closed field. § I. R4sultats. Soit A un anneau de fonctions r4elles sur un ensemble U. On peut formuler pour l'anneau A, une g4n@ralisatlon suivante du 17~me probl~me de Hilbert : Probl~me 17 A. Soit f ~ A, f(x) >i O, V x ~ U. Existe-t-il e' ~i' "''' ~k E A, ~ ~ O, tels que 2f = ~I 2 + ... + 2oq ? Le probl@me original de Hilbert a 4t4 pos4 pour A = RX 1 .... ,X n et r4solu par E. Artin i, 7, 8, i0. De nouveaux r@sultats ont @t4 obtenus r@cemment. On a pu d@montrer que la r@ponse au probl~me est positive dans les cas des anneaux suivants : l'amneau des germes des fonctions analytiques de n variables r@elles ii, l'anneau des fonctions analytiques r4elles (globales) sur une vari@t4 analytique r4elle de dimension 2 3, et certains anneaux de fonctions de Nash (globales) 6. Rappelons que les fonetions de Nash sont des solutions analytiques d'@quations poly~n~miales ; plus pr4cis@ment, une fonction analytique f : U--* R d'un ouvert U C Rn dans Rest dite de Nash, s'il existe un polynSme P(x, y) de n+l variables r@elles, P ~ O, tel que P(x,f(x))= 0 dans U. ,G Efroymson 6 a montr4 que, pour l'anneau N(U) des fonctions de Nash sur un ouvert seml-alg4brique U C R n de la forme (*) U = { x c R n : Pi(X) > O, pieRX, i=l, ..., s } le probl~me 17N(U) a une solution positive. (En particulier on peut prendre U = Rn). Signalons ici que la solution de ce probl~me publi@e par Mostowski 9 n'est pas correcte (volt la remarque 3 ci-dessous). Posons le probl~me plus pr4cis. Question : Solt f ~ N(U), f(x) > 0, V x ~ u, u un ouvert connexe de R n. Quels sont les sous-anneaux A de N(U), tels que f soit une somme de carr@s dang le corps de fractions A(o ) de A ? Dans cette note nous allons consid4rer cette question et nous allons donner quelques pr@cisions concernant une r4ponse "@conomique" au probl~me 17N(U). un contre-exemple. Soit A = RX IV~7-~ c N(R). L'@l@ment f = V#~-~-~ A est une fonction positive sur R, mais il n'est pas une somme de carr@s dans A(o .) En effet, A(o ) est obtenu par adJonction & RX(o ) d'une racine quadratique f d'un @14ment de RX. On salt alors 12 que l'on peut ordonner le corps A(o ) de sorte que (-f) soit un @l@ment positif sulvant cet ordre ; par eons@quent f ne peut pas 8tre une somme de carr@s dans A(o)" D4finition 2. On appelle un anneau semi-alg4brique tout sous-anneau A = A(U) de l'anneau des fonctions de Nash N(U), contenant RX I ..... Xn. Pour un anneau semi-alg@brique A = A(U) notons par A )I'( le sous-anneau de N(U) engendr@ par A et les @l@ments de