367-368 ASTÉRISQUE XXXXXXXXXXFIRSTPAGEXXXXXXXXXX 2015 SÉMINAIRE BOURBAKI VOLUME 2013/2014 EXPOSÉS 1074-1088 SOCIÉTÉ MATHÉMATIQUE DE FRANCE Publié avec le concours du CENTRE NATIONAL DE LA RECHERCHE SCIENTIFIQUE Astérisque est un périodique de la Société Mathématique de France. Numéro 367-368 Comité de rédaction Ahmed Abbes Damien Gaboriau Viviane Baladi Michael Harris Laurent Berger Fabrice Planchon Gérard Besson Pierre Schapira Philippe Biane Bertrand Toën Hélène Esnault Éric Vasserot (dir.) Diffusion Maison de la SMF Hindustan Book Agency AMS Case 916 - Luminy O-131, The Shopping Mall P.O. Box 6248 13288 Marseille Cedex 9 Arjun Marg, DLF Phase 1 Providence RI 02940 France Gurgaon 122002, Haryana USA [email protected] Inde www.ams.org Tarifs Vente au numéro : 90 e ($135) Abonnement Europe : 650 e, hors Europe : 689 e ($1033) Des conditions spéciales sont accordées aux membres de la SMF. Secrétariat : Nathalie Christiaën Astérisque Société Mathématique de France Institut Henri Poincaré, 11, rue Pierre et Marie Curie 75231 Paris Cedex 05, France Tél : (33) 01 44 27 67 99 • Fax : (33) 01 40 46 90 96 [email protected] • http://smf.emath.fr/ © Société Mathématique de France 2015 Tousdroitsréservés(articleL122–4duCodedelapropriétéintellectuelle).Toutereprésentationou reproductionintégraleoupartiellefaitesansleconsentementdel’éditeurestillicite.Cettereprésen- tationoureproductionparquelqueprocédéquecesoitconstitueraitunecontrefaçonsanctionnéepar les articles L 335–2 et suivants du CPI. ISSN 0303-1179 ISBN 978-2-85629-804-6 Directeur de la publication : Marc PEIGNÉ 367-368 ASTÉRISQUE 2015 SÉMINAIRE BOURBAKI VOLUME 2013/2014 EXPOSÉS 1074-1088 SOCIÉTÉ MATHÉMATIQUE DE FRANCE Publié avec le concours du CENTRE NATIONAL DE LA RECHERCHE SCIENTIFIQUE Association des collaborateurs de Nicolas Bourbaki. École normale supérieure, 45, rue d’Ulm, F-75230 Paris Cedex 05. URL : http://www.bourbaki.ens.fr Mots-clefsetclassificationmathématiqueparsujets(2000) Exposéno1074.—Problèmes bien posés, séries aléatoires, équations des ondes — 35A05, 35L71, 37L50. Exposéno1075.—LemmedeMargulis,courburedeRiccipresquepositive—53C20. Exposéno1076.—Processus de saut, équation de Boltzmann, programme de Kac, différentiabilité endimensioninfinie,simulationdirecteMonteCarlo—35B35,35Q20,45K05,60J75,65C05,82C22, 82C40,82C80. Exposéno1077.—Approximategroups—11B30;03C98,20N99. Exposéno1078.—Variétés de dimension 3, géométrie hyperbolique, complexes cubiques — 20F67 57Mxx. Exposéno1079.—Homologie de Khovanov, homologie de Floer lagrangienne, homologie de Heegaard-Floer —57M25,57M27,57R17. Exposéno1080.—Géométrieconforme,surfaceminimale,conjecturedeWillmore,méthodedemin- max—53C42,49Q20. Exposéno1081.—Surfaces K3, conjecture de Tate, courbes rationnelles, théorème de Torelli — 14J28,14C25,14C20,14C34,14G35. Exposéno1082.—Spinglasses,ultrametricity,Parisiformula,Ghirlanda-Guerraidentity—82B44, 82B20,60K35. Exposéno1083.—Équation de Boltzmann, hiérarchie BBGKY, limite de Boltzmann-Grad, théorie cinétique,propagationduchaos,équationdeBoltzmannlinéaire,approximationparladiffusion— 35Q20,82A70,35Q70,82B40,82C22. Exposéno1084.—Prime numbers, primes in arithmetic progressions, prime gaps, sieve methods, exponentialsums,bilinearforms —11N05,11N13,11N35,11N37,11L05,11T23. Exposéno1085.—Théoriedestypes,axiomed’univalence,∞-groupoïdes—03B15,18A15. Exposéno1086.—Preuveformelle—03B15,03B35,68T15. Exposéno1087.—Einstein equations, general relativity, quasilinear wave equations, low regularity, Cauchyproblem—83C05,53C50,53C80,35L72. Exposéno1088.—États purs sur les C∗-algèbres, polynômes réels stables, matrices aléatoires, po- lynômescaractéristiquesmixtes,conjecturedeBourgain-Tzafriri,graphesdeRamanujan—05C50, 15A15,26C10,46L30. SÉMINAIRE BOURBAKI VOLUME 2013/2014 EXPOSÉS 1074-1088 Résumé. — Ce 66e volume du Séminaire Bourbaki regroupe les textes des quinze exposés de synthèse sur des sujets d’actualité effectués pendant l’année 2013/2014 : quatreexposésdetopologieetgéométriedifférentielle,quatreexposésd’équationsaux dérivées partielles, un exposé sur la structure des groupes approximatifs, un exposé d’analyse fonctionnelle, un exposé sur la géométrie algébrique des surfaces K3, un exposésurlesécartsentrenombrespremiers,unexposédeprobabilitésetdeuxexposés sur les fondements des mathématiques et les preuves formelles. Abstract(SéminaireBourbaki,volume2013/2014,exposés1074–1088) This 66th volume of the Bourbaki Seminar contains the texts of the fifteen survey lectures done during the year 2013/2014: four lectures on topology and differential geometry, four lectures about partial differential equations, one lecture on the struc- ture of approximate groups, one lecture about functional analysis, one lecture on the algebraic geometry of K3 surfaces, one lecture about the gaps between prime num- bers, one lecture on probability theory and two lectures concerning foundations of mathematics and formal proofs. SOCIÉTÉMATHÉMATIQUEDEFRANCE2015 TABLEDESMATIÈRES v Résumés des exposés ....................................................... vii NOVEMBRE 2013 1074 Anne de BOUARD — Construction de solutions pour des EDP sur-critiques à données initiales aléatoires (d’après N. Burq et N. Tzvetkov) ................................................... 1 1075 Gilles COURTOIS — Lemme de Margulis à courbure de Ricci minorée (d’après Vitali Kapovitch et Burkhard Wilking) ........ 25 1076 Laurent DESVILLETTES — Progrès récents concernant le programme de Kac en théorie cinétique (d’après Stéphane Mischler et Clément Mouhot) ................................... 57 1077 Lou van den DRIES — Approximate Groups (according to Hrushovski and Breuillard, Green, Tao) ........................ 79 JANVIER 2014 1078 Nicolas BERGERON — Toute variété de dimension 3 compacte et asphérique est virtuellement de Haken (d’après Ian Agol et Daniel T. Wise) ....................................................... 115 1079 Vincent COLIN — Réalisations géométriques de l’homologie de Khovanov par des homologies de Floer (d’après Abouzaid-Seidel- Smith et Ozsváth-Szabó) ........................................ 151 1080 Tristan RIVIÈRE — Méthodes de min-max et la conjecture de Willmore (d’après F.C. Marques et A.A. Neves) ............... 179 MARS 2014 1081 Olivier BENOIST — Construction de courbes sur les surfaces K3 (d’après Bogomolov-Hassett-Tschinkel, Charles, Li-Liedtke, Madapusi Pera, Maulik...) ...................................... 219 1082 Erwin BOLTHAUSEN — Ultrametricity in mean-field spin glasses (after Dmitry Panchenko) ...................................... 255 1083 FrançoisGOLSE—DeNewtonàBoltzmannetEinstein:Validation des modèles cinétiques et de diffusion (d’après T. Bodineau, I. Gallagher, L. Saint-Raymond, B. Texier) .................... 285 SOCIÉTÉMATHÉMATIQUEDEFRANCE2015 vi TABLEDESMATIÈRES 1084 EmmanuelKOWALSKI—Gapsbetweenprimenumbersandprimes in arithmetic progressions (after Y. Zhang and J. Maynard) .... 327 JUIN 2014 1085 Thierry COQUAND — Théorie des types dépendants et axiome d’univalence .................................................... 367 1086 Thomas C. HALES — Developments in formal proofs ............ 387 1087 JacquesSMULEVICI—The bounded L2 curvature conjecture (after S. Klainerman, I. Rodnianski and J. Szeftel) ................... 411 1088 Alain VALETTE — Le problème de Kadison-Singer (d’après A. Marcus, D. Spielman et N. Srivastava) ...................... 451 ASTÉRISQUE367-368 RÉSUMÉSDESEXPOSÉS vii Anne de BOUARD — Construction de solutions pour des EDP sur-critiques à données initiales aléatoires (d’après N. Burq et N. Tzvetkov) Certaines équations aux dérivées partielles admettent un exposant de régularité critique endessousduquelleproblèmedeCauchyestréputémalposé,grâceàunargumentd’échelle introduit pour la première fois par Ginibre et Velo. Dans certains cas cette conjecture a été démontrée (notamment par Lebeau d’une part et Christ-Colliander-Tao d’autre part, pour l’équation des ondes non linéaire ou l’équation de Schrödinger non linéaire). Nous expliquerons comment N. Burq et N. Tzvetkov construisent néanmoins des solutions locales (ouglobalesdanscertainscas)pourdetelleséquations,pourpresquetoutesdonnéesinitiales choisiesaléatoirementdansuneclassederégularitéinférieureàceseuilderégularitécritique. Gilles COURTOIS — Lemme de Margulis à courbure de Ricci minorée (d’après Vitali Ka- povitch et Burkhard Wilking) Le lemme de Margulis affirme qu’il existe une constante strictement positive µ(n) telle que pour toute variété riemannienne (M,g) de dimension n et de courbure sectionnelle comprise entre −1 et 0, et tout point x de M, le sous-groupe du groupe fondamental de M enxengendréparleslacetsdelongueurinférieureàµ(n)contientunsous-groupenilpotent d’indicefini,majoréparuneconstanteC(n).Ladémonstrationdecelemmerésulte,dansle cashomogène,d’uneobservationtrèssimplesurlescommutateursdematricesets’yramène, danslecasriemannien,enconsidérantl’holonomielelongdeslacets.Lebutdecetexposéest d’expliquerladémonstration,parV.KapovitchetB.Wilking,dulemmedeMargulislorsque (M,g) appartient à l’ensemble M(n) des variétés riemanniennes de dimension n à courbure de Ricci minorée par −1. Sous cette seule hypothèse de borne inférieure sur la courbure de Ricci, la preuve est de nature profondément différente : elle repose sur des travaux de J. Cheeger et T. Colding concernant la structure des espaces métriques au bord de M(n). Laurent DESVILLETTES — Progrès récents concernant le programme de Kac en théorie cinétique (d’après Stéphane Mischler et Clément Mouhot) Le programme de Kac s’incrit dans le cadre général du 6e problème de Hilbert, qui vise àaxiomatiserunepartiedelaphysiquemathématique,etenparticulierlathéoriecinétique des gaz. Il explique en quoi certaines équations non-linéaires de la physique macroscopique peuventêtrevuescommedeslimitesdesystèmesavecunnombrefinideparticules.Récem- ment, S. Mischler et C. Mouhot ont proposé de nouvelles estimations pour ce programme quisontàlafoisplusexplicitesquecellesquiétaientprécédemmentconnuesetmieuxcom- patibles avec les limites en temps grand. LouvandenDRIES—ApproximateGroups(accordingtoHrushovskiandBreuillard,Green, Tao) On appelle groupe K-approximatif toute partie X d’un groupe qui est symétrique, contient l’identité et est tel que XX peut être recouvert par au plus K translatés à gauche de X. Le résultat principal dit que tout groupe K-approximatif fini est, grossièrement, fini-par-nilpotent. Nicolas BERGERON — Toute variété de dimension 3 compacte et asphérique est virtuelle- ment de Haken (d’après Ian Agol et Daniel T. Wise) La vieille conjecture — attribuée à Waldhausen et formulée en 1968 — dite «conjecture virtuellement Haken» était certainement la plus importante question ouverte concernant la topologie des variétés de dimension 3. Depuis la preuve de la conjecture de géométrisation par Grigori Perelman, elle ne restait plus à démontrer que pour les variétés hyperboliques. SOCIÉTÉMATHÉMATIQUEDEFRANCE2015 viii RÉSUMÉSDESEXPOSÉS C’estcequevientdefaireIanAgolens’appuyantsuruntravaildefonddéveloppéparDani Wise.MaisAgoldémontrebienplus,ildémontreuneconjecturedeWisequiadenombreux corollaires : le groupe fondamental d’une variété hyperbolique compacte de dimension 3 possède un sous-groupe d’indice fini qui se surjecte sur un groupe libre non élémentaire, possède un sous-groupe d’indice fini qui est bi-ordonnable, s’injecte dans GL(n,Z) pour un certain n, etc. Au point que Danny Calegari n’a pas hésité à écrire : «It is hard to think of a question about fundamental groups of hyperbolic 3-manifolds that it doesn’t answer.» Agol déduit enfin de son théorème que toute variété hyperbolique compacte de dimension 3 possèdeunrevêtementfiniquiesthoméomorpheàlasuspensiond’unesurfacecompactepar undifféomorphisme.Partantdecesquestionsclassiquesdetopologiedepetitedimension,je formulerailaconjecturedeWiseettâcheraidedonnerlesgrandeslignesdeladémonstration d’Agol. Tout cela sera émaillé de divers dessins (de cubes). VincentCOLIN—Réalisationsgéométriquesdel’homologiedeKhovanovpardeshomologies de Floer (d’après Abouzaid-Seidel-Smith et Ozsváth-Szabó) L’homologie de Khovanov est un invariant des entrelacs de S3 défini à partir d’un diagramme planaire par de mystérieuses formules combinatoires. Ozsváth-Szabó (2005) et Seidel-Smith (2006) en fournissent des interprétations géométriques dans le cadre de l’homologie de Floer lagrangienne. L’équivalence annoncée récemment par Abouzaid et Smith entre l’homologie de Khovanov et son pendant symplectique devrait permettre de mieux cerner les applications potentielles de l’invariant initial. Tristan RIVIÈRE — Méthodes de min-max et la conjecture de Willmore (d’après F.C. Marques et A.A. Neves) Il y a bientôt deux ans F.C. Marques et A. Neves ont mis en œuvre dans le cadre des courantsrectifiablesfermésdedimension2danslasphère3-dimensionnelleuneméthodede min-max en théorie de la mesure géométrique due à F. Almgren et J. Pitts. Ils sont ainsi parvenus à démontrer que le fameux «tore de Clifford» minimise l’aire parmi toutes les surfacesminimalesdegenrenonnuldanslasphèretridimensionnelle.Unedesconséquences spectaculaires de ce résultat est la démonstration de la conjecture dite «de Willmore». Le but de cet exposé sera de rendre compte du cadre général du résultat de Marques et Neves,delastructureetdecertainsdétailsclésdelapreuve,ainsiquedelaportéedecette contribution remarquable au calcul des variations des surfaces en dimension 3. Olivier BENOIST — Construction de courbes sur les surfaces K3 (d’après Bogomolov- Hassett-Tschinkel, Charles, Li-Liedtke, Madapusi Pera, Maulik...) La conjecture de Tate prédit l’existence de courbes sur les surfaces algébriques définies sur un corps fini. On présentera des travaux récents de Maulik, Charles et Madapusi Pera, quiontpermisd’acheverladémonstrationdecetteconjecturedanslecasdessurfacesK3(en caractéristique différente de 2). On expliquera également des applications de la conjecture de Tate à la construction de courbes rationnelles sur les surfaces K3, dues à Bogomolov- Hassett-Tschinkel et Li-Liedtke ErwinBOLTHAUSEN—Ultrametricityinmean-fieldspinglasses(afterDmitryPanchenko) Ultrametricity lies at the core of the Parisi theory of spin glasses, particularly for the Sherrington-Kirkpatrickmodel.Inavaguesense,itclaimsthattheGibbsmeasureishierar- chically organized. This picture was crucial for the original derivation by Parisi of the free energyusingthenon-rigorousreplicamethod,andalsointhelaterdevelopedcavitymethod by Mézard and Parisi. However, the first rigorous proof by Talagrand of the Parisi formula ASTÉRISQUE367-368