Lecture Notes ni Mathematics Edited by .A Dold and .31 Eckmann 474 erianimeS Pierre gnoleL )esylanA( Annee 1973/74 Edit~ par Pierre Lelong galreV-regnirpS Berlin-Heidelberg-NewYork 5791 Editor Prof. Pierre Lelong Universit6 Paris VI Mathematiques ,11 Quai Saint-Bernard Paris 5 e France AMS Subject Classifications (1970): 31 CXX, 32-XX, 46AXX, 46BXX, 46 EXX, 46 FXX, 46 G XX, 46 H XX, 53 B XX ISBN 3-540-07189-X Springer-Verlag Berlin (cid:12)9 Heidelberg (cid:12)9 New York ISBN 0-387-07189-X Springer-Verlag New York- Heidelberg (cid:12)9 Berlin This work is subject to copyright. All rights are reserved, whether the whole or part of the material is concerned, specifically those of translation, reprinting, re-use of illustrations, broadcasting, reproduction by photo- copying machine or similar means, and storage in data banks. Under w 54 of the German Copyright Law where copies are made for other than private use, a fee is payable to the publisher, the amount of the fee to be determined by agreement with the publisher. (cid:14)9 by Springer-Verlag Berlin (cid:12)9 Heidelberg 1975. Library of Congress Catalog Card Number 74-644531. Printed ni Germany. Offsetdruck: Julius Beltz, Hemsbach/Bergstr. AVA N T- PEO P 0 S Le S~minaire 1973-1974 fair suite aux precedents publi~s aux Lecture-Notes : 71 (1968), 116 (1969), 205 (1970), 275 (1971), 332 (1972), 410 (1973). Le sujet du S~mlnalre est l'analyse complexe et plusieurs exposes concernent son extension ~ la dimension infinie. Nous remercions la Librairie SPRINGER qui ~dite le S~minaire dans les Lecture-Notes et contribue ainsi efficacement ~ sa diffusion. Pierre L E L 0 N G T A B L E DES M A T I .~ R E S LELONG (P.). - Topologies semi-vectorielles et topologies pseudo-convexes sur un espace vectoriel complexe ..... i s 2 KREE (P.). - Solutions faibles d'~quations aux d~riv~es fonctionnelles II ................................... 16 3 TURPIN (Ph.). - Espaces et op~rateurs exponentiellement galb~s .............................................. 48 4 NOVERRAZ (Ph.). - Pseudo-convexitfi et base de Schauder dans les e.l.c ...................................... 63 5 LASCAR (B.). - Op~rateurs pseudo-diff~rentiels d'une infi- nit~ de variables ................................... 83 6 KAJIWARA (J.). - Op~rateurs d" dans les espaces de Hilbert avec croissance polynomlale ......................... 9l 7 BOLAND (Ph.-J.). - Holomorphic functions on~FN(Dual of Frechet Nuclear) spaces ............................. 109 8 DINEEN (S.). - Equivalent definitions of holomorphic func- tions in infinite dimensions ........................ I14 9 BONNIN (O.). - Representation holomorphe des distributions temp~r~es . Transformation de Fourier-Borel . Op~ra- teurs de d~rivations partielles de type Hilbert-Schmidt en dimension infinie (d'apr~s Thomas A.W.DWYER,III) .. 123 VI I0 KANTOR (J.-M.). - Le complexe de Dolbeault-Grothendieck sur les espaces analytiques ......................... 142 II STEHL~ (J.-L.). - Fonctions plurisousharmoniques et convexi- t~ holomorphe de certains fibres analytiques ........ 155 ~i2 MAZET (P.). - Rectificatif concernant l'expos~ :"Un th~or~me d~image directe propre", publi~ dans le S~minaire P.LELONG, 1972/73,N ~ 410 ............................. 180 S~minaire P.LELONG I Analyse) 4 D~cembre 1973 4e annie, 1973/74. TOPOLOGIES SEMI-VECTORIELLES ET TOPOLOGIES PSEUDO-CONVEXES SUR UN ESPACE VECTORIEL COMPLEXE pa r Pierre 'LELONG .| - Introduction. Les topologies localement convexes sur un espace vectoriel E sont adapt~es ~ l'~tude des formes lin~aires f m E ~ et ~ celle de la dualitY. Quand on consid~re des classes~plus ~tendues de fonctions d~finies sur E (fonctions polynomes, fonctions analytiques...) on est conduit ~ introduire sur E des topologies plus fines, invariantes par les translations. Par exemple on demandera que le filtre ~o des voisina- ges de l'origine ait une base B = ~V~, ~ 6A~ , et V~ =~x~E ; p~(x)< |I o3 la jauge p~ de V~n'est plus convexe ; elle est d~finie par p~(x) = supj If ,j(x)l , o3 les f~,~ _ ne sont plus lin~aires, mais appar- tiennent ~ ~. Rappelons que dans 4b nous avons consid~r~ le cas o3 les V~ sont pseudo-convexes et leurs jauges p~(x) sont plurisousharmoni- ques sur un espace complexe E ; de telles topologies peuvent ~tre appe- l~es pseudo-convexes (ou plurisousharmoniques). Les p~ doivent verifier des conditions ~tudi~es par C.-O.KISELMAN 3b pour que ~ solt un fil- o tre de voisinage de O, et d'autres plus pr~cises pour que la topologie invariante par translation qu'on en d~duit soit vectorielle. Les topolo- gies pseudo-convexes constituent une g~n~ralisation des topologies lo- calement convexes, route semi-norme born~e sur un voisinage de l'origi- ne ~tant une fonction plurisousharmonique continue. On se limitera ici ~ l'~tude de la classe suivante - notre e - de topologies sur un espace vectoriel E. bans cette situation on est conduit soit ~ ne plus exiger que la topologie T d~finie g partir des V~ soit vectorielle, c'est-g-dire ren- de continues toutes les operations structurales (addition et multiplica- tion) sur E, soit ~ chercher des conditions sur les p~(x) pour que les V~ d~finissent une topologie vectorielle. On r~sumera ici des r~sultats r~cents soit ~ paraltre 4dJ soit mim~ographi~s 3a et 3b. Leur principale motivation est l'extension de l'analyse complexe aux espaces vectoriels topologiques E . On dira qu'une topologie T sur E est semi-vectorielle si elle induit sur chaque sous- espace de dimension finie une topologie vectorielle. Soit Y~(E) l'ensemble des sous-espaces de dimension finie de E , An(E) ceux qui sont de dimen- sion n : ~(E) =~n(E). On d~signera par T Mla topologie vectorielle s~- par~e sur M. Si l'on veut que l'analyse complexe en dimension infinie re- joigne par restriction aux sous-espaces M ~.~(E) l'analyse classique, une certaine n~cessit~ appara~t de ne consid~rer sur E que des topologies semi-vectorielles invariantes par les translations. Un ~l~ment maximal de la classe des topologies semi-vectorielles est la topologie finiment ouverte Tf d~finie comme suit : ~cE est Tf ouvert si et seulement si pour tout M ~(E), l'intersection ~ oM est un ouvert (~ventuellement vide) sur M pour T M ; la topologie Tf est la limite inductive stricte (en g~- n~ral non d~nombrable) des topologies (M, TM) , pour M~A(E). En effet, soit {e~ une base de E, A e L. A toute partie finie HcL correspond MHeA(E) engendr~ par les e A , ~ e H : l'espace (E, Tf) est la limite inductive stricte des M H quand H' = L-H parcourt le filtre sur L des compl~mentai- res des parties finies. La topologie Tf sur E est s~par~e car elle est plus fine que la topologie produit des sous-espaces ~ Ke~ qui est s~pa- r~e. Si K = R ou ~ , et si Lest d~nombrable, Tf est localement convexe et (E, Tf) est limite inductive stricte d'une suite d'espaces localement convexes, bans 2 S.KAKUTANI et V.KLEE ont ~tabli la continuit~ de la multiplication sur (E, Tf) si K = R, ainsi que celle de l'addition (x,y) > x+y six ou y demeure dans un sous-espace de dimension finie. 3 Mais l'addition n'est pas continue sans restriction si card. L n'est pas pas d~nombrable ; Tf est donc une topologie semi-vectorielle s~par~e qui est non vectorielle et elle est la plus fine des topologies semi-vecto- rielles. La topologie Tf intervient d'une mani~re naturelle. Donnons quel- ques exemples o3 le corps de base K de E est R ou r I~ Le dual alg~brique E ~ de E est le dual topologique de (E, rf) : E ~ = (E, Tf)' 2~ Les formes polynomiales E ---~K sont les formes polynomiales con- tinues sur (E, Tf). 3~ Si K = r les fonctions E ----~r analytiques au sens de GATEAUX, c'est-~-dire analytiques sur les droites affines, sont analytiques sur les sous-espaces de dimension finie : ce sont donc exactement les fonc- tions analytiques sur (E, Tf). 4~ Soit P(G) le cSne des fonctions plurisousharmoniques sur un en- semble G =E , o3 G est ouvert pour des topologies T I et T2, P(G) est fonc- tion croissante de la topologie, et l'on a PI(G) = P2(G) pour T I a T 2. Dans ces conditions, on appellera fonction plurisousharmonique sur E (sans pr~ciser la topologie) toute fonction de la classe maximale, c'est-~- dire toute fonction d~finie sur un ensemble Tf-ouvert Get semi- continue sup~rieurement pour Tf c'est-~-dire semi-continue sup~rieure- ment pour T M sur tout M cA(E) et qui v~rifie l'in~galit~ du disque oI 2~ f(x+yei~176 Eox sur les disques ~ =G. On rappelle qu'un disque dans E est l'image x,y lin~aire du disque unit~ D de r et s'~crit : ~x,y = x + Dy = z eE, z = x+uy, pour ~ul~l . On commencera ici par donner des r~sultats sur une classe O de topologies qui rendent continues la multiplication 4d, puis on donnera pour les topologies pseudo-convexes des conditions obtenues par C.-O.K~SELMAN 3bJ portant sur les p~ pour que la topologie d~finie plus haut soit vectorielle et qu'elle rende continues les p~ . 2. - Topologies rendant continues la multiplication et invariantes par translation. On partira de la d~finition suivante (cf. 4d) : D~FINITION I. - Une topologie T sur un espace vectoriel E sera dite de classe 0 si elle est invariante par les translations et si e__lle rend continue la multiplication (u,x) --->ux, application K (cid:141) E ---~E, ~__o K est le corps de base de E. Propri~t~s de la classe @. De la d~finition d~coulent (cf. 4d) : a/ - Une topologie de classe @ sur E induit sur les sous-espaces de E une topologie de classe @. b/ - Si T 1 et T 2 sont de classe Q, de m~me T 3 = sup(Ti,T 2) est de classe @. c/ - Sur les sous-espaces M de dimension I les topologies de classe @ sont vectorielles ; elles induisent soit la topologie s~par~e TM, soit celle dans laquelle M est le seul ouvert non vide. d/ - Si M est un sous-espace de (E, T) oN T est une topologie e, la topo- logie quotient sur E/M = E l est une topologie @. Dans l'~tude des fonctions analytiques et des fonctions plurisous- harmoniques la continuit~ des points du disque ~ par rapport aux va- x,y riables x, u, (x eE, u~ ~) joue un rSle important. On appellera (K) la propri~t~ suivante introduite par C.-O.KISELMAN dans 3a : (K) - Pour tout y 6E, l'application Kx E ---~E d~finie par (u, x) >fy(U, x) = x + uy est continue. On a alors (cf. 4d) 5 THEOREME I (cid:12)9 I. - Pour qu'une topolo$ie T sur E soit une topologie e, il faut et il suffit ~u'elle vgrifie la propri~tfi (K). 3. Topologies e et topologies semi-vectorielles. On peut se de- mander si, ~ la suite de la propri~t~ a) plus haut les topologies @ in- duisent sur tout M ~(E) une topologie vectorielle. La r~ponse est donn~e par l'~nonc~ donn~ dans 4d. / (cid:12)9 THEOREME 2. - Pour qu'une topologie T de classe @ sur E soit semi- vectorielle , il faut et il suffit que l'adh~rence ~ de l'origine soit un sous-esDace vectoriel. En particulier toutes les topologies @ qui sont s~par~es sont semi- vectorielles. De plus on a : THEOREME 3. - Les topologies ~ qui sont semi-vectorielles rendent continues l'addition (x,y) >x + y quand x ou y demeure dans un sous- espace de dimension finie. Ii en r~sulte que Tf est plus fine que toute topologie @ qui est semi-vectorielle (en particulier que toute topologie e s~par~e). Les r~sultats qui precedent sont ~tablis dans 4d en supposant seulement le corps de base K valu~ , non discret, complet. Si K est sup- pos~ localement compact (en particulier K = R et K = r on a le r~sul- tat suivant d~j~ ~tabli pour K = R dans 2 par S.KAKUTANI et V.KLEE : Tf est une topologie 0. II en dgcoule : THEOREME 4. - Si le corps de base K est localement compact, la to- polo$ie finiment ouverte Tf est l'~l~ment maximal unique de la classe ~. Le probl~me est ouvert de savoir si, en l'absence de la compacit~ locale du corps de base K (suppos~ value, complet, non discret), la to- pologie Tf rend la multiplication continue, c'est-~-dire v~rifie l'~nonc~